Вычисление производных примеры: Примеры решения производных с ответами

Содержание

Производные чисел: способы вычисления и примеры

Наверное, понятие производной знакомо каждому из нас ещё со школы. Обычно у учеников возникают трудности с пониманием этой, несомненно, очень важной вещи. Она активно применяется в различных областях жизни людей, и многие инженерные разработки были основаны именно на математических расчётах, полученных с помощью производной. Но прежде чем перейти к разбору того, что же такое производные чисел, как их вычислять и где они нам пригодятся, окунёмся немного в историю.

История

Понятие производной, являющееся основой математического анализа, было открыто (лучше даже сказать “изобретено”, потому что в природе оно как таковое не существовало) Исааком Ньютоном, которого мы все знаем по открытию закона всемирного тяготения. Именно он впервые применил в физике это понятие для связывания природы скорости и ускорения тел. И многие учёные до сих пор восхваляют Ньютона за это великолепное изобретение, ведь по сути он изобрёл основу дифференциального и интегрального исчисления, фактически основу целой области математики под названием “математический анализ”. Будь в то время Нобелевская премия, Ньютон с большой вероятностью получил бы её несколько раз.

Не обошлось и без других великих умов. Кроме Ньютона над развитием производной и интеграла потрудились такие именитые гении математики, как Леонард Эйлер, Луи Лагранж и Готфрид Лейбниц. Именно благодаря им мы получили теорию дифференциального исчисления в таком виде, в котором она существует по сей день. Кстати, это Лейбниц открыл геометрический смысл производной, которая оказалась ничем иным, как тангенсом угла наклона касательной к графику функции.

Что же такое производные чисел? Немного повторим то, что проходили в школе.

Что такое производная?

Определять это понятие можно несколькими разными способами. Самое простое объяснение: производная – это скорость изменения функции. Представим график какой-нибудь функции y от x. Если это не прямая, то она имеет некоторые изгибы в графике, периоды возрастания и убывания. Если брать какой-нибудь бесконечно малый промежуток этого графика, он будет представлять собой отрезок прямой. Так вот, отношение размера этого бесконечно малого отрезка по координате y к размеру по координате x и будет являться производной данной функции в данной точке. Если рассматривать функцию в целом, а не в конкретной точке, то мы получим функцию производной, то есть некую зависимость игрек от икс.

К тому же кроме физического смысла производной как скорости изменения функции есть ещё и геометрический смысл. О нём мы сейчас и поговорим.

Геометрический смысл

Производные чисел сами по себе представляют собой некое число, которое без должного понимания не несёт никакого смысла. Оказывается, производная не только показывает скорость роста или уменьшения функции, а также тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не совсем понятное определение. Разберём его поподробнее. Допустим, у нас есть график какой-либо функции (для интереса возьмём кривую). На ней есть бесконечное множество точек, но есть такие области, где только одна единственная точка имеет максимум или минимум. Через любую такую точку можно провести прямую, которая была бы перпендикулярна графику функции в этой точке. Такая линия будет называться касательной. Допустим, мы провели её до пересечения с осью OX. Так вот, полученный между касательной и осью OX угол и будет определяться производной. А точнее, тангенс этого угла будет равняться ей.

Поговорим немного о частных случаях и разберём производные чисел.

Частные случаи

Как мы уже говорили, производные чисел – это значения производной в конкретной точке. Вот например, возьмём функцию y=x2. Производная х – число, а в общем случае – функция, равная 2*x. Если нам необходимо вычислить производную, скажем, в точке x0= 1, то получаем y'(1)=2*1=2. Всё очень просто. Интересный случай представляет производная комплексного числа. Вдаваться в подробное объяснение того, что такое комплексное число, мы не будем. Скажем лишь, что это число, которое содержит в себе так называемую мнимую единицу – число, квадрат которого равен -1. Вычисление такой производной возможно только при наличии следующих условий:

1) Должны существовать частные производные первого порядка от действительной и мнимой части по игрек и по икс.

2) Выполняются условия Коши-Римана, связанные с равенством частных производных, описанных в первом пункте.

Другим интересным случаем, хотя и не таким сложным как предыдущий, является производная отрицательного числа. На самом деле любое отрицательное число можно представить как положительное, умноженное на -1. Ну а производная постоянной и функции равна постоянной, умноженной на производную функции.

Интересно будет узнать о роли производной в повседневной жизни, и именно это сейчас и обсудим.

Применение

Наверное, каждый из нас хоть раз в жизни ловит себя на мысли, что математика вряд ли пригодится ему. А такая сложная штука, как производная, наверное, вообще не имеет применения. На самом деле, математика – фундаментальная наука, и все её плоды развивает в основном физика, химия, астрономия и даже экономика. Производная положила начало математическому анализу, который дал нам возможность делать выводы из графиков функций, и мы научились интерпретировать законы природы и обращать их в свою пользу благодаря ему.

Заключение

Конечно, не каждому, возможно, пригодится производная в реальной жизни. Но математика развивает логику, которая уж точно будет нужна. Не зря ведь математику называют царицей наук: из неё складываются основы понимания других областей знаний.

определение, как найти, примеры решений

Министерство образования Российской Федерации

МАТИ”- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра “Высшая математика”

Варианты курсовых заданий

Методические указания к курсовому заданию

«Пределы функций. Производные»

Кулакова Р. Д.

Титаренко В. И.

Москва 1999

Аннотация

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам первого курса усвоить теоретический и практический материал по теме «Математический анализ».

В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи.

В методических указаниях охвачены следующие темы: пределы функций, дифференцирование функций, заданных в различных видах, производные и дифференциалы высших порядков, правило Лопиталя, приложение производной к задачам геометрии и механики.

Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.

Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях.

1. Пределы функций

Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:

    Если необходимо найти предел

можно предварительно привести к общему знаменателю

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть

.


Тогда и подставив x=a, получим:
;

4.
, при подстановке х=0, получим

.

5. Однако, если необходимо найти предел рациональной функции

, то при делении на член с минимальной степенью, получим

; и, устремив х к 0, получим:

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

6.
; Сделаем замену переменной. Заменим
, при
, получим
.

7.
. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на
и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на

и разделим, на это же выражение. Тогда получим:

Для определения пределов часто используются замечательные пределы:

; (1)

. (2)

8.
.

Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на
, а знаменатель на
, тогда.

9.
Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда

, где
, а
, где
;

, а
, то окончательно
. Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций.

2. Производная

Производной от функции
называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или
.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке х, то есть
.

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций:


3. Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

7) Если , то есть
, где
и
имеют производные, то
(правило дифференцирования сложной функции).

4. Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения
, то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где
есть сложная функция от х,

.

в) заменить его выражением через х

.

Пример:

5. Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение
определяеткак неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения

, получим уравнение первой степени относительно;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример:
.

6. Дифференцирование функций, заданных

параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями
,

тогда
, или

Пример:

7. Приложение производной к задачам

геометрии и механики

Пусть
и
, где-угол, образованный с положительным направлением оси ОХ касательной к кривой в точке с абсциссой.

Уравнение касательной к кривой
в точке
имеет вид:

, где -производнаяпри
.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Угол между двумя кривыми
и
в точке их пересечения
называется угол между касательными к этим кривым в точке
. Этот угол находится по формуле

.

8. Производные высших порядков

Если есть производная от функции
, то производная отназывается второй производной, или производной второго порядка и обозначается, или
, или.

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка
; производнаяn-го порядка:

.

Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:

9. Вторая производная от неявной функции

-уравнение определяет , как неявную функцию от х.

а) определим
;

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства
,

причем, дифференцируя функцию
по переменной х, помним, чтоесть функция от х:


;

в) заменяя через
, получим:
и т. д.

10. Производные от функций, заданных параметрически

Найти
если
.

11. Дифференциалы первого и высших порядков

Дифференциалом первого порядка функции
называется главная, линейная относительно аргумента часть. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:
.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

.

Основные свойства дифференциала:

где
.

Если приращение
аргумента мало по абсолютной величине, то
и.

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
.

Аналогично:
.

.

Если
и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции

12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

и при
обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке
и, следовательно, представляет собой неопределенность типаилисоответственно. Поскольку это отношение в точке
может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),

и имеет место следующее равенство:

, если
и
.


=
.

Аналогичное правило имеет место, если
и
, т.е.
.


=

=
.

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа
и
. Для вычисления
, где
– бесконечно малая, а
– бесконечно большая при
(раскрытие неопределенности типа
) следует преобразовать произведение к виду

(неопределенность типа ) или к виду(неопределенность типа) и далее использовать правило Лапиталя.

Для вычисления
, где

и
– бесконечно большие при
(раскрытие неопределенности типа
) следует преобразовать разность к виду
, затем раскрыть неопределенностьтипа. Если
, то
.

Если же
, то получается неопределенность типа (
), которая раскрывается аналогично примеру 12).

Так как
, то получим в итоге неопределенность типа
и далее имеем

.

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа
. В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения
, где
в случае
есть бесконечно малая, в случае
– бесконечно большая, а в случае
– функция, предел которой равен единице.

Функция
в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если
, то
, затем находят предел
, и после чего находят предел. Во всех перечисленных случаях
является неопределенностью типа
, которую раскрывают аналогично примеру 12).

5.

(воспользуемся правилом Лопиталя)=

=
.

В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

и тогда
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

КУРСОВУЮ РАБОТУ ВКЛЮЧЕНА 21 ЗАДАЧА.

№1-4 – Вычисление пределов функций;

№5-10 – Найти производные функций;

№11 – Найти первую производную;

№12 – Вычислить функции, заданной параметрическом виде;

№13 – Найти d 2 y ;

№14 – Найти y ( n ) ;

№15 – Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке x 0 ;

№16 – Вычислить значение функции приближенно с помощью дифференциала;

№17 – Найти
;

№18 – Найти ;

№19 – Найти ;

№20-21 – Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

Вариант 1

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

Вычислить производную

5.
.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)”=u”+v”.(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=–=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)”=u”+v”.

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)”=u”v+uv”. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y”=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y”=Cu”(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

алгоритм и примеры решений. Производная первого порядка онлайн

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g” означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. (sin x)”=cos x
  2. (cos x)”= –sin x
  3. (x n)”=n x n-1
  4. (e x)”=e x
  5. (ln x)”=1/x
  6. (a x)”=a x ln a
  7. (log a x)”=1/x ln a
  8. (tg x)”=1/cos 2 x
  9. (ctg x)”= – 1/sin 2 x
  10. (arcsin x)”= 1/√(1-x 2)
  11. (arccos x)”= – 1/√(1-x 2)
  12. (arctg x)”= 1/(1+x 2)
  13. (arcctg x)”= – 1/(1+x 2)
Пример 1.
Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)”=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)”=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С – константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)” = 6*(x 8)”=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)”=f” + g”

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)”=100 x 99 и (sin x)”=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)”= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)”=f” – g”

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)”= – sin x.

(x 100 – cos x)”= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)”=e x , (tg x)”=1/cos 2 x, (x 2)”=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)”= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)”=f” * g + f * g”

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)”=–sin x и (e x)”=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)”= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)”= f” * g – f * g”/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)”=50 x 49 и (sin x)”= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)”= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))”=u”(v)*v”

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) – сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v – внутренней.

Например:

y=sin (x 3) – сложная функция.

Тогда y=sin(t) – внешняя функция

t=x 3 – внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)”=cos (t) – производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)”=3x 2 – производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))”= cos (x 3)* 3x 2 – производная сложной функции.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

{1.3}}$$.

Продолжайте практиковать задачи

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

Вычисление производных экспоненциальных функций

Показательная функция является одной из самых важных функций в исчислении.На этой странице мы выведем выражение для производной e x и применим его для вычисления производной других экспоненциальных функций.

Наш первый контакт с числом e и экспоненциальной функцией был на странице о непрерывных сложных процентах и ​​числе e. На этой странице мы дали интуитивное определение числа e, а также интуитивное определение экспоненциальной функции.

Мы также вывели альтернативное выражение для показательной функции. Новым выражением экспоненциальной функции был ряд, то есть бесконечная сумма .

Вы можете спросить, определение предела намного компактнее и проще, чем эта уродливая бесконечная сумма, зачем беспокоиться?

Оказывается, самый простой способ вывести правило получения производной от e x — это использовать это представление бесконечного ряда. Это почему? Выражение ряда для e x выглядит как многочлен.

Мы можем обобщить идею многочлена, допустив бесконечное число членов, как в выражении экспоненциальной функции.Бесконечный многочлен называется степенным рядом .

Отличительной чертой степенного ряда является то, что для вычисления его производной вы действуете точно так же, как и для многочлена. То есть вы берете производную почленно. Сделаем это с экспоненциальной функцией.

Производная e

x

Рассмотрим выражение ряда для показательной функции

Мы можем вычислить производную левой части, применив правило для производной суммы.То есть производная суммы равна сумме производных каждого члена

Вычисляем производную почленно

Мы знаем производные каждого из этих терминов

Мы применяем степенное правило для вычисления производной каждого члена

Я добавил дополнительный термин, чтобы прояснить схему. Теперь есть некоторые числа, которые компенсируют

. Мы сокращаем некоторые числа и приходим к удивительному результату.

Мы получили неожиданный результат. Выражение для производной такое же, как и для исходной функции.Это

Производная e x равна e x . Производная e x равна e x . Это одно из свойств, которое делает экспоненциальную функцию действительно важной.

Теперь можно на время забыть о выражении ряда для экспоненты. Он нам нужен только здесь, чтобы доказать результат выше. Теперь мы можем применить это для вычисления производной других функций, включающих экспоненту.

Пример 1: f(x) = e ax

Вычислим производную функции

На первый взгляд это может быть неочевидно, но это составная функция.Это означает, что нам нужно применить цепное правило. Внешняя функция экспоненциальная. Его производная равна самому себе. Внутренняя функция ax:

Производная внешней функции равна исходной функции

Это было просто. Может потребоваться еще несколько примеров, чтобы привыкнуть к тому факту, что производная экспоненты — это та же экспонента.

Пример 2: f(x) = e x 2

Рассмотрим теперь другую составную функцию

Чтобы вычислить его производную, снова применим цепное правило.Поскольку внешняя функция является показательной, ее производная равна самой себе

.

Пример 3: f(x) = e x (1-x 2 )

Вот это выглядит сложнее

Здесь у нас есть продукт, поэтому мы должны использовать правило продукта. Для этого мы идентифицируем два фактора

И применяем правило продукта

А теперь мы факторизуем e x , чтобы получить окончательный ответ.

Пример 4: f(x) = e cos(x) sin(x)

Рассмотрим следующую функцию

Это требует большего внимания, потому что нам нужно применить как правило произведения, так и правило цепочки.Давайте посмотрим, что я имею в виду. Во-первых, мы применяем правило продукта

Теперь, чтобы вычислить u’, нам нужно применить цепное правило

Подключаем это к правилу продукта

Пример 5: Экспонента с другим основанием, f(x)=a x

Теперь давайте рассмотрим экспоненту с основанием, отличным от e.

Как вычислить производную этой функции? Мы используем прием, который регулярно используется при работе с логарифмами. Мы можем записать эту функцию как

.

Вы можете проверить истинность этого равенства, используя определение логарифма.Теперь мы воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет нам брать степени из логарифмического знака

.

Теперь это экспоненциальная функция с основанием e, производную которой мы умеем вычислять.

Но используя уравнение несколькими строками выше, мы можем записать это как

Это показывает одну из причин, по которой естественным выбором основания экспоненциальной функции является число e. Для любого другого основания вы получите это ln(a), засоряющее выражение его производной.

Пример 6: f(x) = a x 2

Рассмотрим

Здесь нужно применить цепное правило.Внешняя функция экспоненциальная, поэтому мы знаем, как вычислить ее производную из предыдущего примера

.

Так и есть. Следующим вашим шагом может быть изучение производной ln(x). Если у вас есть какие-либо сомнения или вы хотите обсудить собственную проблему, просто оставьте мне комментарий ниже.

World Web Math: производные полиномов

Это никогда больше не будет так просто, хотя и не намного Сильнее.

Прежде чем перейти к самому общему случае, рассмотреть y = f ( х ) = х 2 .Как показано, это самая простая парабола. производная от f ( x ) все еще можно найти из базовой алгебры:

Это говорит нам именно то, что мы ожидаем; производная равна нулю в x = 0, имеет тот же знак, что и x , и становится круче (более отрицательное или положительное) по мере того, как x становится более отрицательным или положительный.

Интересный результат нахождения эта производная состоит в том, что наклон секущей равен наклону функция в середине отрезка.Конкретно,

(На приведенном рисунке 90 226 x 90 227  = -1 и ч  = 3, поэтому ( x + ч /2) = +1/2.
Обратите внимание, что параболические функции доступны только для . (кроме линейных или постоянных функций), для которых это всегда истинный.

Отсюда можно и нужно считать y = f ( x ) = x n для любое положительное целое число n . Есть много способов сделать это, с разной степенью официальности.

Для начала рассмотрим, что для n положительное целое число биномиальная теорема позволяет нам выразить f ( x +h) как

(В приведенном выше всегда будет не более n +1 ненулевые члены.) Затем алгебра снова дает нам

Видно, что эта очень удобная форма воспроизводит приведенные выше результаты для n =1, n =2 и даже n =0, что является случай с =1.
Приведенный выше результат можно получить из индуктивного процесса, используя правило произведения, но индуктивный шаг подобен тому, который позволяет распространение биномиальной теоремы на все положительные целые числа и добавляет немного для этой презентации.

Расширение от f ( x )= x n произвольным полиномам (здесь будет рассматриваться только конечный порядок) нужны только два простых, возможно, даже очевидных результата:

  • Производная суммы двух функций есть сумма производные.
  • Производная функции, умноженная на константу, равна производная функции, умноженная на ту же константу.

В символах эти результаты

В приведенном выше c есть константа, и дифференцируемость функций в искомых точках.

Объединяя все эти результаты, мы видим, что для коэффициенты a k все константы,

Это часто можно увидеть в записи суммирования как


Примеры


Упражнения:

Найдите производную по x следующего функции:


Решения к упражнениям | Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math
ватко@мит. образование
Последнее изменение: 28 августа 1998 г.

производных степенных функций e | Расчетный номер

Пример производных e

Константа пропорциональности

Когда мы говорим, что отношение или явление является «экспоненциальным», мы подразумеваем, что некоторая величина — электрический ток, прибыль, население — увеличивается быстрее, чем увеличивается величина. Другими словами, скорость изменения данной переменной пропорциональна значению этой переменной.\frac{V_D}{0,026}$$.

 

РОДСТВЕННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

6 – Использование в экономике

Раздел 6

Использование частных производных в экономике; Некоторые примеры


Предельные функции

Учитывая, что функция полезности \(u = f(x,y)\) является дифференцируемой функцией и функцией двух товаров, \(x\) и \(y\):
   Предельная полезность \( x\) , \(MU_{x}\), является частной производной первого порядка относительно \(x\)
   И предельная полезность \(y\) , \(MU_{y}\) , является частной производной первого порядка по \(y\)

Аналогично, если производственная функция является функцией капитала \((K)\) и труда \((L)\), \(Q = f(K,L)\), предельный продукт капитала, \(MP_{K}\) измеряется путем взятия частной производной первого порядка по \(K\), а предельный продукт труда, \(MP_{L}\), измеряется путем взятия первого порядка частная производная по \(L\). {0,6}$$


Измерение наклона кривых безразличия и изоквант

Кривая безразличия соединяет потребительские корзины, которые обеспечивают одинаковый уровень удовлетворения для потребителя. Предположим, потребитель потребляет два товара \(x\) и \(y\). Кривая безразличия показывает набор различных комбинаций \((x,y)\), при которых потребитель получает одинаковое удовлетворение, скажем, например, \(k\): $$u(x,y) = k$$ Где \(k\) — константа.

Ниже показана типичная кривая безразличия.

Рисунок 1

Предположим, что потребитель перемещается из \(A\) в \(B\) по той же кривой безразличия. Это движение приводит к изменению \(х\), что равно \(dx\), и изменению \(у\), что равно \(dy\). Изменение полезности из-за изменения \(x\) составляет \(MU_{x}dx\). Изменение полезности из-за изменения \(y\) составляет \(MU_{y}dy\). Однако в конце концов общая полезность не меняется, поскольку потребитель остается на той же кривой безразличия. Следовательно, мы можем записать это на той же кривой безразличия: $$(\text{предельная полезность } x) \times (\text{изменение } x) + (\text{предельная полезность } y) \times (\text{изменение } y) = 0$$ $$MU_{x}dx + MU_{y}dy = 0$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\; MU_{y}dy = -MU_{x}dx$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \frac{dy}{dx} = -\frac{MU_{x}}{MU_{y}}$$ Здесь \(MU_{x} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}\) и \(MU_{y} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial у}\) И \(\frac{dy}{dx} = -\frac{MU_{x}}{MU_{y}}\) – это наклон кривой безразличия .

Точно так же мы можем найти наклон изокванты, кривой, показывающей различные комбинации факторов производства, капитала \((K)\) и труда \((L)\), которые обеспечивают одинаковый уровень производства \(( В)\).

Если изокванта равна \(Q(K,L) = k\), где \(k\) – константа,

Его наклон: $$\frac{dK}{dL} = -\frac{MP_{L}}{MP_{K}}$$ К этому времени вы должны быть знакомы с терминами \(MU\) (предельная полезность, не скучаю по вам!) и \(MP\) (предельный продукт).{0,5} = 200\). Вычислите наклон изокванты.


Предельная норма замещения (MRS) и предельная норма технического замещения (MRTS)

Предельная норма замещения измеряет готовность потребителя заменить один товар другим, оставаясь на той же кривой безразличия. Как правило, \(MRS_{x,y}\) в точке является отрицательным наклоном кривой безразличия в этой точке. Например, на следующем графике наклон кривой безразличия в точке \(A\) равен \(-5\), что означает, что \(MRS_{x,y}\) в точке \(A\) равен \(5\). Это говорит о том, что в точке \(A\) потребитель готов пожертвовать \(5\) единиц \(y\) только за \(1\) единицу \(x\), поддерживая постоянную полезность. \(MRS\) не везде одинакова на типичной нисходящей, нелинейной, выпуклой кривой безразличия . Например, в точке \(D\) той же кривой безразличия ниже наклон кривой безразличия равен \(-2\), что означает, что \(MRS_{x,y}\) в точке \(D\ ) равно \(2\). Потребитель готов пожертвовать только \(2\) единицами \(y\), чтобы получить \(1\) единицами \(x\).Это связано с тем, что в точке \(D\) потребитель уже имеет больше \(x\) по сравнению с набором в точке \(A\), что приводит к уменьшению его предельной полезности от \(x\).

Рисунок 2

Точно так же мы измеряем предельную норму технического замещения, \(MRTS_{L,K}\), сначала определяя наклон, а затем взяв абсолютное значение наклона. Значение \(MRTS_{L,K} = 5\) означает, что, заменив \(5\) единиц \(K\) на \(1\) единицу \(L\), все еще возможно производить тот же уровень продукции вокруг этой точки.

Пожалуйста, запомните слова типичный, общий и т.д., потому что в особых случаях эти характеристики могут не иметь места. Если два товара являются совершенными заменителями, например чай и кофе, то \(MRS\) постоянна вдоль кривой безразличия. И если два товара являются совершенными дополнениями, например, левый ботинок и правый ботинок, между товарами не существует замены. На протяжении всей главы мы обсуждаем общие/типичные случаи, когда кривые безразличия и изокванты нелинейны, имеют наклон вниз, выпуклы к началу координат и следуют другим обычным свойствам функции Кобба-Дугласа.{0,5} = к\). Вычислите \(MRTS_{L,K}\), когда \(L = 4\) и \(K = 4\).


Производные и их применение в реальном мире

Вы когда-нибудь слышали о термине «дериватив»? Что ж! Это фундаментальный инструмент исчисления. Что делает его уникальным, так это тот факт, что этот инструмент может вычислить изменение функции в любой точке. В исчислении это понятие столь же важно, как и интеграл, который является обратным производной, также называемой антипроизводной.

Концепция скорости изменения делает ее ценным активом во многих реальных приложениях.Например, с помощью этого понятия можно проверить разнообразие температур. В этой статье мы подробно обсудим его определение, а также практическую полезность.

Теперь приступим, сначала попробуем разобраться в понятиях производной и дифференцирования.

Определение:

Производная переменной определяется как мера для вычисления скорости изменения выходного значения функции по мере его отклонения от начального значения или входного значения.Здесь важен фактор времени, изменение входной и выходной стоимости при изменении времени.

Давайте рассмотрим пример движущегося объекта, положение этого объекта, начиная с начальной точки, относительно времени рассматривается как скорость объекта. Это говорит нам об относительной быстроте отклонения объекта от своего положения с течением времени.

Здесь на изображении выше показана касательная. Наклон касательной в отмеченной точке представляет собой производную функции.Изменение может быть спроецировано отношением изменения функции Y (зависимая переменная) к изменению переменной x (независимая переменная).

Обозначение

Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц ввел нотацию, в которой давались символы; dx, dy и dy/dx. Он обычно используется, когда уравнение y=f(x) рассматривается как ассоциация зависимых и независимых переменных.

Эти символы используются для определения бесконечно малых (очень маленьких) приращений.С другой стороны, такие символы, как Δx и Δy, используются для представления конечных приращений x и y.

Дифференциация:

Это процесс, помогающий вычислить производную, точно так же, как интегрирование вычисляет интеграл. Эта операция обратна интегрированию.

Предположим, что y является линейной функцией x. В этом примере y = f ( x ) = m x + b , пусть m и b – действительные числа, наклон m выражается

                 Наклон = m = изменение y / изменение x = Δy/ Δx

 Здесь Δy = f(x + Δx) – f(x), приведенное выше уравнение возникает потому, что;

                           = y+ Δy = f(x + Δx)

                                        = m(x + Δx) + b = mx + mΔx + b = y + mΔx

Это дает нам наклон линии, Δy = mΔx

Применяется к прямой линии, если график нелинейный, то изменение колеблется в значительных пределах. Дифференциация является эффективным методом вычисления этого изменения для определенного значения x.

Практическое применение:

Этот инструмент не ограничивается только математическими задачами, он имеет широкий спектр практического применения. В этом мире нет ничего бесполезного, когда мы говорим, что что-то нельзя использовать, мы на самом деле не знаем, как это использовать. Тот, кто знает его полезность, не перестанет думать об этом.

Уникальность этой концепции заключается в ее предсказательной способности оценивать изменение количества.Будь то скорость, импульс, температура и даже бизнес-спекуляции, все варианты могут быть рассчитаны с использованием производной.

Использование в физике:

Как мы упоминали выше, пример относительного положения движущегося тела может помочь нам рассчитать скорость.

Таким же образом можно найти производные от ускорения и импульса.

Использование в химии:

В химии можно предсказать концентрацию элемента, участвующего в реакции, изменение концентрации.

Точно так же для измерения скорости химических реакций и проверки вклада и потери соединения во время реакции.

Использование в экономике:

В настоящее время принятие решений в экономике стало более математическим. Статистические и математические принципы применяются при принятии решений относительно возможной прибыли или убытка от инвестиций.

Столкнувшись с массивными статистическими данными, зависящими от множества переменных, возникла потребность в каком-то инструменте, который мог бы помочь аналитикам.

Здесь вычисления оказались полезными. Он реализовал производные концепции для прогнозирования результатов различных инвестиционных возможностей.

В конечном счете это позволило аналитикам выбрать один вариант, который может оказаться продуктивным с точки зрения прибыльности.

В конце концов, я надеюсь, что эта статья поможет вам понять и применить концепции исчисления в практических областях. Если вас интересуют методы расчета этого фундаментального исчисления, попробуйте этот калькулятор производных.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.