Вычислить используя формулу муавра: Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.

4.3. Формула Муавра и извлечение корня п-ой степени из комплексного числа

Вычислив произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно убедиться, что модуль и аргумент комплексного числа обладают следующими свойствами:

. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: .

. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел: .

Используя эти свойства, легко можно получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень, а именно:

если , то

–формула Муавра,

или в показательной форме записи:

.

Определение. Корнем п-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, которое, будучи возведено в степеньп даст число .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент

Таким образом,

(1)

Придавать значения, большие, не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до).

Следовательно, корень п-ой степени из комплексного числа имеетп различных значений, модули которых одинаковы (), т.е. все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса, а аргументы последовательных значений отличаются на угол.

Пример 4. Используя формулу Муавра, вычислить:

а) ; б)

Решение. а) Представим число в тригонометрической форме. Имеем:

. Значит,

–тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

б) Представим число в тригонометрической форме. Имеем:. Поэтому

–тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

Пример 5. Найти все значения корня: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме. ЗдесьПоэтому

.

По формуле (1) находим:

где

Полагая , получим:

Найденным корням соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 3).

Рис. 3.

4.4. Функции комплексного переменного

Говорят, что в области определена функция, если каждой точкепоставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений.

Пусть и. Тогда зависимостьмежду комплексной функциейи комплексной переменнойможет быть описана с помощью двух действительных функцийидействительных переменныхи:,.

Таким образом, функцию можно записать в виде:

,

где – действительная часть;– мнимая часть.

Основные элементарные функции комплексного переменного

1. Показательная функция

где

.

Свойства показательной функции:

1. Непрерывна на всей комплексной плоскости;

2. Периодична с периодом т.е.;

3. Принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение разрешимо для любого;

4. ;

Выразить sin4φ, используя формулу Муавра : Школьная алгебра

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Dellghin	Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 26. 09.2013, 18:46
10/03/13 74	Здравствуйте, задание: Используя формулу Муавра, выразить через и функцию . Пришел к уравнению . Далее раскрыл и левую скобку по биному Ньютона, получилось уравнение: . Правильно ли это?

Someone	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 26. 09.2013, 19:12
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	Dellghin в сообщении #768049 писал(а): раскрыл А зачем? Dellghin в сообщении #768049 писал(а): Пришел к уравнению . Это правильно. Dellghin в сообщении #768049 писал(а): . Правильно ли это? А это ерунда. Вы можете сформулировать условие равенства двух комплексных чисел? Когда ?

Sinoid	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 26.09.2013, 19:13
03/06/12 2352	После раскрытия левой скобки по биному, нужно отдельно группировать действительные и мнимые члены, а потом приравнять мнимые части, так что в ответе хоть как не остается.

Someone	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 26.09.2013, 19:18
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	(Sinoid) Извините, но нельзя уж так сразу решение излагать. Помочь додуматься надо, но не сводить задачу к тупому переписыванию.

Sinoid	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 26.09.2013, 21:11
03/06/12 2352	(Оффтоп) Дело в том, что у меня пока узкий математический кругозор (я занимаюсь самообразованием), а развиваться и поболтать ну очень хочется

Dellghin	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 27. 09.2013, 03:22
10/03/13 74	Получается так: . Но если подставить число, то правая часть не равна левой…

Ms-dos4	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 27. 09.2013, 03:30
Заслуженный участник 25/02/08 2961	Как вы их так раскрываете? По обычному биному Ньютона имеем Нам нужна мнимая часть. Имеем

Dellghin	Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра 27. 09.2013, 04:03
10/03/13 74	Извините, ошибся… Всем спасибо!

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 8 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

n = \cos(nx) + i\sin(nx). k \times ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \big( \cos (kx) + i \sin (kx) \big) ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \cos (kx) \cos x – \sin(kx) \sin x + i\big( \sin (kx) \cos x + \cos(kx) \sin x\big) \\ & = \cos \big[(k+1)x\big] + i \sin \big[(k+1)x\big].\ _\square \end{массив}(cosx+isinx)k+1​=(cosx+isinx)k×(cosx+isinx)=(cos(kx)+isin(kx))(cosx+isinx)=cos(kx)cosx −sin(kx)sinx+i(sin(kx)cosx+cos(kx)sinx)=cos[(k+1)x]+isin[(k+1)x]. □​​ 9{ i\frac{n}{2} \theta} \frac{2i \sin \left[ ( \frac{n+1}{2})\theta \right] } { 2i \sin \left(\frac{ 1}{2} \тета\справа)} . eiθ−1ei(n+1)θ−1​=ei21​θei(2n+1​)θ​×ei21​θ−e−i21​θei(2n+1​)θ−e−i(2n+1​ )θ​=ei2n​θ2isin(21​θ)2isin[(2n+1​)θ]​.

Разделив мнимые части, получим

грех⁡(n2θ)sin⁡(n+12θ)sin⁡(12θ). □ \frac{ \sin \left( \frac{n}{2} \theta \right) \sin \left( \frac{n+1}{2} \theta \right) } { \sin \left( \ frac{1}{2} \theta \right) }.\ _\square sin(21​θ)sin(2n​θ)sin(2n+1​θ)​. □​ 9{n-1} = 0.\ _\square1+ζ+ζ2+⋯+ζn−1=0. □​

31−2δ11−2δ1+31−2δ21−2δ2+31−2δ31−2δ3 \dfrac{31-2\delta_{1}}{1-2\delta_{1}} +\dfrac{31-2\ delta_{2}}{1-2\delta_{2}}+\dfrac{31-2\delta_{3}}{1-2\delta_{3}} 1−2δ1​31−2δ1​+1− 2δ2​31−2δ2​​+1−2δ3​31−2δ3​

Если 1,δ1,δ2,δ31,\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3}1,δ1​, δ2, δ3 — различные корни четвертой степени из единицы, затем оцените приведенное выше выражение.

Цитировать как: Теорема де Муавра. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/de-moivres-theorem/

Объяснение урока: Теорема Муавра

В этом объяснении мы узнаем, как находить степени и корни комплексных чисел и как используйте теорему де Муавра для упрощения вычислений степеней и корней.

Вспомните тождество для умножения комплексных чисел в полярной форме.

Для двух комплексных чисел 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус и 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин, их произведение равно 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).коссин

Обратите внимание, что если мы установим 𝑧=𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус в приведенном выше уравнении, мы получим (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(2𝜃+𝑖2𝜃).cossincossin

Это уравнение показывает, что для квадрата комплексного числа мы можем применить квадрат непосредственно к модулю и умножьте аргумент на два. Можно предположить, можно ли обобщить это правило на другие положительные степени комплексное число.

На самом деле аналогичную формулу можно вывести и для отрицательной степени комплексного числа. Вспомнить личность для деления комплексных чисел в полярной форме, используя те же 𝑧 и 𝑧, что и выше: 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).коссин

Настройка 𝑧=1=1(0+𝑖0)коссин и 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин выше, получаем соотношение для уравнения обратной связи: 1𝑟(𝜃+𝜃)=1𝑟((0−𝜃)+𝑖(0−𝜃)),коссинкосин который мы упрощаем, чтобы получить (𝑟(𝜃+𝜃))=𝑟((−𝜃)+𝑖(−𝜃)).cossincossin

То есть возведение комплексного числа в степень −1 равносильно взятию модуля в степени −1 и умножение аргумента на −1.

Увидев похожие формулы как для положительных, так и для отрицательных степеней комплексного числа, мы могли бы предсказать, что мы можно дополнительно обобщить эти правила в отношении для всех целых степеней.

Мы действительно можем это сделать, и результат известен как теорема де Муавра. Для любого целого числа Начнем с того, что покажем, что это правда в случае, когда 𝑛=1. При 𝑛=1 левая часть равна (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)=𝑟((1×𝜃)+𝑖(1×𝜃)),cossincossincossin, что является правой частью. Следовательно, де Теорема Муавра верна для 𝑛=1.

Теперь предположим, что это верно для некоторого натурального числа 𝑘: (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃).cossincossin

Теперь нам нужно показать, что из этого следует, что теорема де Муавра верна для 𝑘+1. Таким образом, мы пишем это как (𝑟 (𝜃+𝑖𝜃)) = 𝑟 (𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃) (𝑟 (𝜃+𝑖𝜃)) = 𝑟 (𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃) (𝜃+𝑖𝜃) .cossincossincossossossin

Расширение скользя. у нас есть0013

Используя 𝑖=−1 и собрав действительные и мнимые члены, мы получаем (𝑟 (𝜃+𝑖𝜃)) = 𝑟 (𝑘𝜃𝜃 – 𝑘𝜃𝜃+𝑖 (𝑘𝜃𝜃+𝑘𝜃𝜃)). Коссинкоссцинсинсинсинскос.

Используя тригонометрические идентичности с добавлением и вычитанием, sinsincoscosscoscoscossinsin (𝐴 ± 𝐵 𝐵 𝐴𝐵 ,(𝐴±𝐵)=𝐴𝐵∓𝐴𝐵, мы можем переписать это как (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟((𝑘𝜃+𝜃)+𝑖(𝑘𝜃+𝜃))=𝑟(((𝑘+1)𝜃)+𝑖((𝑘+1)𝜃)).cossincossincossin 

Следовательно, поскольку теорема Муавра верна для 𝑛=1, и при условии, что она верна для 𝑛=𝑘, верно для 𝑛=𝑘+1, то по математической индукции верно для все положительные целые числа 𝑛. Чтобы доказать теорему де Муавра для отрицательных целых чисел, мы можем использовать только что доказанный результат и взаимные тождества. Пусть 𝑛 — целое положительное число. Тогда (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=(𝑟(𝜃+𝑖𝜃)).cossincossin

Используя теорему де Муавра для натуральных чисел, мы имеем (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=(𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃)).cossincossin

Теперь мы можем применить взаимное соотношение, чтобы получить (𝑟 (𝜃+𝑖𝜃))=𝑟((−𝑛𝜃)+𝑖(−𝑛𝜃)).cossincossin

Следовательно, мы показали, что это так для отрицательных целых чисел. Случай, когда 𝑛=0 доказывается тривиально. Таким образом, мы показали, что де Муавр теорема верна для всех 𝑛∈ℤ.

Для более краткого доказательства мы можем использовать следующую формулу Эйлера: (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑒.cossin

Поскольку 𝑛 является целым числом, мы можем переписать это как (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑒.cossin

Снова используя формулу Эйлера, мы получаем (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟( 𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃).cossincossin

Теперь мы рассмотрим ряд примеров, где использование этой теоремы значительно упрощает наши расчеты.

Пример 1: Использование теоремы Де Моивра на произведение сложных мощностей

Упрощение √53𝜋14+𝑖3𝜋14√35𝜋22+𝑖5𝜋22cossincossin .

Ответ

Применяя теорему Муавра к каждому комплексному числу, мы имеем √53𝜋14+𝑖3𝜋14√35𝜋22+𝑖5𝜋22 = √57 × 3𝜋14+𝑖7 × 3𝜋14√3 11 × 5𝜋22+𝑖11 × 5𝜋22 = 125√53𝜋2+𝑖3𝜋2243√35𝜋2+𝑖5𝜋2.cossossossossossossossossin 

Используя правило умножения комплексных чисел в полярной форме, 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)),коссин, мы можем переписать это как √53𝜋14+𝑖3𝜋14√35𝜋22+𝑖5𝜋22 = 125√5243√33𝜋2+5𝜋2+𝑖3𝜋2+ 5𝜋2=30375√15(4𝜋+𝑖4𝜋).cossincossincossincossin

Упрощая, используя cos4𝜋=1 и sin4𝜋=0, Мы имеем √53𝜋14+𝑖3𝜋14√35𝜋22+𝑖5𝜋22 = 30375√15.cossincossin

Последний пример демонстрирует, что использование теоремы Де Моивра Де Моивра. значительно упрощает расчеты. Имея это в виду, если нам нужно решить задачу, связанную с большими степенями комплексные числа предпочтительно начинать с их выражения в полярной или экспоненциальной форме. Следующий пример продемонстрирует этот процесс.

Пример 2. Вычисление деления комплексных чисел с большими степенями

Упростить 18(−𝑖+1)(𝑖+1).

Ответ

Начнем с преобразования комплексных чисел в числителе и знаменателе в полярные форма. Начиная с числителя, его модуль определяется выражением |−𝑖+1|=1+(−1)=√2. Так как его действительная часть положительна и его мнимая часть отрицательна, он лежит в четвертом квадранте, поэтому мы можем найти его аргумент путем вычисления функции арктангенса следующим образом: argarctan(−𝑖+1)=−11=−𝜋4.

Следовательно, мы можем выразить это в полярной форме как −𝑖+1=√2−𝜋4+𝑖−𝜋4.cossin

Аналогично, модуль знаменателя равен |𝑖+1|= √1+1=√2. Поскольку и его действительная, и мнимая части положительны, оно лежит в первый квадрант, и мы можем найти его аргумент, вычислив argarctan(𝑖+1)=11=𝜋4.

Следовательно, знаменатель может быть выражен как 𝑖+1=√2𝜋4+𝑖𝜋4косинус в полярной форме. Теперь мы можем переписать всю дробь как 18(−𝑖+1)(𝑖+1)=18√2−+𝑖−√2+𝑖. коссинкоссин

Применение теоремы Муавра к комплексным числам в числителе и знаменателя, мы можем переписать это как 18(−𝑖+1)(𝑖+1)=18√2−39×+𝑖−39×√241×+𝑖 41×.cossincossin

Использование правила отношения для комплексного числа в полярной форме, если 𝑧=𝑟(𝜃+𝑧𝜃) коссин и 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин, 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)),коссин мы можем переписать это как 18(−𝑖+1)(𝑖+1)=18√2−39×𝜋4−41×𝜋4+𝑖−39×𝜋4−41×𝜋4=9((−20𝜋 )+𝑖(−20𝜋))=9.коссинкоссин

Одним из следствий теоремы де Муавра является то, что мы можем обобщить свойства модуля и аргумента в произвольных целых степенях. Это дает нам следующие тождества.

Идентичность: Степени, применяемые к модулю и аргументу

Для любого комплексного числа 𝑧 и целого числа 𝑛, |𝑧|=|𝑧|,(𝑧)=𝑛(𝑧).argarg

Иногда использование этих тождеств более полезно для решения некоторых задач, чем напрямую используя теорему де Муавра, как продемонстрирует следующий пример.

Пример 3: Решение задач со степенями комплексных чисел

Учитывая, что 𝑍=√3−𝑖|𝑍|=32и, определите главную амплитуду 𝑍.

Ответ

Подставляя значение 𝑍=√3−𝑖 в |𝑍|=32 дает ||√3−𝑖||=32.

Используя свойства модуля, мы можем переписать это как ||√3−𝑖||=32.

Теперь | |√3−𝑖||=√3+(−1)=√4=2; следовательно, 2=32.

Следовательно, 𝑛=5. Следовательно, 𝑍=√3−𝑖.

Взятие аргумента обеих сторон дает argarg(𝑍)=√3−𝑖.

Используя свойства аргумента, мы имеем argarg(𝑍)=5√3−𝑖.

Теперь мы можем найти аргумент √3−𝑖. Так как его действительная часть положительна, а его мнимая часть отрицательна, лежит в четвертом квадранте, и следовательно, мы можем найти его аргумент, вычислив argarctan√3−𝑖=−1√3=−𝜋6.

Следовательно, arg(𝑍)=5×−𝜋6=−5𝜋6.

Мы можем подтвердить, что это действительно основная часть рассуждения, поскольку −𝜋−5𝜋6𝜋. Следовательно, главная амплитуда 𝑍 равна −5𝜋6.

Иногда бывает полезно упростить выражение, с которым мы работаем, или отметить ключевые свойства, которые могут иметь, прежде чем применить теорему де Муавра. В следующем примере мы увидим, как степени комплексно-сопряженных чисел можно решить с помощью теоремы де Муавра.

Пример 4. Нахождение разности комплексных степеней

Что такое (−2+2𝑖)−(−2−2𝑖)?

Ответ

В этом примере мы могли бы преобразовать каждое число в полярную форму и применить формулу де Муавра. теорема. Однако сначала стоит отметить, что это уравнение имеет вид 𝑧−𝑧. Учитывая этот факт, нам следует задуматься о том, могли бы применить некоторые свойства комплексно-сопряженных чисел, чтобы упростить нашу расчет. Во-первых, давайте рассмотрим общее комплексное число в полярной форме 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин и его сопряженное 𝑧=𝑟((-𝜃)+𝑖(-𝜃))коссин. Поэтому применение де теорему Муавра, мы можем переписать

𝑧 – 𝑧 = 𝑟 (𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃) −𝑟 (( – 𝑛𝜃)+𝑖 (−𝑛𝜃)) = 𝑧- (𝑧) . cossincossinsin

(1)

Используя свойство комплексного сопряжения, 𝑧−𝑧=2𝑖(𝑧), полагая 𝑧=𝑧, имеем

𝑧−(𝑧)=2𝑖(𝑧).Im

(2)

Объединяя уравнения (1) и (2), находим 𝑧−𝑧=2𝑖(𝑧).Im

Отсюда получаем, что (−2+2𝑖)−(−2−2𝑖)=2𝑖(−2+2𝑖).Im

Теперь мы можем найти модуль и аргумент (−2+2𝑖). Во-первых, это модуль |−2+2𝑖|=(−2)+2=2√2. Так как его действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, то он лежит во втором квадрант, и мы можем найти его аргумент, вычислив argarctan(−2−2𝑖)=2−2+𝜋=−𝜋4+𝜋=3𝜋4.

Используя теорему де Муавра, мы можем написать (−2+2𝑖)=2√24×3𝜋4+𝑖4×3𝜋4=64(3𝜋+𝑖3𝜋). , (−2+2𝑖)−(−2−2𝑖)=2𝑖(−2+2𝑖)=128𝑖3𝜋=0.Imsin

Обратите внимание, что в предыдущем примере, используя теорему де Муавра, мы показали, что для любого комплексное число 𝑧, 𝑧=(𝑧).

Теперь мы рассмотрим, как мы можем использовать теорему де Муавра для нахождения корней комплексных числа.

Пример 5. Использование теоремы Муавра для нахождения корней комплексного числа

Рассмотрим уравнение 𝑧=2√3+2𝑖.

1. Выразите 2√3+2𝑖 в полярной форме, используя общую форму Аргумент.
2. Применяя теорему де Муавра к левой части, перепишем уравнение в полярной форме.
3. Приравнивая модули и аргументы и учитывая различные значения общий аргумент, найдите 3 кубических корня из 2√3+2𝑖, выражая их в экспоненциальной форме.

Ответ

Часть 1

Сначала мы вычисляем модуль 2√3+2𝑖 следующим образом: ||2√3+2𝑖||=2√3+2=√12+4=√16=4.

Во-вторых, мы вычисляем аргумент. Так как его действительная и мнимая части положительны, у нас есть комплексное число в первом квадранте, и мы можем вычислить его главный аргумент оценивая аргарктан2√3+2𝑖=22√3=𝜋6.

Мы получаем общую форму аргумента из основного аргумента, добавляя целое число кратно 2𝜋. Следовательно, мы можем записать его общий аргумент как 𝜋6+2𝜋𝑘, где 𝑘∈ℤ. Следовательно, мы можем выразить 2√3+2𝑖 в полярной форме, используя общий форма аргумента выглядит следующим образом: 2√3+2𝑖=4𝜋6+2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘коссин для 𝑘∈ℤ.

Часть 2

Мы можем выразить 𝑧 в полярной форме следующим образом 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Следовательно, мы можем переписать уравнение как +2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘.cossincossin

, применив теорему Де Моивра, мы получаем 𝑟 (3𝜃+𝑖3𝜃) = 4𝜋6+2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘.cossincossossin

Часть 3

Приравнивание модулей дает 𝑟=4 и, следовательно, 𝑟=√4. Приравнивание аргументов дает нам 3𝜃=𝜋6+2𝜋𝑘.

Следовательно, 𝜃=+2𝜋𝑘3=𝜋18+2𝜋𝑘3.

Теперь рассмотрим три последовательных значения 𝑘, чтобы найти три отдельные корни. Начиная с 𝑘=0, имеем 𝜃=𝜋18. Далее мы рассматриваем 𝑘=1, что дает 𝜃=13𝜋18. Наконец, учитывая 𝑘=2, получаем 𝜃=25𝜋18. Так как это не в диапазоне ]−𝜋,𝜋], мы можем вычесть 2𝜋, чтобы получить главный аргумент: 𝜃=−11𝜋18. Следовательно, три различных корня 2√3+2𝑖: 𝑧=√4𝑒, √4𝑒, √4𝑒.0013

Абстрагируя метод, использованный в предыдущем вопросе, мы приходим к формуле де Муавра. теорема для корней.

Теорема: Теорема де Муавра для корней

Для комплексного числа 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косин, 𝑛-ые корни задаются 𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛коссин 𝑘=0,1,…,𝑛−1.

Обратите внимание, что для нахождения главных аргументов корней в приведенной выше теореме может потребоваться вычтите 2𝜋 из полученных аргументов.

Чтобы закончить это объяснение, мы рассмотрим еще один пример, где мы применяем метод де Муавра. теорема нахождения корней.

Пример 6. Использование теоремы де Муавра для корней для нахождения комплексных корней числа форма.

Ответ

Начнем с выражения −1 в полярной форме. Ясно, что его модуль равен 1 и его аргумент 𝜋. Следовательно, применяя теорему де Муавра для корни, его 4 корня четвертой степени задаются как 3. Рассматриваем каждое значение 𝑘 по очереди. Начиная с 𝑘=0, у нас есть косинус𝜋4+𝑖𝜋4.

Для 𝑘=1 имеем косинус3𝜋4+𝑖3𝜋4.

Для 𝑘=2 имеем косинус5𝜋4+𝑖5𝜋4.

Однако, поскольку этот аргумент не находится в диапазоне основного аргумента, мы можем вычтите 2𝜋, чтобы получить косинус−3𝜋4+𝑖−3𝜋4.

Наконец, для 𝑘=3 имеем косинус7𝜋4+𝑖7𝜋4.

Опять же, этот аргумент не находится в диапазоне основного аргумента, поэтому мы можем вычтите 2𝜋, чтобы получить косинус−𝜋4+𝑖−𝜋4.

Соединяя все эти значения вместе, мы получаем, что четвертые корни из −1 — это 𝜋4+𝑖𝜋4косинус, 3𝜋4+𝑖3𝜋4коссин, −𝜋4+𝑖−𝜋4коссин, и −3𝜋4+𝑖−3𝜋4коссин.

Давайте закончим резюмированием ключевых моментов, которые мы узнали из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Теорема де Муавра говорит нам, что для любого 𝑛∈ℤ (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃).