Вычислить производную: Как найти производную функции в Вольфрам Альфа

Содержание

Как найти производную функции в Вольфрам Альфа

Этот пост специально для студентов-первокурсников. В нем своего рода рекомендации или практические советы, которые сводятся к одному: когда вам нужно быстро найти производную функции, используйте Вольфрам Альфа.

Существует несколько простых способов, как обратиться к системе Вольфрам Альфа, чтобы найти производную функции. Они несколько отличаются по форме и удобству записи, но результаты дают практически всегда одинаковые.

Начнем с самого очевидного. Это – первое, что сразу приходит на ум: Вольфрам Альфа практически всегда адекватно реагирует на вопросы, заданные на “естественном” языке. Этот и есть самый простой способ, как найти производную в Вольфрам Альфа. Но у него имеется недостаток: вам нужно точно знать, как правильно пишутся математические термины на английском языке. Однако, в Сети нетрудно найти, что “производная” по-английски будет derivative. Зная это, чтобы найти производную функции этим способом, введите в Вольфрам Альфа запрос вида derivative of  f(x)

или же просто derivative f(x)

Как видите, Вольфрам Альфа легко справляется с таким “грозным” на вид примером.


Второй способ. Чтобы найти производную производную функции одной переменной y=f(x) можно использовать запрос вида d/dx f(x), который означает “найти производную”. Вот пример применения такого запроса к другой достаточно сложной функции:

Если аргумент функции обозначен, например, буквой t, то предыдущий запрос примет соответствующий вид d/dt f(t)


Третий способ. Вольфрам Альфа позволяет использовать привычную нам форму записи производной – “штрихом”. В этом случае, получаем результат, аналогичный рассмотренному выше:

В системе имеется калькулятор производных, который Вольфрам Альфа выводит по запросам вида d/dx, d/dt или derivative. Здесь нужно лишь ввести в экранную форму заданную функцию, и сразу получите результат. Преимущество этого способа – не нужно знать, как правильно ввести знак производной в Вольфрам Альфа.


Вторая производная в Вольфрам Альфа ищется аналогично. Например, найти вторую производную функции можно вот так:

Третья производная ищется аналогично:

Если нужно не просто найти производную функции, а вычислить производную функции в заданной точке, то нужно после запроса на вычисление производной запятой указать данную точку:

Наконец, для отыскания производной n-го порядка, или n-й производной заданной функции, используйте примерно такой запрос:


Я постарался дать исчерпывающий ответ на вопрос, обозначенный в заголовке поста: Как найти производную функции в Вольфрам Альфа. Но, если у вас все же остались вопросы, прочитайте еще раз Дифференцирование функций в Wolfram|Alpha. Кстати, там описана возможность получить пошаговое решение, которая в настоящее время уже не доступна в бесплатном варианте. По этому поводу я выражаю искреннее сожаление. Конечно, для европейских и американских студентов 5$ в месяц – не деньги. Но для наших… в общем, мне очень и очень жаль. Тем не менее, с Вольфрам Альфа вы всегда сможете быстро найти производную функции, проверить себя, или освободить время для решения более сложных задач. Пробуйте!

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata – d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata – d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata – d/dx x^2
7 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata – d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata – d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata – d/dx x^3
17 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata – d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata – d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata – d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata – d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata – d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata – d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata – d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata – d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata – d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata – d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata – d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata – d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata – d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata – d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata – d/dx x/2
46 Trovare la Derivata – d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata – d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata – d/dx x^x
52 Trovare la Derivata – d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata – d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata – d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata – d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata – d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata – d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata – d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata – d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata – d/dx e^2
67 Trovare la Derivata – d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata – d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata – d/dx x^5
73 Trovare la Derivata – d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata – d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata – d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata – d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata – d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata – d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata – d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata – d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata – d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata – d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata – d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata – d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x^2

3.

1.2. Вычисление производной функции в точке MathCAD 12 руководство

Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число — значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства <=> (последняя строка листинга 3.2).
Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке

Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листингах 3.1, 3.2. Можно определить функцию непосредственно в операторе дифференцирования (это демонстрирует первая строка листинга 3.3).

Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования
 

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению, и поэтому его легко использовать интуитивно. Однако в некоторых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный во второй строке листинга 3.3, который демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования для вычисления производной в точке. Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

ПРИМЕЧАНИЕ

То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора <=> вместо <->> .

алгоритм и примеры решений.

2}$.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или – ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .

Производная обозначается символами

y , f (x o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл – в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .

Если с – постоянное число, и u = u(x), v = v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ” = 0, (cu) ” = cu”;

2) (u+v)” = u”+v”;

3) (uv)” = u”v+v”u;

4) (u/v)” = (u”v-v”u)/v 2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) – сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u )” =  u  1 u” (  R ).

2. (a u)” = a u lna u”.

3. (e u)” = e u u”.

4. (log a u)” = u”/(u ln a).

5. (ln u)” = u”/u.

6. (sin u)” = cos u u”.

7. (cos u)” = – sin u u”.

8. (tg u)” = 1/ cos 2 u u”.

9. (ctg u)” = – u” / sin 2 u.

10. (arcsin u)” = u” / .

11. (arccos u)” = – u” / .

12. (arctg u)” = u”/(1 + u 2).

13. (arcctg u)” = – u”/(1 + u 2).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u” , v” .

Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y”/y = vu”/u +v” ln u, откуда y” = y (vu”/u +v” ln u).

(u v)”=u v (vu”/u+v” ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x , то y” = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y” , то = y”+, где 0 при х 0; отсюда  y = y” х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y” х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x”х = 1х =х, поэтому dy=y”dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка – ,

производная четвертого порядка –

и вообще производная n-го порядка – .

Пример 3 .15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y”=(3x 3 -2x+1)”sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)” = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Пример 3.16 . Найти y”, y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y”=(tgx + )” = (tgx)” + ()” = + = .

Пример 3 .17. Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y” x =y ” u u” x =()” u (x 4 +1)” x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то (2 x 4 +2+ .

Дифференцирование – это вычисление производной.

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x ′ = 1 и C′ = 0.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

(2 х + 4)′ = 2 .

Производная функции у = 9 х + 5 в любой точке равна 9 . И т.д.

А давайте найдем производную функции у = 5

х . Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

(5х )′ = (5х + 0)′ = 5.

Наконец, выясним, чему равна x ′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

x ′ = (1х + 0)′ = 1.

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

(0 · x + m)′ = 0.

Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы.

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные

правила дифференцирования , которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X .

То есть, для любого справедливо , где – приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:

Пример.

Решение.

Преобразуем исходную функцию .

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Упростим вид исходной функции .

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Производная произведения функций.

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере . Следовательно,

Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1+x)sinx , а в качестве g(x) возьмем lnx :

Для нахождения вновь применяем правило производной произведения:

Используем правило производной суммы и таблицу производных:

Подставляем полученный результат:

Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Функция представляет собой разность выражений и , поэтому

В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:

Производная частного двух функций (производная дроби).

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .

Таблица производных элементарных функций

Определение 1

Вычисление производной называют дифференцированием . 2}$.

Справка

в Интернете – Справка Origin

Математическая дифференциация

Обзор

Эта функция выполняет простые производные вычисления для набора данных. Производная в данной точке вычисляется путем взятия среднего значения наклонов между этой точкой и двумя ее ближайшими соседями. Отсутствующие значения игнорируются.

Для равномерно распределенных данных X можно применить сглаживание Savitzky-Golay . Если данные X расположены неравномерно, этот метод может не дать надежного результата.

Использование инструмента дифференциации
  1. Создайте новый рабочий лист с данными.
  2. Выделите нужный столбец.
  3. Выберите Анализ: Математика: дифференцировать в меню «Происхождение», чтобы открыть диалоговое окно « дифференцировать ». Дифференциация X-функции вызывается для выполнения расчета.

Параметры диалога

Пересчитать

Управляет пересчетом результатов анализа

Для получения дополнительной информации см . : Пересчет результатов анализа.

Ввод

Укажите входной диапазон XY (кривую).

Для получения справки по элементам управления диапазоном см .: Указание входных данных.

Производная

Укажите производную заявку.

гладкая

Укажите метод сглаживания.

  • Савицкий-Голай гладкий
    Используйте метод сглаживания Савицкого-Голея.
  • Порядок полиномов
    Доступно только при выборе сглаживания.Установите порядок полиномов (от 1 до 9) для метода сглаживания Савицкого-Голея.
  • Оконные рамы
    Доступно только при выборе сглаживания. Установите размер окна, используемый при сглаживании Савицкого-Голая.
Выход

Укажите выходной диапазон.

Для получения справки по элементам управления диапазоном см . : Результаты вывода

Построить кривую производной

Укажите, следует ли строить производную кривую.

Алгоритм

Производная функции определяется как:

Хотя величина достаточно мала, мы можем использовать формулу центрированной разности для аппроксимации производной:

На практике Origin обрабатывает дискретные данные путем преобразования формулы центрированной разности и вычисляет производную в точке, беря среднее значение наклонов между точкой и двумя ближайшими соседями.

Следовательно, производная функция, применяемая к дискретным точкам данных, может быть записана:

Когда для дифференцирования выбран вариант сглаживания и данные X равномерно распределены, для вычисления производных будет использоваться метод Савицкого-Голея .

Сначала выполните полиномиальную регрессию для точек данных в движущемся окне. Значение полинома в позиции x можно рассчитать как:

.

, где n – порядок полиномов, и – соответствующие коэффициенты.

И производная 1-го порядка в позиции x:

.

3.7: Производные обратных функций

В этом разделе мы исследуем взаимосвязь между производной функции и производной ее обратной.Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение для поиска производных от обратных без необходимости использовать предельное определение производной. В частности, мы применим формулу для производных обратных функций к тригонометрическим функциям. Эта формула также может использоваться для распространения правила мощности на рациональные показатели.

Производная обратной функции

Начнем с рассмотрения функции и ее обратной. Если \ (f (x) \) и обратимо, и дифференцируемо, кажется разумным, что обратное к \ (f (x) \) также дифференцируемо.{−1} (x) \ big)}. \ Label {inverse1} \]

В качестве альтернативы, если \ (y = g (x) \) является обратным к \ (f (x) \), то

\ [g ‘(x) = \ dfrac {1} {f ′ \ big (g (x) \ big)}. \ label {inverse2} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): применение теоремы об обратной функции

Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную от \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

Решение

Обратным к \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \) является \ (f (x) = \ dfrac {2} {x − 1} \).{−1/3} \ nonumber \]

и

\ [\ dfrac {dy} {dx} \ Bigg | _ {x = 8} = \ frac {1} {3} \ nonumber \]

наклон касательной к графику в точке \ (x = 8 \) равен \ (\ frac {1} {3} \).

Подставляя \ (x = 8 \) в исходную функцию, мы получаем \ (y = 4 \). Таким образом, касательная проходит через точку \ ((8,4) \). Подставляя в формулу угла наклона прямой, получаем касательную

\ [y = \ tfrac {1} {3} x + \ tfrac {4} {3}. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите производную от \ (s (t) = \ sqrt {2t + 1} \). {−1/2} \)

Производные обратных тригонометрических функций

Теперь обратимся к нахождению производных от обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся неоценимыми при изучении интеграции далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций весьма удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций – тригонометрическими функциями.2−1}} \)

Производные Python

: вычисление производных функций в Python

В Python можно сделать так много интересных вещей, и сегодня мы собираемся узнать о вычислении производных.

Помните Исчисление 1? Я тоже, так что давайте быстро освежимся.

Производные – это способ вычисления скорости изменения функции в заданной точке. Например, ускорение – это производная от скорости. 2 + 3 , тогда производная этой функции или скорость, с которой эта функция изменяется, может быть вычислена с помощью f '(x) = 4x .

Примечание. Если вы не знаете, f '(x) произносится как «f простое число x»

Производные

широко используются в множестве полей, но если вы пытаетесь выяснить, как вычислить их с помощью Python, вам, вероятно, не нужно больше объяснений от меня, поэтому давайте просто погрузимся.

Если у вас еще нет библиотеки SymPy, запустите pip install sympy . SymPy – это библиотека Python, цель которой – стать полноценной системой компьютерной алгебры (CAS), которая сама по себе чертовски крутая вещь, но давайте продолжим.2 + 3 (математическая функция, а не функция Python):

  >>> е = 2 * х ** 2 + 3
>>> f_prime = f.diff (x)
  
Войти в полноэкранный режимВыйти из полноэкранного режима

А как они выглядят?

  >>> f
2 * х ** 2 + 3
>>> f_prime
4 * х
  
Войти в полноэкранный режимВыйти из полноэкранного режима

Вот и все. Но это не настоящие функции, так какая в них польза для меня, если я просто не пытаюсь обмануть мою домашнюю работу? Если бы я писал программу, которая пыталась найти производную, я, вероятно, намеревалась использовать ее как функцию, верно? Что ж, у SymPy есть удобная функция под названием lambdify , в которой мы передаем наш символ и (математическую) функцию:

  >>> f = lambdify (x, f)
>>> f_prime = lambdify (x, f_prime)
>>> # Давайте проверим
>>> f (3)
21 год
>>> f_prime (3)
12
  
Войти в полноэкранный режимВыйти из полноэкранного режима

Вот и все.Так просто, правда ??

Если вы дошли до этой статьи и думаете про себя: «Я буквально никогда не буду использовать это», подумайте вот о чем: если есть библиотека Python для поиска производных и последующего преобразования их в функции, вероятно, существует библиотека для все, что вам может понадобиться. Если вы когда-нибудь столкнетесь с действительно сложной задачей или у вас есть отличная идея для приложения, но вы боитесь, что базовая реализация будет слишком сложной, чтобы писать ее самостоятельно, выполните быстрый поиск в Google и посмотрите, нет ли в ней ничего подобного. Что-то там уже есть.

Удачного кодирования! И, как всегда, дайте мне знать, если у вас возникнут вопросы.

Расчет производных на TI-83 Plus, TI-84 Plus и TI-89

Производные – это, пожалуй, самая элементарная тема в исчислении, и она присутствует практически во всех дисциплинах, от естественных и социальных наук до экономики и финансов. В этом руководстве обсуждается математическая основа производных и показано, как оценивать производные на TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-89, TI-92 Plus и Voyage 200.

Математическое образование

Производная функции – это ее наклон в определенной точке. Точно так же, как наклон линии – это подъем за пробег или изменение y, деленное на изменение x, производная функции вычисляется, глядя на изменение y, деленное на изменение x, за исключением рассмотрения только очень небольшого фрагмент функции за раз. В целом

Штрих (‘) – это еще один способ обозначения производной. Производная функции g (x) может быть записана как g ’(x). dy и dx – это дифференциалы, что в основном означает очень маленький фрагмент функции в определенном месте. dy означает «изменение y на небольшом участке», а dx означает «небольшое изменение x». Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Иногда независимая переменная (в данном случае y) опускается, а производная записывается просто как d / dx. (Изменение значения функции при небольшом изменении x.)

Конечно, производная функции также является функцией, потому что она обычно различается в разных точках исходной функции.Например,

Это означает, что при x = 0 производная функции y = x² равна 0, что имеет смысл, поскольку функция здесь плоская. Однако при x = 2 производная равна 2 * 2 = 4. В этой точке кривой он наклонен вверх, отсюда положительная производная.

Другой способ взглянуть на производную – это наклон касательной в определенной точке. Касательная линия – это линия, которая касается функции, не пересекая ее в определенной точке. Нахождение касательной к кривой – одно из самых элементарных применений производной.

Это изображение показывает производную в различных точках как наклон касательной. Когда производная положительна, линия зеленая. Когда производная отрицательна, линия красная. Когда он равен нулю, линия черная.


Производные от TI-83 Plus и TI-84 Plus

На TI-83 Plus и TI-84 Plus на главном экране нажмите MATH 8, чтобы выбрать функцию nDeriv.

Функция nDeriv находится в меню MATH вашего устройства.

После вставки функции nDeriv на главный экран введите аргументы функции: Сначала введите функцию, которую вы хотите дифференцировать (например, если вы хотите найти производную от y = sin (x), введите sin (x )) затем нажмите ,, введите переменную вашей функции, снова нажмите, и введите координату x, в которой вы хотите вычислить производную.Нажмите ENTER, чтобы оценить.

Фактическое значение – 5 и 2/3, но калькулятор использует определение производной как (изменение y / изменение x) для вычисления ее в точке, и не всегда с точностью до последней цифры.

К сожалению, эта функция возвращает производную только одной точки. Хотя в TI-83 Plus и TI-84 Plus нет встроенной функции, которая использовала бы производную в целом, вы можете узнать больше об использовании приложения для включения этой функции здесь.

Производные на TI-89, TI-92 Plus и Voyage 200

На главном экране нажмите F3, и «d (дифференцировать» должна быть первой функцией в списке. Нажмите ENTER, чтобы вставить ее на главный экран.

Функция дифференцирования находится в меню Calc вашего устройства.

Затем введите функцию, которую хотите дифференцировать, нажмите ,, введите переменную функции и добавьте закрывающую скобку, чтобы завершить выражение. Нажмите ENTER, чтобы оценить.

TI-89, TI-92 Plus и Voyage 200 оценивают производные символически.

Вместо вычисления определенного значения калькулятор отображает общее выражение для производной. Если вы хотите вычислить производную в другой точке, прежде чем нажимать ENTER в своем выражении, введите |, переменную, для которой вы хотите вычислить производную, =, а затем числовое значение. Нажмите ENTER, и ваш калькулятор отобразит значение в том месте, которое вы ввели.

Вы также можете указать конкретное значение x, чтобы вычислить точное значение производной в одной точке.

Вы также можете сделать это постфактум, нажав CLEAR, чтобы очистить строку ввода, нажав ▲, чтобы выбрать результат вычисления производной, нажать ENTER, чтобы вставить его во вход, а затем ввести тот же синтаксис (например, «| x = 3 ″), как указано выше, после выражения.

Вы также можете выбрать выход производной функции, чтобы оценить его в одной точке.

TI-89, TI-92 Plus и Voyage 200 также имеют функцию nDeriv, аналогичную функции TI-83 Plus и TI-84 Plus, но есть несколько случаев, когда такая функция более полезна, чем функция дифференцирования.

Как делать производные в Excel | Small Business

Microsoft Excel не имеет возможности генерировать производное уравнение по заданной формуле, но вы все равно можете использовать программу для вычисления значений как для формулы, так и для ее производной и построения их на графике. Это позволяет вам сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все вычисления, вы можете использовать этот метод, даже если вы не знаете исчисления.

Введите нижнюю границу горизонтального диапазона, который вы хотите построить, в ячейке A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите «-2» в A1 (без кавычек здесь и на всех этапах).

Введите расстояние между точками графика в ячейку D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет ваш график, но использование слишком большого количества точек может замедлить обработку. В этом примере введите «0,1», что даст 41 точку графика из -2 и 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, измените расстояние соответственно, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. .2. «Обратите внимание, что Excel не умножает смежные элементы автоматически, поэтому для умножения необходимо ввести звездочку.

Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B.

Тип» = ( B2-B1) / $ D $ 1 “в ячейке C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной” dy / dx “: разница между каждой строкой в ​​столбце B составляет” dy, «в то время как значение, которое вы выбрали для D1, представляет собой« dx ». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец.

Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения для последней производной.

Щелкните и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Точечная диаграмма», а затем «Точечная диаграмма с плавными линиями» или другой тип диаграммы разброса, если необходимо. Excel отобразит исходную формулу как «Серия 1», а производную – как «Серия 2».

Ссылки

Ресурсы

Советы

  • Из-за того, как Excel вычисляет формулы, любая точка «0» в столбцах от A до C может отображаться как очень маленькое число в экспоненциальном представлении. Вы можете заменить их на «0» вручную, если хотите, но это не будет иметь существенного значения.
  • Чтобы сделать ваш график более четким, вы можете переименовать «Серия 1» и «Серия 2». Щелкните правой кнопкой мыши график, выберите «Выбрать данные», выберите серию, которую нужно переименовать, и нажмите «Изменить». Введите новое имя в поле «Название серии». Excel не позволит вам начинать имя со знака равенства, поэтому, если вы хотите использовать формулу столбца в качестве имени, заключите его в кавычки.

Предупреждения

  • Информация в этой статье относится к Excel 2013, 2010 и 2007.В других версиях он может незначительно или значительно отличаться.

Writer Bio

Аарон Парсон пишет об электронике, программном обеспечении и играх с 2006 года, участвуя в создании нескольких технологических веб-сайтов и работая с NewsHour Productions. Парсон получил степень бакалавра искусств в Государственном колледже Эвергрин в Олимпии, штат Вашингтон.

Вы пробовали рассчитывать производные с помощью TensorFlow 2?

Мы узнаем, как реализовать простую функцию с помощью TensorFlow 2 и как получить от нее производные.Мы реализуем модель Блэка-Шоулза для ценообразования опциона колл, а затем собираемся получить греков.

Маттиас Гронки написал очень интересный пост о том, как получить выгоду от варианта ценообразования с помощью TensorFlow, который вдохновил меня на написание этого поста. Итак, я взял тот же пример и внес несколько обновлений для использования TensorFlow 2.

Требования

Формула ценообразования Блэка-Шоулза

Мы собираемся реализовать формулу Блэка-Шоулза для опций ценообразования.В этом примере мы фокусируемся на опционе колл.

Версия 2 TensorFlow имеет множество улучшений, особенно в API-интерфейсе python, который упрощает написание кода , чем раньше.

@ tf.function
def pricer_blackScholes (S0, strike, time_to_expiry, implied_vol, riskfree):
    "" "Цены опциона колл. 

    Параметры
    ----------
    S0: плавать
        Спотовая цена.
    удар: плавать
        Цена исполнения.
    time_to_expiry: float
        Время зрелости.
    implied_vol: float
        Волатильность.безрисковый: плавать
        Безрисковая ставка.

    Возврат
    -------
    npv: float
        Чистая приведенная стоимость.

    Примеры
    --------
    >>> kw = initialize_variables (to_tf = True)
    >>> pricer_blackScholes (** кВт)

    Примечания
    -----
    https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model#Black%E2%80%93Scholes_formula
    "" "
    S = S0
    K = удар
    dt = time_to_expiry
    dt_sqrt = tf.sqrt (dt)
    сигма = подразумеваемый_воль
    r = без риска
    Phi = tf.compat.v1.distributions.Normal (0., 1.). cdf

    d1 = (tf.math.log (S / K) + (r + sigma ** 2/2) * dt) / (sigma * dt_sqrt)
    d2 = d1 - сигма * dt_sqrt

    npv = S * Phi (d1) - K * tf.exp (-r * dt) * Phi (d2)
    вернуть нпв
 

Как мы видим, приведенный выше код является реализацией опциона колл в рамках концепции Блэка-Шоулза. Очень крутым улучшением является декоратор tf.function , который создает для нас вызываемый граф.

Расчет производных

В предыдущих версиях TensorFlow нам нужно было использовать tf.gradient , который требует от нас создания сеанса и множества надоедливых вещей. Теперь весь этот процесс выполняется с помощью tf.GradientTape , что проще. Мы можем закончить это, написав что-то вроде:

с tf.GradientTape () как g1:
    npv = pricer_blackScholes (** переменные)
dv = g1.gradient (npv, variables) # производные первого порядка
 

Хорошо, но что, если нам нужны производные более высокого порядка? Ответ прост, нам нужно только добавить новый tf.GradientTape :

с тф.GradientTape () как g2:
    с tf.GradientTape () как g1:
        npv = pricer_blackScholes (** переменные)
    dv = g1.gradient (npv, переменные)
d2v = g2.gradient (dv, переменные)
 

Модель Блэка-Шоулза

Мы используем известную модель Блэка-Шоулза для оценки стоимости звонка. Наш код можно записать так:

@ tf.function
def pricer_blackScholes (S0, strike, time_to_expiry, implied_vol, riskfree):
    "" "pricer_blackScholes.

    Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток.Переменная
        Базовая спотовая цена.
    strike: tensorflow.Variable
        Цена исполнения.
    time_to_expiry: тензорный поток.Переменная
        Время истекать.
    implied_vol: тензорный поток.Переменная
        Волатильность.
    безрисковый: тензорный поток.Переменная
        Безрисковая ставка.

    Возврат
    -------
    npv: tensorflow.Tensor
        Чистая приведенная стоимость.

    Примеры
    --------
    >>> kw = initialize_variables (to_tf = True)
    >>> pricer_blackScholes (** кВт)
    

    Примечания
    -----
    Формула: https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model#Black%E2%80%93Scholes_formula
    "" "
    S = S0
    K = удар
    dt = time_to_expiry
    dt_sqrt = tf. sqrt (dt)
    сигма = подразумеваемый_воль
    r = без риска
    Phi = tf.compat.v1.distributions.Normal (0., 1.). Cdf

    d1 = (tf.math.log (S / K) + (r + sigma ** 2/2) * dt) / (sigma * dt_sqrt)
    d2 = d1 - сигма * dt_sqrt

    npv = S * Phi (d1) - K * tf.exp (-r * dt) * Phi (d2)
    вернуть нпв
 

Чтобы получить чистую приведенную стоимость (NPV) и greeks (производные), мы можем написать функцию, которая объединяет весь процесс.Это, конечно, необязательно, но очень полезно.

def calculate_blackScholes ():
    "" "calculate_blackScholes.

    Возврат
    -------
    out: dict
        npv: чистая приведенная стоимость
        dv: производные первого порядка

    Примеры
    --------
    >>> out = calculate_blackScholes ()
    >>> pprint (выход)
    {'dv': {'S0': 0,5066145,
            "implied_vol": 56.411205,
            'безрисковый': 81.843216,
            'strike': -0,37201464,
            'time_to_expiry': 4.0482087},
     'npv': 9.739834}
    "" "
    переменные = initialize_variables (to_tf = True)

    с tf. GradientTape () как g1:
        npv = pricer_blackScholes (** переменные)
    dv = g1.gradient (npv, переменные)

    dv = {k: v.numpy () for k, v in dv.items ()} # получить значение
    return dict (npv = npv.numpy (), dv = dv)

 

Предыдущая функция возвращает:

>>> calculate_blackScholes ()
{'dv': {'S0': 0,5066145,
        "implied_vol": 56.411205,
        'безрисковый': 81.843216,
        'strike': -0.37201464, г.
        'time_to_expiry': 4.048208},
 'npv': 9.739834}
 

Где:

  • npv : чистая приведенная стоимость составляет 9,74.
  • S0 = $$ \ frac {\ partial v} {\ partial S} $$
  • implied_vol = $$ \ frac {\ partial v} {\ partial \ sigma} $$
  • strike = $$ \ frac {\ partial v} {\ partial K} $$
  • time_to_expiry = $$ \ frac {\ partial v} {\ partial \ tau} $$

Мы видели, как реализовать Функция TensorFlow и как получить от нее производные. Теперь мы рассмотрим другой пример, использующий метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло очень полезен, когда у нас нет закрытой формулы или он очень сложен. Мы собираемся реализовать функцию ценообразования Монте-Карло, для этой задачи я решил также реализовать функцию brownian , которая используется внутри pricer_montecarlo .

@ tf.function
def pricer_montecarlo (S0, strike, time_to_expiry, implied_vol, riskfree, dw):
    "" "Метод ценообразования Монте-Карло.Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток. Переменная
        Базовая спотовая цена.
    strike: tensorflow.Variable
        Цена исполнения.
    time_to_expiry: тензорный поток.Переменная
        Время истекать.
    implied_vol: тензорный поток.Переменная
        Волатильность.
    безрисковый: тензорный поток.Переменная
        Безрисковая ставка.
    dw: tensorflow.Variable
        Нормальная случайная величина.

    Возврат
    -------
    npv: tensorflow. Variable
        Чистая приведенная стоимость.

    Примеры
    --------
    >>> nsims = 10
    >>> nobs = 100
    >>> dw = tf.random.normal ((nsims, nobs), seed = 3232)
    >>> v = initialize_variables (to_tf = True)
    >>> npv = pricer_montecarlo (** v, dw = dw)
    >>> нпв
    
    "" "
    сигма = подразумеваемый_воль
    T = time_to_expiry
    r = без риска
    K = удар
    dt = T / dw.shape [1]

    st = броуновский (S0, dt, sigma, r, dw)
    payout = tf.math.maximum (st [:, -1] - K, 0)
    npv = tf.exp (-r * T) * tf.reduce_mean (выплата)

    вернуть нпв


@tf.функция
деф броуновский (S0, dt, sigma, mu, dw):
    "" "Создает броуновское движение.

    Параметры
    ----------
    S0: тензорный поток. Переменная
        Начальное значение Spot.
    dt: тензорный поток. переменная
        Шаг времени.
    сигма: тензорный поток.Переменная
        Волатильность.
    mu: тензорный поток. переменная
        Значит, в черной рамке Скоулза это безрисковая ставка. 
    dw: tensorflow.Variable
        Случайная переменная.

    Возврат
    -------
    из: numpy.array

    Примеры
    --------
    >>> nsims = 10
    >>> nobs = 400
    >>> v = initialize_variables (to_tf = True)
    >>> S0 = v ["S0"]
    >>> dw = tf.random.normal ((nsims, nobs), seed = SEED)
    >>> dt = v ["time_to_expiry"] / dw.shape [1]
    >>> sigma = v ["implied_vol"]
    >>> r = v ["без риска"]
    >>> paths = np.transpose (brownian (S0, dt, sigma, r, dw))
    "" "
    dt_sqrt = tf.math.sqrt (дт)
    шок = сигма * dt_sqrt * dw
    дрейф = (мю - (сигма ** 2) / 2)
    bm = tf.math.exp (дрейф * dt + удар)
    out = S0 * tf.math.cumprod (bm, ось = 1)
    вернуться
 

Теперь мы готовы рассчитать NPV и greeks для этого фрейма.

def calculate_montecarlo (greeks = True):
    "" "calculate_montecarlo.

    Возврат
    -------
    out: dict
        npv: чистая приведенная стоимость
        dv: производные первого порядка
        d2v: производные второго порядка

    Примеры
    --------
    >>> out = calculate_montecarlo ()
    >>> pprint (выход)
    {'dv': {'S0': 0,5065364,
            "implied_vol": 56. 45906,
            'безрисковый': 81,81441,
            'strike': -0,37188327,
            'time_to_expiry': 4.050169},
     'npv': 9.746445}
    "" "
    nsims = 10000000
    nobs = 2
    dw = tf.random.normal ((nsims, nobs), seed = SEED)
    v = initialize_variables (to_tf = Истина)

    out = dict ()

    с tf.GradientTape () как g1:
        npv = pricer_montecarlo (** v, dw = dw) .numpy ()
    dv = g1.gradient (npv, v)

    out ["dv"] = {k: v.numpy () для k, v в dv.items ()}
    вернуться
 

На выходе:

>>> out = calculate_montecarlo ()
>>> pprint (выход)
{'dv': {'S0': 0,5065364,
        'implied_vol': 56.45906, г.
        'безрисковый': 81,81441,
        'strike': -0,37188327,
        'time_to_expiry': 4.050169},
 'npv': 9.746445}
 

Сравнение

Мы смотрим на результаты обоих методов:

0,5065364 0,5065364
Переменная Блэка-Шоулза Монтекарло
npv 9,746445 9,739834
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial S} $$ 0. 5066145
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial \ sigma} $$ 56.45906 56.411205
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial r} $$ 81,81441 81,843216
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial K} $$ -0,37188327 -0,37201464
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial \ tau } $$ 4.050169 4.048208

Как мы видим, мы можем получить аналогичных результатов с обоими методами .Есть возможности для улучшения, например, мы можем увеличить количество симуляций в методе Монте-Карло. Однако результаты достаточно близки. Обратите внимание, что новая версия TensorFlow делает процесс разработки довольно простым, что является отличной новостью для квантов.

Вы когда-нибудь использовали это раньше? Было бы здорово, если бы вы могли рассказать о своем варианте использования в комментариях.

Продолжайте кодировать!

[Python] Как вычислить производную функции

Чтобы вычислить первую, вторую или третью производную с помощью языка Python, мы используем функцию diff () библиотеки sympy

разница (y, x)

или альтернативно

г.разн (x)

Функция diff () имеет как минимум два параметра

  • Первый аргумент y – это функция, которую нужно получить.
  • Второй аргумент x – производная переменная.

Функция diff () возвращает производную функции в качестве выходных данных.

Примечание . Это функция модуля sympy. Следовательно, по функциям вам необходимо установить и импортировать библиотеку sympy на Python.Кроме того, необходимо определить переменную x как символ.

Пример расчета

Пример 1 (первая производная)

Этот скрипт вычисляет производную от f (x) = x 2 +1

импорт sympy as sp
x = sp. символ (‘x’)
у = х ** 2 + 1
sp.diff (y, x)

Результат

2 * х

Первая производная от x 2 +1 равна 2x.

Пример 2 (первая производная)

Этот скрипт вычисляет первую производную от f (x) = x 3

импорт sympy as sp
x = sp. символ (‘x’)
у = х ** 3
y.diff (x)

Результат операции следующий

3 * х ** 2

Первая производная от x 3 равна 3x 2 .

Пример 3 (вторая производная)

Этот скрипт вычисляет вторую производную функции f (x) = x 2

импорт sympy as sp
х = пр.Символ (‘x’)
у = х ** 2
sp.diff (y, x, x)

В этом случае производная переменная (x) указывается дважды подряд.

В качестве альтернативы, значение 2 также может быть указано как третий параметр.

Выходной результат выглядит следующим образом

2

Вторая производная от x 2 равна 2

Первая производная от x 2 равна 2x, а первая производная от 2x равна 2. Следовательно, вторая производная от x 2 равна 2.

Добавляя производную переменную в другой раз, вы также можете вычислить третью, четвертую или пятую производную функции.

В качестве альтернативы, степень деривации может быть указана как третий параметр.

Пример 3 (третья производная)

Этот скрипт вычисляет третью производную функции f (x) = x 2

импорт sympy as sp
х = пр.Символ (‘x’)
у = х ** 2
sp.diff (y, x, 3)

Результат выглядит следующим образом

0

Третья производная от x 2 равна нулю.

http://how.okpedia.org/en/python/how-to-calculate-the-derivative-in-python


.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *