Вычисление пределов примеры с корнями с решением: Как решать пределы с корнями, примеры решений

Пределы функций. Примеры решений



 

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

 

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела . 
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ? 
, , , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
 

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает
 

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , , 
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность  , , . Если , то  , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел 

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на 
 

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел 
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на 

Пример 3

Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности  необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

Разделим числитель и знаменатель на 

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

 

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел 
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницуМатематические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материаломГорячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
 

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни: 

 

Таким образом:
 

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

 

Пример 5

Вычислить предел 

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: 
Знаменатель:

, 
 

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно 
В ходе решения фрагмент типа  встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

 

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида 

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел 

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.  Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
 

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: 
И смотрим на наш предел: 
Что можно сказать?  у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое в и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,  мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т. е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность  не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
 

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

 

Пример 7

Найти предел 

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

 

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

 

формула, примеры, как решать, доказательство

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b² − 4ac. Его свойства:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Формула Виета

---

---

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

    

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

    

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

    

2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

    

3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:

    

4. Далее произведем трансформации в числителе:

    

5. Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

    

6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

7. Сократим:

    

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета   Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x

2 + bx + c = 0.

1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

2. Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство.

Значит число m является искомым корнем.

3. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
   
   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

2. Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

3. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.

4. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
5. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

6. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

 

---

---

2+n}-n$

спросил 9 лет, 8 месяцев назад

Изменено 4 года, 11 месяцев назад

Просмотрено 13 тысяч раз

$\begingroup$

Существует ли для этого общая стратегия? Например, я работаю над пределом
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2 + n} – n $$ 92 + n} – n$$

И на самом деле верхнюю границу $1/2$ можно было бы найти тем же методом.