Вычисление производных: 10.3.0. Вычисление производных. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

10.3.0. Вычисление производных.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 4.1k. Опубликовано 16 февраля 2013

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x⁷+x⁵-x⁴+x³-x²+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x⁶+5x⁴-4x³+3x²-2x+1.

2. y=3x⁶-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x⁵-2=18x⁵-2.

Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило

IV, формулы 5 и 1.

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по

4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Вычисление производных | Математика, которая мне нравится

Теорема. Пусть , , функции и дифференцируемы в точке . Тогда функции дифференцируемы в точке (последняя в случае ) и имеют место равенства

Доказательство.

Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции .

Теорема о производной композиции. Пусть , множество значений содержится в . Пусть функция дифференцируема в точке , дифференцируема в точке . Тогда функция дифференцируема в точке , причем

Доказательство. По определению производной

Поэтому

При . В силу непрерывности функции в точке мы имеем также . Переходом к пределу в равенстве

и получаем требуемый результат.

Теорема о производной обратной функции 1. Пусть , обратима, — множество значений . Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда и .

Доказательство. .

Обозначим . Тогда

Теорема о производной обратной функции 2. Пусть , обратима, — множество значений . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , дифференцируема в и . Тогда дифференцируема в точке и .

Доказательство.

Возьмем произвольную последовательность .

Рассмотрим

Рассмотрим последовательность . По непрерывности функции в точке

, так как . Тогда

Так как по условию, то

Следствие 1. Пусть , дифференцируема в . Тогда функция дифференцируема в и

Следствие 2. Пусть , и дифференцируемы в . Тогда функция дифференцируема в и

Задачи. Приведите, если это возможно, примеры функций и , удовлетворяющих данным условиям (если это невозможно, объясните, почему):

1) и не дифференцируемы в точке , дифференцируема в ;

2) дифференцируема в точке , не дифференцируема в точке , дифференцируема в ;

3) дифференцируема в , дифференцируема в точке , не дифференцируема в ;

4) дифференцируема в , дифференцируема в , не дифференцируема в точке ;

5) дифференцируема в точке , не дифференцируема в точке , дифференцируема в точке ;

6) не дифференцируема в точке , не дифференцируема в точке , дифференцируема в точке ;

7) не дифференцируема в точке , дифференцируема в точке ;

8 ) дифференцируема в , дифференцируема в точке , не дифференцируема в ;

9) дифференцируема в , не дифференцируема в точке , не дифференцируема в ;

10) не дифференцируема в , дифференцируема в точке , дифференцируема в ;

11) дифференцируема в , не дифференцируема в точке , дифференцируема в ;

12) не дифференцируема в , не дифференцируема в точке , дифференцируема в ;

13) дифференцируема в , не дифференцируема в .

Практическая работа “Вычисление производных и дифференциалов высших порядков”

Практическое занятие №11

Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Производная второго порядка(вторая производная) от функцииесть производная от ее первой производной:.

Производная третьего порядка(третья производная) от функцииесть производная от ее второй производной:.

Производная n – го порядка(n – япроизводная) от функцииесть производная от ее(n – 1) – ойпроизводной:.

Дифференциал второго порядка(второй дифференциал) функцииесть дифференциал от ее первого дифференциала:.

Дифференциалтретьего порядка(третий дифференциал) функцииесть дифференциал от ее второго дифференциала:.

Дифференциал n – го порядка(n – ыйдифференциал) функцииесть дифференциал от ее

(n – 1) – огодифференциала:.

Примеры

Задание 1:Найти,,, …, если.

Решение:,

,,.

Задание 2:Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции.

Решение:,

Задания для самостоятельной работы

Найти производные второго порядка:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) .

Дана функция . Найти,,.
Найти производные третьего порядка:

1) ; 2); 3).

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:

1) ; 2);

3) .

Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Вопросы для самоконтроля:

Что называется производной второго порядка?
Что называется производной n – гопорядка?
Что называется дифференциалом функции?
Что называется дифференциалом второго порядка?
Что называется дифференциалом n – гопорядка? По какой формуле он вычисляется?

Вычисление производной в Excel | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 13 Янв 2016
Рубрика: Справочник Excel | 3 комментария

Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента.

Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов.

На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д.

Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок.

Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки?

Минимум теории.

Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве.

Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции.

y’(x)=lim (Δy/Δx) при Δx→0

Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции в этой точке.

tg (α)=Δy/Δx

Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей.

y’(x)_i≈(Δy/Δx)_i=(y_i₊₁-y_i_-1)/(x_i₊₁-x_i_-1)

Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.

В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.

Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.

Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.

Дано:

На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F₁. Подвесная площадка имеет вес 2*F₂ и крепится к балке в двух точках.

Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.

На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.

На следующем скриншоте представлены исходные данные.

Расчетные исходные данные:

3. Погонная масса двутавра 30М:

γ=50,2 кг/м

Сечение балки составлено из двух двутавров:

n=2

Удельный вес балки:

q=γ*n*g=50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм

5. Момент инерции сечения двутавра 30М:

I_x1=95 000 000 мм⁴

Момент инерции составного сечения балки:

I_x=I_x₁*n=95 000 000*2=190 000 000 мм⁴

10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:

R=(q*z_max+8*F₁+2*F₂)/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н

В расчете учитывается собственный вес балки!

Задача:

Найти значения изгибающего момента M_xi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.

Решение:

Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Q_y, изгибающих моментов M_x, углов поворота U_x оси балки и прогибов V_x по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h. (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)

Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.

Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь.

Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB).

Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.

Из теории мы знаем, что:

Угол поворота – это первая производная прогиба U=V’.

Момент – это вторая производная прогиба M=V’’.

Сила – это третья производная прогиба Q=V’’’.

Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.

M_xi=V_y’’≈((V_i₊₁-2*V_i+V_i_-1)/h²)*E*I_x

Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54.

Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.

ε=(M_x-V_y’’)/M_x*100%

Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.

Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!

Однако…

Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!

Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью ~1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h, «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.

Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.

Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$…

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.

Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i=4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении (ε₂₁=1,813%).

Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации.

Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.

Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!

Уважаемые читатели, отзывы и комментарии к статье, размещайте в специальном блоке ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге, подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл с примером ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Практическое занятие “Вычисление производных”

Практическое занятие

Тема: Нахождение производных. Применение производной к исследованию функции и построению графиков.

Цель: Освоить вычисление производных, научиться исследовать функцию с помощью производной

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, презентации по теме, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по темам: «Правила вычисления производных», «Экстремум функции», «Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба».

2. Рассмотрите образцы выполнения заданий.

3. Выполните тестовое задание №.1.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение максимума (минимума) функции в точке. Что можно сказать о знаке приращения функции в достаточно малой окрестности точки максимума (минимума)?

2. Каковы необходимые условия существования экстремума функции? Каков их геометрический смысл?

3. Каково правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке?

4. Дайте определение выпуклости (вогнутости) кривой на промежутке.

5. Каково правило отыскания интервалов выпуклости и вогнутости кривой?

6. Точка перегиба кривой. Как ее найти?

7. Каков алгоритм построения графика функции?

Правила вычисления производных

Производная сложной функции.

Если у=ƒ(и), и=φ(х), то у¢(х)=ƒ¢(и)·φ¢ (х).

Производная суммы.

Если у(х)=и(х)+v (х), то у¢ (х)=и¢ (х)+v¢ (х)

Производная произведения.

Если у(х)=и(х)·v(х), то у¢=и¢·v+u·v¢.

В частности, (с·и)¢=с·и¢, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что

(u²)¢=2u·u¢, (u³)¢=3u²·u¢, … , (uⁿ)¢=n·u^n–1·u¢.

Производная частного.

Если , то .

Таблица производных

1. (с)¢=0

Для сложной функции: если и=и(х), то:

2. (х)¢=1

3. (х^α)¢=α·х^α–1, а – любое действительное число.

4. (а^х)¢=а^х·ln а

5. (log_ax)¢=

6. (sin x)¢=cos x

7. (cos x)¢= –sin x

8. (tg x)¢=

9. (ctg x)¢=

10.

11.

12.

13.

Рассмотрите примеры

Пример 1.

у=(3–2 sin5x)⁴|Применяем формулы производных для и^α, sin u|

y¢=4·(3–2·sin5x)³·(3–2sin5x)¢=4·(3–2·sin5x)³·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)³.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Экстремум функции

Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х₀ – точка внутри него.

Определение. Функция ƒ(х) в точке х₀ имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности ƒ(х) < ƒ(х₀) (ƒ(х) > ƒ(х₀)).

Точка х₀ называется тогда точкой максимума (минимума).

Рис. 1.

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х₁ и х₃) и две точки минимума (х₂ и х₄), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х₁) < ƒ(х₄)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х₁, х₂, х₃, х₄) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема. Если функция ƒ(х) в точке х₀ имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х₀)=0.

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х₀)=0 не обязательно следует, что в точке х₀ существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х³.

Найдем ƒ¢(х)=3х². В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)=х³ > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х³<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х², то функция ƒ(х)=х³ возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.

Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

Теорема 1. Если х₀ – критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак, то х₀ – точка экстремума, а именно, если производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка минимума.

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х) имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).

Теорема 2. Если х₀ – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х₀) > 0, то х₀ – точка минимума, если ƒ¢¢(х₀) < 0, то х₀ – точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.

Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба.

Кривая у=ƒ(х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) < 0.

Кривая у=ƒ(х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) > 0

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута.

В точке перегиба ƒ¢¢(х)=0.

Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х) > 0 (ƒ(х) < 0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢(х) > 0 (ƒ¢(х) < 0), то функция на (а, b) возрастает (убывает).

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢¢(х) > 0 (ƒ¢¢(х) < 0), то график на (а, b) вогнут (выпукл).

Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох.

Уравнение ƒ¢(х)=0 определяет критические точки.

Уравнение ƒ¢¢(х)=0 определяет возможные точки перегиба.

Схема исследования функции

Для исследования функции ƒ(х) и построения графика у=ƒ(х) следует найти:

1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат;

2) интервалы монотонности;

3) точки экстремумов и значения функции в этих точках;

4) интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) точки перегиба графика;

6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график.

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ(х) на отрезке [а, b].

1. Найти производную функции ƒ¢(х).

2. Найти критические точки из уравнения ƒ¢(х)=0.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [а, b] и найти значение функции ƒ(х) в каждой такой точке.

4. Вычислить значения функции ƒ(х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b).

5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее).

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=х³–9х²+24х–10 на отрезке [0 3].

1. ƒ¢(х)=3х²–9·2х²+24.

2. ƒ¢(х)=0, 3(х²–6х+8)=0, х₁=2, х₂=4.

3. Точка х₂=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х₁=2

ƒ(2)=2³–9·2²+24·2–10=10.

4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3³–9·3²+24·3–10, ƒ(3)=8.

5. Получены значения:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х=2. Наименьшее – равно –10 и достигается в точке х=0.

Пример 3.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х²–2х³–х⁴.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. хЄ(–∞, +∞).

Найдем вторую производную.

у¢=1+72х–6х²–4х³.

у¢¢=72–12х–12х²= –12(х²+х–6).

Из уравнения у¢¢=0 получим абсциссу точки перегиба:

–12(х²+х–6)=0 х₁= –3; х₂=2.

Определим знак у¢¢ на интервалах

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

(–∞, –3)

-3

(–3; 2)

(2; +∞)

у¢¢

–

форма кривой

выпуклая

перегиб

вогнута

перегиб

выпуклая

Найдем ординаты точек перегиба:

у(–3)=726; М₁(–3; 726) – точка перегиба

у(2)=114; М₂(2; 114) – точка перегиба.

На интервале (–3; 2) кривая вогнута. На интервалах (–∞; –3) и (2; +∞) – выпуклая.

Образцы выполнения заданий

Задача № 1.

Найти точки разрыва функции и построить график

Функция ƒ(х) определена для всех действительных х и непрерывна на каждом из указанных промежутков: (–∞; –1), [–1; 0], (0, +∞). Исследуем функцию ƒ(х) на непрерывность в точках х= –1 и х=0.

Для этого в каждой из этих точек найдем односторонние пределы.

Так как односторонние пределы различны, то х= –1 – точка разрыва первого рода.

Односторонние пределы равны, т. е. в точке х=0 существует предел функции и

Сравним этот предел со значением функции в точке:

Так как то в точке х=0 функция ƒ(х) непрерывна.

Построим график функции ƒ(х), учитывая, что

1) – уравнение прямой,

2) – уравнение верхней полуокружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, а при условии –1 £ х £ 0 уравнение определяет четверть окружности.

3) для х > 0 график задается уравнением . Точки пересечения этой кривой с осью Ох найдем из уравнения при х > 0. х=πn, где n=1, 2, 3, 4,

Рис. 2.

Задача № 2.

Составить уравнения касательных к линии в точках, где х=0 и х=4. Найти точку пересечения касательных и угол между ними. Сделать чертеж.

Уравнение касательной к линии у=ƒ(х) имеет вид

где у₀=ƒ(х₀).

В точке х=0 у(0)=ƒ(0)=5.

у¢=ƒ¢(х)=х–3 ƒ¢(0)= –3.

Уравнение касательной в точке М₁(0, 5) имеет вид у–5= –3(х–0) или

у= –3х+5.

В точке х=4 у(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢(4)=4–3=1.

Уравнение касательной в точке М₂(4, 1) имеет вид у–1=х–4 или

у=х–3.

Точку пересечения касательных получим, решив систему

Точка пересечения М₃(2, –1).

Угол φ между касательными найдем из формулы:

где k₁= –3; k₂=1 – угловые коэффициенты касательных.

Угол φ=arctg 2.

Построим данную линию – параболу с вершиной в точке, где х=3, т. к. у¢=0 при х=3. Найдем . Точка М₄(3; ) – вершина параболы.

Р
ис. 3.

Задача № 3.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х.

2. Найдем производную.

Из уравнения у¢=0 найдем критические точки: 3х·(х–2)=0, х₁=0, х₂=2.

Исследуем их.

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

у¢

–

3. Итак, функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2:

у_max=у(0)=4; у_min=у(2)=0.

4. Найдем вторую производную.

у¢¢=6·(х-1).

Кривая выпукла там, где у¢¢ < 0, т. е. 6·(х–1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у¢¢ > 0, т. е. х > 1.

Итак, на интервале (–∞, 1) кривая выпукла; а на интервале (1, +∞) – вогнута.

5. Точку перегиба найдем из уравнения у¢¢=0. Таким образом, х=1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у(1)=2.

График функции у=(х+1)·(х–2)² пересекает ось Ох при у=0, т. е. при х= –1 и х=2;

пересекает ось Оу^{при х=0, т. е. при у=4. Мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4). Все полученные точки внесем в таблицу, добавив соседние с ними.}

–2

–1

–16

Р
ис. 4 Кривая у=(х+1)(х–2)².

Задание № 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее число правильных ответов. Обвести кружочком номера всех правильных ответов

1. Если то функция

1) возрастающая

2) убывающая

3) постоянная

2. Если

1) Возрастающая

2) Убывающая

3. Если , то функция

1) Возрастающая

2) Убывающая

4. Если , то функция

1) Возрастающая 3) Убывающая

2) Постоянная 4) Монотонная

5. Функция Является

1) Чётной

2) Не чётной

3) ни чётной, ни нечётной

4) Периодической

5) Не периодической

6) Тригонометрической

7) Элементарной

6. Функция Является

1) чётной

2) нечётной

3) ни чётной, ни нечётной

4) периодический

5) не периодической

6) тригонометрической

7) элементарной

7) Автор теоремы «если то функция является постоянной»

1) Роль 3) Коши 5) Декарт

2) Вейерштрасс 4) Дирихле 6) Лейбниц

8) Решение Уравнения

1) 0 3) 0 и 3 5) 2 7) 3

2) 2 и 3 4) 2 6) -5 и 1 8) 5 и 1

9) решение неравенства

1) (; 1) 3) (; 1) 5) (-;1)

2) (1; 5 ) 4) ( 2; ) 6)

10) Методом Находится сумма

1) векторов

2) прямых

3) отрезка

11) Если , то функция

1) Вогнутая 3) Выпуклая 5) Убывающая

2) Монотонная 4) Возрастающая 6) Постоянная

12) область определения функции равна

1) (;0)

2) (0; )

3) (-;)

4) (0;1)

7) (-1;1)

13) функция является

1) показательной

2) тригонометрической

3) степенной

4) логарифмической

14) если функции у=x то она является

1) чётной

2) нечётной

3) ни чётной, ни нечётной

15) функция при является

1) показательной 8) нечётной

2) Возрастающей 9) тригонометрической

3) степенной 10) постоянной

5) логарифмической 11) ни чётной, ни нечётной

6) убывающей 12) вогнутой

7) периодической 13) выпуклой

8) чётной 14) монотонной

16) область значения функции

1) (0;) 4) 7)

2) (-;+) 5) 8) (1;+ )

3) (-;0) 6) 9)

17) область определения функции

1) (0;) 4) 7)

2) (-;+) 5) 8) (1;+ )

3) (-;0) 6) 9)

18) область значения функции

3) (-) 5)

4) (0;) 6)

19) теорему о постоянстве функции на промежутке сформировал и доказал:

1) Роль 3) Декарт

2) Лагранж 4) Вейерштрасс

20) значение выражения при является

3. – 5. 7.

2. 4. – 6. 8.

21) исследование функции

Найти нули функции
Найти пересечения с осью ОХ
Найти ОДЗ
Найти точки пересечения с осью ОУ
Найти область значения функции
Найти экстремумы функции
Периодичность
Промежутки возрастания
Чётность, нечётность
Найти промежутки убывания
Построить график
Найти асимптоты
Промежутки вогнутости
Промежутки выпуклости

22) наименьшее значение функции принадлежит промежутку

(0;2)
(-2;0)

23) значение функции в точке равно

–
-1
1
3
0
27
-27

24) уравнение касательной к функции в точке имеет вид

y-3x-2=0
y-3x+2=0
y-12x+16=0
y-5x+1=0
y-3+1=0
y-9x+1=0
y-2x+4=0
y+9=0
y+1=0
y+4=0
y-9x+27=0
y-1=0
y+3x-1=0
y-27x+54=0
y-x-1=0
y-21x+45=0
y-7x+9=0
y-8x+12=0

Домашнее задание:

Исследовать функцию и построить ее график.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни М.: Просвещение, 2012г. -255 с.

2. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2014г.-383с.

3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10 кл. в 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2012 г. – 424 с.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений М.: Мнемозина, 2013 г., 232 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред.проф. образования М.: Издательский центр «Академия», 2013 г-253с.

Дополнительная:

1.Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд., М.: Просвещение, 2012г. -343с.

2. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: ООО «Издательство Оникс, 2011г.- 483с

3.Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2013г.-363с.

4.Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2013г.-453с.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] Режим доступа: http: //www.intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.compebook.ru.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) владеет полным объемом теоретического материала по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет нахождение точек перегиба;

4) самостоятельно выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, используя алгоритм;

5) безошибочно находит производные функции.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет нахождение точек перегиба;

4) выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, используя алгоритм;

5) находит производные.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, с помощью преподавателя;

4) имеет затруднения при нахождении производных.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) путается в нахождения точек экстремума, асимптот;

3) не выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции.

Урок 3: Вычисление производной – 100urokov.ru

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Урок 4.Вычисление производных 4.1 Вычисление производных явно заданных функций

Для вычисления производной в Maple предусмотрена процедура diff(), параметрами которой являются: а) функция, от которой берут производную,

б) переменная, по которой эту производную следует брать. Результатом выполнения процедуры является выражение, задающее искомую производную. Кроме того, существует неактивная форма процедуры вычисления производной – Diff (). В отличие от активной формы (той, что начинается со строчной буквы), неактивная используется не для непосредственного вычисления производной, а для символьной записи самой операции.

В дальнейшем выражение для производной может быть вычислено с помощью процедуры value(), если результат выполнения процедуры Diff () указать в качестве ее параметра.

Совет
Команда value() используется для вычисления значения не только упомянутой процедурыDiff (), но и других процедур в неактивной форме.

Кроме того, для вычисления производных в Maple может использоваться оператор D. Однако в отличие от процедуры diff(), которая вычисляет производную от символьного выражения, оператор D используется для вычисления производной от оператора. Например, производную от синуса можно вычислить следующим образом.

С помощью оператора D это делается несколько иначе.

Допустим и такой синтаксис вызова оператора D.

В последнем случае в первых скобках после оператора D указывается оператор (функция), на который действует D, а в следующих скобках – аргумент для полученного в результате оператора (в данном случае оператора D(sin)=cos).

На заметку
С точки зрения Maple функция и оператор – практически одно и то же. Под функцией будем, ради удобства, понимать результат действия оператора на аргумент. Иногда, если это не приводит к недоразумениям, функцией будем также называть и соответствующий оператор.

Далее имеет смысл остановиться более детально на решении конкретных задач.

Задача 4.1

Найти производную функции .y:=x->(x*sin(a)+cos(a))*(x*cos(a)-sin(a))

В первую очередь определим саму функцию, от которой следует брать производную. Сделать это можно следующим образом.

Здесь у – функция (ее название), которой в качестве значения присваивается оператор. Оператор задается так: сначала указывается аргумент (или несколько аргументов), потом отображается стрелка (›), а после стрелки задается математическое выражение, определяющее действие оператора на аргумент. После того как функция задана, ее можно дифференцировать.

Если воспользоваться оператором D, то получим несколько иной результат.

Другими словами, результат такой операции – оператор. Приведенная выше запись значит, что аргументу х в результате действия на него оператора D(y) в соответствие ставится выражение, которое указано после стрелки.

Очень часто выражения, выводимые Maple в качестве результата выполнения той или иной операции, громоздки. Поэтому их приходится упрощать. В этом случае полезнапроцедураsimplify(). В качестве ее аргумента указывается выражение, которое следует упрощать. В данном случае это переменная среды %. Переменная возвращает в качестве своего значения результат выполнения последней команды, причем не обязательно в текущем рабочем листе (в рассматриваемом случае переменная возвращает вычисленное выше выражение для производной).

Но даже после упрощения выражения его вид может не соответствовать представлениям пользователя о простоте и элегантности. На этот случай в Maple предусмотрен ряд полезных утилит, позволяющих привести выражения к приемлемому для пользователя виду. Среди них имеется такая процедура, как combine (). с.

При дифференцировании в качестве первого аргумента процедуры diff () указывается выражение у (зависящее от х, но хочется еще раз подчеркнуть, это не функциональная зависимость) >diff(y,x);

В отличие от предыдущей задачи, зависимость выражения у от х явно не указывается (здесь как раз и проявляется то, что зависимость не является функциональной). В предыдущей задаче переменная у объявлялась как оператор, поэтому при ее вызове необходимо было указать, на какой аргумент она действует. В данном же случае у – это просто название выражения.

Однако самый незатейливый способ вычисления производной представлен ниже.

В качестве первого параметра в ней использована уже упоминавшаяся переменная среды (%), а вторым параметром указана опция trig. Это инструкция для вычислительного ядра Maple использовать встроенные алгоритмы преобразования тригонометрических выражений: в частности, произведения тригонометрических функций заменяются, где это возможно, тригонометрическими функциями от суммы (разности) аргументов. (1/х).

В качестве параметра процедуры diff () можно сразу указать дифференцируемое выражение.

Поскольку очевидно, что в полученном после дифференцирования выражении имеется возможность вынести за скобки общий множитель, воспользуемся следующей командой.

Переменная среды %, указанная в качестве первого параметра процедуры collect(), определяет выражение, которое нужно преобразовать, а второй параметр указывает на то, что в выражении слагаемые следует группировать по степеням 1/х.

На заметку
Если при вызове процедуры collect() вторым параметром указать не 1/х, а х, результат не изменится. Причина в том, что 1/х – это х в степени -1.

Вычислительное ядро Maple достаточно эффективно работает не только с непрерывными функциями, но и с такими, которые имеют точки (или области) разрывов.

Задача 4.4

Найти производную функции .

Определяем функцию у(х) следующим образом.

При этом целая часть числа х возвращается функцией Maple floor().

На заметку
ВMaple есть функция trune(), действие которой во многом аналогично действию функции floor(). Однако функция trunc() выделяет целую часть аргумента “в направлении О”, в то время как функция floor () выделяет ближайшее целое число, не превышающее данное, указанное как аргумент. Для положительных чисел действия обеих функций эквивалентны, а для отрицательных чисел результаты отличаются на единицу.

Дальше процедура вычисления производной уже знакома.

Последнее выражение содержит функцию floor(), у которой указано два аргумента. В этом случае первый аргумент определяет порядок производной, второй – непосредственно аргумент. Другими словами, floor(1,x) – это первая производная от функции floor(x), которая во всех точках равна нулю, кроме целочисленных значений аргумента – в этих точках производная не определена (поскольку floor(х) в этих точках имеет неустранимый разрыв).

Полученное выражение, при желании, можно упростить.

Чтобы представить себе, что же это за функция, построим ее график.

В качестве первого аргумента процедуры plot(), используемой для отображения двухмерных графиков, указывается выражение, график которого следует построить. В данном случае это выражение определяется значением переменной среды %. Второй аргумент является равенством, где указывается переменная, относительно которой следует строить график (левая часть равенства), а после знака равенства – диапазон ее изменения.

На заметку
Если диапазон изменения не указать, то по умолчанию график строится на интервале -10..10.

Следующие параметры являются необязательными. В приведенном примере это заголовок (опция title) и шрифт для этого заголовка (опция title-font). Значения этих опций указываются после знака равенства: заголовок (его значение) заключается в двойные кавычки, а шрифт – это список (в квадратных скобках через запятую указываются тип шрифта, его стиль и размер). Подробнее об опциях процедуры plot() можно узнать из приложения в конце книги. Там же имеется и информация о возможных значениях этих опций.

На заметку
Списком в Maple называется последовательность разделенных через запятую элементов (самого разного характера), заключенная в квадратные скобки. В списке имеет значение порядок следования элементов – при изменении очередности элементов по определению полагают, что список изменился. Последовательность Maple – это группа (в обычном, не математическом значении этого слова) выражений, разделенных запятыми. Пример последовательности: x,sin(t),5.3*6. Пример списка: [x,sin(t),5.3*6].
Если последовательность заключить в фигурные скобки, получится множество. От списка множество отличается тем, что не имеет значения ни порядок следования, ни количество совпадающих элементов.

Внимание!
Некоторые параметры графиков можно изменять уже после их отображения в области вывода непосредственно с помощью кнопок контекстной панели двухмерной графики u команд раскрывающегося меню. Описание контекстной панели для двухмерных и трехмерных графиков приведено в главе 1, а описание опций можно найти в приложении.
Следует также иметь в виду, что внешний вид графиков, которые пользователь увидит на экране, если введет предложенные команды, может не соответствовать тому, что показано в книге. В этом случае желаемого результата можно добиться с помощью уже упомянутой контекстной панели или раскрывающегося меню. Как будет показано далее, внешний вид графиков можно задавать непосредственно с помощью опций процедурыplot(). Однако на данном этапе это не является первостепенной задачей.

деривативов | Безграничное исчисление

Задача о производной и касательной

Использование дифференцирования позволяет решить задачу касательной линии путем нахождения наклона [латекс] f ‘(a) [/ латекс].

Цели обучения

Определите производную как наклон касательной к точке на кривой

Основные выводы

Ключевые моменты

Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке – это прямая линия, которая «едва касается» кривой в этой точке.
Прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точку [ латекс] (c, f (c)) [/ латекс] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ латекс], где [латекс] f’ [/ латекс] является производным от [латекс] f [/латекс].
Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом: [латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ latex].

Ключевые термины

касательная : линия, касающаяся кривой в одной точке, но не пересекающая ее в этой точке
секущая : линия, пересекающая кривую в двух или более точках

Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке – это прямая линия, которая «только касается» кривой в этой точке.Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точка [латекс] (c, f (c)) [/ latex] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ latex], где f ‘ – производное от [latex] f [/ latex ].

Касательная к кривой : линия показывает касательную к кривой в точке, представленной точкой.Он почти не касается кривой и показывает наклон скорости изменения в точке.

Предположим, что кривая задана как график функции, [латекс] y = f (x) [/ latex]. Чтобы найти касательную в точке [latex] p = (a, f (a)) [/ latex], рассмотрите другую ближайшую точку [latex] q = (a + h, f (a + h)) [/ latex ] на кривой. Наклон секущей линии, проходящей через [латекс] p [/ латекс] и [латекс] q [/ латекс], равен коэффициенту разности

[латекс] \ displaystyle {\ frac {f (a + h) – f (a)} {h}} [/ latex].

Когда точка [латекс] q [/ латекс] приближается к [латексу] p [/ латексу], что соответствует уменьшению и уменьшению [латекса] h [/ латекса], коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению [латекс] k [/ latex], который представляет собой наклон касательной в точке [latex] p [/ latex]. Если [латекс] k [/ латекс] известен, уравнение касательной можно найти в форме «точка-наклон»:

[латекс] y – f (a) = k (x-a) [/ латекс]

Предположим, что граф не имеет разрыва или острого края на [латексе] p [/ латексе], и он не является ни вертикальным, ни слишком изгибающимся рядом с [латексом] p [/ латексом]. Затем существует уникальное значение [latex] k [/ latex], так что по мере приближения [latex] h [/ latex] к [latex] 0 [/ latex] коэффициент разности становится все ближе и ближе к [latex] k [ / latex], и расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером [latex] h [/ latex], если [latex] h [/ latex] достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела коэффициентов разности для функции [latex] f [/ latex]. Этот предел является производной функции [латекс] f [/ латекс] при [латекс] x = a [/ latex], обозначаемый [латекс] f ‘(a) [/ latex].Используя производные, уравнение касательной можно записать следующим образом:

[латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ латекс].