Вычисление пределов с примерами решения
Содержание:
- Два определения предела функции и их эквивалентность.
- Различные типы пределов.
- Контрольная.
Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что -окрестностью точки называется интервал длины с центром в точке , т. е. множество
Если из этого интервала удалить точку а, то получим множество, которое называют проколотой -окрестностью точки и обозначают , т. е.
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.
Примеры с решением
Пример 1.
Исследуем функцию в окрестностях точки .
Функция определена при всех , кроме , причем при . График этой функции изображен на рис. 10.1.
Из этого рисунка видно, что значения функции близки к 2, если значения близки к 1 .
Придадим этому утверждению точный смысл.
Пусть задано любое число и требуется найти число такое, что для всех из проколотой -окрестности точки значения функции отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на .
Иначе говоря, нужно найти число такое, чтобы для всех соответствующие точки графика функции лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми и (см. рис. 10.1), т. е. чтобы выполнялось условие . В данном примере можно взять .
В этом случае говорят, что функция стремится к двум при , стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции
при и пишут или при
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Пример 2.
Исследуем функцию
в окрестности точки . Из графика этой функции (рис.
10.2) видно, что для любого можно найти такое, что для всех выполняется условие . В самом деле, прямые пересекают график функции в точках, абсциссы которых равны
Пусть — наименьшее из чисел и , т. е. . Тогда если и , то т. е. для всех выполняется условие . В этом случае говорят, что функция стремится к единице при , стремящемся к нулю, и пишут
В первом примере функция не определена в точке , а во втором функция определена в точке , но значение функции в точке не совпадает с ее пределом при .
| Функциональные ограничения являются обобщением концепции ограничений последовательности. Первое подразумевает ограничение на последовательность элементов домена путем ограничения функции в некоторой точке. |
Два определения предела функции и их эквивалентность.
а) Определение предела по Коши. Число называется пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для каждого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.
С помощью логических символов это определение можно записать так:
или, используя понятие окрестности, в виде
Таким образом, число есть предел функции в точке , если для любой окрестности числа можно найти такую проколотую -окрестность точки , что для всех , принадлежащих этой -окрестности, соответствующие значения функции содержатся в -окрестности числа .
Замечание 1. В определении предела функции в точке предполагается, что . Это требование связано с тем, что точка может не принадлежать области определения функции. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела для определения производной, так как производная функции в точке — это предел функции
которая не определена в точке .
Отметим еще, что число , фигурирующее в определении предела, зависит, вообще говоря, от , т. е. .
б) Определение предела по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.
е. , и для любой последовательности сходящейся к и такой, что для всех , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Сложение и вычитание пределов |
Пределы математика |
Свойства пределов функции |
Найти площадь фигуры ограниченной линиями |
Пример 3.
Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция не имеет предела в точке .
Достаточно показать, что существуют последовательности и с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что . Возьмем тогда и для всех и поэтому , a . Следовательно, функция не имеет предела в точке .
Замечание 2. Если функция определена в проколотой -окрестности точки и существуют число и последовательность такие, что при всех и , то число называют частичным пределом функции в точке .
Так, например, для функции каждое число является ее частичным пределом. В самом деле, последовательность , где
, образованная из корней уравнения
(рис. 10.3)
такова, что для всех , и .
в) Эквивалентность двух определений предела.
Теорема 1. Определения предела функции по Коти и по Гейне эквивалентны. О В определениях предела функции по Коши и по Гейне предполагается, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т. е. существует число такое, что .
а) Пусть число есть предел функции в точке по Коши; тогда и
Рассмотрим произвольную последовательность сходящуюся к числу и такую, что для всех . Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа можно указать номер такой, что , откуда в силу условия (1) следует, что . Таким образом,
где , причем условие (2) выполняется для любой последовательности такой, что и . Следовательно, , т. е. число — предел функции в точке а по Гейне.
б) Докажем, что если число есть предел функции в точке по Гейне, то это же число является пределом функции по Коши, т. е. выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. Тогда
Согласно (3) в качестве можно взять любое число из полуинтервала . Возьмем , где , и обозначим . Тогда в силу (3) для любого выполняются неравенства
Из (4) следует, что и при всех , а из (5) заключаем, что число не может быть пределом последовательности Следовательно, число не является пределом функции в точке по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1).
Упражнение 1. Доказать, что если функция имеет предел в точке а, то этот предел единственный.
Замечание 3. Пусть — предельная точка числового множества т. е. такая точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка множества , отличная от . Тогда число называют пределом по Коти функции в точке по множеству и обозначают , если
Предполагается, что для некоторого .
Аналогично формулируется определение предела по Гейне по множеству . Например, функция Дирихле , равная единице для любого и равная нулю для любого , имеет предел по множеству и по множеству , причем для любой точки .
Различные типы пределов.
а) Односторонние конечные пределы. Число называют пределом слева функции в точке и обозначают или , если
Аналогично число называют пределом справа функции в точке и обозначают или, если
Числа и характеризуют поведение функции соответственно в левой и правой полуокрестности точки , поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами. Если , то предел слева функции обозначают или , а предел справа обозначают или .
Например, для функции , где
график которой изображен на рис. 10.4
Отметим еще, что если
,
т. е. значения функции лежат в правой -полуокрестности числа , то пишут . В частности, если , то пишут
Аналогично
Например, для функции график которой изображен на рис.
10.5,
Аналогичный смысл имеют записи вида
Например,
Упражнение 2. Записать с помощью логических символов утверждение
Упражнение 3. Доказать, что функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние пределы функции и выполняется равенство
б) Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки , имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут , если
В этом случае функцию называют бесконечно большой при .
Согласно условию (6) график функции для всех лежит вне горизонтальной полосы . Обозначим
и назовем это множество -окрестностью бесконечности. Тогда запись означает, что для любой -окрестности бесконечности найдется такая проколотая -окрестность точки , что для всех выполняется условие .
Например, если , то так как условие (6) вы-
полняется при (рис. 10.6).
Аналогично говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки , имеет в этой точке предел, равный , и пишут , если
т.
е. , где множество ) называют-окрестностью символа .
Если т. е. где , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный , и пишут , а множество называют -окрестностью символа .
Например, если (рис. 10.7), то , а если (рис. 10.8), то
Пример 4:
Сформулировать с помощью логических символов утверждения:
а) б)
в) Предел в бесконечности. Если
то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к плюс бесконечности, и пишут
Например, если (см. рис. 9.4), то В самом деле, , и если , то . Поэтому , откуда следует, что неравенство для любого выполняется при любом х > 8, где т. е. при любом
Если , т. е. неравенство выполняется для всех , то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к минус бесконечности, и пишут . Например, (см. рис. 9.4).
Аналогично, если
то говорят, что число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, и пишут . Например, если , то.
Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности.
Например, запись означает, что
.
Аналогично определяются бесконечные пределы при и .
Контрольная:
Решите самостоятельно. Сформулировать с помощью логических символов и окрестностей (или неравенств) следующие утверждения: a) б)
Решение пределов
Автор: Пользователь скрыл имя, 29 Декабря 2011 в 23:55, контрольная работа
Краткое описание
В данном разделе мы рассмотрим примеры решения задач на нахождение пределов различных выражений и функций. Вообще, все задания на эту тему можно разделить на несколько групп со схожим приницпом действия.
Скачать в ZIP (401.47 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл
В данном разделе
мы рассмотрим примеры решения задач
на нахождение пределов различных выражений
и функций. Вообще, все задания
на эту тему можно разделить на
несколько групп со схожим приницпом
действия. Первый тип: вычисление пределов сведением к первому
замечательному пределу.
Иногда в таких
примерах требуется замена переменных
для того, чтобы х стремился к нулю. Ведь
в первом замечательном пределе х обязательно
должен стремиться к нулю.
Второй тип: вычисление
с использованием
таблицы эквивалентных
функций. Здесь очень удобно пользоваться
заменой эквивалентов, при которых предел
сводится к простым числам. При этом важно
помнить к чему стремиться переменная
х.
Ниже рассмотрим пример на этот вид:
Третий тип: упрощение
выражений путем разложения
на множители или умножением
на сопряженное выражение. В данном
типе пределов легко избавиться от неопределнности
иногда простым разложением на несколько
сомножителей или домножением на такое
же выражение, но с противоположным знаком.
Ниже рассмотрим пример на этот вид:
01. 02. 03. 04. 05. 06. | 07. 08. 09. 10. 11. |
| 12. 13. 14. 16. 17. 18. | 19. 20. |
01. 02. 03. 04. 05. | 06. 07. 08. 09. 10. 11. |
| 12. 13. 14. 15. 20. | 16. 17. 18. 19. |
01. 02. 03. 04. 05. 06. | 07. 08. 09. 12. |
| 13. | 14. |
02. 03. 05. | 04. 06. |
| 07. 10. | 08. 09. 11. |
| 12. |
Информация о работе Решение пределов
Статистический расчет пределов трех сигм на примере
К Уилл Кентон Полная биография Уилл Кентон — эксперт в области экономики и инвестиционного законодательства. Ранее он занимал руководящие должности редактора в Investopedia и Kapitall Wire, имеет степень магистра экономики Новой школы социальных исследований и степень доктора философии по английской литературе Нью-Йоркского университета.
Узнайте о нашем редакционная политика
Обновлено 31 мая 2022 г.
Рассмотрено Эми ДруриРассмотрено Эми Друри
Полная биографияЭми является членом ACA, генеральным директором и основателем OnPoint Learning, финансовой обучающей компании, проводящей обучение финансовых специалистов. Она имеет почти двадцатилетний опыт работы в финансовой отрасли и в качестве финансового инструктора для профессионалов отрасли и частных лиц.
Узнайте о нашем Совет по финансовому обзору
Инвестопедия / Джули Бэнг
Что такое предел трех сигм?
Пределы трех сигм — это статистический расчет, при котором данные находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. В бизнес-приложениях три сигмы относятся к процессам, которые работают эффективно и производят товары высочайшего качества.
Пределы трех сигм используются для установки верхнего и нижнего контрольных пределов в диаграммах статистического контроля качества.
Контрольные карты используются для установления ограничений для производственного или бизнес-процесса, находящегося в состоянии статистического контроля.
Ключевые выводы:
- Пределы трех сигм (пределы трех сигм) — это статистический расчет, который относится к данным в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.
- Пределы трех сигм используются для установки верхнего и нижнего контрольных пределов в диаграммах статистического контроля качества.
- На колоколообразной кривой данные, лежащие выше среднего и за линией трех сигм, представляют менее 1% всех точек данных.
Понимание пределов трех сигм
Контрольные карты, также известные как карты Шухарта, названы в честь Уолтера А. Шухарта, американского физика, инженера и статистика (1891–1967). Контрольные карты основаны на теории о том, что даже идеально спроектированным процессам присуща определенная степень изменчивости выходных измерений.
Контрольные карты определяют, есть ли контролируемые или неконтролируемые изменения в процессе.
Говорят, что изменения в качестве процесса, вызванные случайными причинами, находятся под контролем; К неконтролируемым процессам относятся как случайные, так и особые причины изменчивости. Контрольные карты предназначены для определения наличия особых причин.
Для измерения вариаций статистики и аналитики используют показатель, известный как стандартное отклонение, также называемое сигмой. Сигма — это статистическое измерение изменчивости, показывающее, насколько сильно отличается среднестатистическое значение.
Sigma измеряет, насколько наблюдаемые данные отклоняются от среднего или среднего; инвесторы используют стандартное отклонение для оценки ожидаемой волатильности, известной как историческая волатильность.
Чтобы понять это измерение, рассмотрим нормальную кривую нормального распределения, которая имеет нормальное распределение. Чем дальше вправо или влево точка данных записана на кривой нормального распределения, тем выше или ниже, соответственно, данные, чем среднее значение.
С другой точки зрения, низкие значения указывают на то, что точки данных близки к среднему; высокие значения указывают на то, что данные широко распространены и не близки к среднему значению.
Пример расчета предела трех сигм
Давайте рассмотрим производственную фирму, которая проводит серию из 10 тестов, чтобы определить, есть ли различия в качестве ее продукции. Точки данных для 10 тестов: 8,4, 8,5, 9,1, 9,3, 9,4, 9,5, 9,7, 9,7, 9,9 и 9,9.
- Сначала рассчитайте среднее значение наблюдаемых данных. (8,4 + 8,5 + 9,1 + 9,3 + 9,4 + 9,5 + 9,7 + 9,7 + 9,9 + 9,9) / 10, что равно 93,4 / 10 = 9,34.
- Второй, вычислить дисперсию набора. Дисперсия — это разброс между точками данных, который рассчитывается как сумма квадратов разницы между каждой точкой данных и средним значением, деленная на количество наблюдений. Первый квадрат разности будет рассчитан как (8,4 – 9,34) 2 = 0,8836, второй квадрат разности будет равен (8,5 – 9,34) 2 = 0,7056, третий квадрат может быть рассчитан как (9,1 – 9,34) 2 = 0,0576 и так далее.
Сумма различных квадратов всех 10 точек данных равна 2,564. Таким образом, дисперсия составляет 2,564/10 = 0,2564. - В-третьих, вычислить стандартное отклонение, которое представляет собой просто квадратный корень из дисперсии. Итак, стандартное отклонение = √0,2564 = 0,5064.
- В-четвертых, вычислить три сигмы, что на три стандартных отклонения выше среднего. В числовом формате это (3 x 0,5064) + 9,34 = 10,9. Поскольку ни один из данных не находится на таком высоком уровне, процесс производственного тестирования еще не достиг уровня качества «три сигмы».
Сумма различных квадратов всех 10 точек данных равна 2,564. Таким образом, дисперсия составляет 2,564/10 = 0,2564.Особые указания
Термин «три сигмы» указывает на три стандартных отклонения. Шухарт установил пределы трех стандартных отклонений (3 сигмы) в качестве рационального и экономичного ориентира для минимальных экономических потерь. Пределы трех сигм устанавливают диапазон для параметра процесса на уровне контрольных пределов 0,27%. Контрольные пределы по трем сигмам используются для проверки данных, полученных в процессе, и проверки того, находятся ли они в пределах статистического контроля.
Это делается путем проверки того, находятся ли точки данных в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. Верхний контрольный предел (UCL) устанавливается на три сигма выше среднего, а нижний контрольный предел (LCL) устанавливается на три сигма ниже среднего.
Поскольку около 99,73% контролируемого процесса будет происходить в пределах плюс-минус три сигмы, данные процесса должны аппроксимировать общее распределение вокруг среднего значения и в заранее определенных пределах. На колоколообразной кривой данные, лежащие выше среднего и за линией трех сигм, представляют менее 1% всех точек данных.
Источники статей
Investopedia требует, чтобы авторы использовали первоисточники для поддержки своей работы. К ним относятся официальные документы, правительственные данные, оригинальные отчеты и интервью с отраслевыми экспертами. Мы также при необходимости ссылаемся на оригинальные исследования других авторитетных издателей. Вы можете узнать больше о стандартах, которым мы следуем при создании точного и беспристрастного контента, в нашем
редакционная политика.
Национальный центр биотехнологической информации. «Уолтер А. Шухарт, 1924 год, и фабрика в Хоторне».
Центральная предельная теорема | Формула, определение и примеры
Опубликован в 6 июля 2022 г. к Шон Терни. Отредактировано 10 ноября 2022 г.
Центральная предельная теорема утверждает, что если вы возьмете достаточно большие выборки из совокупности, средние значения выборок будут нормально распределены, даже если совокупность не распределена нормально.
Содержание
- Что такое центральная предельная теорема?
- Формула центральной предельной теоремы
- Объем выборки и центральная предельная теорема
- Условия центральной предельной теоремы
- Важность центральной предельной теоремы
- Примеры центральной предельной теоремы
- Практические вопросы
- Часто задаваемые вопросы о центральной предельной теореме
Что такое центральная предельная теорема?
Центральная предельная теорема опирается на концепцию выборочного распределения , которое является распределением вероятностей статистического показателя для большого количества выборок, взятых из совокупности.
Представление эксперимента может помочь вам понять распределение выборки:
- Предположим, вы берете случайную выборку из совокупности и вычисляете статистику для выборки, например среднее значение.
- Теперь вы берете еще одну случайную выборку того же размера и снова вычисляете среднее значение.
- Вы повторяете этот процесс много раз и в итоге получаете большое количество средних значений, по одному для каждого образца.
Распределение выборочных средних является примером 9Распределение выборки 0063.
Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение среднего всегда будет нормально распределенным , если размер выборки достаточно велик. Независимо от того, имеет ли совокупность нормальное, пуассоновское, биномиальное или любое другое распределение, выборочное распределение среднего будет нормальным.
Нормальное распределение — это симметричное колоколообразное распределение, при котором чем дальше от центра распределения, тем меньше наблюдений.
Формула центральной предельной теоремы
К счастью, вам не нужно повторно проводить выборку из генеральной совокупности, чтобы узнать форму выборочного распределения. Параметры выборочного распределения среднего определяются параметрами генеральной совокупности:
- Среднее значение выборочного распределения является средним значением генеральной совокупности.
- Стандартное отклонение выборочного распределения представляет собой стандартное отклонение генеральной совокупности, деленное на квадратный корень из размера выборки.
Мы можем описать выборочное распределение среднего, используя следующие обозначения:
Где:
- X̄ – выборочное распределение выборочных средств
- ~ означает «следует за дистрибутивом»
- N нормальное распределение
- µ – среднее значение совокупности
- σ — стандартное отклонение генеральной совокупности
- n размер выборки
Что может сделать корректура для вашей статьи?
Редакторы Scribbr не только исправляют грамматические и орфографические ошибки, но и улучшают качество письма, следя за тем, чтобы в статье не было неясных выражений, избыточных слов и неудобных формулировок.
См. пример редактирования
Объем выборки и центральная предельная теорема
Размер выборки ( n ) — это количество наблюдений, взятых из генеральной совокупности для каждой выборки. Размер выборки одинаков для всех выборок.
Размер выборки влияет на выборочное распределение среднего значения двумя способами.
1. Размер выборки и нормальность
Чем больше размер выборки, тем точнее распределение выборки будет соответствовать нормальному распределению.
При небольшом размере выборки выборочное распределение среднего значения иногда бывает ненормальным. Это потому, что центральная предельная теорема верна только тогда, когда размер выборки «достаточно велик».
По соглашению мы считаем размер выборки 30 «достаточно большим».
- Когда n < 30 , центральная предельная теорема не применяется. Распределение выборки будет следовать аналогичному распределению населения. Следовательно, распределение выборки будет нормальным только в том случае, если совокупность нормальная.
Следовательно, распределение выборки будет нормальным только в том случае, если совокупность нормальная.- Когда n ≥ 30 , применяется центральная предельная теорема. Распределение выборки будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.
2. Размер выборки и стандартные отклонения
Размер выборки влияет на стандартное отклонение выборочного распределения. Стандартное отклонение — это мера изменчивости или разброса распределения (т. е. насколько оно широкое или узкое).
- Когда n низкое , стандартное отклонение высокое. Средние значения выборок сильно разбросаны, потому что они не являются точными оценками среднего значения генеральной совокупности.
- Когда n имеет высокое значение , стандартное отклонение низкое. Средние значения выборок не сильно разбросаны, потому что они являются точными оценками среднего значения генеральной совокупности.
Средние значения выборок не сильно разбросаны, потому что они являются точными оценками среднего значения генеральной совокупности.Условия центральной предельной теоремы
Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение среднего всегда будет соответствовать нормальному распределению при следующих условиях:
- Объем выборки достаточно большой . Это условие обычно выполняется, если объем выборки n ≥ 30.
- Выборки представляют собой независимых и одинаково распределенных (i.i.d.) случайных величин . Это условие обычно выполняется, если выборка является случайной.
- Распределение населения имеет конечное дисперсионное . Центральная предельная теорема не применяется к распределениям с бесконечной дисперсией, таким как распределение Коши. Большинство распределений имеют конечную дисперсию.
Большинство распределений имеют конечную дисперсию.Важность центральной предельной теоремы
Центральная предельная теорема — одна из самых фундаментальных статистических теорем. Фактически, «центральное» в «центральной предельной теореме» относится к важности теоремы.
Примечание Параметрические тесты , такие как тесты t , ANOVA и линейная регрессия, обладают большей статистической мощностью, чем большинство непараметрических тестов. Их статистическая мощность исходит из предположений о распределении популяций, основанных на центральной предельной теореме.Примеры центральной предельной теоремы
Применение центральной предельной теоремы к реальным распределениям может помочь вам лучше понять, как она работает.
Непрерывное распределение
Предположим, вас интересует возраст выхода на пенсию в США. Все населения — это пенсионеры-американцы, и распределение населения может выглядеть примерно так:
Возраст выхода на пенсию подчиняется распределению с асимметрией влево.
Большинство людей выходят на пенсию примерно через пять лет после достижения среднего возраста выхода на пенсию в 65 лет. Однако есть «длинный хвост» людей, которые уходят на пенсию намного раньше, например, в 50 или даже 40 лет. Популяция имеет стандартное отклонение 6 лет.
Представьте, что вы берете небольшую выборку из населения. Вы случайным образом выбираете пятерых пенсионеров и спрашиваете их, в каком возрасте они вышли на пенсию.
Пример: центральная предельная теорема; проба n = 5| 68 | 73 | 70 | 62 | 63 |
Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности. Это может быть не очень точная оценка, так как размер выборки составляет всего 5,
. Пример: центральная предельная теорема; среднее значение небольшой выборки среднее = (68 + 73 + 70 + 62 + 63) / 5среднее = 67,2 года
Предположим, вы повторяете эту процедуру 10 раз, беря выборки из пяти пенсионеров и вычисляя среднее значение для каждой выборки.
Это выборочное распределение среднего значения .
| 60,8 | 57,8 | 62,2 | 68,6 | 67,4 | 67,8 | 68,3 | 65,6 | 66,5 | 62,1 |
Если повторить процедуру еще много раз, то гистограмма выборочных средних будет выглядеть примерно так:
Хотя это распределение выборки более нормальное, чем генеральная совокупность, оно все же имеет некоторую левостороннюю асимметрию.
Обратите также внимание на то, что разброс выборочного распределения меньше, чем разброс генеральной совокупности.
Центральная предельная теорема говорит, что выборочное распределение среднего всегда будет соответствовать нормальному распределению, когда размер выборки достаточно велик. Это выборочное распределение среднего значения обычно не распределяется, потому что его размер выборки недостаточно велик.
Теперь представьте, что вы берете большую выборку населения. Вы случайным образом выбираете 50 пенсионеров и спрашиваете их, в каком возрасте они вышли на пенсию.
Пример: центральная предельная теорема; проба n = 50| 73 | 49 | 62 | 68 | 72 | 71 | 65 | 60 | 69 | 61 |
| 62 | 75 | 66 | 63 | 66 | 68 | 76 | 68 | 54 | 74 |
| 68 | 60 | 72 | 63 | 57 | 64 | 65 | 59 | 72 | 52 |
| 52 | 72 | 69 | 62 | 68 | 64 | 60 | 65 | 53 | 69 |
| 59 | 68 | 67 | 71 | 69 | 70 | 52 | 62 | 64 | 68 |
Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности.
Это точная оценка, потому что размер выборки большой.
Опять же, вы можете повторить эту процедуру еще много раз, взяв выборки из пятидесяти пенсионеров и вычислив среднее значение для каждой выборки:
На гистограмме видно, что это выборочное распределение имеет нормальное распределение, как и предсказывает центральная предельная теорема.
Стандартное отклонение этого выборочного распределения составляет 0,85 года, что меньше разброса выборочного распределения малой выборки и намного меньше разброса генеральной совокупности. Если бы вы увеличили размер выборки еще больше, разброс уменьшился бы еще больше.
Мы можем использовать формулу центральной предельной теоремы для описания выборочного распределения:
мк = 65
σ = 6
n = 50
Дискретное распределение
Приблизительно 10% людей левши.
Если мы присвоим значение 1 леворукости и значение 0 праворукости, распределение вероятности леворукости для населения всех людей будет выглядеть следующим образом:
Среднее значение для населения — это доля левшей (0,1). Стандартное отклонение населения составляет 0,3.
Представьте, что вы берете случайную выборку из пяти человек и спрашиваете их, левши ли они.
Пример: центральная предельная теорема; выборка n = 5| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности. Это может быть не очень точная оценка, поскольку размер выборки составляет всего 5 человек.
среднее = 0,2
Представьте, что вы повторяете этот процесс 10 раз, случайным образом выбирая пять человек и вычисляя среднее значение выборки.
Это выборочное распределение среднего значения .
| 0 | 0 | 0,4 | 0,2 | 0,2 | 0 | 0,4 | 0 |
Если повторить этот процесс еще много раз, распределение будет выглядеть примерно так:
Распределение выборки не имеет нормального распределения, поскольку размер выборки недостаточно велик для применения центральной предельной теоремы.
По мере увеличения размера выборки распределение выборки становится все более похожим на нормальное распределение, а разброс уменьшается:
Выборочное распределение среднего значения для выборок с n = 30 приближается к нормальному. При дальнейшем увеличении размера выборки до n = 100 распределение выборки следует нормальному распределению.
Мы можем использовать формулу центральной предельной теоремы, чтобы описать выборочное распределение для n = 100.
мкм = 0,1
σ = 0,3
n = 100
Практические вопросы
Часто задаваемые вопросы о центральной предельной теореме
- Что такое нормальное распределение?
При нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. Большинство значений группируются вокруг центральной области, при этом значения сужаются по мере удаления от центра.
Меры центральной тенденции (среднее, мода и медиана) в нормальном распределении точно такие же.
- Каковы три типа асимметрии?
- Правая асимметрия (также называемая положительной асимметрией ) . Распределение с перекосом вправо длиннее справа от пика, чем слева.
- Перекос влево (также называемый отрицательным перекосом). Распределение с асимметрией влево длиннее слева от пика, чем справа.
- Нулевой перекос. Он симметричен, его левая и правая стороны являются зеркальными отражениями.
- Почему образцы используются в исследованиях?
Образцы используются для получения выводов о популяциях . Образцы легче собирать данные, потому что они практичны, экономичны, удобны и управляемы.
org/Answer”>Существует три типа асимметрии:
Цитировать эту статью Scribbr
Если вы хотите процитировать этот источник, вы можете скопировать и вставить цитату или нажать кнопку «Цитировать эту статью Scribbr», чтобы автоматически добавить цитату в наш бесплатный генератор цитирования.
Терни, С. (2022, 10 ноября). Центральная предельная теорема | Формула, определение и примеры. Скриббр. Проверено 18 мая 2023 г., с https://www.scribbr.com/statistics/central-limit-theorem/
Процитировать эту статью
Полезна ли эта статья?
Вы уже проголосовали. Спасибо 🙂 Ваш голос сохранен 🙂 Обработка вашего голоса… Во время учебы в магистратуре и докторантуре Шон научился применять научные и статистические методы в своих исследованиях в области экологии.