Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов | Методическая разработка по теме:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЖУКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ В.А. КАЗАКОВА»
Рассмотрено на заседании предметной (цикловой) комиссии «Общеобразовательных, естественно-научных и гуманитарных дисциплин» | УТВЕРЖДАЮ Зам. директора по учебной части / М.А.Фофанова / |
Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности
160108 «Производство летательных аппаратов»
Разработал преподаватель Шарова Ж.В.
Жуковский, 2013 г.
Содержание
1.
Пояснительная записка
2. Принцип построения программы
3. Методические рекомендации
4. Тематическое планирование
5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»
7. Заключение
- Пояснительная записка
Необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной подготовки. Всё больше специальностей связаны с непосредственным применением математики (физика, химия, биология, экономика, информатика и др.) и ее подразделов, в частности, математический анализ.
Предел функции является одним из базовых понятий математического анализа. Важно дать студентам представление об основных определениях и свойствах пределов, а также методах решения задач, связанных с вычислением пределов функций. Успешное усвоение данной темы позволит упростить в дальнейшем изучение дифференциального и интегрального исчислений.
На занятиях можно повторить теорию по данному вопросу, рассмотреть основные термины и понятия пределов, отработать навыки решения типовых задач.
Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов.
Каждое занятие предполагает: изучение теоретических основ, решение задач с преподавателем, самостоятельная работа, домашнее задание.
- Принцип построения программы
Содержание программы составляют специально подобранные задачи для развития математического мышления.
Цели курса:
- формирование у студентов интереса к математике;
- выявление и развитие математических способностей;
- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике математического анализа;
- интеллектуальное развитие студентов;
- формирование понимания основ математического анализа.
Задачи:
- дать необходимые знания о сущности пределов;
- сформировать умение производить вычисление пределов;
- научить вычислять пределы функции с различными видами неопределенностей.
Ожидаемые результаты.
В результате обучения студенты должны:
- понимать смысл термина «предел»;
- понимать смысл терминов «бесконечно малые» и «бесконечно большие величины»;
- знать виды неопределенностей;
- знать свойства предела;
- уметь преобразовывать алгебраические выражения для упрощения вычисления пределов;
- уметь использовать в своих вычислениях «первый и второй замечательные пределы».
- Методические рекомендации
При объяснении студентам теоретического вопроса, необходимо доступно изложить определение предела на примере числовой последовательности.
Обязательным является повторение различных способов преобразования алгебраических дробей для упрощения выражений. Вспомнить такие способы, как вынесение общего множителя за скобку, приведение дроби к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена на множители, домножение на сопряженное значение. Необходимо уделить большое внимание повторению формул сокращенного умножения.
Важно предоставить студентам возможность овладеть способами преобразования выражений для решения пределов сложных функций, прежде чем перейти к изучению «первого» и «второго замечательного пределов». Устный счет является обязательной составляющей каждого занятия, так как приучает к рационализации вычислений и аналитической оценке результатов, что имеет значение для более рационального вычисления не только пределов, но и других поставленных задач математического анализа.
При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу студентов.
Домашние задания в разумных пределах являются обязательными для более успешного освоения материала.
- Тематическое планирование
№ | Наименование разделов, тем, занятий | Кол-во занятий |
1 | Бесконечная числовая последовательность. | 2 |
2 | Вычисление предела функции. | 2 |
3 | Вычисление предела функции. Упражнения. | 2 |
4 | Первый замечательный предел. | 2 |
5 | Второй замечательный предел. | 2 |
6 | Подготовка к контрольной работе. Решение задач. | 2 |
7 | Контрольная работа «Вычисление пределов функции» | 2 |
Предел числовой последовательности.- Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»
Цели и задачи урока:
Понять термин «предел», изучить его свойства и приобрести навыки его вычисления.
Объяснение нового материала:
На примере числовой последовательности с общим членом () объяснить определение предела.
Предел числовой последовательности ()- объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера.
Перейти к пределу функции.
Объяснить значение бесконечно малой величины и бесконечно большой и изложить свойства предела:
- предел отношения конечной величины к бесконечно малой величине равен бесконечно большой величине;
- предел отношения конечной величины к бесконечно большой равен бесконечно малой величине;
- предел суммы функций равен сумме пределов;
- предел произведения функций равен произведению пределов;
- предел степени с натуральным показателем равен степени предела с таким же показателем;
- постоянный множитель перед функцией можно вынести перед пределом.
Рассказать про основные виды неопределенностей, которые наиболее часто встречаются в поставленных задачах: ( и показать примеры вычисления пределов простых и сложных функций.
Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:
- Выявление старшей степени переменной;
- Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:
- Разложение на множители числителя и знаменателя;
- Сокращение дроби.
В дальнейшем предоставить студентам возможность решать самостоятельно под контролем учителя.
Примеры:
1.
2.
3.
4. (один из видов неопределенности, поэтому необходимо преобразование выражения для вычисления данного предела)
5.
6. (для того, чтобы вычислить данный предел необходимо квадратный трехчлен числителя и знаменателя разложить на множители)
7.
8.
9.
Для решения данного примера, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.
10.
В этом случае, числитель домножаем на сопряженное, для того чтобы использовать формулу «разность квадратов» , соответственно на это же выражение домножаем знаменатель и таким образом вычисляем предел.
11.
12.
Постановка домашнего задания:
- Повторить определение предела и его свойства.
- Решить примеры:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Первый замечательный предел
1.
2.
3.
4.
5.
Второй замечательный предел
1.
2.
6. Закрепление материала.
Примеры для самостоятельного решения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
7. Заключение
Решение задач по теме «Пределы функции» позволяет освоить и закрепить практические навыки работы с различными видами пределов для выражений и функций. По данной теме рассматриваются вычисления пределов для выражений рациональных дробей, тригонометрических и степенных функций.
Такой подход позволяет студентам упорядочить базовые знания о пределах, понять свойства замечательных пределов. Опыт, полученный при работе над темой «Пределы функции», послужит в дальнейшем одним из базовых элементов в изучении дифференциального и интегрального исчисления.
3. Пределы функций
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого
понятия предела. Но сначала краткая
историческая справка. Жил-был в 19 веке
француз Огюстен Луи Коши, который заложил
основы математического анализа и дал
строгие определения, определение
предела, в частности. Надо сказать, этот
самый Коши снился, снится и будет сниться
в кошмарных снах всем студентам
физико-математических факультетов, так
как доказал огромное количество теорем
математического анализа, причем одна
теорема отвратительнее другой.
1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела . 2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама
запись
читается
так: «предел функции
при
икс стремящемся к единице».
Разберем
следующий важный вопрос – а что значит
выражение «икс стремится к
единице»? И что вообще такое
«стремится»?
Понятие предела – это
понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала
,
затем
,
,
…,
,
….
То
есть выражение «икс
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся,
что такое
?
Это тот случай, когда
неограниченно
возрастает, то есть: сначала
,
потом
,
потом
,
затем
и
так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ? , , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Если
где-нибудь есть сомнения, то можете
взять в руки калькулятор и немного
потренироваться.
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более
того, у предела есть очень хороший
геометрический смысл.
Для лучшего
понимания темы рекомендую ознакомиться
с методическим материалом Графики
и свойства элементарных функций.
После прочтения этой статьи вы не только
окончательно поймете, что такое предел,
но и познакомитесь с очень интересными
случаями, когда предела функции вообще
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно
нашему правилу попытаемся подставить
бесконечность в функцию. Что у нас
получается вверху? Бесконечность. А что
получается внизу? Тоже бесконечность.
Таким образом, у нас есть так называемая
неопределенность вида
.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем
неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на . Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти
предел
Максимальная
степень «икса» в числителе: 2
Максимальная
степень «икса» в знаменателе: 1 (
можно
записать как
)
Для
раскрытия неопределенности
необходимо
разделить числитель и знаменатель на
.
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 4
Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее
правило: если
в числителе и знаменателе находятся
многочлены, и имеется неопределенности
вида
,
то для ее раскрытия нужно
разложить числитель и знаменатель на
множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
!
Если корень не извлекается нацело
(получается дробное число с запятой),
очень вероятно, что дискриминант вычислен
неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: Знаменатель: ,
Что важного в
данном примере?
Во-первых, Вы должны
хорошо понимать, как раскрыт числитель,
сначала мы вынесли за скобку 2, а затем
использовали формулу разности квадратов.
Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил,
что чаще всего в нахождении пределов
данного типа приходится решать два
квадратных уравнения, то есть и в
числителе и в знаменателе находятся
квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, что помимо многочленов у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда
в числителе (знаменателе) находится
разность корней (или корень минус
какое-нибудь число), то для раскрытия
неопределенности
используют метод
умножения числителя и знаменателя на
сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность
не
пропала (попробуйте подставить тройку),
да и корни тоже не исчезли.
Но с суммой корней
всё значительно проще, ее можно превратить
в постоянное число. Как это сделать? Да
просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Готово.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемыеЗамечательные пределы, с которыми Вы можете ознакомиться в соответствующей статье.
Limits to Infinity Calculator & Solver
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Limits to Infinity . Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
900 06 9а
б
в
г
ж
г
м
n
u
v
w
x
y
z
9 0006 .(◻)
+
–
×
◻/◻
/
÷
◻ 90 069 2
◻ ◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
ln
бревно
бревно 90 099 ◻
lim
d/dx
D □ x
∫
∫ 9006 9 ◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
кроватка
sec
csc
asin
acos
atan
acot
asec
acsc
sinh
cosh 9{n-1}$
$6x+4$
Размножить числитель на $2$
$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2\left(6x-2\right)} {6x+4}\right)$
Фактор знаменателя на $2$
$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{2\left(6x-2\right)}{2\left (3x+2\right)}\right)$
Отменить общий делитель дроби $2$
$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right )$
7
После вычисления числителя и знаменателя предел дает
$\lim_{x\to\infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right)$
Промежуточные шаги
Подставить значение $\infty $ в предел
$\frac{6\infty -2}{3\infty +2}$
Любое выражение, умноженное на бесконечность, стремится к бесконечности
$\frac{\infty -2}{3\infty +2}$
Бесконечность плюс любое алгебраическое выражение равно бесконечности
$\frac{\infty }{3\infty +2}$
Любое выражение, умноженное на бесконечность, стремится к бесконечности
$\frac{\infty }{\infty +2}$
Бесконечность плюс любое алгебраическое выражение равно бесконечности
$\frac{\infty }{\infty }$
8
Если мы непосредственно оцениваем предел $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{6x-2}{3x+2}\right)$ при стремлении $x$ к $\infty $, мы можем видим, что это дает нам неопределенную форму
$\frac{\infty }{\infty }$
9
Мы можем решить этот предел, применив правило Лопиталя, которое состоит в вычислении производной как числителя, так и знаменателя по отдельности
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(6x-2\right)}{\frac{d}{dx}\left(3x+ 2\right)}\right)$
Промежуточные шаги
Найти производную числителя
$\frac{d}{dx}\left(6x-2\right)$
Производная суммы двух или более функций является суммой производных каждой функции
$\frac{d}{dx}\left(6x\right)+\frac{d}{dx}\left(-2\right)$
Производная постоянной функции ($-2$) равна нулю
$\frac{d}{dx}\left(6x\right)$
Производная линейной функции, умноженная на константу, равна константе
$6$
Найдите производную знаменателя
$\frac{d}{dx}\left(3x+2\right)$
Производная суммы двух или более функций равна сумме производных каждой функции
$\frac{d}{dx }\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)$
Производная постоянной функции ($2$) равна нулю
$\frac{d}{dx}\left(3x\right)$
Производная линейной функции, умноженная на константу, равна константе
$3$
Разделить $6$ на $3$
$\lim_{x\to\infty}\left(2\right)$
10
После вычисления числителя и знаменателя предел дает
$\lim_{x\to\infty }\left(2\right)$
11
Пределом константы является только константа
$2$
Окончательный ответ
$2$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Нахождение пределов: свойства пределов
Результаты обучения
- Нахождение предела суммы, разности и произведения.
- Найдите предел многочлена.
- Найдите предел силы или корня.
- Найдите предел частного.
Нахождение предела суммы, разности и произведения
Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть громоздким и занимать много времени. Когда это возможно, более эффективно использовать свойства пределов , которые представляют собой набор теорем для нахождения пределов.
Знание свойств пределов позволяет нам напрямую вычислять пределы. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, возведя предел в эту степень. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых составляющих функций.
A Общее примечание: свойства пределов
Пусть [латекс]а,к,А[/латекс] и [латекс]В[/латекс] представляют действительные числа, а [латекс]f[/латекс] и [латекс ]g[/latex] — функции, такие, что [latex]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=A[/latex] и [latex]\underset{ x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=B[/latex]. Для пределов, которые существуют и являются конечными, свойства пределов суммированы в таблице ниже.
| Константа, к | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}k=k[/latex] |
| Постоянное время функции | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[k\cdot f\left(x\right)\right]=k\underset{x\to a}{\mathrm{ lim}}f\left(x\right)=kA[/latex] |
| Сумма функций | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=A+B[/latex] |
| Различие функций | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=AB[/latex] |
| Произведение функций | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=A\cdot B[/latex ] |
| Коэффициент функций 9{n}[/latex], где [latex]n[/latex] — целое положительное число | .|
| n -й корень функции, где n — натуральное число | [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ sqrt [n] {f \ left (x \ right)} = \ sqrt [n] {\ underset {x \ to a} { \mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)\right]}=\sqrt[n]{A}[/latex] |
| Полиномиальная функция | [латекс]\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}p\left(x\right)=p\left(a\right)[/latex] |
Пример 1. Алгебраическое вычисление предела функции
Вычислить [латекс]\занижение{х\до 3}{\mathrm{lim}}\влево(2x+5\вправо)[/латекс].
Показать решение
Попробуйте
Оцените следующий предел: [латекс]\занижено{х\до -12}{\mathrm{lim}}\влево(-2x+2\вправо)[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Нахождение предела многочлена
Не все функции или их пределы предполагают простое сложение, вычитание или умножение. Некоторые могут включать полиномы.
Напомним, что многочлен — это выражение, состоящее из суммы двух или более слагаемых, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе. Кроме того, предел полиномиальной функции при приближении [latex]x[/latex] к [latex]a[/latex] эквивалентен простому вычислению функции для [latex]a[/latex] .
Как: Для заданной функции, содержащей многочлен, найти ее предел.
- Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.
- Найдите пределы отдельных терминов.
- Сложите ограничения вместе.
- В качестве альтернативы оцените функцию для [latex]a[/latex] . 9{3}+5\вправо)[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Нахождение предела степени или корня
Когда предел включает в себя степень или корень, нам нужно другое свойство, которое поможет нам оценить его.
Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней. 9{2}+6x+8}{x – 2}\right)[/latex] , можем ли мы определить предел функции, когда [latex]x[/latex] приближается к [latex]a[/latex] ?Да. Некоторые функции можно алгебраически переставить, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.
Нахождение предела частного
Нахождение предела функции, выраженной в виде частного, может оказаться более сложной задачей. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела. Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить. 9{2}-11x+28}{7-x}\справа)[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Пример 6.
Оценка предела частного путем поиска ЖК-дисплея }{x}-\frac{1}{5}}{x – 5}\right)[/latex].Показать раствор
Попробуйте
Вычислите [латекс]\underset{x\to -5}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}} {10+2x}\справа)[/латекс].
Показать раствор
Как сделать: Учитывая предел функции, содержащей корень, используйте сопряжение для оценки.
- Если частное не находится в неопределенной форме [латекс]\влево(\фракция{0}{0}\вправо)[/латекс], оценить напрямую.
- В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одно частное, используя наименьший общий знаменатель (НОД) .
- Если в числителе есть корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на сопряженное числителя. Напомним, что [latex]a\pm \sqrt{b}[/latex] являются сопряженными.
- Упростить.
- Оцените полученный предел.
Пример 7. Вычисление предела, содержащего корень, с помощью сопряжения {x}\right)[/latex].
Показать раствор
Попробуйте
Оцените следующий предел: [латекс]\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{\sqrt{16-h}-4}{h}\right )[/латекс].
Показать раствор
Попробуйте
Пример 8. Оценка предела частного функции с помощью факторизации
Оценить [латекс]\underset{x\to 4}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{4-x}{\sqrt{x}-2}\right)[/latex].
Показать раствор
Попробуйте
Оцените следующий предел: [латекс]\underset{x\to 3}{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{x – 3}{\sqrt{x}-\sqrt{3) }}\справа)[/латекс].
Показать раствор
Как: Имея частное с абсолютными значениями, оценить его предел.
- Попробуйте разложить или найти ЖК-дисплей.
- Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена.
Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней. 9{2}+6x+8}{x – 2}\right)[/latex] , можем ли мы определить предел функции, когда [latex]x[/latex] приближается к [latex]a[/latex] ?
Оценка предела частного путем поиска ЖК-дисплея }{x}-\frac{1}{5}}{x – 5}\right)[/latex].
