Вычислите интеграл: Неопределенный интеграл

2

Функция – Квадрат x

ctg(x)

Функция – Котангенс от x

arcctg(x)

Функция – Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция – Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция – Тангенс от x

tgh(x)

Функция – Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция – кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

15/7

– дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция – арксеканс от x

acsc(x)

Функция – арккосеканс от x

sec(x)

Функция – секанс от x

csc(x)

Функция – косеканс от x

floor(x)

Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция – Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция – гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция – гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция – гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число “Пи”, которое примерно равно ~3. 2

Содержание

Как рассчитать интеграл в LabChart без использования модуля анализа?

Существует несколько способов вычисления интеграла в LabChart. В двух самых простых из них используется вычисление интегрального канала или вычисление канала циклических измерений.

Использование расчета интегрального канала

Расчет интегрального канала обеспечивает метод вычисления интегралы по времени с различными методами сброса. Интеграл работает в режиме реального времени в течение выборки и по предварительно записанным данным. Диалоговое окно Integral позволяет настроить Расчет интегрального канала.

          1. Откройте диалоговое окно “Интеграл”, выбрав “Интеграл…” в любом всплывающем меню “Расчет канала”.

2. В появившемся диалоговом окне выберите исходный канал для расчета во всплывающем меню Источник.

3. Выберите тип интеграла, который вы хотите рассчитать:

• Стандартный интеграл: используйте все точки данных.
• Абсолютное значение: интегрировать абсолютные значения точек данных.
• Только положительные: использовать только точки данных, значения которых больше 0,
  
• Negative Only: используйте только точки данных, значения которых меньше 0.

4. Установите тип сброса и любые дополнительные параметры, которые могут потребоваться:

• No Reset: интеграл не сбрасывается, и интегрированный суммируется до бесконечности.
• Сброс по времени: интеграл сбрасывается периодически, с интервалами, указанными в текстовом поле справа от меню типа сброса.
• Сброс в каждом цикле: интеграл сбрасывается каждый раз, когда исходный сигнал проходит через ноль до положительного значения.
• Затухание постоянной времени: В этом режиме входные выборки суммируются для получения выходных данных, как и в стандартном интегральном режиме. Однако каждый раз, когда добавляется новая выборка, сумма умножается на положительную константу, которая немного меньше 1. При постоянном входном напряжении Vmax результирующая сумма, а именно интегральный выход, приближается к максимуму (Vmax.?) с постоянной времени (тау,?), которая вводится пользователем. С точки зрения электроники, этот режим аппроксимирует поведение «дырявого» аналогового интегратора или фильтра нижних частот «RC». В отличие от фильтра, интеграл умножает выходные значения на период выборки в секундах и соответственно изменяет единицы измерения на В.с.
• Сброс по событию: используйте определенное событие для запуска сброса (при этом используются параметры, установленные в диалоговом окне параметров события).
  

5. Настройте интегральный пределы (необязательно) для времени, в течение которого интеграл должен быть рассчитывается из.

6. Настройте масштабирование отображаемых данных.

• Задайте Верхнюю шкалу и Нижнюю шкалу для расчетных данных в единицах исходного канала или выберите Автомасштаб, чтобы автоматически создать подходящий масштаб для отображаемых данных (рекомендуется при выполнении последующих расчетов канала на канале отображения). Выберите количество знаков после запятой, которое будет отображаться на экране «Диапазон/Амплитуда».

7. После нажатия кнопки «Окей» в выбранном вами канале появится непрерывный интеграл.

Использование циклических измерений

Циклические измерения вычисляют интеграл для области между каждым обнаруженным циклом циклического сигнала. Это может выполняться в режиме реального времени во время выборки или на предварительно записанных данных.

1. Откройте диалоговое окно “Циклические измерения”, выбрав “Циклические измерения…” во всплывающем меню “Функция канала”. на пустой канал, который вы собираетесь использовать для расчета.

2. Выберите исходный канал и установите для параметра «Измерение» значение «Интегральный». Вы можете использовать маркеры событий, чтобы убедиться, что каждое событие обнаружено, отрегулировать десятичные разряды и настроить тип сигнала в этом окне.

3. При необходимости отрегулируйте параметры обнаружения, отрегулировав минимальную высоту пика S.

D. ценность. Для дальнейшей точной настройки этого обнаружения выберите «Настроить».

4. После нажатия “ОК” интеграл для каждого идентифицированного цикла появится в выбранном вами канале.

Определенный интеграл | Как вычислить определенный интеграл?

EПусть p(x) — первообразная непрерывной функции f(x), определенной на [a, b], тогда определенный интеграл от f(x) по [a, b] обозначается через  и равен [p (б) – р(а)].

   = P(b) – P(a)

Числа a и b называются пределами интегрирования, где a называется нижним пределом, а b называется верхним пределом. Интервал [a, b] называется интервалом интегрирования.

Примечание

• Постоянное интегрирование не включено в вычисление определенного интеграла.
•  читается как «интеграл от f(x) от a до b»

Шаги для нахождения определенных интегралов

Чтобы найти определенный интеграл от f(x) по интервалу [a, b], т.е.  у нас есть следующие шаги:

 

1. Найдите неопределенный интеграл ∫f(x)dx .
2. Вычислить P(a) и P(b), где P(x) — первообразная f(x), P(a) — значение первообразной при x=a, а P(b) — значение первообразной при x=b .
3. Рассчитать P(b) – P(a).
4. Результатом является желаемое значение определенного интеграла.

Определенные интегралы путем замены

Для интеграла . Пусть g(x) = t, тогда g'(x) dx = dt, где при x = a t = g(a) и при x = b t = g(b).

Если переменная изменяется в определенном интеграле, то замена новой переменной влияет на подынтегральную функцию, дифференциал (т.е. dx) и пределы.

Пределы новой переменной t — это значения t, соответствующие значениям исходной переменной x. Его можно получить, подставив значения x в отношение подстановки x и t.

Свойства определенного интеграла

Свойство 1)

Доказательство:

Пусть p(x) — первообразная f(x). Затем

и = p (b)-p (a) –—————- (ii)

от (i) и (ii)

Собственность 2)

, если ограничения определенные интегралы меняются местами, его значение меняется только на знак минус.

Доказательство:

Пусть p(x) будет первообразной f(x). Тогда

 = p(b) – p(a)  

и  = -[p(a) – p(b)]  = p(b) – p(a)  

Свойство 3) где a < c < b

Доказательство:

Пусть p(x) — первопроизводная f(x). Тогда

 = p(b) – p(a)                                                                                               ——————0003

 = [p(c) – p(a)] + [p(b) – p(c)] = p(b) – p(a)             ——————(ii)

Из (i ) и (ii)

Свойство 4)  

Доказательство:

Пусть x = a – t . Затем dx = d (a -t) ⇒ dx = -dt

Когда x = 0 ⇒ t = a и x = a ⇒ t = 0

⇒ [по вторым свойству]

⇒ [по первым свойствам ]

Собственность 5)

Доказательство:

Использование третьего свойства

—————– (i)

Пусть x = -t, dx = -dt

Limits: Limits: x = -a ⇒ t = a и x = 0 ⇒ t = 0

[по второму свойству]

⇒ [по первым свойствам] ———– (ii)

от (i) и (ii)

⇒

⇒

⇒

Свойство 6) Если F (x) является непрерывной функцией, определенной на [0, 2A],

Доказательство:

Использование третьей собственности

————————————————————————————————————————————————————

Рассмотрим

⇒                                        [ Используя второе свойство]

⇒                                         [ Используя первое свойство]

Substituting in (i)

Property 7)  

Proof

Let t = a + b – x   ⇒ dt = -dx

Limits : x = a , y = b и x = b, y = a

после положения значения и предела t в

⇒

⇒ [Используя второе свойство]

⇒ [Использование первого свойства]

Solved Example on Definite Integrals

Problem 1: Evaluate: 

(i)       

(ii)         

(iii) 

Solution:

(I) =

= [2 ³ – 1 ³ ]

= 8 – 1

DX = 7

(ii)     =  

                                      = (1/2)[log|-1| – лог|-3| ]

= (1/2) [log 1 – log 3]

= (1/2) [0 – log 3]

= (1/2) log 3

(III) = (SEC ² x – 1) DX

=

= [TAN (π/4) – (π/4)] – [TAN 0 – 0]

= 1 – (π/4)

Задача 2: вычислить:  

Решение:

Пусть 5x ² + 1 = t. Тогда d(5x ² + 1) = dt ⇒ 10 x dx = dt

 Для пределов: нижний предел ⇒ x = 0, тогда t = 5x ² +1 = 1, и верхний предел ⇒ x = 1, тогда t = 5x ² + 1 = 6

=

=

= (1/5) [log 6 – log 1]

= (1/5) log 6

Проблема 3: Оценка:

Решение:

[Использование определения F (x)]

= [0 -(-1 -1)] +] +] + (1 + 1) – (0)]

Проблема 4: Оценка:

Решение:

⇒

⇒

= 10004

⇒

⇒

= 10004

⇒

⇒ 9003

⇒

9004 ⇒0003

Проблемы 5: Оценить:

Решение:

I = ————— (i)

I =

Использование

I =——————————————————————————— -(ii)

Adding (i) and (ii) 

2I = 

2I = 

2I =  

2I =  

I = 0

Problem 6 : Evaluate : 

Solution:

I =                  ——————(i)

Использование свойства

I =

I = ————— (ii)

Добавление (i) и (ii)

2i =

2i =

2i = 2 – 1

2i = 1

I = 1/2

Часто задаваемые вопросы по определенным интегралам

Вопрос 1: Что подразумевается под определенными интегралами?

Ответ:

Определенные интегралы – это интегралы, которые определены в соответствующих пределах, т.