Главная
Вычислите определенные интегралы: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = x2 dx (х 2)

Вычислите определенные интегралы: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = x2 dx (х 2)

Содержание

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a, ∞) и для всякого A≥a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим . Пусть α=1. Тогда . Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α≤1 расходится и при α>1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.
Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.
Теорема 2.4. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε≥0 существует A≥a такое, что для всех A

1,A2 ≥ A выполнено неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Определение. Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства , критерий Коши выполнен и для интеграла
Обратное утверждение неверно.
Сходимость несобственного интеграла определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.
Для несобственного интеграла можем записать и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. В качестве точки выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл По определению сходимости этого интеграла получаем


Следовательно, этот интеграл расходится.
С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к ∞ можем записать
Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел .


Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.
Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода
1. Если интеграл сходится, то для всякого b≥a интеграл сходится и
2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл и имеет место равенство
3. Если интегралы и сходятся, то сходятся интегралы и имеет место равенство


Обратное утверждение не верно.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.
Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.5. Пусть для всякого x≥A(A≥a) выполнено неравенство |f(x)| ≤ |g(x). Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.
Доказательство не сложно и основано на том, что если f(x)≥0, то – монотонно возрастающая функция от A и несобственный интеграл либо сходится, либо равен бесконечности.
Теорема 2.6. Если f(x) и g(x) бесконечно малые одного порядка малости, то есть , то интегралы и либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.
Доказательство. Так как , то . Возьмем 0<ε<|K|. По определению предела существует M>0 такое, что для всех x>M выполнено неравенство


а, следовательно, и неравенство
Из последнего неравенства и теоремы 2.5 получаем утверждение теоремы.

Примеры
1. Выяснить сходимость интеграла
Так как для всех x≥1, а интеграл сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.
2. Выяснить сходимость интеграла
Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции , получаем


Таким образом, порядок малости – 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого 0<δ<b-a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Пример. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда
и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α<1 сходится и при α≥1 расходится. Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует δ>0. такое, что для всех δ1, δ2≤δ выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.8. Пусть для всякого b-δ≤x<b выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x). Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство опустим.
Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла
По определению имеем


2. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках x=0 и x=1 Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→0 относительно 1/x равен ½, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→1 относительно равен 1.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Элементы высшей математики: Определенный интеграл

5.

Определенный интеграл

5.1.

Определенный интеграл

Сегодня вы изучите вопросы

  1. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

  2. Основные свойства определенного интеграла

  3. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

  4. Вычисление определенного интеграла.

    Формула Ньютона–Лейбница

  5. Свойство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования

  6. Вычисление определенных интегралов путем замены переменной

  7. Интегрирование по частям определенного интеграла

Изучив тему занятия, вы сможете

Основные понятия

5.1.1.

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

В системе декартовых координат Оху дана криволинейная трапеция, ограниченная сверху линией , снизу осью Ох, справа и слева соответственно прямыми и (рис.  5.1).

Разделим отрезок на n произвольных частей точками  . Через точки деления проведем прямые, параллельные оси OY. Этими прямыми криволинейная трапеция аbВА разделится на n произвольных частей. Обозначим через S площадь криволинейной трапеции, а через площади полученных ее частей при таком разбиении.

Рассмотрим i-ую часть криволинейной трапеции, ограниченную прямыми и Возьмем внутри отрезка произвольную точку . Найдем значение функции в этой точке: . Приближенно площадь  i-ой части криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Обозначим через .

Приближенное выражение  i-ой площади выглядит так:

. (192)

Аналогично поступив со всеми частями площади криволинейной трапеции, получим:

. (193)

Очевидно, чем меньше по величине  , тем точнее приближенное равенство (193). Так как отрезок [a; b] делится нами произвольным образом на n частей, то стремление числа делений к бесконечности еще не обеспечивает стремление к нулю всех   одновременно. Это связано с тем, что мы можем, в частности, делить до бесконечности всего один отрезок, а остальные отрезки оставить без изменения.

Поэтому для обеспечения стремления к нулю всех без исключения отрезков   вводят величину и переходят к пределу в равенстве (193) при .

Очевидно, если , то все без исключения отрезки должны стремиться к нулю.

Если в равенстве (193) перейти к пределу при , то получим точное выражение для площади криволинейной трапеции:

. (194)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции аbВА свелось к вычислению предела (194).

Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка M под действием переменной силы , действующей вдоль оси , перемещается вдоль этой оси. Требуется найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль оси из точки до точки .

Из курса физики известно, что при постоянстве силы , действующей по направлению движения, искомая работа равна произведению , где F — абсолютная величина силы,  — пройденный путь.

Для отыскания искомой работы по аналогии (см. задачу 1) делим отрезок [a; b], на произвольных частей точками (рис. 5.2).

Рассмотрим i-ую часть отрезка [a; b], ограниченную точками . Возьмем внутри отрезка произвольную точку . Найдем значение функции силы в этой точке: . Приближенно работу на i-ой части заменим произведением:

, где

Поступая аналогично со всеми частями отрезка [a; b], найдем приближенное выражение искомой работы:

. (195)

Если в равенстве (195) перейти к пределу при , то получим точное значение искомой работы:

. (196)

Заметим, что при решении задач 1 и 2 мы делали одни и те же операции:

    1) делили отрезок [a; b] на n произвольных частей;

    2) внутри каждой части брали по произвольной точке;

    3) вычисляли значения заданных величин в этих точках;

    4) составляли сумму;

    5) переходили к пределу при .

Отвлекаясь от решения конкретных задач, сформулируем общие операции построения сумм (193) и (195), называемых интегральными.

Пусть функция задана на отрезке [a; b]. Разделим отрезок [a; b] на n произвольных частей точками

Обозначим через разность (заметим, что здесь может быть величиной как положительной, так и отрицательной).

Внутри каждого отрезка возьмем по произвольной точке . Находим значение функции в точках .

Составляем сумму произведений:

. (197)

Переходим к пределу суммы (197) при где

. (198)

Если существует конечный предел (198) при , который не зависит ни от способа деления отрезка [a; b], ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] и символически обозначается так:

. (199)

Здесь  — знак определенного интеграла,  — подынтегральная функция,  — подынтегральное выражение, х — переменная интегрирования, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

Таким образом, по определению определенного интеграла имеем:

. (200)

Из определения определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции равна:

, (201)

а работа А переменной силы равна:

(202)

В учебнике [1] доказывается, что определенный интеграл (200) существует, если на отрезке [a; b] является кусочно-непрерывной функцией.

5.1.2.

Основные свойства определенного интеграла

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

    ,

    где  — const.

    Действительно,

    .

  2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций, т.е.

    .

    Действительно,

  3. При перестановке пределов интеграции знак определенного интеграла меняется на противоположный, т.е. из равенства следует равенство или .

    Для доказательства искомого равенства рассмотрим частный случай, когда интегральные суммы интегралов , составлены одинаково: то же число точек деления, те же точки деления, те же точки . В этих предположениях будем иметь:

    Следствие. Определенный интеграл с равными пределами интеграции равен нулю, т.е. . Действительно, по свойству 3: . Отсюда:

    .

  4. Если .

    Действительно,

    . (203)

    Правая часть равенства (203) состоит из суммы, каждый член которой неотрицателен, т.к. , .

    Следовательно, сумма, стоящая в правой части равенства (203), не может быть отрицательной.

  5. Если для всех точек выполняется неравенство , то:

    . (204)

    Действительно, по условию . Отсюда по свойству 4:

    .

    Следовательно, по свойству 2:

    .

  6. Если для всех точек выполняются неравенства , то:

    (205)

    Свойство 6 называется оценкой определенного интеграла.

    Доказательство.

    По условию .

    По свойству 5:

    . (206)

    Найдем значения крайних интегралов в неравенствах (206):

    Отсюда — неравенства (203) перепишутся так:

    .

  7. Теорема о среднем.

    Если непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке непременно найдется хотя бы одна такая точка , что:

    . (207)

    Доказательство. Пусть m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b].

    По свойству 6 имеем:

    или

    Так как непрерывная функция на замкнутом отрезке принимает сплошь все значения, находящиеся между наименьшим и наибольшим значениями, то внутри отрезка [a; b] найдется по крайней мере одна такая точка х = с, что:

    .

    Отсюда находим:

5.1.3.

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Теорема 24. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе.

Доказательство. Из определения определенного интеграла следует, что определенный интеграл зависит от функции и от пределов интеграции а и b.

Пусть верхний предел b определенного интеграла является переменной величиной:

. (208)

Интеграл (208) можно рассматривать как некоторую функцию от х:

. (209)

Придавая х приращение , получим:

. (210)

Обозначим приращение площади через

Пусть при всех .

Обратимся к геометрическому представлению интеграла (209) при сделанных предположениях относительно .

Рассмотрим разность

Геометрически равна площади заштрихованной области на рисунке 5.3. Эту площадь приближенно можно выразить через площадь прямоугольника с основанием и высотой :

.

Отсюда находим:

. (211)

Переходя к пределу в равенстве (211) при , получим:

или .

Отсюда с учетом равенства (211) окончательно находим:

, ч.т.д.

5.1.4.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 25. Если  — первообразная функции , то:

. (212)

Символически разность обозначают так:

Следовательно, по введенному обозначению равенство (209) перепишется так:

. (213)

Доказательство. По теореме 24 о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу справедливо равенство:

.

Из данного равенства следует, что можно рассматривать как первообразную функции .

Так как по условию также является первообразной функции , то по ранее доказанному утверждению их разность равна произвольной постоянной величине :

. (214)

Если в равенстве (214) положить , то можно найти значение С:

.

Так как , то отсюда находим, что:

. (215)

Если в равенстве (214) вместо х взять правую границу отрезка [a; b], то с учетом равенства (215) получим:

, ч.т.д.

Таким образом, из формулы (212) или (213) следует, что для вычисления определенного интеграла надо найти любую первообразную функции и составить разность , которая и будет равна значению определенного интеграла.

Очевидно, при фиксированных пределах интеграции а и b определенный интеграл является постоянной величиной. Далее, также очевидно, что определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования. Это явно вытекает из равенств:

В процессе доказательства формулы Ньютона–Лейбница нами получен интересный результат — найдена связь между определенным и неопределенным интегралами:

. (216)

Пример 1. Вычислить интеграл:

.

Пример 2.

.

5.1.5.

Свойство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования

Теорема 26. Какова бы ни была точка , справедливо равенство:

. (217)

Доказательство. Пусть  — какая-либо первообразная функции . По формуле Ньютона–Лейбница имеем:

Отсюда находим:

5.1.6.

Вычисление определенных интегралов путем замены переменной

По формуле Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную заданной функции т.е. найти неопределенный интеграл , а затем подставить вместо переменной интегрирования пределы интеграции определенного интеграла.

На предыдущих занятиях неопределенные интегралы мы находили либо непосредственно с помощью таблиц, либо с помощью замены переменной или подстановки, либо с помощью интегрирования по частям.

Естественной будет постановка следующих вопросов: как изменится выражение определенного интеграла после замены переменной (или подстановки) или интегрирования по частям, по каким формулам вычислять определенные интегралы после таких преобразований?

Перейдем к изложению ответов на поставленные вопросы.

Оказывается, что для вычисления определенных интегралов можно также производить замену переменной интегрирования, причем при каждой замене необходимо находить новые пределы интегрирования для вновь введенной переменной, если не возвращаться к старой переменной.

А именно, справедливо равенство:

, (218)

если: функция непрерывна и дифференцируема на отрезке ; ; функция непрерывна на отрезке .

Если все эти условия выполняются, то справедливо равенство (218). Легко заметить, что все перечисленные условия диктуются равенством (218): подынтегральная функция этого равенства состоит из произведения функций и . Для существования определенного интеграла эти функции должны существовать и быть непрерывными.

Доказательство. Пусть  — первообразная функции на отрезке [a; b]. По ранее доказанному (замена переменной в неопределенном интеграле) справедливо равенство:

. (219)

Из равенства (219) следует, что является первообразной функции

Отсюда находим:

Этим доказана справедливость равенства (218).

Замечание. Если при замене переменной отыскание новых пределов интеграции весьма трудоемко или новые пределы интеграции имеют сложный вид, то целесообразно вернуться к старым переменным и подставить старые пределы интеграции.

Пример 3. В качестве примера рассмотрим определенный интеграл , который вычислим методом замены переменной. Для того чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральной функции, сделаем замену переменной: .

5.1.7.

Интегрирование по частям определенного интеграла

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Известно, что

. (220)

Рассматривая равенство (220) как равенство двух функций, возьмем от обеих его частей определенный интеграл в пределах от а до b:

Отсюда находим:

(221)

Равенство (221) и есть формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пример 4.

Пример 5.

Рассмотрим пример на построение интегральной суммы.

Пусть требуется вычислить площадь, ограниченную параболой , осью Oх и прямой х = 1.

  1. Разделим отрезок [0; 1] на n равных частей точками

  2. В каждом из частичных отрезков выберем по одной точке. Для удобства возьмем правые концы отрезков:

    .

  3. Найдем значения заданной функции в точках

  4. Составим интегральную сумму:

    = ∙ + ∙ + … + ∙ =  

    или   .

  5. Переходим к пределу при :

    .

Сумма квадратов первых n чисел натурального ряда может быть преобразована по формуле:

= .

Отсюда находим, что

(кв. ед.).

Выполнение непосредственного вычисления определенного интеграла в приведенном примере оказалось возможным только благодаря простой структуре операции суммирования. Для других функций такие вычисления являются весьма проблематичными.

Надо отметить, что такие приемы вычисления проводились еще Архимедом и существовали до появления понятия интеграла.

Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления — формула Ньютона-Лейбница.

Ниже приведены вычисления определенных интегралов для привития навыков у читателей.

Пример 6.

.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

Пример 9.

Пример 10. Вычислить:

Контрольные вопросы

  1. В чем отличие определенного интеграла от неопределенного?

  2. Чему равен определенный интеграл, если пределы интегрирования — фиксированные действительные числа?

  3. Каким условиям должна удовлетворять подынтегральная функция, чтобы определенный интеграл от нее существовал?

  4. Какова связь между определенным и неопределенным интегралами?

  5. Числом или функцией будет определенный интеграл с переменными пределами интегрирования?

  6. По какой формуле вычисляется определенный интеграл?

  7. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.

  8. Напишите формулу интегрирования по частям определенного интеграла.

Задания для самостоятельной работы

  1. Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница.

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) ;

      6) ;

      7) ;

      8) ;

      9) ;

      10) ;

      11) .

  2. Интегрированием по частям вычислить следующие определенные интегралы:

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) ;

    5) ;

    6) .

Тема: Вычисление определенных интегралов


Обратная связь

Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1. Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, – верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, – переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ;

2) ;

3)

Задания для практической работы

Вычислите определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6)

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

5. Сформулируйте теорему о среднем.

6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.

7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.



Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1. 5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №16

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

 
 

 

 

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то .

 
 

 

 

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 6).

Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

 

рис. 6

 

.

Ответ:

Задания для практической работы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.

2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .

6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №17

 

вычисление интегралов определенных онлайн

Вы искали вычисление интегралов определенных онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление определенного интеграла, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «вычисление интегралов определенных онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление интегралов определенных онлайн,вычисление определенного интеграла,вычисление определенного интеграла онлайн,вычисление определенного интеграла онлайн с подробным решением,вычисление определенных интегралов,вычисление определенных интегралов онлайн,вычисление определенных интегралов онлайн с подробным решением,вычислите определенный интеграл,вычислить значение определенного интеграла,вычислить интеграл онлайн с подробным решением определенный,вычислить несобственный интеграл онлайн,вычислить определенные интегралы,вычислить определенные интегралы онлайн с решением,вычислить определенный интеграл,вычислить определенный интеграл онлайн,вычислить определенный интеграл онлайн калькулятор,вычислить определенный интеграл онлайн с подробным решением,вычислить определенный интеграл онлайн с решением,интеграл онлайн определенный,интеграл определенный онлайн,интеграл решение определенный,интегралы онлайн несобственные,интегралы онлайн определенные,интегралы определенные онлайн,интегралы определенные онлайн с подробным решением,как вычислить определенный интеграл,калькулятор интегралов онлайн определенных,калькулятор интегралов онлайн определенных интегралов,калькулятор интегралов определенных,калькулятор онлайн вычислить определенный интеграл,калькулятор онлайн определенные интегралы,калькулятор онлайн определенный интеграл,калькулятор онлайн определенный интеграл с подробным решением,калькулятор онлайн определенных интегралов,калькулятор определенного интеграла,калькулятор определенного интеграла онлайн,калькулятор определенный интеграл,калькулятор определенных интегралов,калькулятор определенных интегралов онлайн,калькулятор определенных интегралов онлайн с решением,калькулятор определенных интегралов онлайн с решением подробным,калькулятор определенных интегралов с подробным решением онлайн,калькулятор определенных интегралов с решением онлайн,найти определенный интеграл,найти определенный интеграл онлайн,найти определенный интеграл онлайн с подробным решением,нахождение определенного интеграла,нахождение определенного интеграла онлайн,несобственные интегралы онлайн,несобственный интеграл онлайн,онлайн вычисление определенных интегралов,онлайн калькулятор вычислить определенные интегралы,онлайн калькулятор интегралов определенных,онлайн калькулятор интегралов с подробным решением определенных,онлайн калькулятор интегралы определенные,онлайн калькулятор определенного интеграла,онлайн калькулятор определенные интегралы,онлайн калькулятор определенный интеграл,онлайн калькулятор определенных интегралов,онлайн калькулятор определенных интегралов с подробным решением,онлайн нахождение определенного интеграла,онлайн решение определенного интеграла,онлайн решение определенного интеграла с подробным решением,онлайн решение определенных интегралов,онлайн решение определенных интегралов с подробным решением,определенные интегралы калькулятор онлайн,определенные интегралы онлайн,определенные интегралы онлайн калькулятор,определенные интегралы онлайн с подробным решением,определенный интеграл калькулятор,определенный интеграл калькулятор онлайн,определенный интеграл калькулятор онлайн с подробным решением,определенный интеграл онлайн,определенный интеграл онлайн калькулятор,определенный интеграл онлайн калькулятор с подробным решением,определенный интеграл онлайн с подробным решением,определенный интеграл онлайн тройной,определенный интеграл решение,определенный интеграл решить,определенный интеграл решить онлайн,определенный интеграл решить онлайн с подробным решением,посчитать интеграл онлайн определенный,посчитать онлайн определенный интеграл,посчитать определенный интеграл онлайн,решение интегралов онлайн определенных,решение несобственных интегралов онлайн,решение определенного интеграла,решение определенного интеграла онлайн,решение определенного интеграла онлайн с подробным решением,решение определенный интеграл,решение определенных интегралов,решение определенных интегралов онлайн,решение определенных интегралов онлайн с подробным решением,решение определенных интегралов онлайн с подробным решением бесплатно,решить интеграл определенный,решить онлайн определенный интеграл,решить определенный интеграл,решить определенный интеграл онлайн,решить определенный интеграл онлайн с подробным решением,сходимость интеграла онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление интегралов определенных онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление определенного интеграла онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление интегралов определенных онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление интегралов определенных онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Определение определенного интеграла. Объем конуса интеграл.

Объем тела вращения интеграл. Определение определенного интеграла римана.
  • Альфашкола
  • Статьи
  • Определенный интеграл

Функция определенного интеграла  тесно связана с первообразной и неопределенным интегралом функции. Основное отличие состоит в том, что неопределенный интеграл, если он существует, то есть входит в область определения подынтегральной функции, является вещественным числовым значением, в то время как первообразная и неопределенный интеграл представляют собой бесконечное число функций, отличающихся только константой. Развитие определенного  интеграла начинается с функции \(f( x) \) на замкнутом интервале \([ a, b]\). Данный интервал разбивается на ” \(n\) ” подинтервалов, которые могут, хоть и не обязательно, быть равными длинами \((Δ x)\). 2}d\theta\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Алла Алексеевна Кандыба

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Полтавский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Цель моих занятий – объяснить, а не заучить, поэтому даже после прохождения курса у ученика остаются знания, ведь понимание – ключ к дальнейшему развитию. Индивидуальный подход к ученикам разного возраста и уровня начальных знаний. Процент успешных прохождений экзаменов моими учениками – более 80%. Моя работа – будущее ваших детей. Математика – это гимнастика ума, в любом возрасте ! Она необходима каждому, как лечение от депрессии, физической усталости и начертания планов для достижения успехов. Учить математики ребенка-это учить жизни !

Елена Анатольевна Фомина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Орловский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Мною разработана собственная методика повышения уровня грамотности. Использую только индивидуальный подход к каждому ученику. С радостью буду ждать на занятиях!

Ирина Александровна Бащиванжи

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Кишинёвский Государственный Педагогический Университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике и информатике 5-8 классы. Также готовлю учеников по профориентации. Математика прекрасна своей необычностью, многогранностью. Каждая задача, каждый пример обладают своей собственной изюминкой. Обучаю учащегося смотреть с разных сторон на одну и ту же задачу, находить нестандартные решения, с помощью математики анализировать окружающий мир.

Похожие статьи

  • История развития геометрии
  • Площадь цилиндра
  • Теорема Пифагора
  • Распределительное свойство умножения
  • Теорема косинусов
  • ЕГЭ по математике, базовый уровень. Простейшие уравнения (вариант 2)
  • Лучшие идеи декора на Хэллоуин своими руками
  • Почему ребенок ест несъедобное и что с этим делать?

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

b_af(x)dx\). Интегрирование представляет собой сумму площадей, и для нахождения площади в определенных пределах используются определенные интегралы.

Изучение интегрирования началось в третьем веке до нашей эры с его использованием для нахождения площади окружности, параболы, эллипса. Давайте узнаем больше об определенных интегралах и свойствах определенных интегралов.

1. Что такое определенный интеграл?
2. Определенная интегральная формула
3. Свойства определенного интеграла
4. Применение определенного интеграла
5. Часто задаваемые вопросы по Definite Integral

Что такое определенный интеграл?

Определенный интеграл – это площадь под кривой между двумя фиксированными пределами. Определенный интеграл представляется как \(\int^b_af(x)dx\), где a — нижний предел, а b — верхний предел для функции f(x), определенной относительно оси x. Чтобы найти площадь под кривой между двумя пределами, мы делим площадь на прямоугольники и суммируем их. Чем больше прямоугольников, тем точнее площадь. Итак, мы делим площадь на бесконечное количество прямоугольников одинакового (очень маленького) размера и складываем все площади. Это фундаментальная теория, которая лежит в основе определенных интегралов. 92dx\) = (1 3 /3 + С) – (0 3 /3 + С) = 1/3.

Постоянная интегрирования C всегда отменяется при применении пределов. Поэтому мы всегда игнорируем C при вычислении определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла

Определенные интегральные свойства помогают найти интеграл для функции, умноженной на константу, для суммы функций, а также для четных и нечетных функций. Проверим следующие свойства определенных интегралов, которые помогают решать задачи об определенных интегралах. 9a_{-a}f(x).dx = 0\), если f(x) — нечетная функция (т. е. f(-x) = -f(x)).

Применение определенного интеграла

Определенные интегралы в основном используются для нахождения площадей плоских фигур, таких как окружности, параболы, эллипсы. Проверим подробно применение определенных интегралов для нахождения площадей каждой из этих фигур.

Площадь круга с использованием определенного интеграла

Площадь круга рассчитывается путем вычисления площади части круга в первом квадранте. Здесь уравнение окружности x 2 + y 2 = a 2 преобразуется в уравнение кривой вида y = √(a 2 – x 2 ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла, чтобы найти уравнение кривой относительно оси x и пределы от 0 до a.

Площадь круга в четыре раза больше площади квадранта круга. Площадь квадранта вычисляется путем интегрирования уравнения кривой через пределы в первом квадранте.

9а_0\)

= 4[((а/2)×0 + (а 2 /2)sin -1 1) – 0]

= 4(а 2 /2)(π/ 2)

= πa 2

Следовательно, площадь круга равна πa 2 квадратных единиц.

Площадь параболы с использованием определенного интеграла

Парабола имеет ось, которая делит параболу на две симметричные части. Здесь мы берем параболу, симметричную относительно оси x и имеющую уравнение y 2 = 4ax. Это можно преобразовать как y = √(4ax). Сначала найдем площадь параболы в первом квадранте, используя формулы определенного интеграла относительно оси абсцисс и в пределах от 0 до а. Здесь определенный интеграл вычисляется внутри границы и удваивается, чтобы получить площадь под всей параболой. Вывод площади параболы следующий. 92}{3}\) квадратных единиц.

Площадь эллипса с использованием определенного интеграла

Уравнение эллипса с большой осью длины 2a и малой осью 2b: 1. Это уравнение можно преобразовать в виде y = b/a .√(a 2 – x 2 ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла для вычисления площади, ограниченной эллипсом по первой координате и относительно оси x. Далее его умножают на 4, чтобы получить площадь эллипса. Граничные пределы, взятые по оси абсцисс, составляют от 0 до а. Вычисления площади эллипса следующие. 92}{2}.\frac{\pi}{2}\\&=\pi ab\end{align}\)

Следовательно, площадь эллипса равна πab кв.

☛  Связанные темы:

Следующие темы помогут лучше понять определенный интеграл.

  • Приложения интегралов
  • Калькулятор определенных интегралов
  • Калькулятор антипроизводных

 

Примеры определенных интегралов

  1. Пример 1: 9{3} f(x) \cdot d x\) = 75

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Определенные интегральные задачи для практики

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по определенному интегралу

9b _a f(a + b – x).dx \)

Как вычислить определенный интеграл?

Чтобы вычислить определенный интеграл:

  • Вычислить неопределенный интеграл (т. е. без ограничений)
  • Замените верхний предел, а затем нижний предел в ответе предыдущего шага.
  • Вычесть оба результата по порядку.

Как вычислить определенные интегралы от четных функций?

Определенные интегралы четной функции также следуют тому же процессу, что и любая другая функция. Далее, у нас есть следующая конкретная формула для нахождения определенного интеграла четных функций. 9Ь_а = Ь — а\).

Что такое определенный интеграл и неопределенный интеграл?

Определенный интеграл Неопределенный интеграл
Определенные интегралы определяются для интегралов с пределами. Неопределенные интегралы не имеют пределов.
Ответ определенного интеграла представляет собой простое числовое значение. Для неопределенного интеграла результирующий ответ в основном является выражением.
Не будет константы интегрирования ‘C’. Мы всегда используем константу интегрирования ‘C’ в ответе.

Все формулы неопределенных интегралов можно использовать с определенными интегралами вместе с применением ограничений к формуле.

Каково практическое применение определенного интеграла?

Определенные интегралы можно использовать для нахождения площади кривых, таких как круг, эллипс, парабола. В основном формулы интегрирования используются для нахождения площади неправильных форм. В определенных интегралах площадь небольшого пространства вычисляется путем применения ограничений, а затем манипулируется, чтобы найти площадь всего пространства. Площадь круга рассчитывается путем его интегрирования по оси x в первом квадранте с ограничениями от начала координат до его радиуса, а затем умножается на 4, чтобы получить площадь всего круга.

Вычисление определенных интегралов — GeeksforGeeks

Интегралы — очень важная часть математических вычислений. Они позволяют нам вычислять первообразные, то есть по производной функции, интегралы дают функцию на выходе. Другие важные применения интегралов включают вычисление площади под кривой, объема, ограниченного поверхностью, и т. д. В то время как предыдущее приложение в основном включает неопределенные интегралы, последнее требует, чтобы границы были четко определены, и интеграл вычисляется между этими только границы. Такие интегралы называются определенными интегралами.

Определенные интегралы

Определенные интегралы в основном используются для вычисления площадей и объемов, охватываемых кривыми. Обычно площадь вычисляется по четко определенным формулам для прямоугольников, кругов, квадратов и т. д. В реальной жизни фигуры не так просты, поэтому для вычисления площадей любой произвольной формы мы используем определенные интегралы. Для функции f(x), определенной на интервале [a, b], определенный интеграл между этими пределами определяется выражением

Здесь a называется нижним пределом функции, а b называется верхним пределом функции.

Для заданной функции f(x), непрерывной на интервале [a, b], разделим интервал на n подинтервалов одинаковой ширины и из каждого интервала выберем точку. Тогда определенный интеграл f(x) от a до b равен

На приведенном выше рисунке поясняется определение предела: по мере увеличения количества прямоугольников под кривой аппроксимированная площадь становится все ближе и ближе к фактической. площадь под фигурой.

Основная теорема исчисления

Площадь области, ограниченной кривой f(x) между ординатами x = a и x = b и осью x, определяется как . Допустим, x — это любая точка между пределами, тогда  представляет собой площадь области от a до x. Другими словами, площадь этой заштрихованной области от «а» до значения х называется функцией площади. Он определяется как

На основе этого определения определяются две фундаментальные теоремы исчисления.

Первая фундаментальная теорема исчисления

Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b], а A(x) — функция площади.

Тогда A'(x) = f(x) для всех x ∈ [a, b].

Вторая фундаментальная теорема исчисления

Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b] и F(x) — первообразные функции f(x). Затем

Площадь под кривой

Площадь под кривой определяется определенными интегралами. Мы знаем, что площадь всегда положительная величина, но при использовании определенных интегралов иногда площадь получается отрицательной. Например, рассмотрим две функции ниже: одна лежит полностью над осью абсцисс, а другая имеет некоторую часть, лежащую ниже оси абсцисс. В таких случаях две области могут компенсировать друг друга.

В этом случае площадь определяется как

В этом случае отрицательные и положительные площади должны быть рассчитаны отдельно, и должна быть добавлена ​​только величина их площадей.

Определенные интегралы рациональной функции

Для вычисления определенных интегралов для таких функций эти функции разбиваются с помощью алгебраических операций.

Вопрос: Вычислите значение следующего интеграла

Решение: 

Определенные интегралы радикальных функций

Для вычисления определенных интегралов таких функций мы используем правило обратной степени.

Вопрос: Рассчитайте значение следующего интеграла

Решение:

Использование Правило мощности. интегралов для таких функций, мы используем правило обратной степени.

Вопрос: Рассчитайте значение следующего интеграла

Решение:

Определенные интегралы для натуральных логарифмических функций

для вычисления определенных интегралов, мы используем. личность.

Вопрос: Вычислите значение следующего интеграла

Решение: 

Используя формулу, упомянутую выше,

Давайте посмотрим на некоторые проблемы с образцом

Проблемы с образцами

Вопрос 1: Рассчитайте значение следующего интеграла

. Решение:

:

:

:

.

Вопрос 2. Вычислите значение следующего интеграла

Решение:

ВОПРОС 3: Рассчитайте значение следующего интеграла

Решение:

Использование правила реверсированной мощности

Вопрос 4: Рассчитайте значение следующего интеграла 9

Вопрос 4: Рассчитайте значение следующего интеграла

.

Решение.0046

Используя приведенную выше формулу,


Определенные интегралы: формула, примеры и свойства можно вычислить интеграл между пределами a и b.

Интеграл, вычисленный между двумя пределами, называется определенным интегралом.

Определенные интегралы – обозначение

Определенный интеграл обычно дает значение, в отличие от неопределенного интеграла, который дает функцию.

Определенные интегралы изображаются так же, как изображаются неопределенные интегралы, с той лишь разницей, что пределы добавляются в виде нижнего и верхнего индекса к знаку интегрирования. Например, если мы хотим интегрировать в пределах от 5 до 8, соответствующие обозначения будут

Решение определенных интегралов

Как вы решаете определенные интегралы? Для решения определенных интегралов выполните следующую процедуру:

1) Запишите определенный интеграл с его пределами в виде

2) Проинтегрируйте функцию f ‘(x) так же, как и для неопределенного интеграла, чтобы найти f (x). Не включайте постоянную интегрирования C. Запишите результат в форме

3) Теперь оцените f (x) между заданными пределами: f (b) – f (a). Это даст вам окончательное значение.

Вам интересно, почему мы не включили здесь константу интегрирования? Предположим, мы включили C в нашу оценку f (x). Назовем это g(x). В этом случае значение g (x) = f (x) + C.

Тогда мы вычислим g (x) между заданными пределами:

g (b) – g (a) = (f (b) + C) – (f (a) + C)

= f ( b) – f (a)

Таким образом, вы можете видеть, что константа интегрирования со временем аннулируется. Именно поэтому мы не включаем его в расчеты в первую очередь.

Пример 1

Оценка

Решение 1

=

= (5/3 × 7³) – (5/3 × 1³)

= 570

0042

Интеграция — очень полезный инструмент для нахождения площади под графиком. В приведенном выше примере мы находим площадь, заключенную между осью x и кривой f (x) = 5x² между x = 1 и x = 7. Мы можем представить приведенный выше пример графически.

График, изображающий f (x) = 5x², чтобы найти площадь, заключенную между x = 1 и x = 7, Nilabhro Datta – StudySmarter Originals

Кривая на приведенном выше графике представляет f (x) = 5x². Как упоминалось, значение определенного интеграла между 1 и 7 дает площадь, заключенную между кривой и осью x между x = 1 и x = 7.

Пример 2

Оценка ПРИМЕЧАНИЕ – x IS в Radians

Решение 2

=

= SIN (1) – SIN (0,5)

= 0,8411-0,4999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999939993

. предыдущем примере приведенное выше значение дает нам площадь, заключенную между кривой y = cos (x) и осью x между x = 0,5 и x = 1. Посмотрите на следующее изображение для наглядной демонстрации.

График, изображающий f (x) = cos (x), для нахождения площади, заключенной между x = 0,5 и x = 1, Нилабхро Датта — StudySmarter Originals

Пример 3

Учитывая (2Px + 7) dx = 4P², покажите, что есть два возможных значения P. Найдите эти значения.

Решение 3

(2Px + 7) dx

= (25P + 35) – (P + 7)

= 24P + 28

Теперь,

24P + 28 = 0 63 > 0 4P² = P²

=>

=> (P + 1) (P – 7) = 0

Следовательно, значение P может быть либо -1, либо 7.

Пример 4

Найти замкнутую область, ограниченную кривая y = x (x – 5) и ось x.

Решение 4

Чтобы найти площадь, ограниченную кривой и осью x, найдем точки, в которых кривая пересекается с осью, т.е. где y = f (x) = 0

f (x) = x (x – 5) = 0

=> x = 0 или x = 5.

Таким образом, кривая пересекает ось x в точке (0, 0) и (5, 0).

0 и 5 служат нижней и верхней границами нашего определенного интеграла.

Итак, общая площадь = (x) (x – 5) dx

Отрицательная площадь, ограниченная кривой

В приведенном выше примере площадь получается отрицательной. Что это значит?

Это означает, что площадь, ограниченная кривой и осью x, находится ниже оси x, т. е. отрицательной стороны оси x.

Если мы нарисуем кривую y = f (x) = x (x – 5), мы получим следующую кривую.

График, изображающий f (x) = x (x – 5), для нахождения площади, заключенной между кривой и осью x, Nilabhro Datta – StudySmarter Originals

Как мы видим здесь, область, ограниченная кривой, находится ниже оси x.

Площадь, ограниченная кривой, и ось х, расположенная выше оси абсцисс, дает положительное значение для ∫f (x) dx, а площадь, ограниченная кривой, и ось абсцисс, падающая ниже оси абсцисс, дает отрицательное значение для ∫ f (x) dx.

Что, если мы хотим найти полную величину площади, заключенной между кривой и осью x, когда часть ее находится выше оси x, а часть – ниже оси x? В этих случаях нам нужно было бы найти обе площади по отдельности и сложить их величины, не принимая во внимание их знак.

Если мы возьмем один определенный интеграл по всей площади, результирующее значение будет [(площадь, заключенная над осью x) – (площадь, заключенная под осью x)]).

Определенные интегралы — ключевые выводы

  • Для функции f (x), непрерывной в замкнутом интервале [a, b], можно вычислить интеграл между пределами a и b. Интеграл, вычисленный между двумя пределами, называется определенным интегралом. Он выражается как f(x)dx.
  • Определенный интеграл обычно дает значение, в отличие от неопределенного интеграла, который дает функцию.
  • Значение f (x) dx дает нам площадь, заключенную между кривой f (x) и осью x в интервале x = a и x = b.
  • Если площадь, охваченная кривой f (x), и ось абсцисс находится выше оси абсцисс, это дает положительное значение для ∫f (x) dx, а если площадь находится ниже оси абсцисс, дает отрицательное значение для ∫f (x) dx.

AC Использование определенных интегралов для нахождения тома

Мотивирующие вопросы

  • Как с помощью определенного интеграла найти объем трехмерного тела вращения, возникающего в результате вращения двумерной области вокруг определенной оси?

  • В каких случаях мы интегрируем по \(y\) вместо интегрирования по \(x\text{?}\)

  • Какие корректировки нам нужно сделать, если мы вращаемся вокруг линии, отличной от оси \(x\) или \(y\)?

Так же, как мы можем использовать определенные интегралы для сложения площадей прямоугольных срезов, чтобы найти точную площадь, лежащую между двумя кривыми, мы также можем использовать интегралы, чтобы найти объем областей, поперечное сечение которых имеет определенную форму.

В частности, мы можем определить объем твердых тел, все поперечные сечения которых представляют собой тонкие цилиндры (или шайбы), сложив объемы этих отдельных слоев. Сначала мы рассмотрим знакомую форму в предварительном просмотре 6. 2.1: круглый конус.

Предварительный просмотр 6.2.1.

Рассмотрим круглый конус радиусом 3 и высотой 5, который мы видим горизонтально, как показано на рисунке 6.2.1. Наша цель в этом упражнении — использовать определенный интеграл для определения объема конуса.

Рисунок 6.2.1. Круглый конус, описанный в предварительном задании 6.2.1

  1. Найдите формулу линейной функции \(y = f(x)\), изображенную на рисунке 6.2.1.

  2. Для репрезентативного среза толщиной \(\Delta x\), расположенного по горизонтали в точке \(x\) (где-то между \(x = 0\) и \(x = 5\)), какова радиус репрезентативного среза? Обратите внимание, что радиус зависит от значения \(x\text{.}\) 92 ч\текст{.}\)

Подраздел 6.2.1 Объем тела вращения

Тело вращения — это трехмерное тело, которое может быть создано путем вращения одной или нескольких кривых вокруг фиксированной оси. Например, круглый конус на рисунке 6.2.1 представляет собой тело вращения, образованное вращением части линии \(y = 3 – \frac{3}{5}x\) от \(x = 0\) до \(x = 5\) относительно оси \(x\). Обратите внимание, что если мы разрежем тело вращения перпендикулярно оси вращения, результирующее поперечное сечение будет кругом. 92 \, дх\текст{.} \end{equation*}

Несложно вычислить интеграл и найти, что объем равен \(V = \frac{512}{15}\pi\text{.}\)

Для твердого тела, такого как один в примере  6.2.2, где каждый срез представляет собой цилиндрический диск, мы сначала находим объем типичного среза (отмечая, в частности, как этот объем зависит от \(x\)), а затем интегрируем по диапазону \(x\ )-значения, ограничивающие тело. Часто мы будем довольствоваться простым нахождением интеграла, представляющего объем; если нам нужно числовое значение для интеграла, мы обычно используем калькулятор или систему компьютерной алгебры, чтобы найти это значение. 92 + х – 2 = 0\текст{,} \end{equation*}

, а решениями этого уравнения являются \(x = -2\) и \(x = 1\text{.}\). Таким образом, кривые пересекаются в \((-2,0)\ ) и \((1,1)\text{.}\)

Когда мы вращаем область \(R\) вокруг оси \(x\), мы получаем трехмерное тело, изображенное слева на рис. 6.2.5.

Рисунок 6.2.5. Слева тело вращения в примере 6.2.4. Справа типичный срез с внутренним радиусом \(r(x)\) и внешним радиусом \(R(x)\text{.}\)

Сразу же мы видим большую разницу между телом в этом примере и телом в Пример  6.2.2: здесь трехмерное тело вращения не является «твердым», потому что оно имеет открытое пространство в центре вдоль оси вращения. Если мы разрежем твердое тело перпендикулярно оси вращения, мы заметим, что результирующий срез представляет собой не сплошной диск, а скорее 92 ] \, дх\текст{.} \end{equation*}

Вычисляя интеграл, находим, что объем тела вращения равен \(V = \frac{108}{5}\pi\text{.}\)

Этот метод нахождения объем тела вращения, образованный двумя кривыми, часто называют методом шайбы .

Метод мойки.

Если \(y = R(x)\) и \(y = r(x)\) — неотрицательные непрерывные функции на \([a,b]\), удовлетворяющие \(R(x) \ge r(x )\) для всех \(x\) в \([a,b]\text{,}\), то объем тела вращения, образованного вращением области между ними вокруг оси \(x\) над этот интервал равен 92] \, дх\текст{. } \end{уравнение*}

Мероприятие 6.2.2.

В каждом из следующих вопросов нарисуйте аккуратный, помеченный эскиз описываемой области, а также твердое тело, полученное в результате вращения области вокруг указанной оси. Кроме того, нарисуйте репрезентативный срез и укажите объем этого среза вместе с определенным интегралом, значением которого является объем всего твердого тела. Нет необходимости вычислять найденные интегралы.

  1. Область \(S\), ограниченная осью \(x\), кривой \(y = \sqrt{x}\text{,}\) и линией \(x = 4\text{ ;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(x\). 92 + 4\text{;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(x\).

  2. Область \(S\), ограниченная осью \(y\), кривой \(y = \sqrt{x}\text{,}\) и линией \(y = 2\text{; }\) вращаются \(S\) вокруг оси \(y\). Чем эта задача отличается от задачи, поставленной в части (b)?

Подраздел 6.2.2 Вращение вокруг оси \(y\)

Когда мы вращаем данную область вокруг оси \(y\), репрезентативные срезы теперь имеют толщину \(\Delta y\text{,}\), что означает, что мы должны интегрировать по \(y\text{ . 4\) (которая определяет внешний радиус) для \ (x\) через \(y\text{,}\) и, следовательно, \(x = \sqrt[4]{y}\text{.}\) Таким образом, объем типичного среза равен 92 \справа] \, dy\текст{.} \end{equation*}

Несложно вычислить интеграл и найти, что \(V = \frac{7}{15} \pi\text{.}\)

Мероприятие 6.2.3.

В каждом из следующих вопросов нарисуйте аккуратный, помеченный эскиз описываемой области, а также твердое тело, полученное в результате вращения области вокруг указанной оси. Кроме того, нарисуйте репрезентативный срез и укажите объем этого среза вместе с определенным интегралом, значением которого является объем всего твердого тела. Нет необходимости вычислять найденные интегралы. 92\) и \(y = x-1\text{;}\) вращаются \(S\) вокруг оси \(y\)

Подраздел 6.2.3 Вращение вокруг горизонтальных и вертикальных линий, отличных от осей координат

Область можно вращать вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии. При этом радиусы задействованных цилиндров или шайб регулируются на постоянное значение. 3\text{.}\)

  1. Вращение \(S\) вокруг линии \(y = -2\text{.}\)

  2. Вращение \(S\) вокруг линии \(y = 4\text{.}\)

  3. Вращение \(S\) вокруг линии \(x=-1\text{.}\)

  4. Вращение \(S\) вокруг линии \(x = 5\text{.}\)

Подраздел 6.2.4 Резюме

  • Мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти объем трехмерного тела вращения, которое получается в результате вращения двумерной области вокруг определенной оси, взяв срезы, перпендикулярные оси вращения, которые тогда будут круглыми дисками или шайбы.

  • Если мы вращаемся вокруг вертикальной линии и разрезаем перпендикулярно этой линии, то наши срезы горизонтальны и имеют толщину \(\Delta y\text{.}\) Это приводит нас к интегрированию по \(y\text{ ,}\) в отличие от относительно \(x\), когда мы разрезаем твердое тело по вертикали.

  • Если мы вращаемся вокруг линии, отличной от оси \(x\) или \(y\), нам нужно тщательно учитывать сдвиг, который происходит в радиусе типичного среза. Обычно этот сдвиг включает в себя получение суммы или разности функции вместе с константой, связанной с уравнением для горизонтальной или вертикальной линии; хорошо обозначенная диаграмма обычно является лучшим способом определить новое выражение для радиуса. 93}{4})\) и часть его графика, которая лежит в первом квадранте между осью \(y\) и первым положительным значением \(x\), для которого \(f(x) = 0 \text{.}\) Пусть \(R\) обозначает область, ограниченную этой частью \(f\text{,}\) оси \(x\) и оси \(y\).

    1. Установите определенный интеграл, значением которого является точная длина дуги \(f\), которая лежит вдоль верхней границы \(R\text{.}\) Используйте соответствующие технологии для оценки найденного интеграла.

    2. Установите определенный интеграл, значение которого равно точной площади \(R\text{.}\) Используйте соответствующую технологию для оценки найденного вами интеграла.

    3. Предположим, что область \(R\) вращается вокруг оси \(x\). Задайте определенный интеграл, значение которого равно точному объему образующегося тела вращения. Используйте технологию соответствующим образом, чтобы оценить интеграл, который вы найдете.

    4. Вместо этого предположим, что \(R\) вращается вокруг оси \(y\). Если возможно, задайте интегральное выражение, значение которого равно точному объему тела вращения, и вычислите интеграл, используя соответствующую технологию. Если невозможно, объясните, почему.

    8.

    Рассмотрим кривые, заданные \(y = \sin(x)\) и \(y = \cos(x)\text{.}\). Для каждой из следующих задач вы должны включить эскиз области/ рассматриваемое твердое тело, а также помеченный репрезентативный срез.

    1. Нарисуйте область \(R\), ограниченную осью \(y\) и кривыми \(y = \sin(x)\) и \(y = \cos(x)\) до первое положительное значение \(х\), при котором они пересекаются. Какова точная точка пересечения кривых?

    2. Установите определенный интеграл, значение которого равно точной площади \(R\text{. }\)

    3. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(x\).

    4. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\).

    5. Установите определенный интеграл, значение которого равно точному объему тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг линии \(y = 2\text{.}\) 92\текст{,}\) и \(х = 0\текст{.}\)

      1. Определите определенный интеграл, значением которого является площадь области, ограниченной двумя кривыми.

      2. Найдите выражение, содержащее один или несколько определенных интегралов, значением которого является объем тела вращения, образованного вращением области \(R\) вокруг линии \(y = -1\text{.}\)

      3. Определите выражение, включающее один или несколько определенных интегралов, значением которых является объем тела вращения, образованного вращением области \(R\) вокруг оси \(y\).

      4. Найти выражение, включающее один или несколько определенных интегралов, значением которых является периметр области \(R\text{.}\)

      Определенный интеграл

      Если функция непрерывна на некотором заданном интервале, говорят, что она интегрируема , потому что мы можем найти ее определенный интеграл . Но что именно является определенным интегралом? Предположим, у нас есть непрерывная функция ƒ( x ), определенная на интервале [ а , б ]. Мы можем неофициально определить определенный интеграл как подписанную область области, ограниченной графиком ƒ( x ), осью x и вертикальными линиями, пересекающими ось x в точках , и . б . Площадь любой части области над по оси x составляет положительных , а площадь любой части области ниже по оси x составляет отрицательных . Определенный интеграл — это чистая площадь между функцией и осью x . Но как найти точную площадь?

      Существуют различные методы, которые мы могли бы использовать, чтобы получить приближение площади. На приведенном ниже рисунке показана функция ƒ( x ) = x  2 , определенная на интервале [0, 1]. Область под кривой разбита на восемь подынтервалов одинаковой ширины. Прямоугольники, которые мы видим вписанными в каждый подинтервал, имеют ту же ширину, что и подинтервал, и высоту, равную наименьшее значение , полученное с помощью ƒ( x ) на подынтервале.


      Аппроксимация площади под ƒ( x ) = x  2 для 0 ≤ x ≤ 1 с использованием вписанных прямоугольников


      Если мы сложим площади прямоугольников, мы получим аппроксимацию левой конечной точки для площади области под кривой (так называемой, потому что каждый прямоугольник нарисован так, что его верхний левый угол лежит на кривой график). Потому что функция , увеличивая на интервале, ни один из прямоугольников не покрывает всю область под графом, содержащуюся в их подинтервале. Таким образом, аппроксимация будет на занижена на фактической площади. Предположим, для сравнения мы делаем еще одно приближение, используя прямоугольники. Все будет точно так же, за исключением того, что на этот раз мы сделаем высоту прямоугольника, нарисованного внутри каждого подинтервала, равной наибольшему значению , взятому ƒ( x ) на подынтервале.


      Аппроксимация площади под ƒ( x ) = x  2 для 0 ≤ x ≤ 1 с использованием описанных прямоугольников


      На этот раз, когда мы суммируем площади прямоугольников, мы получаем аппроксимацию правой конечной точки для площади области под кривой (так называемой, потому что каждый прямоугольник нарисован так, что его верхний правый угол лежит на кривая графика). Поскольку функция возрастает на интервале, все прямоугольники покрывают всю область под графиком, содержащуюся в их подинтервале, плюс небольшую часть пространства выше граф. Поэтому аппроксимация будет на 90 718 завышенной на 90 719 реальной площади.

      При обоих этих приближениях увеличение количества подынтервалов даст нам более точный результат. Когда наша аппроксимация дает завышенную оценку площади под графиком, мы называем это верхней суммой Римана . Когда получается заниженная оценка, мы называем ее нижней суммой Римана . Если мы продолжаем увеличивать количество используемых подинтервалов, верхняя и нижняя суммы Римана становятся все ближе и ближе друг к другу, поскольку они приближаются к одному и тому же предел . Этот предел, конечно, является фактической площадью под кривой, иногда называемой интегралом Римана . Здесь мы будем использовать термин определенный интеграл (обратите внимание, что существует также такое понятие, как неопределенный интеграл , но мы поговорим об этом в другом месте этого раздела).

      Концепция интегрирования основана на идее, что если бы у нас было бесконечных прямоугольников, каждый из бесконечно малых , то сложение площадей этих прямоугольников даст нам точную площадь под графиком. Мы можем довольно кратко выразить эту идею, используя следующие математические обозначения:

      ∫ B ƒ ( x ) D x
      A
      A
      A
      A Если вы не знакомы с используемыми здесь обозначениями, мы кратко объясним, что они означают. Странный символ в начале — 9.0718 интеграция символ. Он основан на длинном символе «s», который часто ошибочно принимается за «f» и который часто можно найти в очень старых текстах (например, в Билле о правах США , где он появляется в слово «Конгресс»). Эта буква была выбрана немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) для обозначения интегрирования, потому что он представлял интеграл как бесконечную сумму .

      Подстрочные и надстрочные символы a и b непосредственно справа от символа интегрирования представляют соответственно нижнюю и верхнюю границы интервала, на котором определена функция и по которому мы интегрируем. Этот интервал также известен как область интегрирования , где a — нижний предел интегрирования , а b — верхний предел интегрирования . Далее мы видим выражение, которое нужно проинтегрировать – в данном случае функция ƒ( x ) — которую мы называем подынтегральной функцией (подынтегральная функция обычно, хотя и не всегда, является функцией). Наконец, что не менее важно, у нас есть терм d x , который говорит нам, что мы интегрируем более x , что мы называем переменной интегрирования . Его также можно рассматривать как представление бесконечно малого приращения от x .

      Давайте сделаем шаг вперед. Предположим, у нас есть непрерывная функция ƒ( x ), определенных на интервале [ a , b ]. Разобьем интервал на n подынтервалов одинаковой ширины. Мы назовем ширину каждого подинтервала Δ x и будем использовать букву i в качестве индекса при обращении к конкретному подинтервалу. В каждом подинтервале мы выбираем выделенных точек на оси x , которые мы обозначим x i *. Значение ƒ( x i * ) даст нам высоты прямоугольника для каждого подинтервала. Таким образом, площадь прямоугольника в пределах заданного подинтервала будет:

      ƒ( x i * ) Δ x

      Таким образом, сумма Римана (которую мы получаем, складывая площади прямоугольников во всех подынтервалах) будет:

      S   =   n ƒ( x i * ) Δ x
      Σ
      i = 1

      Однако конечная цель интегрирования состоит в том, чтобы уйти от идеи сложения площадей конечного числа прямоугольников. Вместо этого мы должны думать о сумме бесконечного числа прямоугольников бесконечно малой ширины. Для этого мы можем выразить определенный интеграл от ƒ( x ) на интервале [ a , b ] как:

      ∫ b ƒ( x ) d x   =   lim
      a n →∞
      n ƒ( x i * ) Δ x
      Σ
      i = 1

      Definite Integral (или Riemann Interval ), таким образом, является пределом суммы ƒ ( x I *) Δ x для I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I . n стремится к бесконечности, а Δ x стремится к нулю. Обратите внимание, что вопрос выбора выделенной точки в каждом интервале для оценки ƒ( x ) становится несколько избыточным, так как Δ x все равно стремится к нулю. Все это, конечно, очень интересно, но нам все равно нужно уметь находить неопределенный интеграл, не вычисляя и не суммируя бесконечное количество членов! Давайте посмотрим, как мы можем это сделать. Мы начнем с рассмотрения несколько тривиального примера. На приведенном ниже рисунке показан график функции ƒ( x ) = x для 0 ≤ x ≤ 1.


      График функции ƒ( x ) = x для 0 ≤ x ≤ 1


      Очевидно, что в этом случае мы легко можем найти площадь под графиком, так как это будет просто площадь прямоугольного треугольника, в котором обе стороны равны одной единице длины. Однако мы собираемся проигнорировать эту незначительную деталь и вместо этого применим то, что мы уже узнали об определенном интеграле. Предположим, что мы собираемся разделить интервал [0, 1] на n подинтервалов. Таким образом, ширина каждого подинтервала будет определяться как:

      Δ x   =   1 – 0   =   1
      n n

      Хотя выбор выделенной точки в каждом подинтервале по существу неважен, давайте предположим ради аргумента, что мы вычисляем правую сумму Римана. Значения 9Таким образом, 0718 x , полученное с помощью ƒ ( x ) в каждом подинтервале, будет:

      x i  *  =   i Δ x   =   i 1   =   i
      n n

      Теперь мы можем сформулировать нашу сумму Римана:

      S   =   n ƒ( x i ) Δ x   =   n   i   · 1   =   1 n i
      Σ Σ Σ
      n n n  2
      i = 1 i = 1 i = 1

      Обратите внимание, что последний член в нашей сумме Римана теперь представляет собой просто сумму последовательных целых чисел, для которых существует хорошо известная формула:

      n i   =   n (n + 1)
      Σ
      2
      i = 1

      Если мы подставим это выражение в нашу сумму Римана, мы получим:

      S   =   1 · n ( n + 1)   =   n + 1
      n  2 2 2 п

      Таким образом, определенный интеграл от ƒ( x ) = x для 0 ≤ x ≤ 1, если мы возьмем предел, поскольку n стремится к бесконечности, будет:

      ∫ 1 ƒ( x ) d x   =   lim   n + 1   =   1
      0 n → ∞ 2 п 2

      Конечно, мы могли бы прийти к тому же ответу, вычислив площадь треугольной области под графиком ( основание умножается на высоту , по всем двум ), но мы хотели продемонстрировать один момент, а именно то, что определенный интеграл можно вычислить алгебраически как предел суммы Римана. Чтобы убедиться, что это сработает и для нелинейных функций, давайте рассмотрим другой пример. На этот раз мы найдем площадь под графиком функции ƒ( x ) = x  2 для 0 ≤ x ≤ 2. График показан ниже.


      График функции ƒ( x ) = x  2 для 0 ≤ x ≤ 2


      Как и прежде, мы собираемся разделить интервал [0, 2] на n подинтервалов, поэтому ширина каждого подинтервала определяется как:

      0 90 n0009 п
      Δ x   =   2 – 0   =   2

      Еще раз, хотя выбор выделенной точки в каждом подинтервале не важен, давайте предположим, что мы вычисляем правую сумму Римана. Таким образом, значения x , взятые ƒ( x ) в каждом подинтервале, будут:

      x I *= I δ x = I 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 0009 2 и
      n n

      Наша сумма Римана будет следующей:

      S   =   n ƒ( x i ) Δ x   =   n (  2 i   ) 2 · 2   =   8 n i  2
      Σ Σ Σ
      n n n  3
      i = 1 i = 1 i = 1

      Последний член нашей суммы Римана теперь представляет собой сумму квадратов последовательных целых чисел. Точно так же, как существует известная формула суммы последовательных целых чисел, существует также известная формула суммы квадратов последовательных целых чисел:

      + 1) (2 N

      9 + 1) + 1) (2 N

      19 + 1)

      19 + 1) (2 N

      9 + 1)

      N I 2 = N ( N + 1) (2 N + 1)
      919 + 1). i = 1

      Если мы подставим это выражение в нашу сумму Римана, мы получим:

      S   =   8 · n ( n + 1) (2 n + 1)   =   8 n  2 + 12 N + 4
      N 3 6 3 N 2

      Таким образом, определенный интеграл от ƒ( x ) для 0 ≤ x ≤ 2, если мы возьмем предел как n стремится к бесконечности, будет:

      ∫ 2 ƒ( x ) d x   =   lim   8 n  2 + 12 n + 4   =   8
      0 n →∞ 3 n  2 3

      Это правильный ответ, и теперь мы продемонстрировали, что можно вычислить площадь под графиком нелинейная функция алгебраическая. Если вам все еще нужно убедить, давайте попробуем еще один пример. На этот раз мы найдем площадь под графиком функции ƒ( x ) = x  3 + 1 для 0 ≤ x ≤ 1. График показан ниже.


      График функции ƒ( x ) = x  3 + 1 для 0 ≤ x ≤ 1


      Как и в предыдущих примерах, мы разделим интервал [0, 1] на n подинтервалов, поэтому ширина каждого подинтервала определяется как:

      Δ x   =   1 – 0   =   1
      n n

      Хотя мы в значительной степени установили, что выбор выделенной точки в каждом подинтервале неважен, мы будем считать, что вычисляем правую сумму Римана. Значения 9Таким образом, 0718 x , полученное с помощью ƒ ( x ) в каждом подинтервале, будет:

      x i  *  =   i Δ x   =   i 1   =   i
      n n

      Наша сумма Римана формулируется следующим образом:

      S   =   n ƒ( x i ) Δ x   =   n ((   i   ) 3 + 1 ) · 1   =   1 n i  3
      Σ Σ Σ
      n n n  4
      i = 1 i = 1 i = 1

      Теперь у нас есть член в сумме Римана, который представляет собой сумму последовательных целых чисел в кубе (т. е. возведенных в степень три ). К счастью для нас, существует также формула (может быть, не , а , столь известная) для суммы последовательных степеней трех:

      n i  3   =   n  2 ( n + 1)  2
      Σ
      4
      i = 1

      Если мы подставим это выражение в нашу сумму Римана, мы получим:

      S   =   1 · n  2 ( n + 1)  2 + 1  =   ( n + 1)  2 + 1
      n  4 4 4 п  2

      Таким образом, определенный интеграл от ƒ( x ) = x  3 + 1 для 0 ≤ x ≤ 1, если мы возьмем предел, когда n стремится к бесконечности, равен:

      4
      ∫ 1 ƒ( x ) d x   =   lim   4 n  2 + ( n + 1)  2   =   5
      0 n →∞ 4 n  2 Еще раз подтверждаем, что это правильный ответ. Теперь мы знаем, что это не менее возможно вычислить площадь под графиком нелинейной функции алгебраически, но то, как мы это делаем, кажется очень трудоемким. На самом деле, нам повезло с показанными примерами в том смысле, что в каждом случае была удобная формула суммирования, которую мы могли подключить к нашим вычислениям, чтобы облегчить жизнь. Так будет не всегда — большую часть времени нам нужно много работать, чтобы решать задачи интегрального исчисления алгебраически.

      Вы, наверное, думаете, что должен быть более простой способ нахождения интегралов, и он есть. Существует ряд относительно простых правил для выполнения интеграции, которые могут сэкономить нам много работы, как только мы научимся их применять. Используя эти правила, можно найти интеграл интегрируемой нелинейной функции, не прыгая через слишком много обручей. Однако имейте в виду, что базовые знания дифференциального исчисления необходимы, если вы хотите правильно понять правила интегрального исчисления. Если вы еще этого не сделали, вы можете прочитать (или хотя бы просмотреть) соответствующие страницы в Дифференциальное исчисление раздел этого сайта.


      Площади и определенные интегралы — Math Insight можно легко рассматривать как имеющее отношение к области

      . Один из первоначальные проблемы, для решения которых предназначались интегралы, заключались в вычислении область.

      Сначала нам нужно больше обозначений. Предположим, что у нас есть функция $f$, интегралом которой является другая функция $F$: $$\int f(x)\;dx=F(x)+C$$ Пусть $a,b$ — два числа. Затем 92\over 2}+2\biggr)={21\over 2}$$

      Все остальные интегралы, которые мы сделали ранее, будут назвал неопределенными интегралами , так как у них не было «пределов» $а,б$. Таким образом, определенный интеграл — это всего лишь разность двух значения функции, заданной неопределенным интегралом. То есть, здесь нет почти ничего нового, кроме идеи оценки функция, которую мы получаем путем интегрирования.

      Но теперь мы можем сделать что-то новое: вычислить 9x\ge x$ на интервале $[0,2]$.

      Как человеку может быть интересно, в общем может быть и не так легко сказать, находится ли график одной кривой выше или ниже еще один. Порядок рассмотрения ситуации следующий: две функции $f,g$, чтобы найти интервалы, где $f(x)\le g(x)$ и наоборот:

      • Найдите пересечение графиков, решив $f(x)=g(x)$ для $x$ до найти $x$-координаты точек пересечения.
      • Между любыми двумя решениями $x_1,x_2$ уравнения $f(x)=g(x)$ (а также слева и справа от самого левого и самого правого решений!), подключите одна вспомогательная точка по вашему выбору, чтобы увидеть, какая функция больше.

      Конечно, эта процедура работает по той же причине, что и тест первой производной для локальных минимумов и максимумов: мы неявно предполагают, что $f$ и $g$ являются непрерывными , так что если график одного выше графика другого, то ситуация не может сам реверс без графиков собственно пересечение .

      Оставить комментарий