Вычисление пределов примеры с решением: Примеры пределов с решениями

Примеры решения пределами с ответами

Алгоритм решения пределов

Теорема

Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.

Свойства пределов

Если

   

то

   

Если

   

то

   

Если

   

то

   

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений пределов

Пример 1

Задача

Найти предел:

   

Решение

Заменим в выражении аргумент его предельным значением:

   

Ответ

   

Пример 2

Задача

Найти предел:

   

Решение

Заменим в выражении аргумент его предельным значением:

   

Ответ

   

Пример 3

Задача

Найти предел:

   

Решение

Заменим в выражении аргумент его предельным значением:

   

Ответ

   

Пример 4

Задача

Найти предел:

   

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в

Вычисляем передел:

   

Ответ

   

Пример 5

Задача

Найти предел:

   

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в

Вычисляем предел:

   

Ответ

   

Пример 6

Задача

Найти предел:

   

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в

Вычисляем предел:

   

Ответ

   

Пример 7

Задача

Найти предел:

   

Решение

В данном примере знаменатель обращается в нуль при предельном значении аргумента

Преобразуем выражение

   

   

   

Ответ

   

Пример 8

Задача

Найти предел:

   

Решение

При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку Число является наименьшим общим кратным показателей корней.

   

   

Разделим числитель и знаменатель дроби

   

на

В итоге получим:

   

Ответ

   

Пример 9

Задача

Найти предел:

   

Решение

При знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

   

и её предел при

   

Т.к.

   

, то при функция является бесконечно малой, поэтому при является бесконечно большой, а

   

Ответ

   

Пример 10

Задача

Найти предел:

   

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на – высшую степень , встречающуюся в дроби

   

   

При поэтому

   

Ответ

   

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 42

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

46315

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов | Методическая разработка по теме:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЖУКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ В.А. КАЗАКОВА»

        

Рассмотрено на заседании предметной (цикловой) комиссии «Общеобразовательных, естественно-научных и гуманитарных дисциплин»

УТВЕРЖДАЮ Зам. директора по учебной части                                  / М. А.Фофанова /

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности

 160108 «Производство летательных аппаратов»        

Разработал преподаватель                                                Шарова Ж.В.

Жуковский, 2013 г.

---

Содержание

1. Пояснительная записка        

2. Принцип построения программы        

3. Методические рекомендации        

4. Тематическое планирование        

5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»        

7. Заключение        

---

1. Пояснительная записка

Необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной  подготовки. Всё больше специальностей связаны с непосредственным применением математики (физика, химия, биология, экономика, информатика и др.) и ее подразделов, в частности, математический анализ.

Предел функции является одним из базовых понятий математического анализа. Важно дать студентам представление об основных определениях и свойствах пределов, а также методах решения задач, связанных с вычислением пределов функций. Успешное усвоение данной темы позволит упростить в дальнейшем  изучение дифференциального и интегрального исчислений.

На занятиях можно повторить теорию по данному вопросу, рассмотреть основные термины и понятия пределов, отработать навыки решения типовых задач. Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов.

 Каждое занятие предполагает: изучение теоретических основ, решение задач с преподавателем, самостоятельная работа, домашнее задание.

2. Принцип построения программы

         Содержание программы составляют специально подобранные задачи для развития математического мышления.

 Цели курса: 

• формирование у студентов интереса к математике;
• выявление и развитие математических способностей;
• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике математического анализа;
• интеллектуальное развитие студентов;
• формирование понимания основ математического анализа.

---

Задачи:

• дать необходимые знания о сущности пределов;
• сформировать умение производить вычисление пределов;
• научить вычислять пределы функции с различными видами неопределенностей.

Ожидаемые результаты.

В результате обучения студенты должны:

• понимать смысл термина «предел»;
• понимать смысл терминов «бесконечно малые» и «бесконечно большие величины»;
• знать виды неопределенностей;
• знать свойства предела;
• уметь преобразовывать алгебраические выражения для упрощения вычисления пределов;
• уметь использовать в своих вычислениях «первый и второй замечательные пределы».

---

3. Методические рекомендации

При объяснении студентам теоретического вопроса, необходимо доступно изложить определение предела на примере числовой последовательности.

 Обязательным является повторение различных способов преобразования алгебраических дробей для упрощения выражений. Вспомнить такие способы, как вынесение общего множителя за скобку, приведение дроби к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена на множители, домножение на сопряженное значение. Необходимо уделить большое внимание повторению формул сокращенного умножения.

Важно предоставить студентам возможность овладеть  способами преобразования выражений для решения пределов сложных функций, прежде чем перейти к изучению «первого» и «второго замечательного пределов». Устный счет является обязательной составляющей каждого занятия, так как приучает к рационализации вычислений и  аналитической оценке результатов, что имеет значение для более рационального вычисления не только пределов, но и других поставленных задач математического анализа.

 При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу студентов.

 Домашние задания в разумных пределах являются обязательными для более успешного освоения материала.

---

4. Тематическое планирование

№	Наименование разделов, тем, занятий	Кол-во занятий
1	Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности.	2
2	Вычисление предела функции.	2
3	Вычисление предела функции. Упражнения.	2
4	Первый замечательный предел.	2
5	Второй замечательный предел.	2
6	Подготовка к контрольной работе. Решение задач.	2
7	Контрольная работа «Вычисление пределов функции»	2

5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»

Цели и задачи урока:

Понять термин «предел», изучить его свойства и приобрести навыки его вычисления.

Объяснение нового материала:

На примере числовой последовательности с общим членом  () объяснить определение предела.

Предел числовой последовательности ()- объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера.

Перейти к пределу функции.

Объяснить значение бесконечно малой величины и бесконечно большой и изложить свойства предела:

• предел отношения конечной величины к бесконечно малой величине равен бесконечно большой величине;
• предел отношения конечной величины к бесконечно большой равен бесконечно малой величине;
• предел суммы функций равен сумме пределов;
• предел произведения функций равен произведению пределов;
• предел степени с натуральным показателем равен степени предела с таким же показателем;
• постоянный множитель перед функцией можно вынести перед пределом.

Рассказать про основные виды неопределенностей, которые наиболее часто встречаются в поставленных задачах: ( и показать примеры вычисления пределов простых и сложных функций.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

В дальнейшем предоставить студентам возможность решать самостоятельно под контролем учителя.

Примеры:

1.

2.

3.

4. (один из видов неопределенности, поэтому необходимо преобразование выражения для вычисления данного предела)

5.

6.  (для того, чтобы вычислить данный предел необходимо квадратный трехчлен числителя и знаменателя разложить на множители)

7.

8.

9. 

Для решения данного примера, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.

 

10.

В этом случае, числитель домножаем на сопряженное, для того чтобы использовать формулу «разность квадратов» , соответственно на это же выражение домножаем знаменатель и таким образом вычисляем предел.

11.

12.

---

Постановка домашнего задания:

1. Повторить определение предела и его свойства.
2. Решить примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

---

Первый замечательный предел

1.

2.

3.

4.

5.

Второй замечательный предел

1.

2.

---

6. Закрепление материала.

Примеры для самостоятельного решения.

1.

2.

3.  

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

---

17.

18.

19.

20.

---

7. Заключение

Решение задач по теме «Пределы функции» позволяет освоить и закрепить практические навыки работы с различными видами пределов для выражений и функций. По данной теме рассматриваются вычисления пределов для выражений рациональных дробей, тригонометрических и степенных функций. Такой подход позволяет студентам упорядочить базовые знания о пределах, понять свойства замечательных пределов. Опыт, полученный при работе над темой «Пределы функции», послужит в дальнейшем одним из базовых элементов в изучении дифференциального и интегрального исчисления.

Степень (выражения)

“Степень” может означать несколько вещей в математике:

• В геометрии градус (°) — это способ измерения углов,
• Но здесь мы посмотрим, что означает степень в Алгебре .

В алгебре “Степень” иногда называют “Порядком”

Степень многочлена (с одной переменной)

Многочлен выглядит так:

пример многочлена этот имеет 3 члена

Степень (для многочлена с одной переменной, например x ) равна:

наибольший показатель степени этой переменной.

Другие примеры:

4x		Степень равна 1 (переменная без показателя степени фактически имеет показатель степени 1)
4x 3 − x + 3		Степень 3 (наибольшая степень x)
x 2 + 2x 5 − x		Степень 5 (наибольшая степень x)
z 2 − z + 3		Степень 2 (наибольшая степень z)

Названия степеней

Когда мы знаем степень, мы также можем дать ей имя!

Степень	Имя	Пример
0	Константа	7
1	Линейный	х+3
2	Квадратичный	х 2 −x+2
3	Кубический	x 3 −x 2 +5
4	Квартик	6x 4 −x 3 +x−2
5	Квинтик	х 5 −3x 3 +x 2 +8

Пример: y = 2x + 7 имеет степень 1, поэтому это линейное уравнение

Пример: 5w ² − 3 имеет степень 2, поэтому квадратично

Уравнения более высокого порядка обычно сложнее решить:

• Линейные уравнения легко решать
• Квадратных уравнений немного сложнее решить
• Кубические уравнения снова сложнее, но есть формулы в помощь
• Уравнения четвертой степени тоже можно решить, но формулы очень сложные
• Квинтовые уравнения не имеют формул, и иногда может быть неразрешимым !

Степень многочлена с более чем одной переменной

Если многочлен имеет более одной переменной, нам нужно посмотреть на каждый термин . Термины разделяются знаком + или -:

пример многочлена с более чем одной переменной

Для каждого термина :

• Найдите степень по , добавив в нее показатели степени каждой переменной ,

наибольшая такая степень является степенью многочлена.

Пример: какова степень этого многочлена:

Проверка каждого члена:

• 5xy ² имеет степень 3 (x имеет показатель степени 1, y имеет 2 и 1+2=3)
• 3x имеет степень 1 (x имеет показатель степени 1)
• 5 лет ³ имеет степень 3 (y имеет степень 3)
• 3 имеет степень 0 (без переменной)

Наибольшая степень из них равна 3 (на самом деле два члена имеют степень 3), поэтому полином имеет степень 3

Пример: какова степень этого полинома:

4Z ³ + 5Y ² Z ² + 2YZ

Проверка Каждый термин:

• 4Z ³ 3 9999999 ³ 3 999999999 ³ (z имеет показатель степени 3)
• 5y ² z ² имеет степень 4 (y имеет показатель степени 2, z имеет 2 и 2+2=4)
• 2yz имеет степень 2 (y имеет показатель степени 1, z имеет 1 и 1+1=2)

Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4

Записываем

Вместо того, чтобы говорить « степень (чего бы то ни было) равна 3 », мы пишем это так:

Когда выражение является дробью

Мы можем вычислить степень рационального выражения (того, которое имеет форму дроби), взяв степень наверху (числитель) и вычтя степень на дне (знаменатель).

Вот три примера:

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x0

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x1

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=xm1

Вычисление других типов выражений

Предупреждение: передовые идеи впереди!

Иногда мы можем определить степень выражения, разделив …

• логарифм функции на
• логарифм переменной

… затем сделайте это для все больших и больших значений, чтобы увидеть, куда “направляется” ответ.

(Более правильно мы должны вычислить Предел бесконечности ln(f(x)) ln(x) , но я просто хочу, чтобы это было просто).

Примечание: “ ln ” – функция натурального логарифма.

Вот пример:

Пример: Степень 3 + √x

Попробуем увеличить значения x:

x	пер(3 + √х)	Л(х)	пер(3 + √x) пер(х)
2	1. 48483	0,69315	2.1422
4	1.60944	1.38629	1.1610
10	1,81845	2.30259	0,7897
100	2,56495	4.60517	0,5570
1000	3,54451	6.	0,5131
10 000	4.63473	9.21034	0,5032
100 000	5.76590	11.51293	0,5008
1 000 000	6.91075	13.81551	0,5002

Глядя на таблицу:

• , поскольку x становится больше, чем ln(3 + √x) ln(x) все ближе и ближе к 0,60090 0,50098

Таким образом, степень равна 0,5 (другими словами, 1/2)

(Примечание: это хорошо согласуется с x ^½ = квадратный корень из x, см. Дробные показатели степени)

Некоторые значения степени

Выражение	Степень
журнал(х)	0
е х	∞
1 шт.	−1
√х	1/2

 

462, 4003, 2092, 4004,463, 1108, 2093, 4005, 1109, 4006

Предел функции Примеры с ответами

О «пределе функции Примеры с ответами»

Предел функции Примеры с ответами:

Здесь мы увидим несколько примеров вопросов по оценке пределов.

Формулы можно найти на странице “Формулы для оценки пределов”.

Вычисление пределов функции — Примеры

Вопрос 1:

Оценить следующий предел

LIM _{x -> 0} √ (x ² + A ² ) – A /√ (x ² + B ² )) – B

Решение:

= LIM _{x -> 0} √ (x ² + A ² ) – A /√ (x ² + B ² ) – B

Мы. может распределить пределы для числителя и знаменателя.

  =  lim   _{x -> 0}  √ (x ² + A ² ) – A /LIM _{x -> 0} √ (x ² + B ² ) – B

= LIM X-> 0 [x ² ) – B

= LIM X-> 0 [x ² ) +a ² -a ² /√(x ² +a ² )+a)]/[x ² +b ² -b ^{2 90 69×9/0069 +b 2 )+b)]} 

  =  lim x->0 [x ² /√(x ² +a ² )+a)]/[x ² /√(x ² +b ² )+b)] 

  =  lim x->0 [x ² /√(x ² +a ² )+a)] ⋅ [√(x ² +b ² )+b)/x ² ] 

3 0 [√(x

² +b ² )+b)/√(x ² +a ² )+a)]

  =  2b/2a

=  b/2a

=  b/2a 900 значение lim _{x -> 0} √(x ²  + a ² ) – a / √(x ²  + b ² ) – b равно b/a.

Вопрос 2 :

Оцените следующее ограничение

лим _{х-> 0}  (2 arc sinx/3x)

Решение:

   = lim _{x-> 0}  (2 sin ^-1 x/3x)

1 x-9(1 x-9(1 002 / > 3) 0 (sin ^-1 x/x)

  = 2/3

Следовательно, значение lim _{x -> 0}   (2 arc sinx/3x) равно 2/3.

Вопрос 3 :

Оцените следующий предел

lim _{x-> 0} (1 – cos x)/x ²

Решение:

  = lim _{x-> 0}  (2 sin ² (x/2)/(x ² x-9 lim-0 9 lim-> 9/4))

3

3 0

(2/4) sin ² (x/2)/(x/2) ²

  = lim _{x -> 0}  (2/4) (sin(x/2)/(x /2)) ²

  =  (1/2) lim _{x-> 0}  (sin(x/2)/(x/2)) ²

  =  1/2

Отсюда значение lim _{x-> 0}   (1 – cos x)/x ² это 1/2.

Вопрос 4:

Оцените следующий предел

LIM _{x-> 0} (TAN 2x/x)

Решение:

= LIM _{X-> 0} (TAN 2x/X (

= LIM _{X-> 0} (TAN 2x/X (LIM _{X-> 0} (TAN 2x/X ( 2/2))

  =  lim _{x-> 0}  2 (tan 2x/2x)

  =  2 lim _{x-> 0}  (tan 2x/2x)

  = lim 2

900 003 _{x-> 0}   (tan 2x/x) равно 2.

Вопрос 5 :

Оцените следующий предел

LIM _{X-> 0} (2 ^x -3 ^x )/x

Решение:

= LIM _{x-> 0} (2 ^{x = LIM _{x-> 0} (2 x = LIM _{x-> 0} (2 x – 1 + 1 – 3 x )/x}

  =  lim _{x-> 0}  [(2 ^x – 1) – (3 ^x – ^1)]/x

9 = 6 [1 

9 x-> 0  (2 ^x – 1)/x] – [lim _{x-> 0} (3 ^x – 1)/x]

= log 2-log 3

= log (2/3)

Вопрос 6:

Оцените следующий предел

Lim _{x-> 0} (3 ^x -1)/√ (x+1) – 1

Решение:

  =  lim _{x-> 0}  ((3 ^x – 1)/√(x+1) – 1) (√(x+1) + 1 / √(x+1) + 1)

  =  lim _{x-> 0}  ((3 ^x – 1)/((x+1) – 1) (√(x+1) + 1)

  =  lim _{x-> 0}  ((3 ^x – 1)/x) (√(x+1) + 1)

  =  lim _{x-> 0}  ((3 ^x – 1)/x) lim _{x-> 0} (√(x+1) + 1)

  =   log 3 (2)

  =  2 log 3

  =  log 3 ²

  = 1 lim 9 x-6

900 значение 0   (3 ^x  – 1)/√(x+1) – 1 — это log 9.