Вычислить предел числовой последовательности онлайн: Правило Лопиталя онлайн

Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Определение функции f(n)

 

Пусть  – числовое множество.

 

Числовая функция  – закон, который каждому элементу из  сопоставляет единственное число.

Множество  называется областью определения функции .

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество  всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический
2. Словесный
3. Рекуррентный

 

Аналитический способ задания числовой последовательности

 

 

Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.

 

Имеем формулу , где  

Пример:

 

График последовательности – это множество всех пар , где  пробегает все натуральные значения.

Нарисуем график функции  (рисунок 1).

Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если , то и .

Первая точка  вторая точка  и т. д.

Рис. 1. График функции

Функция , следовательно, .

 

Роль нуля в заданной числовой последовательности

 

 

Рассмотрим множество значений данной последовательности:

 

Нарисуем ось , отметим 1 и 0 на оси , а также значения данной последовательности (рис. 2).

Рис. 2.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.

.

Последовательность ограничена сверху: .

Последовательность ограничена снизу: .

Верхняя граница – число 1 достижимо: .

Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».

 

Пример числовой последовательности

 

 

Нарисуем ось  (рис. 3):

 

 – получили окрестность точки 0 (рис. 3). В любой окрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в –окрестности.

Рис. 3.Ось у. –окрестность точки 0 

Пример:

;

 

Предел числовой последовательности

 

 

Какие точки последовательности находятся в –окрестности?

 

Это  ; , замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в –окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0 (рис. 4).

Рис. 4. Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Любой, даже один, член попадает в – окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.

Вот это число 0 называют пределом данной последовательности при . Запись такова: .

Можно взять любой , получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой –окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.

Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?

Допустим, задали маленькое число :

Тогда решим неравенство ; .

Пример:

Пусть , тогда

Все члены, начиная с этого номера, умещаются в данной окрестности точки 0.

Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0 (рис. 5). 

Рис. 5.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

 

Определение  предела последовательности y

_n

 

 

Число  называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки  содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (рис. 6).

 

Рис. 6. Предел последовательности

, члены последовательности (выделены красным), в окрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера , такой номер обязательно существует. При заданном  весь хвост находится в окрестности точки  и это для любого, сколь угодно малого .

Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.

 

Свойства предела

 

 

Существует ли предел у всякой последовательности?

 

Последовательность    .

Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.

Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

 

Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы

 

 

Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

 

Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса (рис. 7).

Функция  монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).

Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.

 – сходится, т. е. имеет предел

Рис. 7. Первый пример применения теоремы Вейерштрасса

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса (рис. 8).

;  

Все точки  лежат на гиперболе , эти точки неограниченно приближаются к прямой .

Рис. 8. Второй пример применения теоремы Вейерштрасса

Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях  все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любой окрестности в точке 1.

Вывод
Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Укажите номер члена последовательности , равного .
2. Вычислите три последующих члена последовательности, если  и.
3. Задана последовательность. Ограничена ли она? .
4. Начиная с какого номера все члены последовательности  будут не меньше заданного числа : , ?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
4. Интернет-портал Resolventa.ru (Источник).

 

Калькулятор расчета сумм последовательностей | BBF.RU

Последовательность — высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.

Последовательность

Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого — натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.

Натуральная последовательность

Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока — это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый — 1, второй — 2, четыреста пятьдесят первый — 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:

∑ = 0,5 n × (n+1).

Благодаря этому выражению легко рассчитать конечную сумму натурального ряда от 1 до n. Очевидно, что натуральная последовательность стремится в бесконечность, поэтому, чем больше n, тем больше конечный результат.

Расчет суммы натурального ряда

Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

и суммы натурального ряда, равной 120.

Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.

Последовательность квадратов

Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n², следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n²: первый — 1, второй — 2² = 4, третий — 3² = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.

Расчет суммы квадратного ряда

В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n², после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

а также сумму, равную 385.

Кубический ряд

Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n³. Таким образом, первый член ряда равен 1³ = 1, второй — 2³ = 8, третий — 3³ = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле:

∑ = (0,5 n × (n+1))²

Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.

Расчет суммы кубического ряда

Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n³ и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.

Последовательность нечетных чисел

Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n — 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй — 2×2 − 1 = 3, третий — 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:

∑ = n².

Рассмотрим пример.

Вычисление суммы нечетных чисел

Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12² = 144. Все верно.

Прямоугольные числа

Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат — 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.

Обратная последовательность

Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Сумма ряда дробей определяется по формуле:

∑ = 1 — 1/(n+1).

Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.

Сумма прямоугольного и обратного ему ряда

Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.

Ряд произведений трех последовательных чисел

Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.

Обратная последовательность

Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:

∑ = 0,5 × (0,5 — 1 / (n+1) × (n+2)).

Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.

Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему

Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.

Заключение

Сборник калькуляторов позволяет рассчитать сумму восьми наиболее популярных последовательностей. Пользуйтесь нашим сервисом для решения учебных заданий по математике или программированию.

Исчисление II – сходимость/расхождение рядов

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Серии и последовательности / Сходимость/Расхождение рядов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (

т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 10.4: Сходимость/расхождение серии

В предыдущем разделе мы потратили некоторое время на знакомство с рядами и кратко определили сходимость и расхождение. Прежде чем беспокоиться о сходимости и расхождении рядов, мы хотели убедиться, что начали чувствовать себя комфортно с обозначениями, связанными с рядами, и некоторыми из различных манипуляций с рядами, которые нам иногда нужно будет делать.

Как отмечалось в предыдущем разделе, большая часть того, что мы там делали, в этой главе будет делаться немного. Итак, настало время поговорить о сходимости и расхождении рядов, так как это будет темой, которую мы в той или иной степени будем касаться почти во всех оставшихся разделах этой главы. \infty n \] 9\infty\]

сходится или расходится. В данном случае это не так уж сложно. Предел членов последовательности:

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{n\left({n + 1} \right)}}{2} = \infty \]

Следовательно, последовательность частичных сумм расходится к \(\infty \), а значит, расходится и ряд.

Итак, как мы видели в этом примере, нам нужно было знать довольно непонятную формулу, чтобы определить сходимость этого ряда. Вообще найти формулу для общего члена в последовательности частичных сумм — очень трудный процесс. На самом деле после следующего раздела мы не будем много делать с частичными суммами рядов из-за чрезвычайной трудности, с которой столкнулись при нахождении общей формулы. Это также означает, что мы не будем много работать со значением ряда, поскольку для получения значения нам также нужно знать общую формулу для частичных сумм.

2} – 1}}} = \ frac {3} {4} – \ frac {1} {{2n}} – \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}\] 9п}} \]

Показать решение

В этом случае нам действительно не нужна общая формула для частичных сумм, чтобы определить сходимость этого ряда. Давайте просто запишем первые несколько частичных сумм.

\[\begin{align*}&{s_0} = 1\\ & {s_1} = 1 – 1 = 0\\ & {s_2} = 1 – 1 + 1 = 1\\ & {s_3} = 1 – 1 + 1 – 1 = 0\\ & etc.\end{align*}\]

9{n – 1}}}}} = \frac{3}{2}\]

Как мы уже отмечали, не стоит увлекаться определением общей формулы последовательности частичных сумм. Будет только один тип серии, где вам нужно будет определить эту формулу, и в этом случае процесс не так уж и плох. Фактически, вы уже знаете, как выполнять большую часть работы в процессе, как вы увидите в следующем разделе.

Итак, мы определили сходимость четырех рядов.

Два ряда сошлись, а два разошлись. Давайте вернемся назад и рассмотрим термины ряда для каждого из них. Для каждого из рядов возьмем предел, когда \(n\) стремится к бесконечности членов ряда (не частичных сумм!!). 9{n – 1}}}} = 0 & \hspace{0,75 дюйма} & {\mbox{эта серия сходится}}\end{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что для двух сходящихся рядов сам член ряда в пределе был равен нулю. Это всегда будет верно для сходящихся рядов и приводит к следующей теореме.

Теорема

Если \(\sum {{a_n}} \) сходится, то \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0\).

Доказательство

Сначала предположим, что ряд начинается с \(n = 1\). Если это не так, мы можем изменить вещи соответствующим образом ниже. Тогда частичные суммы равны 9\infty \) также сходится и что \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} = s\) для некоторого конечного значения \(s\). Однако, поскольку \(n – 1 \to \infty \) как \(n \to \infty \), мы также имеем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n – 1 }} = с\).

Теперь у нас есть,

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left({{s_n} – {s_{n – 1 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} – \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n – 1}} = с – с = 0\] 92}}}} \]

В обоих случаях члены ряда равны нулю в пределе, когда \(n\) стремится к бесконечности, но сходится только второй ряд. Первый ряд расходится. Прежде чем мы сможем это доказать, потребуется пара разделов, поэтому на данный момент, пожалуйста, поверьте в это и знайте, что вы сможете доказать сходимость этих двух рядов за пару разделов.

Опять же, как отмечалось выше, все, что делает эта теорема, — это требование сходимости ряда. Чтобы ряд сошелся, его члены в пределе должны стремиться к нулю. Если члены ряда не стремятся к нулю в пределе, то ряд не может сходиться, поскольку это нарушит теорему.

Это приводит нас к первому из многих тестов на сходимость/расхождение ряда, которые мы увидим в этой главе.

Проверка расходимости

Если \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\), то \(\sum {{a_n}} \) будет расходиться.

Опять же, НЕ используйте этот тест неправильно. Этот тест говорит только о том, что ряд гарантированно расходится, если члены ряда не стремятся к нулю в пределе. Если члены ряда действительно стремятся к нулю, ряд может сойтись, а может и не сойтись! Снова вспомним следующие две серии, 92}}}} & \hspace{0,5 дюйма} & {\mbox{сходится}}\end{выравнивание*}\]

Одна из наиболее распространенных ошибок, которую делают учащиеся, когда они впервые попадают в серию, состоит в том, чтобы предположить, что если \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0\), то \(\ сумма {{a_n}} \) будет сходиться. Это просто невозможно гарантировать, поэтому будьте осторожны!

Давайте кратко рассмотрим пример использования этого теста.

Пример 5 Определите, является ли следующий ряд сходящимся или расходящимся. \infty {\left({{a_n} \pm {b_n}} \right)} \). Кроме того, эти ряды будут иметь следующие суммы или значения. 9\infty {{b_n}} \]

Мы увидим пример этого в следующем разделе после того, как получим еще несколько примеров. В этот момент просто помните, что сумма сходящегося ряда сходится, и умножение сходящегося ряда на число не изменит его сходимости.

Нам нужно быть немного осторожными с этими фактами, когда речь идет о расходящихся рядах. В первом случае, если \(\sum {{a_n}} \) расходится, то \(\sum {c{a_n}} \) также будет расходиться (при условии, что \(c\) не равно нулю), поскольку умножение ряда, который имеет бесконечное значение или не имеет значения, на конечное значение ( 9\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \) сходящийся ряд.

Теперь, поскольку основной темой этого раздела является сходимость ряда, следует упомянуть о более сильном типе сходимости. Говорят, что ряд \(\sum {{a_n}} \) сходится абсолютно , если \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) также сходится. Абсолютная сходимость сильнее сходимости в том смысле, что абсолютно сходящийся ряд также будет сходящимся, но сходящийся ряд может быть абсолютно сходящимся, а может и не быть.

На самом деле, если \(\sum {{a_n}} \)сходится и \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) расходится, то ряд \(\sum {{a_n}} \ ) называется условно сходящимся .

На данный момент у нас нет под рукой инструментов, чтобы должным образом подробно исследовать эту тему, и у нас нет под рукой инструментов, чтобы определить, является ли ряд абсолютно сходящимся или нет. Поэтому пока не будем больше ничего говорить на эту тему. Когда у нас, наконец, будут инструменты для более подробного обсуждения этой темы, мы вернемся к ней. А пока не беспокойтесь об этом. Эта идея упоминается здесь только потому, что мы уже обсуждали конвергенцию в этом разделе, и она связана с последней темой, которую мы хотим обсудить в этом разделе.

В предыдущем разделе после того, как мы представили идею бесконечного ряда, мы отметили тот факт, что мы не должны думать о бесконечном ряду как о бесконечной сумме, несмотря на то, что обозначение, которое мы используем для бесконечного ряда, кажется, подразумевает что это бесконечная сумма. Пришло время кратко обсудить это.

Во-первых, нам нужно представить идею перестановки . Перестановка ряда — это именно то, на что это могло бы звучать, это тот же ряд с членами, переставленными в другом порядке. 9{n + 1}}}}{n}} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \frac{1}{7} – \frac{1}{8} + \cdots = \ln 2\label{eq:eq1}\end{equation}\]

Поскольку этот ряд сходится, мы знаем, что если мы умножим его на константу \(c\), его значение также будет умножено на \(c\). Итак, давайте умножим это на \(\frac{1}{2}\), чтобы получить

. \[\begin{equation}\frac{1}{2} – \frac{1}{4} + \frac{1}{6} – \frac{1}{8} + \frac{1}{{ 10}} – \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} – \frac{1}{{16}} + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2 \метка{уравнение:уравнение2}\конец{уравнение}\]

Теперь давайте добавим ноль между каждым членом следующим образом.

\[\begin{equation}0 + \frac{1}{2} + 0 – \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 – \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{{10}} + 0 – \frac{1}{{12}} + 0 + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2\label{eq:eq3} \конец{уравнение}\]

Обратите внимание, что это не изменит значения ряда, поскольку частичные суммы для этого ряда будут частичными суммами для \(\eqref{eq:eq2}\), за исключением того, что каждый член будет повторяться. Однако повторение членов в ряду не повлияет на его предел, поэтому и \(\eqref{eq:eq2}\), и \(\eqref{eq:eq3}\) будут одинаковыми.

Мы знаем, что если два ряда сходятся, мы можем сложить их, складывая член за членом, и таким образом добавить \(\eqref{eq:eq1}\) и \(\eqref{eq:eq3}\), чтобы получить,

\[\begin{equation}1 + \frac{1}{3} – \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} – \frac{1} {4} + \cdots = \frac{3}{2}\ln 2 \label{eq:eq4}\end{equation}\]

Теперь обратите внимание, что члены \(\eqref{eq:eq4}\) — это просто члены \(\eqref{eq:eq1}\), переставленные так, что каждый отрицательный член идет после двух положительных членов. Однако значения определенно отличаются, несмотря на то, что термины одинаковы.

Также обратите внимание, что это не один из тех «трюков», которые вы иногда видите, когда вы получаете противоречивый результат из-за трудно обнаруживаемой математической/логической ошибки. Это вполне реальный результат, и мы не допустили никаких логических ошибок/ошибок.

Вот хороший набор фактов, которые определяют эту идею о том, когда перестановка приведет к другому значению ряда.

Факты

Учитывая ряд \(\sum {{a_n}} \),

1. Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) абсолютно сходится и его значение равно \(s\), то любая перестановка \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) также будет иметь значение \(s\).
2. Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) условно сходится и \(r\) является любым действительным числом, то существует перестановка \(\displaystyle \sum {{a_n}} \), значение которой будет быть \(г\).

Опять же, у нас пока нет под рукой инструментов, позволяющих определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, поэтому пока не беспокойтесь об этом. Это здесь просто для того, чтобы убедиться, что вы понимаете, что мы должны быть очень осторожны, думая о бесконечном ряду как о бесконечной сумме. Бывают моменты, когда мы можем ( 9{п + 1}}}}{п}} \]

должны быть условно сходящимися, так как две перестановки дали два отдельных значения этого ряда. В конце концов будет очень просто показать, что этот ряд условно сходится.

Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — служба поддержки Майкрософт

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel для iPad Excel для iPhone Excel для планшетов с Android Excel для телефонов с Android Дополнительно…Меньше

Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ позволяет создать список последовательных чисел в массиве, например 1, 2, 3, 4.

В следующем примере мы создали массив из 4 строк в высоту и 5 столбцов в ширину с помощью =SEQUENCE(4,5) .

=ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(строки,[столбцы],[начало],[шаг])

Аргумент	Описание
строк Обязательно	Количество возвращаемых строк
[столбцы] Дополнительно	Количество возвращаемых столбцов
[начало] Дополнительно	Первое число в последовательности
[шаг] Дополнительно	Сумма для увеличения каждого последующего значения в массиве

Примечания:

• org/ListItem”>

  Любые отсутствующие необязательные аргументы будут по умолчанию равны 1. Если вы опустите аргумент строк, вы должны указать хотя бы один другой аргумент.

• Массив можно рассматривать как строку значений, столбец значений или комбинацию строк и столбцов значений. В приведенном выше примере массив для нашей формулы ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — это диапазон C1:G4.

• Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ вернет массив, который будет разлит, если это окончательный результат формулы. Это означает, что Excel динамически создаст диапазон массивов соответствующего размера, когда вы нажмете ENTER . Если ваши вспомогательные данные находятся в таблице Excel, размер массива будет автоматически изменяться при добавлении или удалении данных из диапазона массива, если вы используете структурированные ссылки. Дополнительные сведения см. в этой статье о поведении перенесенного массива.

• Excel имеет ограниченную поддержку динамических массивов между книгами, и этот сценарий поддерживается, только если открыты обе книги . Если вы закроете исходную книгу, все связанные формулы динамического массива вернут ошибку #ССЫЛКА! ошибка при обновлении.

Пример

Если вам нужно создать быстрый пример набора данных, вот пример использования ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ с ТЕКСТ, ДАТА, ГОД и СЕГОДНЯ для создания динамического списка месяцев для строки заголовка, где базовой датой всегда будет текущий год. Наша формула: =ТЕКСТ(ДАТА(ГОД(СЕГОДНЯ()),ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(1,6),1),”ммм”) .

Вот пример вложения SEQUENCE с INT и RAND для создания массива из 5 строк на 6 столбцов со случайным набором возрастающих целых чисел.