Главная
Вычисление производной сложной: Производная сложной функции (u(v(x))’

Вычисление производной сложной: Производная сложной функции (u(v(x))’

Содержание

Производная сложной функции. Вычисление производных сложных функций.

 

                                                                    План

                                               проведения открытого урока № 5

 

 

Дата:

 

Группа:

 

Дисциплина: Математика

 

Раздел  дисциплины: Математический анализ.

 

Тема дисциплины 1.1 Дифференциальное исчисление.

 

Тема занятия: Производная сложной функции. Вычисление производных сложных

                           функций.

 

Тип учебного занятия: Комбинированное занятие.

 

Цели занятия:

 

Предметные:           Обобщить и систематизировать знания о производной, отработать

                                    навыки вычисления производной. Сформировать понятие

                                    производной сложной функции.

Закрепить

      умение производить вычисления по формулам.

 

Метапредметные:  Формировать умение воспринимать и осмысливать знания в готовом

                                    виде, умение выделять главное. Развивать умение работать в

                                    должном темпе, приемы запоминания.

 

Личностные:           Формировать познавательную потребность, стремление к глубокому

      усвоению материала, стремление к высокому качеству результатов

      труда.

 

 

 

Межпредметные связи:

 

Обеспечивающие дисциплины: Математика.

Обеспечиваемые дисциплины: Техническая механика. Устройство автомобилей.

 

Методы: словесные – лекция; практические – решение упражнений по образцу;

                               наглядные с использованием презентации и раздаточного материала.

     

      Демонстрационный материал:

  1. Компьютер.
  2. Оргтехника.
  3. Презентация к уроку.

 

Раздаточный материал:

  1. Карточки с заданиями для индивидуальной работы.
  2. Комплект заданий для устной работы.
  3. Карточки для самостоятельной работы.

 

ХОД ЗАНЯТИЯ:

 

  1.  Организационно-мотивационная часть (10 минут).

  

1.       Приветствие.

2.       Сообщение темы занятия.

3.       Постановка цели занятия.

4.       Письменный опрос у доски (2 человека).

5.       Письменный опрос на местах (4 человека).

6.       Первый ряд пишет наизусть формулы из таблицы производных.

7.       Фронтальный опрос.

8.       Проверка домашнего задания.

9.       Сбор решенных заданий.

 

  1.  Устная работа (задания на экране) (10 минут).

 Вычислить производные функций   (работает вся группа).

 

  1.  Самостоятельная работа (10 минут).

Вычислить производные функций.

(проверка преподавателем решенных ранее заданий).

 

  1.  Объявление результатов проверки заданий, решенных ранее. (2 минуты).

 

  1. Актуализация опорных знаний. (2 минуты).

 

  1.  Изложение нового материала. (20 минут).

 

  1. Закрепление (32 минуты).

Мини-тренинг с использованием элементов проблемного обучения и метода мозгового штурма.

Вычислить производные сложных функций.

 

  1. Домашнее задание. (2 минуты).

 

  1. Подведение итогов занятия. (2 минуты).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛЕКЦИОННЫЙ  МАТЕРИАЛ:

 

Производная сложной функции.

 

1.     Сложная функция.

 

 Понятие сложной функции широко используется в математике. Со

 сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов.

           Пусть заданы две функции  и  , причем область определения функции  содержит множество значений функции . Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функции  и , или суперпозицией функций  и .

           Например, функция  есть сложная функция, составленная из более простых функций  и .

           Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций. Например, функция  может быть рассмотрена как суперпозиция следующих функций:

, , .

 

   Пример. Для функций  и  составьте .

 

            Используя определение сложной функции, получаем:

 

 

           Рассмотренный пример показывает, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще говоря,  если .

 

2.     Производная сложной функции.

 

           Теорема. Пусть функция , , имеет производную в точке , а функция  определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле  или, опуская значение аргументов,

.

 

Примеры:

 

Найти производные следующих функций:

 

1. .

 

Решение:

 

 Полагая  и , применяя правило дифференцирования сложной функции, имеет:

 

 

2. .

 

Решение:

 

Полагая , найдем, используя соответствующие формулы:

 

.

 

3.

 

Решение:

 

Полагая , найдем:

 

.

 

 

4. ;

    .

 

5. .

.

 

6. Найти производную функции  при данном значении

    аргумента:

                            

.

 

7.   ;                                      ;

 

;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

 

Мозговой штурм

 Мозговой штурм (мозговая атака, брейнсторминг, brainstorming) включает в себя два этапа:

1.      Группа выдвигает идеи по заданной теме. Все идеи фиксируются, в том числе на первый взгляд абсурдные. Критиковать нельзя.

2.      Оценка и развитие идей. Отбор лучших идей.

Суть метода — в отделении процесса генерации идей (первый этап) от их анализа и отбора (второй этап).

Подготовка мозгового штурма

Сформируйте группу генераторов идей (как правило, 5-10 человек).

Это должны быть творческие люди, обладающие подвижным, активным умом.

Сформируйте экспертную группу, которой предстоит подвергнуть анализу все выдвинутые идеи и отобрать лучшие. На практике нередко сами генераторы, завершив выдвижение идей, выступают как эксперты. В рекламных агентствах в роли эксперта выступает креативный директор.

За день-два до штурма разошлите участникам оповещение о штурме с кратким описанием темы и задачи (бриф). Возможно, кто-то придёт с готовыми идеями.

Подготовьте всё необходимое для записи идей и демонстрации списка. Варианты:

Доска и мел

Листы бумаги на планшетах и фломастеры

Разноцветные стикеры

Ноутбук в связке с проектором

Назначьте ведущего мозгового штурма. В большинстве случаев ведущий известен изначально, он и организует брейнсторминг.

Выберите одного или двух секретерей, которые будут фиксировать все идеи.

Назначьте продолжительность первого этапа. Обычно около часа, в креативных агентствах, конечно, дольше. Ведь генерация идей — их основная работа.Участники должны знать, что время ограничено, и им необходимо выдать как можно больше идей в сжатые сроки. Это активизирует, заставляет выложиться. Чёткий тайминг — такое же обязательное условие для участников штурма, как длина дистанции для бегунов.

Поставьте задачу. Что конкретно нужно получить в результате мозговой атаки? Запишите задачу так, чтобы она всё время была на виду. Формулировка задачи и полезная информация содержатся также в брифе, который роздан в печатном виде.Участники должны чётко представлять, зачем они собрались и какую проблему собираются решить. В мозговой атаке приветствуется сумятица идей, но не сумятица задач.

Проведение мозгового штурма

1. Этап генерации идей (Фаза «мечтателя»)

Спустите фантазию с поводка! Пусть каждый выдвинет как можно больше идей. Приветствуются озарения и необузданная фантазия в альтернативных направлениях. Можно высказывать безответственные, причудливые, прикольные, нелепые идеи. Самые лучшие — это сумасшедшие идеи. В глазах современников Галилей тоже, наверное, нёс ахинею.

Каждая идея полезна уже потому, что она стимулирует другие. Стремитесь развивать, комбинировать и улучшать высказанные ранее идеи, получать от них новые ассоциативные идеи.

Создатель метода мозгового штурма Алекс Осборн (Alex F. Osborn) говорил: «Количество идей переходит в качество. В каждой идее есть рациональное зерно».

Высказывайте свои идеи без доказательств и объяснений. Излагайте идеи кратко, в нескольких словах. Тем не менее, ведущий и группа должны понять суть предложения. Если это не так, ведущий помогает автору сформулировать идею под запись.

Записываются все идеи. Нет плохих идей! Все идеи приветствуются. На первом этапе количество идей предпочтительнее качества. Осборн говорил: «Количество, количество и ещё раз количество, вот девиз дня. Чем больше попыток, тем больше вероятность попадания в цель».

Критика идей на этапе генерации абсолютно запрещена. Наложено табу на реплики: «Это глупо», «Детский лепет», «Ерунда», «Это невозможно», «Мы делали это раньше, но безрезультатно» и т. п. Критика запрещается даже в форме жестов, ироничных взглядов и скептических усмешек. Иначе у генераторов может пропасть всякая охота генерировать.

В агентстве Saatchi & Saatchi запрещалось использовать словосочетание «Да, но…». Вместо него надо было говорить «Да, и…».

Приветствуются юмор, смех. Поддерживайте и создавайте атмосферу уважительного радостного общения умных и остроумных, заинтересованных в хорошем решении людей.

Прямолинейное мышление не может обнаружить скрытые идеи, лежащие в стороне. Вместо того, чтобы напрягаться, расслабьтесь, смейтесь, и такое дурачество поможет вам двинуться в новом направлении.

Самый интересный момент штурма — наступление пика, ажиотажа, когда идеи начинают просто фонтанировать. Происходит непроизвольная генерация гипотез участниками. Этот пик был теоретически обоснован Зигмундом Фрейдом в работах о бессознательном.

Правильный сеанс мозгового штурма — особое психологическое состояние группы, когда думается без волевых усилий и принимается во внимание «всё, что придёт в голову». Такое состояние оказывается продуктивным, поскольку позволяет использовать подсознание человека — мощный ресурс творческого мышления.

После завершения активной фазы генерации участники штурма коллективно редактируют список наработанных идей. На этом этапе уже возможно полукритичное отношение к ним и расширение списка новыми идеями, возникшими в процессе редактирования.

«Сухой остаток» первого этапа — начерно отредактированный список идей, зафиксированных кратко, торопливо. Из этой «руды» предстоит извлечь бриллиант. Или несколько бриллиантов.

Перерыв.

2. Этап оценки идей (Фаза «реалиста»)

Самая лучшая идея — та, которую вы рассматриваете сейчас. Анализируйте её так, как будто других идей нет вообще. Это правило подразумевает предельное внимание к каждой записанной идее.

Хотя критика уже не возбраняется, она должна быть конструктивной. Постарайтесь найти рациональное зерно в каждой идее. Если время позволяет, на этапе оценки лучше не спешить.

Используйте метод контрольных вопросов.

Как минимум, каждую идею желательно протестировать по краткому вопроснику типа:

Решение в рамках закона?

Идея реализуема до 10 июня?

Разумны ли предполагаемые затраты?

Каким образом данная идея, если её реализовать, провалится?

Когда есть бриф, общий критерий такой: идея по брифу или не по брифу? Решающее слово в оценке идей принадлежит креативному директору.

Развивайте идеи. Группируйте их в тренды. Пытайтесь «поженить» элементы разных гипотез. Иногда самые лучшие идеи получаются в результате объединения двух менее ярких предложений. Креативность превосходно проявляет себя не только при создании новых идей, но и в работе с уже имеющимися.

Используйте морфологический метод: не поленитесь начертить таблицу по типу таблицы футбольного чемпионата, где каждой команде,. . — то есть идее — предстоит «сыграть» с каждой.

 

 

Помечайте идеи вашего списка:

+ + очень хорошая, оригинальная идея

+ неплохая идея

0 не удалось найти конструктива

Отбросьте явно банальные, тупиковые, неплодотворные идеи.

Считается, что лишь 10-15% идей оказываются приемлемыми, зато среди них встречаются весьма оригинальные. Ценно, если «выжившие» идеи выстраиваются в логичную цепь — рекламную кампанию.

Ведущий мозговой атаки:

Ведущий (фасилитатор, модератор) поочередно даёт слово генераторам идей, чтобы они не галдели все одновременно. Следит, чтобы все участники штурма имели равную возможность высказаться. Ведущий может вносить свои идеи наравне со всеми.

Корректно, но решительно пресекает критику идей, которая почти всегда непроизвольно возникает, особенно поначалу. Типичные фразы idea killers (убийц идей), и как на них нужно отвечать:

— Из этого ничего не выйдет. — «Конечно, если не развивать эту идею, из неё ничего не получится».

— Это не работает — «Но идея ведь неплохая?»

— Это чересчур — «И что?»

— Клиент никогда это не одобрит — «А что если одобрит?»

— Ну и что в этом оригинального? — «То, что это раньше никто не предлагал».

— Кто угодно может придумать такое — «Точно!»

Ведущий обеспечивает непрерывность выдвижения идей. Он всеми мерами не допускает зажима «плохих» идей, снимает боязнь участников «ляпнуть что-нибудь не то». Доброжелательность ведущего стимулирует рождение новых идей у членов группы. Но он не должен слишком хвалить даже явно удачные гипотезы, чтобы не нарушить равенство участников штурма.

Ведущий следит за регламентом. Напоминает, сколько времени осталось до конца сеанса. Тактично останавливает креатора, который высказывает свою идею дольше полуминуты. Мозговой штурм — это интенсивный, быстро протекающий творческий процесс.

Искусство ведущего мозговой атаки заключается в умении раскрепостить мышление членов творческой группы, вдохновить их на свободное самовыражение.

 

Что может и чего не может мозговой штурм

Метод мозгового штурма эффективен:

При решении задач, которые не имеют однозначного решения, и задач, где решения требуются нетрадиционные. Таковы все задачи по созданию рекламного креатива.

Когда необходимо быстро найти выход из критической ситуации.

Везде, где нужно получить много идей за короткое время. Методика мозгового штурма универсальна.

Несовершенство метода заключается в том, что поиск идей идёт случайным образом, наобум. Вы никогда не останетесь совсем без идей. Но нет гарантии, что среди ваших решений окажется действительно превосходное.

Метод мозгового штурма — эффективная помощь в генерации идей. Но он не замещает целиком творческий процесс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Технология проблемного обучения

 

         Под проблемным обучение понимается такая организация учебных занятий, которая предлагает создание под руководством преподавателя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие  мыслительных способностей.

Уникальность проблемного обучения состоит в его многофункциональности, эффективном решении следующих задач:

            стимулирование внутренней мотивации учения;

            повышение познавательного интереса;

            формирование самостоятельности;

            развитие творческих способностей, воображения;

            создание условия для самоопределения в профессиональной образовательной    сфере;

            развитие коммуникативных навыков;

            прочное изучение изученного;

            формирование убеждений;

овладение первичными навыками исследовательской деятельности.

            Структура, состоящая из следующих элементов:

            учебная проблема, вызывающая соответствующую (проблемную) ситуацию;

            гипотеза или предположения по ее разрешению;

            обоснование выдвинутой гипотезы, т. е. различного рода доказательства          (теоретическое, экспериментально-практическое, фактическое;)

            Вывод.

            Этот блок элементов является основным и называется проблемно-структурированным блоком (ПСБ).

Исследовательская работа являет собой самый высокий уровень, при котором обучающиеся самостоятельно выдвигаю проблему и решают ее. Этому уровню соответствует исследовательский метод, форма реализации которого – проблемные практические и теоретические задания.

            Частично-поисковый уровень предполагает выдвижение проблемы (проблемной ситуации) преподавателем, а решение предлагается найти обучающимся самостоятельно под руководством преподавателя. Это средний уровень проблемности, он может быть организован методом эвристического диалога, форма реализации которого – беседа эвристического характера.

            Самый низкий уровень проблемности – проблемное изложение, в ходе которого преподаватель сам выдвигает проблему, создавая у студентов проблемную ситуацию, сам выдвигает гипотезу и сам доказывает. Метод, соответствующий этому уровню, так и называется – проблемное изложение; форма его реализации – лекция проблемного характера.

            Проблемная ситуация – основная категория проблемного обучения.

            Обнаружение противоречий и осознание их как трудностей в проблемной ситуации должно сопровождаться возникновением интереса.

            Проблемная ситуация – это психическое состояние обучающегося, в которой он:

1)      видит противоречия, какие-либо несоответствия;

2)      осознает их как трудности, преодоление которых требует новой информации;

3)      хочет разрешить данные противоречия.

В результате возникновения проблемной ситуации в сознании обучающихся (студентов) формулируется проблема. Она, как правило, реализуется в форме вопроса, причем чем глубже сформулирована проблема, тем острее интерес к ней, а следовательно, и успешнее ее разрешение.

Этапы построения проблемного занятия:

1)      актуализация опорных знаний;

2)      анализ проблемного задания;

3)      вычленение проблемы;

4)      выдвижение всевозможных предположений;

5)      сужение поля поиска;

6)      доказательство рабочих гипотез;

7)      проверка правильности решения.

Этап 1-й, актуализация опорных знаний. Цель: вспомнить и актуализировать имеющиеся знания (что мы знаем или должны знать?).

            Путь реализации: фронтальный опрос, рассказ-вступление, решение задачи, индивидуальный устный ответ с последующими необходимыми уточнениями и добавлениями.

            Результат: наличие у студентов опорных знаний, необходимых для осмысленного восприятия противоречий.

Спектр изменений личности студента: формируется умение соотносить ответы с образцом, четко формулировать ответы, управлять своим вниманием, развивать стремление к взаимопомощи и оказанию поддержки.

Этап 2-й, анализ проблемного задания. Цель: понять начальные условия. (Почему это происходит?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, изложение преподавателя, постановка проблемного опыта.

Результат: понимание существования, наличия какого-то несоответствия.

Спектр изменений личности студента: формируется умение ответственно относиться к своей позиции и сопоставлять ее с позицией другого, корректировать свою точку зрения.

Этап 3-й, вычленение проблемы. Цель: выявление сути противоречия. (В чем наше затруднение? Что мы не знаем?)

Путь реализации: работа в группах («мозговой штурм»), индивидуальные суждения-выступления, коллективное обсуждение, изложение преподавателем.

Результат: вербальная формулировка проблемы.

Спектр изменений личности студента: формируется развитие логического мышления, вербализация перехода от анализа противоречия к поиску направления его разрешения, самостоятельность суждений, развитие навыков интеллектуального взаимодействия с партнерами по образовательному процессу.

Этап 4-й, выдвижение возможных предположений. Цель: выдвижение предположений по решению проблемы. (Как можно ответить на вопрос, какие могут быть гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, «мозговая атака», индивидуальные суждения, предположения, выдвинутые преподавателем (изложение).

Результат: наличие ряда гипотез.

Спектр изменений личности студента: проявляется гибкость мышления, формируется умение мысленно прослеживать путь решения, аналитико-прогностические умения.

Этап 5-й, сужение поля поиска. Цель: проработать каждое из выдвинутых предложений с целью отсева неперспективных. (Какие гипотезы неперспективны?  Какие более  перспективны?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, групповая работа, индивидуальные суждения, изложение-рассуждение преподавателя.

Результат: сужение поля поиска решения, определение рабочей гипотезы.

Спектр изменений личности студента: формируется умение делать эскизные проект решения проблемы, анализировать перспективность гипотез, определять недостатки и достоинства предложений, несмотря на их авторство.

Этап 6-й, доказательство рабочих гипотез. Цель: доказать рабочую гипотезу. (Какое теоретическое или практическое обоснование мы можем предложить? Как доказать справедливость выдвинутой гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, последовательное проведение доказательства несколькими студентами или представителем группы. Доказательство гипотезы самим преподавателем (мини-лекция, объяснение). Коллективное доказательство под руководством преподавателя (фронтальная беседа).

Результат: наличие стройной системы доказательство и уяснение ее сути.

Спектр изменений личности студента: формируется умение формулировать и выстраивать логику доказательства, конструировать цепочку причинно-следственных связей, выстраивать свою позицию и быть готовым к ее коррекции или замене.

Этап 7-й, проверка гипотез. Цель: осуществить рефлексию проделанной работы, сделать вывод. (Как проверить правильность решения? Или: Как доказать правильность доказательства?)

Пути реализации: задание (на поэтапную проверку правильности выполненных действий, соотнесение начальных условий с характером и содержанием решения и т.д.). Упражнения (на проверку правильности вывода путем переноса его на другие аналогичные исходной, ситуации).

Результат: убежденность в правильности полученного вывода.

Спектр изменений личности студента: формируется способность к объяснению, оценке собственных действий, убежденность.

Ранее мы указывали на существование трех уровней проблемности: 1) низкий, 2) средний, 3) высокий.

При реализации первого уровня преподаватель сам формулирует проблему, показывает противоречия, формулирует задание или вопрос, сам выдвигает гипотезу, обосновывает и доказывает ее, делает вывод.

На втором уровне преподаватель лишь формулирует проблему, создавая проблемную ситуацию, а студенты под его руководством выдвигают гипотезы, стремятся доказать их, делают вывод.

На третьем уровне преподаватель организует обучение таким образом, что студенты сами обнаруживают противоречия, сами выдвигают и доказывают гипотезы, делают выводы.

Каждому уровню соответствует свой метод. Первому соответствует метод проблемного изложения, чаще всего реализуемый в форме проблемной лекции. Второму уровню соответствует метод эвристической беседы, который чаще всего используется на семинарских и практических занятиях. Третьему – исследовательская работа, доминирующая на практических занятиях.

При чередовании этапов (преподаватель – студенты – преподаватель – студенты) можно получить второй уровень проблемности, реализуемый через беседу проблемного характера. Если же все этапы реализуются самими студентами при минимальной необходимой помощи преподавателя, то имеем третий уровень проблемности – исследовательскую работу. Если все этапы указанной выше схемы реализуются через изложение преподавателя, то получаем проблемную лекцию, соответствующую первому уровню проблемности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ЛИТЕРАТУРА

 

Основные источники:

 

1.  Омельченко В.П. «Математика», Ростов-на-Дону, «Феникс»,2005 г.

2.  Дадаян А.А. «Математика», Москва, «ФОРУМ-ИНФРА-М», 2003г.

  3.  Богомолов Н.В. «Математика», Москва, «Дрофа», 2005г.

 

Дополнительные источники:

 

1.   Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Москва, 

       изд. «Высшая   школа», 2002г.

2.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. « Высшая математика

     в упражнениях и задачах». Москва, ОНИКС 21 век. «Мир и

     образование», 2002г.

 

Интернет-ресурсы:

www.exponenta.ru – Образовательный математический сайт

www.math34.ru  – Математический анализ.

http://www.allmath.ru- Математический портал

 


 ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Раздаточный материал для студентов.

1.

  1. Письменный опрос у доски 2 человека.

1)       при х=-2;

2)        при у=1.

 

 

  1. Письменный опрос на местах 4 человека.

      Найдите частные производные функций:

1. а)  ;    б)        при х=0;   

2. а)   ;       б)         при х=1;                 

3. а)  ,  ;    б)    ;

4. а)                    б)   ,    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите значение производной функции

 

 

 

 

 

  при х=-2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

———————————————————————————————————————

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите значение производной функции

 

 

 

 

 

 

 

при х=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить производные функций:

 

 

1. ;      

                                                  

             2.               при х=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

————————————————————————————————-

 

 

 

 

 

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.;

 

 

2.       при х=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.       

 

2.  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

———————————————————————————————————————

 

 

 

 

 

Вычислить производные функций:

 

 

 

 

1.                                   

 

2.                               

 

 

 

 

 

 

 

 7.  Фронтальный опрос.

      Содержание опроса:                                                    

                  а) Дайте определение производной.

                  б) В чем состоит физический смысл производной?

                  в) В чем состоит геометрический смысл производной?

                  г) Как называется операция нахождения производной?                            

                  д) Перечислите правила дифференцирования.

                  е) Как найти производную суммы или разности нескольких функций?

                  ж) Как найти производную произведения двух функций?

                  з)  Как найти производную частного двух функций?

 

 

2.

 Устная работа (задания на экране).

 Вычислить производные функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

      Самостоятельная работа

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

1 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

 

1.   

 

 

2.   

 

 

 

 

 

———————————————————————————————————————

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

2 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.        

 

2.       .

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

3 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

1.       ;

 

 

2.      .

 

 

 

 

 

———————————————————————————————————————

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

4 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

 

1.       ;

 

 

2.       .

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

5 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

 

1.       ;

 

 

2.                                                     

 

 

 

 

—————————————————————————————

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

6 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

 

1.        ;

 

2.       .

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

7 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.        ;

 

 

2.        

 

 

 

 

 

—————————————————————————————

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

8 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.    ;

 

 

2.      .

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

9 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.     ;

 

 

2.     .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

 

10 вариант.

 

Вычислить производные функций:

 

 

1.                  ;

 

 

2.    .

 

 

 

 

 

      

6.  Изложение нового материала

    Содержание:   а)  Определение производной сложной функции.                            

           б)  Примеры производных сложных функций.

           в)  Правило вычисления производной сложной функции.

           г)  Методика вычисления производных сложных функций.

 

     7. Закрепление: мини-тренинг с использованием элементов технологии мозгового

            штурма:

 

            Вычислить производные сложных функций:                                                             -33

 

               1)                          ;

                       

   ;                                         ;

 

                                

;                                                .

 

 

 

8. Домашнее задание:

а) Выучить теорию.

б) Вычислить производные сложных функций: 

 

 

 

 

 

 

                                                  

           

 

9. Подведение итогов занятия:

      Кратко обобщить информацию, сделать выводы по занятию.                            

Оценка работы группы в целом и отдельных студентов.

 

 

 

 

 

Преподаватель                                                                   Е.Ю. Богина

 

 

 

 

           

      

Вычисление производных сложных функций

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

 

Дифференцирования сложной функции: .

Обратим внимание на запись . Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию будем называтьвнешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.Под синусом находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть сумма, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя.

В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.

Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.

Представим, что нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что необходимо вычислить в первую очередь?В первую очередьнужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией . Во вторую очередьнужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией .

После того, как разобралисьс внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .

Сначаланаходим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.

Очевидно, что

Результат в чистовом оформлении выглядит так:

Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2.Найти производную функции

Решение.Записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен и есть внутренняя функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз:любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.

Пример 3. Найти производную функции а) ; б)

Решение.

а)

б) .

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: .

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Читайте также:

Сложная функция. Производная сложной функции – методическая разработка для учителей, Маукешева Менсулу Бурангалиевна

Общая цель:

1) образовательная – сформировать понятие сложной функции, изучить алгоритм вычисления производной сложной функции, показать его применение при вычислении производных.

2) развивающая – продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.

3) воспитательная – воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических  зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.

Ожидаемый результат:

– Знает формулы сложных функций, алгоритм вычисления производной сложной функции.

– Умеет применять их при вычислении производных .

– Уметь применять применение формул из сайта BilimLand.kz в разных ситуациях.

– Уметь представлять и защищать индивидуальные задания.

Тип урока:

Комбинированный с применением элементов 7 модулей, Элементы Полиязычья в обучении  и ресурсов BilimLand.kz, ресурсы: iTest.kz, Видеоколлекция. Математика, Познавательные фильмы. видео Большие люди (Эйлер).

Задания:

Карточки с упр. из сайта BilimLand.kz, карточки с формулами, упражнения для выполнения заданий.

Источники, оснащение и оборудование, ресурсы:

BilimLand. kz: Видеоколлекция + iTest.kz + Начальная математика + Познавательные фильмы.

Компьютер, проектор, ноутбуки на каждой парте, планшет, смартфоны, стикеры, карточки для светофора, листы оценивания, критерии оценивания светофора и заданий iTest.kz, девиз, тема урока, итог урока на русском, казахском и английском языках, бэйджики.

Ход урока

Этапы урока

Действия учителя

Ресурсы и модули

Действия учеников

Вводная часть

2 мин

1. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята!

Стратегия «пять пальцев»

Сегодня будем продолжать работать в парах.

Обращение внимания учащихся на  листы оценивания по критериям, которые выполняют оценивание взаимно.

Повторить критерии оценивания по светофорам.

Выдающий русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) однажды заметил, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». С одним из таких инструментов мы с вами познакомились – это производная. Сегодня на уроке мы продолжаем изучать  тему «Производная» и наша задача рассмотреть новый вопрос «Производная сложной функции», т. е. мы выясним, что такое сложная функция и как вычисляется ее производная. И нам  снова будет помогать сайт BilimLand.kz. Хочу напомнить, что это онлайн образовательный портал для дошкольной подготовки младших классов, средних классов и старших классов.  BILIM – знание. Материалы сайта помогут подготовиться к различным экзаменам, ВОУДу и ЕНТ, повторить забытый материал за предыдущие классы. Цель сайта – сделать качественное образование доступным для всех.

Создание коллаборативной среды

Модуль Новые подходы, Парная работа

Вовлечение всех

 

 

 

Модуль Лидерство

Учащиеся приветствуют учителя.

Поднимают палец

 

Слушают

 

Читает Кристина

5 минут

3. Актуализация знаний учащихся. 

Проверка пройденного материала – Горячий стул (Знание основных формул производной)

Проверка дом задания заранее на доске, а другой из класса проверяет (красным мелом). Задания из вариантов итоговой аттестации (экзаменационный материал)

Вариант 13 и14 (3)

  1. Найдите производную функции  
  1. Найдите производную функции  

Найти производную функции.

Теперь давайте вспомним, как вычисляется производная различных функций. Для этого вы должны выполнить 7 заданий. К каждому заданию предложены варианты ответов, зашифрованные буквами. Правильное решение каждого задания позволяет открыть нужную букву фамилии ученого, который ввел обозначение y‘, f ‘(x).

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. 

Видеоколлекция. Телевизионные программы. Большие люди. 28. Айтеке би Байбекулы. Леонард Эйлер. Мария Тальони Белоусова Женя

iTest.kz

Понятие производной. Производная основных функций

Каждая пара учащихся выбирает задание и решает, готовятся отвечать на основном экране. Другие оценивают.

В Листы оценивания заносятся баллы.

Модуль Критическое мышление

iTest.kz

модуль ИКТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диалоговое обучение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль «Талантливые и одаренные»

модуль «ИКТ»

 

Отвечает  кто на «горячем стуле», остальные задают вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решают и прикрепляют соответствующую букву

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слушают и задают вопросы, оценивают светофором

 

А теперь прочитаем тему урока

Тема урока:

Сложная функция. Производная сложной функции.

Күрделі функция. Күрделі функцияның туындысы.

Complex function. Derivative of complex function. 

Наш девиз урока:

BilimLand, iTest, Twig.kz

С вами к знаниям нам преграды нет!

 

BilimLand, iTest, Twig.kz

Сіздермен бірге бізге білімге кедергі жоқ!

 

BilimLand, iTest, Twig.kz

With your knowledge we are no obstacles!

Как вы думаете: Какова же цель нашего урока?

Элементы полиязычья

Все вместе произносят тему урока и  девиз (на трех языках), автором которых являются сами учащиеся и учитель

отвечают

Основная часть

(2 мин)

 

iTest. kz изучают конспект лекции к тесту, выписывают главное (формулу вычисления производной сложной функции) и взаимно проверяют задают друг другу вопросы, Таблица производных сложной функции 

Записывают формулы 1,3,5,6,7,8

Глава Производная сложной функции.

Прослушивание видеолекции №1 на стр. 4 знакомятся с внутренней и внешней функциями

 

Глава Производная сложной функции, упр. 4 стр. 4

Выполняют

Алгоритм вычисления производной сложной функции f(x) = h(g(x)).

  1. определить внутреннюю функцию g(x).
  2. найти производную внутренней функции g'(x)
  3. определить внешнюю функцию h(g)
  4. найти производную внешней функции h'(g)
  5. найти произведение производной внутренней на производную внешней функции g'(x) ∙ h'(g)

      Каждому дается памятника с алгоритмом.

4. Учитель у доски: f(x) = (3-5x)5

  1. g(x) = 3-5x
  2. g'(x) = -5
  3. h(g) = g5
  4. h'(g)=5g4
  5. f ‘(x) = g'(x) ∙ h'(g) = -5 ∙ 5g4 = -5 ∙ 5(3-5x)4 = -25(3-5x)4

Выполняют упр. 5 стр. 4 ответы на основной экран по желанию

Остальные оценивают светофорами

Стр. 5  Видеолекция.

 Упр 7 – 4 учащихся у доски по желанию, остальные в тетрадях

Упр. 8 еще 4 учащихся у доски

BilimLand.kz курс Математика Раздел Начала анализа. Производная сложной функции.

модуль «ИКТ»

 

 

 

Диалоговое обучение

 

 

 

 

BilimLand. kz

курс Математика Раздел Начала анализа. Производная

Производная сложной функции.

модуль «ИКТ»

 

 

 

 

 

Диалоговое обучение

 

 

 

 

 

 

Модуль «Возрастные особенности»

 

 

 

 

 

 

модуль «ИКТ»

 

Диалоговое обучение

 

Модуль Критическое мышление

 

Слушают, делают записи и отвечают на поставленные вопросы

 

 

 

 

 

Слушают, делают записи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решают на ноутбуках, хлопают по завершении работы,

Пары оценивают

 

 

 

 

 

 

 

 

Решают на ноутбуках, хлопают по завершении работы,

Пары оценивают

 

 

 

Получают карточки с формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решают и выводят ответы на основном экране, оценивают

 

 

 

 

 

 

Решают и выводят ответы на основном экране, оценивают

 

Подведение итогов

(2 мин)

 

 

Рефлексия 3 мин. Индивидуальная работа. Рефлексия

Чемодан, мясорубка, корзина

На доске вывешиваются рисунки чемодана, мясорубки, корзины.

 Чемодан – все пригодится в дальнейшем.

 Мясорубка – информацию переработаю.

 Корзина – все выброшу.

Ученикам предлагается выбрать, как они поступят с информацией, полученной на уроке.

Организация работы дома: 2 мин.

Ученики: заполняют домашнее задание в дневник

Дом задание стр. 6 упр. 9 и 10 BilimLand.kz. Производная. Производная сложной функции.

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

«Оценивание»

 

Прикрепляют стикеры

 

 

 

 

 

 

 

 

Запись в дневники

Сдать листы оценивания

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Модуль

«Оценивание»

Оценивание

Сдают лидеры листы оценивания

Оценки объявить с обоснованием  каждому ученику

Модули «Лидерство»

«Оценивание»

Учитель выставляет итоговую оценку

Изменения по уроку

Урок показал, что вполне можно совмещать несколько современных технологий на одном уроке, BilimLand. kz применять в дальнейшем ежедневно. Какие изменения по уроку?

Урок получился плотным, интересным, содержательным и главное понравился моим ученикам.

Мы с детьми убедились, что учащиеся самостоятельно могут изучать учебный материал и решать упражнения на закрепление BilimLand.kz .  

Приложение № 1

Критерии оценивания по светофору

критерии

Вид смайлика

 

 

Все решено верно и доступно

 

 

 

 

 

Допущены ошибки и не все понятно

 

 

 

 

 

Не выполнено задание и не понятно объяснение

 

 

 

 

 

Приложение № 2

№

Ф И

опрос

 

iTest

BilimLand. kz

Упр 4 стр 4

 

BilimLand.kz

упр 5 стр 4

 BilimLand.kz

упр 7 стр 5

BilimLand.kz

упр 8стр 5

итог

1

Азбергенев Диаз

 

 

 

 

 

 

 

2

Белоусова Евгения

 

 

 

 

 

 

 

3

 Гаврилина Ксения

 

 

 

 

 

 

 

4

 Головченко Максим

 

 

 

 

 

 

 

5

Зверева Кристина

 

 

 

 

 

 

 

6

Каиржанов Тимур

 

 

 

 

 

 

 

7

Каиржанов Райымбек

 

 

 

 

 

 

 

8

Куксова Анастасия

 

 

 

 

 

 

 

9

Мамедов Родион

 

 

 

 

 

 

 

10

Меньшова Елизавета

 

 

 

 

 

 

 

11

Кучкина Валерия

 

 

 

 

 

 

 

12

Старкова Александра

 

 

 

 

 

 

 

13

 Цыпленков Данил

 

 

 

 

 

 

 

 

Баллы

Оценка

 

31 и более

“5”

 

от 16 до 30    

“4”

 

от 8 до 15    

“3”

 

от 5 до 8    

“2 “

 

+ и –  

0,5  балл

 

+ 1 балл

– 0 баллов

Лидер группы:

Учитель математики:        Маукешева М. Б.

Приложение № 3

Критерии оценивания выполнения теста

Процент выполнения

Оценка

От 90% до 100 %

5

От 70% до 90 %

4

От 50% до 70 %

3

Ниже 50%

2

 

Приложение № 4

Тема урока:

Сложная функция.   Производная сложной функции.

Күрделі функция. Күрделі функцияның туындысы.

Complex function.  Derivative of complex function. 

Наш девиз урока:

BilimLand, iTest, Twig.kz

С вами к знаниям нам преграды нет!

BilimLand, iTest, Twig.kz

Сіздермен бірге бізге білімге кедергі жоқ!

BilimLand, iTest, Twig.kz

With your knowledge we are no obstacles!

Итог урока

BilimLand.kz iTest.kz Twig.kz

Спасибо вам за наш успех!!!

Біздін жетістіктерімізге алгысымызды білдіреміз!!!

Thank you for our success!!!

3.

2. Комплексные числа — Справочник по теоретической физике 0.5, документация

Начнем с определения по основному значению, затем все остальное следует из этого определения. Мы могли бы также использовать любую другую ветвь, но тогда большинство результатов в этой главе нужно будет обновить с помощью новых соглашение.

Затем мы определяем экспоненту, логарифм, степень и т. д., используя простые естественные формулы. Из этих определений следует все остальное с помощью очень простого манипуляции с алгеброй, все «запутанные» особенности скрыты в определении и свойства реальной функции. При выводе каждой формулы используются только формулы, введенные ранее (выше).

Каждая формула в этой главе верна для всех комплексных чисел, если явно не указано иное. указано иное.

3.2.1. Действительная и мнимая части

Комплексное число можно записать, используя его действительную и мнимую части:

Абсолютное значение определяется как:

3.

2.2. Аргумент Функция

Основное значение определяется как

Таким образом, мы имеем . Тогда все операции с полученный с использованием свойств реальной функции.

3.2.3. Экспоненциальный

Экспоненциальный определяется с использованием:

Это следует:

Любое комплексное число можно записать в полярной форме следующим образом:

Следующая формула имеет:

, а также:

.

и

и

3.2.4. Логарифм

Логарифм определяется как:

(3.2.4.1)

Мотивация из следующей формулы:

, что, используя наше определение, становится:

(3.2.4.2)

, поэтому логарифм является функцией, обратной экспоненте. Формула (3.2.4.2) будет удовлетворено, даже если мы добавим множитель (где целое число) в правую часть (3.2.4.1). Однако конвенция заключается в том, чтобы точно определить логарифм с помощью уравнения (3. 2.4.1).

Теперь мы можем вывести несколько важных формул:

и

(3.2.4.3)

и

(3.2.4.4)

3.2.5. Степень

Степень двух комплексных чисел определяется как:

Из приведенного выше мы также можем записать мощность двумя разными способами:

знание , которое мы пытаемся определить, где или .

Далее:

(3.2.5.1)

и

(3.2.5.2)

Как частный случай для одного получается:

(3.2.5.3)

Аналогично:

3.2.6. Примеры

Для целого числа получаем из (3.2.5.2):

Используя (3.2.5.2):

Используя (3.2.5.3):

2. (3.2.0 0 0 30):

Код:

 >>> из математического импорта пол, пи
>>> из журнала импорта cmath
>>> лог((-1)*(-1))
0j
>>> log(-1)+log(-1)+2*pi*1j*floor((pi-pi-pi)/(2*pi))
0j

Другой пример:

Код:

 >>> из математического импорта exp, pi
>>> 1j**1j
(0,20787957635076193+0j)
>>> ехр(-пи/2)
0,20787957635076193

Еще один пример, используя (3. 2.5.1):

и

и

Другой пример, после (3.2.4.1) и (3.2.4.4):

3.2.7. . Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение определяется как:

Теперь мы можем найти и :

Любую сложную функцию можно записать с помощью и , т.е. или с помощью и , т.е.

Примеры

3.2.8. Комплексные производные

Комплексная производная определяется как

(3.2.8.1)

Вычислим комплексную производную в направлении , т.е. мы используем с вещественным и вводим с , для упрощения записи:

На последнем шаге мы выразили производные по , в производных по , , используя соотношения:

(3.2.8.2)

(3.2.8.3)

Повторим важный результат:

(3.2.8.4)

Из уравнения (3.2.8.4) следует, что комплексная производная по направление любой функции можно вычислить, но результат в общем случае зависит от . Производные для всех возможных углов лежат на круг с центром и радиусом . Когда производная имеет разные значения для разных , т. е. когда , это означает, что комплексный предел (3.2.8.1) не существует. На с другой стороны, если производная не зависит от , т.е. когда , то комплексный предел (3.2.8.1) существует, и функция имеет комплексную производную — такие функции называются аналитическими. Таким образом, аналитические функции не зависят от и мы можем написать только для тех.

И называются производными Виртингера.

Мы видим, что функция является аналитической (т.е. имеет комплексную производную), если и только если:

Мы можем написать:

и действительная, и мнимая части должны быть равны нулю:

Они называются уравнениями Коши-Римана.

Мы можем вывести цепное правило:

(3.2.8.5)

Другая полезная формула — производная сопряженной функции:

(3.2.8.6)

Используя (3.2.8.6), цепное правило (3.2.8.5) можно записать так: остальное просто сопряжение и умножение. Если аналитическая, то , второе слагаемое обращается в нуль и цепочка правило аналогично реальным функциям.

Примеры

Заметим, что если действительно, т. е. мы восстанавливаем действительную производную результаты, установив , т.е. взяв производную по -оси:

Приведенный выше подход к первому выражению вещей в терминах и и затем дифференцировать, вероятно, проще всего, но мы можем делать вещи в любом порядке мы хотим. Например, производная от также может быть вычислена в этом (возможно более сложный) способ:

3.2.9. Тестирование удостоверений с помощью компьютерного кода

Все сложные удостоверения в этой главе можно проверить с помощью следующего коды. test_complex.py :

 аргумент аргумента (x):
    """
    Функция аргумента.
    """
    из журнала импорта cmath
    журнал возврата (x).imag
деф генерировать_значения():
    """
    Создайте значения для проверки функции.
    """
    из математики импортировать sin, cos, pi
    из случайного импорта случайного
    # Создайте 3 окружности в комплексной плоскости с диаметрами 0,5, 1 и 2.  Мы
    # избегайте специальных значений, таких как -1, +/- i и т. д., поскольку они обычно отправляют
    # численные значения рядом с срезом ветки, а затем численные ошибки
    # перевернуть знак, например:
    # В [1]: sqrt((-0.5j)**2)
    # Вышел[1]: -0.5j
    #
    # В [2]: (-0,5j)**2
    # Out[2]: (-0.25-0j)
    #
    # В [3]: sqrt(-0.25)
    # Вышел[3]: 0.5j
    # Здесь [3] — правильное значение, а [1] — неверное, но это происходит из-за
    # к ошибкам округления в [2] (маленькая отрицательная мнимая часть делает
    # sqrt() возвращает -0,5j вместо +0,5j).
    #
    # По этой причине мы выбрали N=7.
    Н = 7
    круг = []
    для n в диапазоне (N): circle.append(cos(2*pi*n/N)+1j*sin(2*pi*n/N))
    значения = []
    для n в диапазоне (N): values.append (0,5 * круг [n])
    для n в диапазоне (N): values.append (1,0 * круг [n])
    для n в диапазоне (N): values.append (2,0 * круг [n])
    # Добавьте несколько случайных точек:
    для n в диапазоне (30):
        values.append((random()-0. 5)*20 + 1j*(random()-0.5)*20)
    возвращаемые значения
значения = генерировать_значения ()
def feq(a, b, max_relative_error=1e-12, max_absolute_error=1e-12):
    """
    Возвращает True, если a==b для заданных относительных и абсолютных ошибок, иначе
    ЛОЖЬ.
    """
    # если числа достаточно близки (абсолютно), то они равны
    если абс(а-б) < max_absolute_error:
        вернуть Истина
    # если нет, то они все равно могут быть равны, если их относительная ошибка мала
    если абс(б) > абс(а):
        относительная_ошибка = абс (а-б)/абс (б)
    еще:
        относительная_ошибка = абс (а-б)/абс (а)
    #print abs(a-b), относительная_ошибка
    вернуть относительную_ошибку <= max_relative_error
деф test_zero1 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x) одной комплексной переменной равна нулю.
    """
    для x в значениях:
        г = feq (левая (х), правая (х))
        если не р:
            напечатайте "x левый(х) правый(х)"
            выведите х, левый(х), правый(х)
            утверждать ложь
def test_zero2 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x, y) двух комплексных переменных равна нулю. 
    """
    для x в значениях:
        для у в значениях:
            r = feq (левая (х, у), правая (х, у))
            если не р:
                напечатайте "x y lhs(x, y) rhs(x, y)"
                выведите х, у, левый (х, у), правый (х, у)
                утверждать ложь
деф test_zero3 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x, y, z) трех комплексных переменных равна нулю.
    """
    для x в значениях:
        для у в значениях:
            для z в значениях:
                r = feq(левая(х, у, г), правая(х, у, г))
                если не р:
                    напечатать "x y z lhs(x, y, z) rhs(x, y, z)"
                    выведите x, y, z, lhs (x, y, z), rhs (x, y, z)
                    утверждать ложь
из математического импорта, число пи
из cmath импортировать sqrt, exp, log
я = 1j
# Тестировать различные удостоверения
test_zero1 (лямбда x: sqrt (x ** 2), лямбда x: (-1) ** пол ((pi-2 * arg (x))/(2 * pi)) * x)
test_zero1(лямбда x: sqrt(exp(x)), lambda x: (-1)**floor((pi-x. imag)/(2*pi))*exp(x/2))
test_zero1 (лямбда x: журнал (exp (x)), лямбда x: x + 2 * pi * I * пол ((pi-x.imag)/(2 * pi)))
test_zero1 (лямбда x: журнал (абс (exp (x))), лямбда x: x.real)
test_zero1 (лямбда z: z, лямбда z: абс (z) * exp (I * arg (z)))
test_zero1(лямбда z: arg(exp(z)), лямбда z: z.imag + 2*pi*floor((pi-z.imag)/(2*pi)))
test_zero1(лямбда z: sqrt(z).conjugate(), лямбда z: (-1)**floor((arg(z)+pi)/(2*pi))*sqrt(z.conjugate()))
test_zero1 (лямбда z: аргумент (z.conjugate ()), лямбда z: -arg (z) + 2 * пи * пол ((аргумент (z) + пи) / (2 * пи)))
test_zero2(лямбда a,b: exp(a)**b, лямбда a,b: exp(a*b)*exp(2*pi*I*b*floor((pi-a.imag)/(2* Пи))))
test_zero2 (лямбда х, а: журнал (х ** а), лямбда х, а: а * журнал (х) + 2 * пи * I * пол ((пи- (а * журнал (х)). imag)/ (2*пи)))
test_zero2 (лямбда a, b: журнал (a * b), лямбда a, b: журнал (a) + журнал (b) + 2 * pi * I * пол ((pi-arg (a) -arg (b)) /(2*пи)))
test_zero2 (лямбда a, b: arg (a * b), лямбда a, b: arg (a) + arg (b) + 2 * pi * floor ((pi-arg (a) -arg (b))/( 2*пи)))
test_zero3(лямбда x,a,b: (x**a)**b, lambda x,a,b: x**(a*b)*exp(2*pi*I*b*floor((pi- (a*log(x)). imag)/(2*pi))))
test_zero3(лямбда x,y,a: (x*y)**a, lambda x,y,a: (x**a)*(y**a)*exp(2*pi*I*a*этаж ((pi-arg(x)-arg(y))/(2*pi))))

test_complex_diff.py :

 аргумент по умолчанию (x):
    """
    Функция аргумента.
    """
    из журнала импорта cmath
    журнал возврата (x).imag
деф генерировать_значения():
    """
    Создайте значения для проверки функции.
    """
    из математики импортировать sin, cos, pi
    из случайного импорта случайного
    # Создайте 3 окружности в комплексной плоскости с диаметрами 0,5, 1 и 2. Мы
    # избегайте специальных значений, таких как -1, +/- i и т. д., поскольку они обычно отправляют
    # численные значения рядом с срезом ветки, а затем численные ошибки
    # перевернуть знак, например:
    # В [1]: sqrt((-0.5j)**2)
    # Вышел[1]: -0.5j
    #
    # В [2]: (-0,5j)**2
    # Out[2]: (-0.25-0j)
    #
    # В [3]: sqrt(-0.25)
    # Вышел[3]: 0.5j
    # Здесь [3] — правильное значение, а [1] — неверное, но это происходит из-за
    # к ошибкам округления в [2] (маленькая отрицательная мнимая часть делает
    # sqrt() возвращает -0,5j вместо +0,5j). 
    #
    # По этой причине мы выбрали N=7.
    Н = 7
    круг = []
    для n в диапазоне (N): circle.append(cos(2*pi*n/N)+1j*sin(2*pi*n/N))
    значения = []
    для n в диапазоне (N): values.append (0,5 * круг [n])
    для n в диапазоне (N): values.append (1,0 * круг [n])
    для n в диапазоне (N): values.append (2,0 * круг [n])
    # Добавьте несколько случайных точек:
    для n в диапазоне (30):
        values.append((random()-0.5)*20 + 1j*(random()-0.5)*20)
    возвращаемые значения
значения = генерировать_значения ()
def feq(a, b, max_relative_error=1e-12, max_absolute_error=1e-12):
    """
    Возвращает True, если a==b для заданных относительных и абсолютных ошибок, иначе
    ЛОЖЬ.
    """
    # если числа достаточно близки (абсолютно), то они равны
    если абс(а-б) < max_absolute_error:
        вернуть Истина
    # если нет, то они все равно могут быть равны, если их относительная ошибка мала
    если абс(б) > абс(а):
        относительная_ошибка = абс (а-б)/абс (б)
    еще:
        относительная_ошибка = абс (а-б)/абс (а)
    #print abs(a-b), относительная_ошибка
    вернуть относительную_ошибку <= max_relative_error
деф test_zero1 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x) одной комплексной переменной равна нулю. 
    """
    для x в значениях:
        г = feq (левая (х), правая (х))
        если не р:
            напечатайте "x левый(х) правый(х)"
            выведите х, левый(х), правый(х)
            утверждать ложь
def test_zero2 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x, y) двух комплексных переменных равна нулю.
    """
    для x в значениях:
        для у в значениях:
            r = feq (левая (х, у), правая (х, у))
            если не р:
                напечатайте "x y lhs(x, y) rhs(x, y)"
                выведите х, у, левый (х, у), правый (х, у)
                утверждать ложь
деф test_zero3 (левый, правый):
    """
    Проверяет, что комплексная функция f(x, y, z) трех комплексных переменных равна нулю.
    """
    для x в значениях:
        для у в значениях:
            для z в значениях:
                r = feq(левая(х, у, г), правая(х, у, г))
                если не р:
                    напечатать "x y z lhs(x, y, z) rhs(x, y, z)"
                    выведите x, y, z, lhs (x, y, z), rhs (x, y, z)
                    утверждать ложь
def diff(f, z0, theta, eps=1e-8):
    h = eps*exp(I*тета)
    вернуть (f(z0+h)-f(z0))/ч
def diff2(dfdz, dfdconjz, z0, тета):
    вернуть dfdz(z0) + dfdconjz(z0)*exp(-2*I*theta)
def test_zero(f, dfdz, dfdconjz, z0, theta, eps=1e-8):
    утверждать feq(diff(f, z0, theta, eps), diff2(dfdz, dfdconjz, z0, theta),
            max_relative_error=eps*1e2, max_absolute_error=eps*1e2)
из математического импорта, число пи
из cmath импортировать sqrt, exp, log
я = 1j
углы = [0, пи/7, пи/4, пи/2, 3*пи/4, пи]
для x в значениях:
    для тета в углах:
        test_zero (лямбда x: абс (x), лямбда x: x. conjugate()/(2 * абс (x)),
                лямбда х: х/(2*абс(х)), х, тета)
        test_zero(лямбда x: log(x), лямбда x: 1/x, лямбда x: 0, x, тета)
        test_zero (лямбда x: журнал (exp (x-x.conjugate ())), лямбда x: 1,
                лямбда х: -1, х, тета)
        test_zero(лямбда x: sqrt(x**2), лямбда x: sqrt(x**2)/x, лямбда x: 0, x, тета)
        test_zero(лямбда x: sqrt(x**2), лямбда x: x/sqrt(x**2), лямбда x: 0, x, тета)

[PDF] Аппроксимация комплексной ступенчатой ​​производной

  • title={Аппроксимация комплексной ступенчатой ​​производной}, автор={Хоаким Р.Р.А. Мартинс и Питер Стурдза и Хуан Дж. Алонсо}, журнал = {ACM Trans. Мат. ПО}, год = {2003}, объем = {29}, страницы = {245-262} }
    • Дж. Мартинс, П. Стурдза, Дж. Алонсо
    • Опубликовано 1 сентября 2003 г.
    • Информатика
    • АКМ транс. Мат. ПО

    Представлена ​​аппроксимация комплексной ступенчатой ​​производной и ее применение к численным алгоритмам. Предлагаются улучшения базового метода, которые еще больше повышают его точность и надежность, а также раскрывают связь с алгоритмической теорией дифференцирования. Подробно описана общая процедура реализации комплексно-этапного метода и разработан скрипт, автоматизирующий его реализацию. Автоматические реализации метода сложных шагов для Fortran и C/C++… 

    View on ACM

    hal.archives-ouvertes.fr

    Extensions of the first and second complex-step derivative approximations

    • K. Lai, J. Crassidis

    • Computer Science

    • 2008

    Using Multicomplex Variables для автоматического вычисления производных высокого порядка

    • G. Lantoine, R. Russell, T. Dargent

    • Информатика

      TOMS

    • 2012

    представлен, который действителен для произвольного порядка и, как ожидается, будет полезен для множества алгоритмов, использующих производные более высокого порядка.

    Вычисление численной чувствительности для прерывистых задач оптимизации только для градиента с использованием метода комплексного шага

    • D. Wilke, S. Kok

    • Компьютерная наука

    • 2012

    метода к численной информации о чувствительности первого порядка для прерывистых задач оптимизации и подчеркивает преимущества и недостатки в контексте прерывистых задач оптимизации только с градиентом, которые являются результатом численно аппроксимированных (частных) дифференциальных уравнений.

    Обобщения аппроксимации комплексно-ступенчатой ​​производной

    • К. Лай, Дж. Крассидис

    • Математика

    • 2006

    на стандартном сложноступенчатом подходе, чтобы обеспечить более широкий диапазон точности как для первой, так и для второй аппроксимации производной.

    Использование метода аппроксимации комплексной ступенчатой ​​производной для расчета функций локальной чувствительности сильно нелинейных моделей биопроцессов

    • D. D. Pauw, P. Vanrolleghem

    • Математика

    • 2005

    В этой статье метод аппроксимации комплексной ступенчатой ​​производной будет использоваться для вычисления функций локальной чувствительности. Этот метод сравнивается с конечно-разностной аппроксимацией,…

    Чувствительность метода сложных шагов для дифференциальных уравнений с запаздыванием с негладкими начальными данными

    • H. Banks, K. Bekele-Maxwell, L. Bociu, Chuyue Wang

    • Математика. для моделирования и анализа приложений на C++

      • R. Bartlett, B.V.B. Waanders, M. Berggren

      • Информатика

        TOMS

      • 2008

      В этой работе демонстрируется использование шаблонных инструментов прямой AD с перегрузкой в ​​приложениях C++, которые пытаются достичь оптимального баланса реализации и вычислительной эффективности путем выбора соответствующих компонентов целевых алгоритмов для AD и аналитического вывода.

      Комплексно-ступенчатая производная аппроксимация на матричных группах Ли

      Это письмо расширяет стандартную комплексно-ступенчатую производную аппроксимацию для совместимости с элементами матричных групп Ли и позволяет получить те же результаты, что и аналитический метод, если он доступен.

      Избегание конечной разности анализа чувствительности DeathTrap с использованием метода аппроксимации сложного шага

      • D. D. Pauw, P. Vanrolleghem

      • Математика

      • 2006
        • 9

      • 2006
        • 9

        . использоваться для расчета локальных функций чувствительности. Данная методика сравнивается с конечно-разностной аппроксимацией,…

        Численный анализ сложноступенчатого дифференцирования в задачах оптимизации траектории КА

        • Алан Кэмпбелл

        • Информатика

        • 2011

        Представлен анализ использования дифференцирования со сложными шагами в задачах оптимизации, и показано, что производные со сложными шагами достаточно применимы в различных методах интерполяции и интегрирования, и , по сути, постоянно превосходят традиционные методы.

        ПОКАЗАНЫ 1-10 ИЗ 51 ССЫЛОК

        СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантности Наиболее влиятельные документыНедавность

        СВЯЗЬ МЕЖДУ КОМПЛЕКСНО-ШАГОВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ АППРОКСИМАЦИИ И АЛГОРИТМИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИИРОВАНИЕМ

        • Дж. Мартинс, П. Стурдза, Дж. Алонсо

        • Информатика

        • 2001

        Представлены усовершенствования метода аппроксимации комплексной шаговой производной, которые повышают его точность и надежность и раскрывают связь с алгоритмической теорией дифференциации.

        АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

        • Дж. Мартинс, И. Кроо, Дж. Алонсо

        • Информатика

        • 2000

        Представлен комплексно-шаговый метод расчета чувствительности и его использование в численных алгоритмах, показаны преимущества реализации перед автоматическим дифференцированием и вычислительные преимущества перед конечно-дифференцированием.

        Сходимость производных для итерационных решателей уравнений

        • А. Гриванк, К. Бишоф, Г. Корлисс, А. Карл, К. Уильямсон

        • Математика

        • 1993 90 Применение параметров к решателям уравнений 20
        6 90 зависимые задачи, их итерации можно интерпретировать как функции этих переменных параметров. Производные (если они существуют) этих…

        Анализ чувствительности для уравнений Навье-Стокса на неструктурированных сетках с использованием комплексных переменных

        • У. К. Андерсон, Дж. Ньюман, Д. Уитфилд, Э. Нильсен

        • Информатика

        • Размер шага 509 903 2051 90 требуется, числовые производные не подвержены ошибкам вычитания и, следовательно, демонстрируют истинную точность второго порядка при уменьшении размера шага, в отличие от использования конечных разностей.

          Численное дифференцирование аналитических функций

          • Б. Форнберг

          • Информатика

            TOMS

          • 1981

          программу для генерации до 50 опережающих производных можно найти в разделе алгоритмов этого номера.

          ADIFOR — Генерация производных кодов из программ Fortran

          • C. Bischof, A. Carle, G. Corliss, A. Griewank, P. Hovland

          • Информатика

            Sci. Программа.

          • 1992

          Экспериментальные результаты показывают, что ADIFOR может обрабатывать коды из реальной жизни и что коды, сгенерированные ADIFOR, конкурентоспособны с аппроксимациями производных методом разделенных разностей, а исследования показывают, что подход преобразования источника к автоматическому дифференцированию может сократить время до вычислить производные на порядки.

          Automatic differentiation of iterative processes

          • Thomas Beck

          • Mathematics

          • 1994

          IMAS Integrated Modeling and Analysis System for the solution of optimal control problems

          • A. Rhodin

          • Computer Science

          • 1997

          Связанный-присоединенный метод для высокоточной оптимизации конструкции

          • Дж. Мартинс

          • Инженерия

          • 2002

          Реферат: Представлен новый комплексный метод проектирования аэрокосмических конструкций. Этот подход сочетает в себе решатель для аэроструктурного анализа, сопряженный решатель для аэроструктурного анализа,…

          ADIC: расширяемый инструмент автоматического дифференцирования для ANSI-C

          • C. Bischof, L. Roh, A. Mauer-Oats

          • Информатика

            Программное обеспечение. Практика. Эксп.

          • 1997

          ADIC (автоматическая дифференциация C), новый инструмент AD для программ ANSI-C, и модульная конструкция, которая обеспечивает основу как для быстрого прототипирования лучших алгоритмов AD, так и для их совместного использования инструментами AD для описаны разные языки.

          Дифференциальные уравнения – Комплексные корни

          Онлайн-заметки Пола
          Дом / Дифференциальные уравнения / DE второго порядка / Комплексные корни

          Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

          Мобильное уведомление

          Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

          Раздел 3-3: Комплексные корни

          9{\ влево ( {\ лямбда – \ му \, я} \ вправо) \, \, т}} \]

          Итак, эти две функции «достаточно хороши» (опять эти слова… в конце концов мы вернемся к их определению), чтобы сформировать общее решение. Однако у нас есть проблема. Поскольку мы начали с действительных чисел в нашем дифференциальном уравнении, мы хотели бы, чтобы наше решение включало только действительные числа. Два приведенных выше решения являются сложными, и поэтому мы хотели бы получить пару решений («достаточно хороших», конечно…), которые являются реальными. 9{\ lambda \, t}} \ left ( {\ cos \ left ( {\ mu t} \ right) – i \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right)} \ right) \ end {align *}\]

          Это не устраняет сложный характер решений, но приводит два решения в форму, в которой мы можем исключить сложные части.

          Напомним из раздела основ, что если два решения «достаточно хороши», то любое решение можно записать как комбинацию этих двух решений. Другими словами,

          \[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\] 9{\ lambda \, t}} \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right) \]

          На первый взгляд это не решает проблему, так как решение все еще сложное. Однако, узнав, что две константы \(c_{1}\) и \(c_{2}\) могут быть комплексными числами, мы можем прийти к реальному решению, разделив это на \(2i\). Это эквивалентно взятию

          \[{c_1} = \frac{1}{{2i}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма}{c_2} = – \frac{1}{{2i}} \] 9{\ lambda t}} \ sin \ left ( {\ mu \, t} \ right) \]

          Давайте теперь рассмотрим пару примеров.

          Пример 1. Решите следующую IVP. \[y” – 4y’ + 9y = 0\hspace{0. 2} – 4р + 9{2t}}\sin\left( {\sqrt 5 t}\right)\]

          Теперь вы заметите, что мы не различали это сразу, как в предыдущем разделе. Причина этого проста. Хотя дифференциация не очень сложна, она может стать немного запутанной. Итак, сначала взглянув на начальные условия, из первого видно, что если бы мы просто применили его, то получили бы следующее.

          \[0 = у\влево( 0 \вправо) = {c_1}\] 9{2t}}\cos\left( {\sqrt 5 t} \right)\end{align*}\]

          Производная гораздо лучше, чем если бы мы сделали исходное решение. Теперь примените второе начальное условие к полученной производной.

          \[ – 8 = y’\left( 0 \right) = \sqrt 5 {c_2}\hspace{0,25in} \Rightarrow \hspace{0,25in}{c_2} = – \frac{8}{{\sqrt 5 }}\]

          Фактическое решение тогда.

          \[y\left( t \right) = – \frac{8}{{\sqrt 5}}{{\bf{e}}^{2t}}\sin \left({\sqrt 5 t} \right )\] 9{4t}}\cos\left( t \right)\end{align*}\]

          Обратите внимание, что на этот раз нам понадобится производная с самого начала, так как у нас не будет выпадения одного из членов. Применение начальных условий дает следующую систему.

          \[\begin{align*} – 4 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ – 1 & = y’\left( 0 \right) = 4{c_1} + {c_2}\end {выровнять*}\]

          Решение этой системы дает \({c_1} = – 4\) и \({c_2} = 15\). Фактическое решение IVP тогда. 9{ – 3 \ влево ( {т – \ пи } \ вправо)}} \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {т} {2}} \ вправо) \ конец {выравнивание *} \]

          Давайте сделаем последний пример, прежде чем перейти к следующей теме.

          Пример 4. Решите следующую IVP. \[y ” + 16y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left ( {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = – 10 \ hspace {0,25 дюйма} y’ \ left ( {\ frac {\pi} {2}} \справа) = 3\]

          Показать решение

          Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения и его корни. 92}\) и записывайте время до тех пор, пока не закончатся члены дифференциального уравнения.

Оставить комментарий