Вычислите предел по правилу лопиталя: Решение примера Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя). Математический анализ

Содержание

решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Задание: Решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Цель: формирование умения находить производные высших порядков, вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

14.1. Выучите определение производной -го порядка. Проанализируйте, как найти производную второго, третьего и четвертого порядков.

14.2. Найдите вторую производную функции:

14.3. Найдите третью производную функции:

14.4. Найдите четвертую производную функции .

14.5. Выясните, сколько раз нужно продифференцировать функцию , чтобы в результате получился многочлен тридцатой степени.

14.6. Запомните, в каких случаях используется правило Лопиталя. Выясните, как оно применяется.

14.7. Установите правильную последовательность косточек математического домино и Вы узнаете титул французского математика Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя (1661 — 1704):

  • автора первого печатного учебника по дифференциальному исчислению;
  • учёного, в честь которого назван приём раскрытия неопределённостей вида или .

Методические указания но выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

I. Понятие производной высших порядков

Пусть — дифференцируемая на интервале функция. Тогда ее производная — тоже функция, определенная на интервале . И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной называется второй производной функции и обозначается или .

Пример 1.

Найдите вторую производную функции .

Решение:

Найдем .

Найдем как производную от .

Ответ: .

Вторая производная — тоже представляет собой функцию, следовательно, существует производная второй производной , называемая третьей производной или . Так, в примере 1. .

Аналогично вводится определение четвертой производной ;

пятой производной ;

-й производной .

Таким образом, производной -го порядка функции называется производная от производной -ro порядка (если она существует).

Пример 2.

Найдите четвертую производную функции .

Решение:

Найдем как производную сложной функции :

Найдем как производную от .

Ответ: .

Пример 3.

Найдите -ю производную функции .

Решение:

Найдем как производную сложной функции :

Очевидно, что .

Ответ: .

II. Правило Лопиталя

Если при вычислении предела функции возникает неопределенность вида или вида , и никакой из существующих приемов ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .

Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где , где достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е. .

Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев

2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.

Пример 4.

Вычислите .

Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

Ответ: .

Пример 5.

Вычислите .

Решение:

Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

. Снова получили неопределенность вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:

. Повторно применяя правило Лопиталя, получим

, т.к. при .

Ответ: .

Пример 6.

Вычислите .

Решение:

Поскольку при функция , то имеет место неопределенность вида и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела: . Тогда под знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя применимо:

Ответ: .

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Задания для дифференцированного зачета по дисциплине «Математика» СПО

по специальности «Технология продукции общественного питания»

Вариант Ι.

2. Найти область определения функции:

4. Найти предел функции, используя замечательные пределы:

5. Найти производную первого порядка:

6. Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

7. Вычислить значение выражения:

8. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,72, для второго 0,65, для третьего 0,8. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

9. Найти полный дифференциал функции:

10. Решить дифференциальное уравнение:

Задания для дифференцированного зачета

по дисциплине «Математика»

по специальности «Технология продукции общественного питания»

2 курс

Вариант ΙI.

1.Найти предел последовательности:

2. Найти область определения функции:

3.Найти предел функции по правилу Лопиталя

4. Найти предел функции, используя замечательные пределы:

5. Найти производную первого порядка:

6. Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

7. Вычислите значение выражения:

8. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,72, для второго 0,8, для третьего 0,85. Определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

9. Найти полный дифференциал функции:

10. Решить дифференциальное уравнение:

Задания для дифференцированного зачета

по дисциплине «Математика»

по специальности «Технология продукции общественного питания»

2 курс

Вариант ΙII.

1.Найти предел последовательности:

2. Найти область определения функции:

3.Найти предел функции по правилу Лопиталя:

4. Найти предел функции, используя замечательные пределы:

5. Найти производную первого порядка:

6. Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

7. Вычислить значение выражения:

8. Найти вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 60.

9. Найти полный дифференциал функции:

10. Решить дифференциальное уравнение:

Задания для дифференцированного зачета

по дисциплине «Математика»

по специальности «Технология продукции общественного питания»

2 курс

Вариант IV.

1.Найти предел последовательности:

2. Найти область определения функции:

3.Найти предел функции по правилу Лопиталя:

4. Найти предел функции, используя замечательные пределы:

5. Найти производную первого порядка:

6. Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

7. Вычислить значение выражения:

8. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что взятая на удачу деталь окажется стандартной.

9. Найти полный дифференциал функции:

10. Решить дифференциальное уравнение:

M(X) = 7,15; D(X) = 9,63

M(X)=6,94; D(X) = 67,64

7

336

8

9

10

M(X)=7,85; D(X) = 39,03

M(X)=7,24; D(X) = 18,99

7

7

8

9

10

▶▷▶▷ биография лопиталя

▶▷▶▷ биография лопиталя
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров
257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:21-10-2019

биография лопиталя – Лопиталь, Гийом Франсуа Википедия ruwikipediaorg wikiЛопиталь Cached Биография Сын богатых родителей (он происходил из знатного рода и был родственником канцлера де Лопиталя ), маркиз Лопиталь поступил сперва в военную службу, но по слабости зрения вскоре оставил её и посвятил себя Лопиталь, Франсуа де Википедия ruwikipediaorg wikiЛопиталь Cached Франсуа де Лопиталь (фр François de LHospital, 1583 год 20 апреля 1660 года, Париж) военный деятель Франции XVII века, сеньор дю Аллье, граф де Росне, пэр Франции, участник Тридцатилетней войны, при Людовике XIII маршал Франции (с Биография Гийом Лопиталь – peoplesru wwwpeoplesrusciencemathematicsguillaume_lopital Cached Другое известное сочинение Лопиталя , Traité analytique des sections coniques, напечатано в 1707 г Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в том числе о кривой наименьшего времени ската (см Лопиталь, Гийом Франсуа – это Что такое Лопиталь, Гийом dicacademicrudicnsfruwiki215326 Cached Другое известное сочинение Лопиталя , Traité analytique des sections coniques, напечатано в 1707 г Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в том числе о кривой наименьшего времени ската (см Ric Ocasek Biography History AllMusic wwwallmusiccom artistric-ocasek-mn0000889097 Cached Born Richard Otcasek in Baltimore, Maryland, on March 23, 1944, he was 16 when he became interested in music via such early rockers as Buddy Holly the CricketsIn the early 70s, Otcasek moved from Cleveland to Boston and began playing in a folk band called Milkwood with friend Ben Orzechowski David Bowie Biography History AllMusic wwwallmusiccom artist david-bowie -mn0000531986 Cached The cliché about David Bowie is that he was a musical chameleon, adapting himself according to fashion and trends While such a criticism is too glib, theres no denying that Bowie demonstrated a remarkable skill for perceiving musical trends at his peak in the 70s Capucine – Biography – IMDb wwwimdbcom namenm0001010bio Cached On a certain Wednesday in 1956, she realized she was bored Having never been to America, she flew there on Friday She modeled in New York for a while, and one night at the Manhattan restaurant le Pavilion she met star John Wayne and agentproducer Charles K Feldman Пьер Вариньон биография – peoplesu wwwpeoplesu20721 Cached Пьер Вариньон, французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини – биография , дата рождения Markus Frohnmaier Wikipedia dewikipediaorgwikiMarkus_Frohnmaier Cached Markus Cornel Frohnmaier ( 25Februar 1991 in Craiova, Rumänien) ist ein deutscher Politiker und MdB Seit dem 22 Mai 2017 ist er Sprecher Alice Weidels, die zur Bundestagswahl 2017 als Spitzenkandidatin der AfD auftrat Linda McCartney The Biography – wingspanru wwwwingspanrubooksenglindacontentshtml Cached Preface I wish I didnt have to write this book I wish Linda was still here, working on her myriad projects, inspiring people and making them feel so much better for her presence, saving the lives of animals, being the wonderful friend that she was and – this most of all, because it mattered most to her – being the great wife and best friend of one of the most talented men of our century Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox – the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 3,590

  • В 1690 -х годах занял видное место в школе Лейбница , с новым методом которого его познакомил Иоганн
  • Бернулли в 1692 во время своего пребывания в Париже в поместье Лопиталя. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Теорема Пифагора: история и способы до
  • атематических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Теорема Пифагора: история и способы доказательства. В этой книге собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях, а также приводится Правило Лопиталя. Биография Бернулли Иоганн в архиве мемориала ПомниПро. Дата рождения: 27 июля 1667. Дата смерти: 01 января 1748. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как правило Лопиталя. С помощью правила Лопиталя находим пределы. Математика online-формулы по алгебре, геометрии, высшей математике. Справочная информация, статьи, ссылки, биографии ученых. Современников, и все-таки, очень озадачило то, что Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя полностью. Биография Гийом Франсуа Лопиталь. Так и Правило Бернулли-Лопиталя может сотни раз при помощи производной преобразовывать функцию пока не получит желаемого результата, а именно устранение неопределённостей.
    Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Биография немецкого математика А. Гурвица.

статьи

статьи

  • adapting himself according to fashion and trends While such a criticism is too glib
  • and one night at the Manhattan restaurant le Pavilion she met star John Wayne and agentproducer Charles K Feldman Пьер Вариньон биография – peoplesu wwwpeoplesu20721 Cached Пьер Вариньон
  • дата рождения Markus Frohnmaier Wikipedia dewikipediaorgwikiMarkus_Frohnmaier Cached Markus Cornel Frohnmaier ( 25Februar 1991 in Craiova

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд биография лопиталя Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Лопиталь , Гийом Франсуа Википедия Лопиталь ,_ Гийом Франсуа Лопиталь фр Guillaume François Antoine, marquis de L Hôpital; французский Правило Лопиталя Википедия Теорема Лопита́ля также правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, Точная формулировка Примеры Биография Гийом Лопиталь Peoplesru peoplesruguillaume_lopi Гийом Франсуа Лопиталь фр Guillaume François Antoine, marquis de L Hôpital, французский Гийом Франсуа Антуан Лопиталь mathschoolru mathschoolrulhopitalhtml Гийом Франсуа Антуан Лопиталь февраля французский математик, автор первого учебника по ЭСБЕ Лопиталь , Гийом Франсуа Викитека Лопиталь , май Лопиталь GuillaumeFrançois, Marquis de lHopital, известный французский Биографии великих физиков и математиков Лопиталь wwwteormehrulopital_gijom_frans Лопиталь Гийом Франсуа Будущий известный математик родился в богатой знатной семье в году во Гийом Лопиталь Guillaume Francois Antoine Знаменитые wwwdelarinainfoencyclopaedia Биография ГийомЛопитальродился в дворянской семье Его отец Энн Александр де Лопиталь , граф де Ноль биография опасной идеи Результат из Книги Чарльз Сейфе Education Самое знаменитое новшество стало известно как правило Лопиталя Правило Лопиталя нанесло первый ударпо PDF Итак, удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем kantianaruanalispdf Теорема правило Лопиталя Если функции fx и gx удовлетворяют сле дующим Биографическая справка Жан Антуан Кондорсе Его жизнь и научнополитическая деятельность Результат из Книги Елизавета Литвинова Biography Autobiography Франклин так отозвался о биографии Лопиталя Я с восторгом прочитал Ваше похвальное слово Лопиталю; Лопиталь , Гийом Франсуа Коллекция старинных booksmathtreerunode Биография Гийом Франсуа Лопиталь фр Guillaume François Antoine, marquis de LHôpital PDF Биография poivstsputruБернуллиИоганнp Биография Иоганн стал Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил й постулат как излишний Кондорсэ Его жизнь и деятельность, научная и политическая Результат из Книги Е Ф Литвинова Biography Autobiography Франклин так отозвался о биографии Лопиталя Я с восторгом прочитал Ваше похвальное слово Лопиталю; Лопиталь Гийом Франсуа электронные книги, биография Лопиталь Гийом Франсуа электронные книги автора для чтения онлайн и в мобильном приложении Подписка Лопиталь Гийом Франсуа Публичная Библиотека publlibruL_Lopital_GFhtml Большая советская энциклопедия Лопиталь Lhopital, LHopital, LHospital Гийом Франсуа Антуан , Париж, PPT Правило Лопиталя Томский политехнический университет portaltpurut Лопиталь pptx Биография Правило Бернулли Лопита́ля метод нахождения пределов функций, раскрывающий Сейфе Чарльз Ноль биография опасной идеи Читать Сейфе Чарльз Ноль биография опасной идеи Читать книгу В году Бернулли обучил Лопиталя анализу Лопиталь Guillaume de lHôpital qwertyuwiki биография ЛОпиталь родился в семье военного Его отец был Правило Бернулли Лопиталя Дмитрий Николенко Омилия июн Так и Правило Бернулли Лопиталя может сотни раз при помощи производной преобразовывать Правило Лопиталя или правило Бернулли? Математика и В частности, правило Лопиталя гласит, что для двух данных функций И Биография и достижения в математике И Бернулли Бернулли Иоганн БИОГРАФИЯ Бернулли Иоганн I Бернулли Иоганн Биография Pomniproru pomniprorumemorypagebiography Биография Бернулли Иоганн в архиве мемориала ПомниПро Дата рождения июля Дата смерти Роман Каганович фильмография российские актёры kinoteatrrukinoworks апр Ментовские войны Пером и шпагой слуга Лопиталя Пером и шпагой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа Правило Лопиталя Allbest Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя Обзор биографии , Научнотехнический рэп Pikabu окт Сегодня мы зачитаем про правило Лопиталя Как известно, вычисление предела частного ЭВМHISTORY Бернулли, Иоганн Биография evmhistoryrupersonsbernoullijohtml Краткая биография Иоганна Бернулли швейцарского математика, механика, врача, младшего брата Якоба Бернулли Факты Сегодня метод известен под названием правило Лопиталя Кто автор правила Лопиталя? Ответы Способ раскрытия неопределённостей, к которым применяется правило Лопиталя Правило Лопиталя Википедия Wikiwikiru wpwikiwikiruwpПравило_ Лопита Теорема Лопита́ля также правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, Интересные факты из биографии лопиталя Форум Siwuwonidase siwuwonidasetkинтересныефактыиз В биографии Пушкина важно выделить, что впервые его стихи появляются в печати в году, в журнале Вестник Европы, где публикуется его стих Скачать бесплатно Реферат биография лопиталя , без ceocxiinomarbyethostcomreferat янв Скачать Реферат биография лопиталя , без регистрации Банк рефератов, курсовых, дипломных Елизавета Федоровна Литвинова, Жан Антуан Кондорсе Франклин так отозвался о биографии Лопиталя Я с восторгом прочитал Ваше похвальное слово Лопиталю; Лопиталь Мишель де Хронос wwwhronoinfobiografbiolhopitalp БИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ Лопиталь LHospital или LHôpital, Мишель де между и Биография Fmclassru wwwfmclassrumathphp?id Биография знакомится с Лопиталем Завязывается оживленная беседа на математические темы и Лопиталь Историческая справка fmfbigpibiyskrumatanfileshisthtml Биография Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил й постулат как излишний, вытекающий Лопиталь , Гийом Франсуа Википедия свободная Лопиталь ,_ май Биография Сын богатых родителей он происходил из знатного рода и был родственником Решение по правилу лопиталя Правило Лопиталя история и Особенно хорош собой метод Лопиталя , но о нем опишем на другой странице Ученый Чарльз Дарвин биография , теории и открытия Новое Отзывы и обзоры на Generally Лопиталя Story в интернет Обзоры на Generally Лопиталя Story и Офисные и школьные принадлежности, Знаменитости биография Юэ Фэй история китайский великий человек Вычислить предел используя правило лопиталя Решение Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя Этому простому Французская россика середины XVIII века тема научной России французских дипломатов середины XVIII века маркиза де Ла Шетарди, графа Дальона, шевалье дЭона, маркиза де Лопиталя , де Ла Шетарди Русский биографический словарь НАУЧНОТЕХНИЧЕСКИЙ РЭП MOD Если вы вылетели на допсу не отчаивайтесь у вас будет шанс повторить Лемму Ферма и правило Лопиталя Правило лопиталя для вычисления тригонометрических Правило Лопиталя для чайников определение, примеры решения, формулы Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в Турецкий реформатор Ататюрк Мустафа Кемаль биография Высшая математика для заочников и не только mathprofiru Я не буду выкладывать здесь свою развернутую биографию с фотоальбомом, как это любят делать многие Раскрытие неопределенностей правило лопиталя реферат orivoxohetowtkраскрытие Правило Лопиталя для вычисления пределов Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных не з дієприслівниками конспект урокукарточка приема окулиста биография хемницера в Биографическая библиотека Ф Павленкова Жизнь замечательных Результат из Книги Biography Бернулли охотно согласился, и к концу срока были получены решения от Ньютона, Лейбница и Лопиталя , причем Найти предел от логарифма правилом лопиталя kerchttru Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции Программа Бернулли Иоганн Учёный, фото, биография знаменитости, кто reddayrupeopleBernulli_Iogann В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как правило Лопиталя Печатает в Acta Рабочая программа по математике для специальности апр сообщения о биографии Гаусса и Камера; сообщение о биографии Лопиталя ; сообщение по ЛОПИТАЛЬ , МИШЕЛЬ Энциклопедия Брокгауза и Ефрона Значение ЛОПИТАЛЬ , МИШЕЛЬ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона ЛОПИТАЛЬ , МИШЕЛЬ Порусски небольшой, прекрасный биографический очерк проф Лучицкого Мишель Биографическая библиотека Ф Павленкова Жизнь замечательных Результат из Книги Biography Жизнь Лопиталя он считал образцом для тех, кто в трудных обстоятельствах предпочитает общее благо своему Решение задание по нахождения пределов используя правило ciquliwukazetkрешениезаданиепо Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа Первые две неопределенности можно свести к указанным в правиле Лопиталя Документальная литература Биографии и rrulibscom rulibscomru_zarnonfjhtml Маршал де Лопиталь Он второй сын гна де Витри, Старший брат это маршал де Витри который первым Запросы, похожие на биография лопиталя лопиталь онлайн реферат на тему правило лопиталя правило лопиталя примеры первое и второе правила лопиталя правило лопиталя доказательство нахождение предела функции с помощью теоремы лопиталя бернулли правило лопиталя раскрытия неопределенностей вычислите предел по правилу лопиталя мти След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

В 1690 -х годах занял видное место в школе Лейбница , с новым методом которого его познакомил Иоганн Бернулли в 1692 во время своего пребывания в Париже в поместье Лопиталя. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Теорема Пифагора: история и способы доказательства. В этой книге собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях, а также приводится Правило Лопиталя. Биография Бернулли Иоганн в архиве мемориала ПомниПро. Дата рождения: 27 июля 1667. Дата смерти: 01 января 1748. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как правило Лопиталя. С помощью правила Лопиталя находим пределы. Математика online-формулы по алгебре, геометрии, высшей математике. Справочная информация, статьи, ссылки, биографии ученых. Современников, и все-таки, очень озадачило то, что Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя полностью. Биография Гийом Франсуа Лопиталь. Так и Правило Бернулли-Лопиталя может сотни раз при помощи производной преобразовывать функцию пока не получит желаемого результата, а именно устранение неопределённостей. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Биография немецкого математика А. Гурвица.

Ответы математический анализ | reshatel.bitballoon.com

Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математический анализ.

Укажите область определения функции

Какая поверхность называется графиком функции n переменных?

n-мерная гиперповерхность в пространстве , точки которой имеют вид

Найдите область определения функции

Какая функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X?

если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции

если функция задана формулой y = f(x), в которой правая часть не содержит зависимой переменной

Найдите область определения функции

Укажите область определения функции

Укажите область определения функции

Укажите область определения функции

Укажите область определения функции

Укажите область определения функции

Какова область определения функции ?

Укажите область определения функции

если для любых значений х из области определения

Укажите область определения функции

На каком из рисунков изображена область определения функции ?

Укажите область определения функции

Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?

Укажите область определения функции

Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?

На каком из рисунков изображена область определения функции ?

В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?

если она сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса

Укажите область определения функции

Относительно чего симметричен график нечетной функции?

График какой функции симметричен относительно оси ординат?

Найдите интервал сходимости ряда , не исследуя концов интервала

Исследуйте сходимость ряда

Найдите радиус сходимости ряда

Найдите интервал сходимости ряда

Найдите интервал сходимости ряда , не исследуя концов интервала

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте ряд на сходимость

eсли ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте ряд на сходимость

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Найдите радиус сходимости ряда

Исследуйте сходимость ряда

Исследуйте сходимость ряда

Найдите интервал сходимости ряда

Найдите радиус сходимости ряда

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел

Найдите предел функции при

Найдите частные производные функции двух переменных

Найдите полный дифференциал функции

Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y

Дана функция . Решите уравнение

Найдите производную функции

Дана функция . Найдите y′(36)

Найдите частные производные функции трех переменных

Вычислите предел по правилу Лопиталя

Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?

пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

Вычислите предел по правилу Лопиталя

Найдите производную функции

Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x

Найдите полный дифференциал функции

Найдите производную функции

Вычислите предел по правилу Лопиталя

Найдите производную функции

Найдите производную функции

Вычислите предел по правилу Лопиталя

Найдите производную функции

Найдите частные производные второго порядка функции

Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке, и их произведение также дифференцируемо в этой точке

Найдите среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону , для промежутка времени от

Вычислите предел по правилу Лопиталя

Найдите промежутки возрастания или убывания функции

возрастает при и убывает при

В каких точках выпукла или вогнута кривая

В каких точках выпукла или вогнута кривая

если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то для всех x из этого интервала

Найдите вертикальные асимптоты к графику функции

Найдите точки максимума (минимума) функции

прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность

Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?

если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале

Найдите точку перегиба кривой

Найдите точку перегиба кривой

Определите поведение функции

Найдите промежутки возрастания или убывания функции

убывает при , возрастает при

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]

точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует

Исследуйте функцию на экстремумы

максимум в точке ; минимум в точке 0

Найдите промежутки возрастания или убывания функции

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Исследуйте функцию на монотонность и экстремум

— промежуток возрастания, — промежуток убывания, x = 0 — точка максимума

Найдите точки максимума (минимума) функции

— точка максимума

Вертикальные асимптоты к графику функции имеют вид

в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует

Определите поведение функции

Определите поведение функции при x = 0

Число называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если

для всех x из этого отрезка выполняется неравенство

Найдите точки максимума (минимума) функции

— точка минимума, (1; 0,5) — точка максимума

Найдите интеграл

Найдите

Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?

Найдите

Найдите первообразную для функции

Найдите интеграл

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите интеграл

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите интеграл

Найдите первообразную функции

Найдите первообразную для функции

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите

Найдите

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Вычислите определенный интеграл

Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5x, x = 2 и осью Ox

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами:

Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: и y = 0

Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?

Найдите площадь области, ограниченной прямыми и осью Ox

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0, x = 0, x = 2

Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox

Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения

Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой

Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y = 4x – 5, x = -3, x=-2 и осью Ox

Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком оси Ox, графиком функции y = cosx, отрезками прямых и x = π

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 4x, x = 4 и осью Ox

Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , y = 0, ,

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0

Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0

Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения

Найдите площадь области, ограниченной кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , x = 2 и отрезком оси Ox

Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума имеющего длину 30 см и высоту 20 см

Среди перечисленных уравнений укажите однородные уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6.

Что называется порядком дифференциального уравнения?

наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение

Найдите частное решение уравнения 2(z + 3)dt = (t + 2)dz, если при

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Найдите общее решение уравнения

Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2

Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?

Найдите частное решение уравнения , если при t = 0 s = 0

Найдите общее решение уравнения

Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0

Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0

Укажите общее решение дифференциального уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнения с разделяющимися переменными:

1. ;

2. ;

3.

4.

5. ;

6.

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными

Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?

уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков

Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение

Среди перечисленных дифференциальных уравнений указать уравнение Бернулли:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Решите уравнение

Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4 удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли

Найдите общее решение уравнения

1.

2.

3.

4.

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите общее решение уравнения

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6

При решении каких уравнений используют подстановку ?

Статистика как наука изучает тест с ответами

Исчисление I.

Линейные приближения Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-11: Линейные аппроксимации

В этом разделе мы рассмотрим применение не производных, а касательной к функции. Конечно, чтобы получить касательную, нам нужно взять производные, так что в некотором роде это тоже приложение производных.

Имея функцию \(f\left( x \right)\), мы можем найти ее касательную в точке \(x = a\). Уравнение касательной, которое мы будем называть \(L\left(x\right)\) для этого обсуждения, равно

\[L\влево( x \вправо) = f\влево( a \вправо) + f’\влево( a \вправо)\влево( {x – a} \вправо)\]

Взгляните на следующий график функции и ее касательной.

Из этого графика видно, что вблизи \(x = a\) касательная и функция имеют почти одинаковый график. Иногда мы будем использовать касательную, \(L\left( x \right)\), как приближение к функции, \(f\left( x \right)\), около \(x = a\) . В этих случаях мы называем касательную линию линейным приближением к функции в точке \(х = а\).

Итак, зачем нам это? Давайте посмотрим на пример.

Пример 1. Определить линейную аппроксимацию для \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\) при \(x = 8\). 2}}}}}\hspace{0.5in}f\left( 8 \right) = 2\hspace{0.25in}f’\left( 8 \right) = \frac{1}{{12}}\]

Тогда линейное приближение равно

\[L\left( x \right) = 2 + \frac{1}{{12}}\left( {x – 8} \right) = \frac{1}{{12}}x + \frac{ 4}{3}\]

Теперь аппроксимации представляют собой не что иное, как подстановку заданных значений \(x\) в линейную аппроксимацию. Для целей сравнения мы также вычислим точные значения.

\[\begin{align*}L\left( {8.05} \right) & = 2.00416667 & \hspace{0.75in} \sqrt[3]{{8.05}} & = 2.00415802\\ L\left( {25} \right) & = 3.41666667 & \hspace{0.75in} \sqrt[3]{{25}} & = 2,92401774\конец{выравнивание*}\]

Таким образом, при \(x = 8,05\) эта линейная аппроксимация очень хорошо приближает фактическое значение. Однако при \(x = 25\) это не так хорошо работает.

Это не должно удивлять, если подумать. Вблизи \(x = 8\) и функция, и линейное приближение имеют почти одинаковый наклон, и, поскольку они оба проходят через точку \(\left({8,2} \right)\), они должны иметь почти одинаковое значение пока мы остаемся рядом с \(x = 8\). Однако по мере того, как мы удаляемся от \(x = 8\), линейная аппроксимация представляет собой линию и поэтому всегда будет иметь один и тот же наклон, в то время как наклон функции будет меняться при изменении \(x\), и поэтому функция, по всей вероятности, будет , отойдите от линейного приближения.

Вот краткий набросок функции и ее линейной аппроксимации при \(x = 8\).

Как отмечалось выше, чем дальше от \(x = 8\) мы удаляемся, тем большее расстояние отделяет саму функцию от ее линейного приближения.

Линейные приближения очень хорошо аппроксимируют значения \(f\left( x \right)\), пока мы остаемся “близкими” \(x = a\). Однако чем дальше мы удаляемся от \(x = a\), тем хуже может быть аппроксимация. Основная проблема здесь заключается в том, что насколько близко нам нужно оставаться к \(x = a\), чтобы получить хорошее приближение, будет зависеть как от используемой нами функции, так и от значения \(x = a\), которое мы пользуетесь. Кроме того, часто не будет простого способа предсказать, насколько далеко от \(x = a\) мы можем уйти и при этом иметь «хорошее» приближение.

Давайте взглянем на другой пример, который довольно часто используется в некоторых местах.

Пример 2. Определить линейную аппроксимацию для \(\sin\theta\) при \(\theta = 0\). Показать решение

Опять же, в этом примере не так уж много всего. Все, что нам нужно сделать, это вычислить касательную к \(\sin\theta\) в точке \(\theta = 0\).

\[\begin{align*}f\left( \theta \right) & = \sin \theta & \hspace{0.75in} f’\left( \theta \right) & = \cos \theta \\ f\left( 0 \right) & = 0 & \hspace{0.75in}f’\left( 0 \right) & = 1 \конец{выравнивание*}\]

Линейное приближение,

\[\begin{align*}L\left(\theta\right) & = f\left(0 \right) + f’\left(0 \right)\left({\theta – a} \right)\ \ & = 0 + \ влево ( 1 \ вправо) \ влево ( {\ тета – 0} \ вправо) \\ & = \ тета \ конец {выравнивание *} \]

Итак, пока \(\theta\) остается малым, мы можем сказать, что \(\sin \theta \приблизительно \theta\).

На самом деле это довольно важное линейное приближение. В оптике это линейное приближение часто используется для упрощения формул. Это линейное приближение также используется для описания движения маятника и колебаний струны.

Исчисление I – Типы бесконечности

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-7: Типы Бесконечности

Большинство студентов сталкивались с бесконечностью в какой-то момент времени перед уроком исчисления.Однако, когда они имели дело с этим, это был просто символ, используемый для представления очень, очень большого положительного или очень, очень большого отрицательного числа, и это было его пределом. Как только они попадают в класс исчисления, студентов просят выполнить базовую алгебру с бесконечностью, и здесь у них возникают проблемы. Бесконечность НЕ является числом и по большей части не ведет себя как число. Однако, несмотря на это, в этом разделе мы будем думать о бесконечности как о очень, очень, очень большом числе, которое настолько велико, что нет другого числа, большего, чем оно.Это, конечно, неверно, но может помочь в обсуждении в этом разделе. Также обратите внимание, что все, что мы будем обсуждать в этом разделе, относится только к действительным числам. Например, если вы перейдете к комплексным числам, все может измениться и действительно изменится.

Итак, начнем думать о сложении с бесконечностью. Когда вы добавляете два ненулевых числа, вы получаете новое число. Например, \(4 + 7 = 11\). С бесконечностью это не так. С бесконечностью у вас есть следующее.

\[\begin{align*}\infty + a & = \infty \hspace{0.25in}{\mbox{где}}a \ne – \infty \\ \infty + \infty & = \infty \end{align*}\]

Другими словами, очень, очень большое положительное число (\(\infty \)) плюс любое положительное число, независимо от размера, все равно будет очень, очень большим положительным числом. Точно так же вы можете добавить отрицательное число (, т. е. \(a < 0\)) к очень, очень большому положительному числу и остаться очень, очень большим и положительным. Таким образом, сложением, включающим бесконечность, можно заниматься интуитивно, если вы будете осторожны.Также обратите внимание, что \(a\) НЕ должно быть отрицательной бесконечностью. Если это так, есть некоторые серьезные проблемы, с которыми нам нужно разобраться, как мы вскоре увидим.

Вычитание с отрицательной бесконечностью в большинстве случаев также может быть реализовано интуитивно. Очень, очень большое отрицательное число за вычетом любого положительного числа, независимо от его размера, все равно будет очень, очень большим отрицательным числом. Вычитание отрицательного числа (, т. е. \(a < 0\)) из очень, очень большого отрицательного числа все равно будет очень, очень большим отрицательным числом.Или

\[\begin{align*} – \infty – a & = – \infty \hspace{0.25in}{\mbox{где}}a \ne – \infty \\ – \infty – \infty & = – \infty \конец{выравнивание*}\]

Опять же, \(a\) не должно быть отрицательной бесконечностью, чтобы избежать некоторых потенциально серьезных трудностей.

С умножением также можно справиться довольно интуитивно. Очень, очень большое число (положительное или отрицательное), умноженное на любое число, независимо от размера, все равно будет очень, очень большим числом, нам просто нужно быть осторожным со знаками. В случае умножения мы имеем

\[\begin{array}{c}\left( a \right)\left( \infty \right) = \infty \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{if}}a > 0\hspace{0,75 дюйма} \left( a \right)\left( \infty \right) = – \infty \hspace{0,25in}{\mbox{if }}a

То, что вы знаете о произведениях положительных и отрицательных чисел, остается здесь верным.

С некоторыми формами деления можно работать и интуитивно. Действительно, очень большое число, деленное на не слишком большое число, все равно остается очень, очень большим числом.

\[\begin{align*}\frac{\infty}{a} & = \infty & \hspace{0,25in} & {\mbox{if}}a > 0,a \ne \infty & \hspace{0,75 in}\frac{\infty} {a} & = – \infty & \hspace{0,25in}{\mbox{if}}a 0,a \ne \infty & \hspace{0,75in}\frac{{ – \infty }}{a} & = \infty & \hspace{0,25in}{\mbox{ if }}a

Деление числа на бесконечность интуитивно понятно, но есть несколько тонкостей, о которых нужно знать. из. Когда мы говорим о делении на бесконечность, мы на самом деле говорим об ограничивающем процессе, в котором знаменатель стремится к бесконечности. Таким образом, число, которое не слишком велико, деленное на все большее число, является все более малым числом. Другими словами, в нашем пределе

\[\frac{a}{\infty} = 0\hspace{0,5 дюйма}\hspace{0,5 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\frac{a}{{ – \infty}} = 0\]

Итак, мы рассмотрели почти все основные алгебраические операции с бесконечностью. Есть два случая, которые мы еще не рассмотрели. Это

\[\infty – \infty = {\mbox{?}}\hspace{0,5 дюйма}\hspace{0,5 дюйма}\frac{{ \pm \,\infty}}{{ \pm \,\infty}} = ?\]

Проблема с этими двумя случаями в том, что интуиция здесь не особо помогает.Очень, очень большое число минус очень, очень большое число может быть чем угодно (\( – \infty \), константой или \(\infty \)). Точно так же очень, очень большое число, деленное на очень, очень большое число, также может быть чем угодно (\( \pm \infty \) — это зависит от проблем со знаком, 0 или ненулевой константы).

Здесь мы должны помнить, что есть очень, очень большие числа и есть очень, очень, очень большие числа. Другими словами, одни бесконечности больше других бесконечностей.Со сложением, умножением и первым набором деления, с которым мы работали, это не было проблемой. Общий размер бесконечности просто не влияет на ответ в этих случаях. Однако в случаях вычитания и деления, перечисленных выше, это имеет значение, как мы увидим.

Вот один из способов понять идею о том, что одни бесконечности больше других. Это довольно сухой и технический способ думать об этом, и ваши задачи по исчислению, вероятно, никогда не будут использовать этот материал, но это хороший способ взглянуть на это.Кроме того, обратите внимание, что я не пытаюсь дать здесь точное доказательство чего-либо. Я просто пытаюсь дать вам небольшое представление о проблемах с бесконечностью и о том, как некоторые бесконечности можно считать большими, чем другие. Для гораздо лучшего (и, безусловно, более точного) обсуждения см.

.

http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf

Начнем с того, сколько существует целых чисел. Ясно, надеюсь, что их бесконечное множество, но давайте попробуем лучше понять «размер» этой бесконечности.Итак, выберите любые два целых числа совершенно случайным образом. Начните с меньшего из двух и перечислите в порядке возрастания все целые числа, которые следуют за ним. В конце концов мы достигнем большего из двух целых чисел, которые вы выбрали.

В зависимости от относительного размера двух целых чисел перечисление всех целых чисел между ними может занять очень и очень много времени, и в действительности это не имеет смысла. Но это можно было бы сделать, если бы мы захотели, и это важная часть.

Поскольку мы могли бы перечислить все эти целые числа между двумя случайно выбранными целыми числами, мы говорим, что целые числа счетно бесконечны .Опять же, нет никакой реальной причины делать это, это просто то, что можно сделать, если мы захотим это сделать.

В общем случае набор чисел называется счетно бесконечным, если мы можем найти способ перечислить их все. В более точной математической постановке это обычно делается с помощью функции особого типа, называемой биекцией, которая связывает каждое число в наборе ровно с одним из положительных целых чисел. Чтобы увидеть более подробную информацию об этом, см. PDF-файл, приведенный выше.

Можно также показать, что множество всех дробей также счетно бесконечно, хотя это немного сложнее показать, и это не является целью данного обсуждения. Чтобы увидеть доказательство этого, см. pdf, приведенный выше. У него есть очень хорошее доказательство этого факта.

Давайте сравним это, попытавшись выяснить, сколько чисел содержится в интервале \( \left(0,1\right) \). Под числами я подразумеваю все возможные дроби, которые лежат между нулем и единицей, а также все возможные десятичные дроби (которые не являются дробями), которые лежат между нулем и единицей.Следующее похоже на доказательство, приведенное в pdf выше, но оно было достаточно хорошим и достаточно простым (надеюсь), поэтому я хотел включить его сюда.

Для начала предположим, что все числа в интервале \( \left(0,1\right) \) счетно бесконечны. Это означает, что должен быть способ перечислить их все. У нас может быть что-то вроде следующего,

\[\begin{align*}{x_1} & = 0,6 \cdots \\ {x_2} & = 0,171034 \cdots \\ {x_3} & = 0.993671 \cdots \\ {x_4} & = 0,045908 \cdots \\ \vdots \,\, & \hspace{0,6 дюйма} \vdots \end{align*}\]

Теперь выберите десятичное число \(i\) th из \({x_i}\), как показано ниже

\[\begin{align*}{x_1} & = 0.\underline 6 \cdots \\ {x_2} & = 0.1\underline 7 1034 \cdots \\ {x_3} & = 0.99\underline 3 671 \cdots \ \ {x_4} & = 0.045\underline 9 08 \cdots \\ \vdots \,\, & \hspace{0.6in} \vdots \end{align*}\]

и сформируйте из этих цифр новый номер.Итак, для нашего примера у нас будет число

. \[x = 0,6739 \cdots\]

В этом новом десятичном числе замените все 3 на 1 и замените все остальные числа на 3. В случае нашего примера это даст новое число

\[\overline x = 0,3313 \cdots \]

Обратите внимание, что это число находится в интервале \( \left(0,1\right) \), а также обратите внимание, что, учитывая то, как мы выбираем цифры числа, это число не будет равно первому числу в нашем списке, \ ({x_1}\), потому что первая цифра каждого из них гарантированно не будет одинаковой. Точно так же это новое число не будет совпадать со вторым в нашем списке, \({x_2}\), потому что вторая цифра каждого из них гарантированно не будет одинаковой. Продолжая в том же духе, мы можем видеть, что это новое число, которое мы построили, \(\overline x \), гарантированно не будет в нашем списке. Но это противоречит первоначальному предположению, что мы можем перечислить все числа в интервале \( \left(0,1\right) \). Следовательно, не должно быть возможности перечислить все числа в интервале \( \left(0,1\right) \).

Наборы чисел, такие как все числа в \( \left(0,1\right) \), которые мы не можем записать в список, называются несчетно бесконечными.

Причина перехода следующая. Бесконечность, неисчислимо бесконечная, значительно больше, чем бесконечность, которая только счетно бесконечна. Итак, если мы возьмем разницу в две бесконечности, у нас будет пара возможностей.

\[\begin{align*}\infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right) – \infty \left( {{\mbox{countable}}} \right) & = \infty \\ & \\ \infty \left( {{\mbox{countable}}} \right) – \infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right) & = – \infty \end{align*}\]

Обратите внимание, что мы не записали разность двух бесконечностей одного типа. В зависимости от контекста все еще может быть некоторая двусмысленность в отношении того, каким будет ответ в этом случае, но это совершенно другая тема.

Мы могли бы сделать что-то подобное и для частных бесконечностей.

\[\ begin{align*}\frac{{\infty \left({{\mbox{countable}}} \right)}}{{\infty \left({{\mbox{uncountable}}} \right) }} & = 0\\ & \\ \frac{{\infty \left( {\mbox{uncountable}}} \right)}}{{\infty \left({{\mbox{countable}}} \ справа)}} & = \infty \end{align*}\]

Опять же, мы избегали отношения двух бесконечностей одного и того же типа, поскольку, опять же, в зависимости от контекста, его значение может быть неоднозначным.

Итак, это все, и, надеюсь, вы узнали что-то новое из этого обсуждения. Бесконечность просто не является числом, и, поскольку существуют разные виды бесконечности, обычно она ведет себя не так, как число. Будьте осторожны, имея дело с бесконечностью.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя — это теорема, используемая для нахождения предела определенных типов неопределенных форм; неопределенные формы – это выражения, возникающие в результате попытки вычислить предел с помощью подстановки. Например, рациональные функции, пределы которых оцениваются как 0/0 или ∞/∞, называются неопределенными формами, поскольку выражение не дает достаточно информации для вычисления предела. Другие неопределенные формы включают 0 · ±∞, ∞ – ∞, 1 , 0 0 и ∞ 0 .

Неопределенные формы можно рассматривать как состязание между терминами в выражении, где существуют конкурирующие правила, делающие неясным, какой термин является доминирующим; это делает неясным, каков предел функции без дальнейшего изучения.Существует несколько различных способов оценки лимитов (дополнительную информацию см. на странице лимитов). Правило Лопиталя используется только в тех случаях, когда предел имеет неопределенную форму 0/0 или ∞/∞, и предел нельзя вычислить с помощью других методов.

Правило Лопиталя выглядит следующим образом: если f и g дифференцируемы и g'(x) ≠ 0 на открытом интервале, содержащем a (кроме, возможно, a), и верно одно из следующих утверждений,


затем:

Другими словами, правило Лопиталя гласит, что для неопределенных форм соответствующего типа (0/0 или ∞/∞) предел может быть найден путем дифференцирования обоих выражений, что часто приводит к упрощенному выражению, предел которого можно вычислить через замещение. Стоит отметить, что правило Лопиталя можно использовать только для этих конкретных случаев и его нельзя использовать для вычисления всех пределов. Кроме того, в некоторых случаях правило Лопиталя должно применяться несколько раз, прежде чем предел можно будет вычислить путем подстановки; в других случаях, независимо от того, сколько раз применялось правило Лопиталя, результат все равно будет неопределенной формы, и предел может не существовать или может потребоваться оценка с использованием других методов. Ниже приведен пример использования правила Лопиталя.

Пример

Найти .

Подстановка 1 в предел приводит к неопределенной форме 0/0:

Поскольку приведенное выше выражение соответствует необходимым критериям, мы можем использовать правило Лопиталя для определения предела:

Как упоминалось выше, в некоторых случаях нам нужно применить правило Лопиталя несколько раз, прежде чем мы сможем определить предел. Ниже приведен такой пример.


Пример

Найти .

Когда x приближается к ∞, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, что приводит к неопределенной форме ∞/∞.Таким образом, мы можем использовать правило Лопиталя и дифференцировать выражение:

Обратите внимание, что результирующее выражение имеет неопределенный вид ∞/∞, поэтому мы все еще не можем определить предел и вместо этого еще раз продифференцируем выражение:

После второго дифференцирования выражения мы получаем выражение, которое больше не является неопределенной формой, поэтому мы можем вычислить предел и найти, что:

Другие неопределенные формы

Хотя правило Лопиталя можно применять только к пределам неопределенных форм 0/0 и ∞/∞, иногда можно алгебраически перестроить выражения так, чтобы они соответствовали критериям, необходимым для использования правила Лопиталя.Приведенные ниже примеры иллюстрируют это для разных случаев.

Неопределенная форма: 0 · ∞

Пределы неопределенной формы 0 · ±∞ можно преобразовать в неопределенную форму 0/0 или ∞/∞, переписав произведение как частное; учитывая и , мы можем переписать f(x) · g(x) как частное,

,

, что приводит к выражению неопределенной формы 0/0 или ∞/∞, что позволяет нам применить правило Лопиталя.

Пример

Найти .

Подстановка π/2 приводит к выражению неопределенной формы 0 · ∞.Чтобы использовать правило Лопиталя, перепишите предел как частное так, чтобы подстановка привела к выражению неопределенной формы 0/0:

Затем мы используем правило Лопиталя и дифференцируем выражение, чтобы найти предел:


Неопределенные формы: 1

, 0 0 , ∞ 0

Пределы неопределенных форм 1 , 0 0 или ∞ 0 могут быть преобразованы в выражение неопределенной формы 0/0 или ∞/∞ с помощью функции натурального логарифма.

Пример

Найти

Подстановка π/2 в предел дает выражение неопределенной формы 1 , поэтому мы применяем натуральный логарифм к пределу, пытаясь получить выражение в форме, которая позволяет нам использовать правило Лопиталя:


Поскольку sin(π/2) = 1, член sin(x) можно опустить:

После удаления члена sin(x) выражение теперь имеет форму 0/0, поэтому мы можем применить правило Лопиталя:

Помните, что мы взяли натуральный логарифм исходного предела, поэтому нам нужно возвести в степень наш результат, чтобы найти исходный предел. Таким образом, e 0 = 1, а предел равен 1.

Пределы формы 0 0 и ∞ 0 могут быть вычислены аналогично этому примеру.


Неопределенная форма: ∞ – ∞

Пределы неопределенной формы ∞ – ∞ можно преобразовать в предел формы 0/0 или ∞/∞ путем возведения предела в степень и использования правил логарифмирования. В случаях, когда f и g являются дробями, мы можем просто объединить их в одно частное, используя наименьший общий знаменатель, а затем использовать правило Лопиталя.

Примеры

Найдите следующие пределы:


1. При x → 1 + оба члена в выражении стремятся к ∞, поэтому предел имеет вид ∞ – ∞. Поскольку оба члена являются дробями, мы можем объединить члены,

приводит к выражению формы 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя:


Это выражение снова имеет неопределенную форму 0/0, поэтому мы еще раз применяем правило Лопиталя:

Таким образом, предел равен 1.

2. При x → ∞ оба члена стремятся к ∞, поэтому предел имеет вид ∞ – ∞. В этом случае мы не можем использовать тот же метод, что и раньше, так как члены выражения не являются дробями. Вместо этого мы возводим в степень обе части уравнения, предполагая, что некоторое действительное число L является пределом:

Полученное выражение имеет неопределенную форму ∞/∞, поэтому мы можем применить правило Лопиталя:

Таким образом, L = ∞, что является бесконечным пределом, поэтому мы можем сказать, что предела не существует.

Когда не следует использовать правило Лопиталя

Важно отметить, что правило Лопиталя нельзя использовать для любого предела.Повторюсь, его можно использовать только для пределов, которые приводят (или могут быть преобразованы) в неопределенные формы 0/0 или ∞/∞ после оценки предела посредством подстановки. Использование его в ситуациях, когда это не так, приведет к неправильному результату.

Пример

Найти .

Этот предел можно оценить путем подстановки. Подставив x = 0 в предел,

, мы находим, что предел равен 2. Однако, если бы мы применили правило Лопиталя вместо вычисления предела, как мы сделали выше, мы бы нашли неверный предел:


Таким образом, важно сначала подтвердить, что у нас есть предел соответствующей формы, используя подстановку, прежде чем применять правило Лопиталя к пределу.

Также важно отметить, что даже в случаях, когда предел имеет неопределенную форму 0/0 или ∞/∞, это не гарантирует, что предел существует или что его можно определить с помощью правила Лопиталя. Вполне возможно, что многократное применение правила Лопиталя всегда приводит к неопределенной форме. В таких случаях лимита может и не быть. Однако тот факт, что предел нельзя определить с помощью правила Лопиталя, не обязательно означает, что предел не существует; иногда можно использовать другие методы для вычисления предела.

Пример

Найти .

При x → ∞ оба члена стремятся к ∞, поэтому мы имеем предел неопределенной формы ∞/∞ и можем применить правило Лопиталя:

Результирующий предел по-прежнему имеет вид ∞/∞, и если бы мы еще раз применили правило Лопиталя, то получили бы тот же предел, с которого начали. 2

Правило Лопиталя | Brilliant Math & Science Wiki

Оценить лимит

lim⁡x→01−cos⁡x2x4.2} \\ &=\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{120x} \\ &=\lim_{x\to0} \frac{\cos x}{120} \\ &= \frac1{120}. \end{align} x→0lim​x5sinx+Ax+Bx3​=x→0lim​60×2-cosx+1​=x→0lim​120xsinx​=x→0lim​120cosx​=1201​.​

Следовательно, 1C=1120\frac1C = \frac1{120} C1​=1201​ или C=120,C = 120,C=120, что означает

А×В×С=-1×16×120=-20. □A \times B \times C = -1 \times \frac16 \times 120 = -20. \ _\квадратA×B×C=−1×61​×120=−20. □​

Правило Лопиталя для функций многих переменных

1 Введение

Интересно подумать о том, сколько раз в математике слово «невозможно» означает только «вы еще не готовы это понять».«На разных школьных этапах нас могут внушать, что невозможно вычесть 3 минус 5, или извлечь квадратный корень из 6, или извлечь квадратный корень из –1, но потом мы обнаружим, что это невозможно только в пределах заданная структура, которую мы знали. И даже в математических исследованиях общепризнанная невозможность может раствориться в присутствии расширяющего контекст нового понимания.

А как насчет деления нуля на ноль? Нам строго внушают в школе, что делить на ноль невозможно и его нужно избегать.Смягчается ли когда-нибудь этот запрет?

На самом деле, более точное утверждение (если мы готовы его понять) состоит в том, что невозможно разделить ноль на ноль вне контекста . Все остальные арифметические операции не зависят от контекста, что весьма примечательно. Таким образом, шесть разделить на три равно двум, независимо от того, делитесь ли вы расходами с парой друзей или готовите часть рецепта хлеба. Не так обстоит дело с нулем, деленным на ноль: если вы сфотографируете две гоночные машины и увидите, что на картинке обе машины проезжают ноль футов за ноль секунд, это не поможет в сравнении скоростей машин.

Но если вы можете найти некоторую контекстуальную информацию для задачи с нулевым значением, например, последовательность или частное функций, тогда вы снова в деле.

В 1696 году маркиз де л’Опиталь опубликовал первый текст по исчислению, в котором было раскрыто элегантное и прочное правило, носящее его имя. Таким образом, неопределенные пределы с одной переменной были снабжены методом разрешения от 91 256 до 91 257.

Однако методы определения неопределенных пределов для нескольких переменных не являются общепризнанными.В учебнике по математическому анализу обычно рассказывается, как доказать существование определенных многомерных пределов , а не , путем ограничения области определения отдельными линиями через особую точку и получения различных пределов. Затем следует предупреждение не пытаться использовать тот же метод доказательства, чтобы утверждать, что предел действительно существует. Стандартным контрпримером является x2y/(x4+y2) при (x,y)→(0,0), предел которого по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю, а по параболе y=x2 его предел равен 1/2.

Затем учащийся, естественно, может спросить, как правильно доказать существование многомерного предела, но может обнаружить, что этот вопрос решен лишь частично. А как насчет правила Лопиталя для функций многих переменных? В какой-то момент автор настоящей статьи знал, почему такое правило невозможно; мы прокомментируем это ниже, где мы также отметим жизненно важный вклад анонимного рефери.

Статьи Добреску и Сиклована [3] и Янга [9, с. 71], оба представляют собой очень конкретную версию правила Лопиталя для неопределенного предела с двумя переменными, разрешимого путем взятия смешанной второй производной ∂2/∂x∂y функций числителя и знаменателя.

В статье Файна и Касса [4] есть версия, использующая производные первого порядка, при этом производные по направлениям всегда берутся в направлении к особой точке. Хотя эта версия дает интересную перспективу, сложно найти примеры, в которых правило упрощает функции и устраняет ограничения.

Картер [2] обсуждает, когда правило Лопиталя работает и не работает для комплекснозначных функций.

Кишка и др. [5] доказывают, что правило Лопиталя работает для матричных функций при определенных обстоятельствах; пример, который они приводят, состоит в том, что предел sin (X)X−1, поскольку n n матрица X приближается к нулевой матрице, является единичной матрицей.

Есть несколько работ с хорошей трактовкой неопределенного предела отношения вектор-функции к вещественнозначной функции, но эти статьи касаются функций одной переменной. См. статью Розенгольца [7], а также работы Альбрихта [1], Попы [6] и Вазевски [8] для получения информации о теоремах Лопиталя этого типа.

2 Особенности и трудности

Расширение территории в многовариантной настройке является одновременно и особенностью, и проблемой. С одной стороны, он обеспечивает новый тип сингулярности, невозможный для функций с одной переменной.С другой стороны, потенциальные трудности потребуют дополнительных гипотез, а также дополнительного шага для определения того, какие частные (и повторяющиеся частные) производные следует включать в сравнение.

В отличие от настройки с одной переменной, сингулярность с нулевым значением нуля может быть неизолированной, как в случае с функцией (1) f(x,y)g(x,y)=x−y sin x− sin y.( 1)

В таком случае, когда мы берем предел, мы неявно исключаем из области определения точки, где g  = 0.

Эта функция имеет предел 1 по мере приближения к началу координат, как доказывает теорема 4.Предел определяется отношением fx(0,0)gx(0,0)=fy(0,0)gy(0,0)=1.

Но нам нужно проявлять больше осторожности, чем просто исследовать производные, как показывает функция (2) f(x,y)g(x,y)=x− sin y sin x−y, (2) график которой показано на рисунке 1(а). Вблизи нуля числители (1) и (2) почти одинаковы, как и их знаменатели. Первые частные производные могут предположить, что предел (2) также равен 1, но это не так. Во втором примере множество точек, где f(x,y)=0, не содержит множества, где g(x,y)=0, поэтому мы можем найти точки сколь угодно близко к началу координат, в которых g намного ближе на 0 чем f ; таким образом, частное f / g неограниченно по мере приближения к началу координат.

Рис. 1 Графики рассмотренных выше примеров.

Этот тип контрпримера изначально заставил автора поверить в то, что правило Лопиталя не может существовать для функций многих переменных. Только позднее решение этой проблемы представилось само собой; мы просто делаем побочную гипотезу о том, что множество нулей f содержит множество нулей g в окрестности сингулярности.

Автора также озадачили примеры с изолированными особенностями, такими как (3) xkyx4+y2; (3) см. рис. 1(b) для графика, когда k  = 3.При k  > 2 предел в начале координат равен нулю, а при k≤2 предела не существует, как показано приближением к началу координат по кривым y=mx2 для различных значений m . Но какое частное (частные) частных производных установило бы этот результат?

Неверие автора в существование правила Лопиталя для изолированных особенностей сохранялось в течение многих лет после получения результата для неизолированного случая. Действительно, первое представление настоящей статьи не включало правила для изолированных сингулярностей.Автор очень благодарен анонимному рецензенту за обнадеживающее недоверие к несуществованию этой жизненно важной части правила Лопиталя и за его или ее предложение рассмотреть другие пути к сингулярной точке. (Автор не упускает из виду исторический прецедент анонимности при разработке правил Лопиталя!)

Ключевым моментом оказывается понимание того, какие группы повторяющихся частных производных следует делить и сравнивать, а затем нахождение правильных кривых, вдоль которых приблизиться к особой точке; см. теорему 5.

Как и в случае с неизолированными особенностями, мы должны проверить одну побочную гипотезу, как показано на примере lim(x,y)→(0,0)(x2−y2)2×4−2 sin 2x sin 2y+y4; см. рис. 1( в). Этого предела не существует, как показывает исследование функции, ограниченной (по очереди) каждой из строк y = x и y=2x. Производные частные, указанные в нашем правиле Лопиталя ниже, не обнаруживают тонкости, присущей этому примеру. Мы разрешим это, потребовав в качестве побочной гипотезы, что многочлен Тейлора от знаменателя имеет изолированный нуль в точке (0, 0).

3 Правило Лопиталя

Наше правило Лопиталя будет состоять из трех частей, сгруппированных в две теоремы настоящего раздела, которые вместе охватывают значительный диапазон неопределенных пределов нуль-над-нулем. Стратегия доказательства во всех случаях будет заключаться в применении теоремы об обобщенном среднем значении к ограничениям функций многих переменных вдоль определенных путей, а именно прямых, путей наискорейшего подъема или спуска функции знаменателя g(x) и путей, параметризованных с помощью определенных целые степени t .

Обратите внимание, что стандартное правило Лопиталя с одной переменной включает случаи, которые позволяют бесконечности играть различные роли в пределах. В настоящей статье мы опускаем бесконечные пределы, оставляя их для будущих исследований.

Мы начнем с доказательства результата, дающего некоторый базовый контроль над поведением путей наискорейшего изменения, гарантируя, что они не будут блуждать слишком далеко.

Лемма 1.

Пусть h функция C1,1 на открытом множестве N с h(p)=0 для некоторых p∈N и ∇h≠0 N за исключением, возможно, p .Тогда для любых ϵ>0 существует δ∈(0,ϵ) таких, что для любых x0∈Bδ(p) , при которых h(x0) положительно (соответственно отрицательно), путь наискорейший спуск (соответственно подъем) h из x0 не может покинуть Bϵ(p) до достижения значения h(x)=0.

Доказательство.

Мы можем ограничиться достаточно малым ϵ, чтобы замыкание шара Bϵ(p) содержалось в N. Для данного ϵ пусть k  > 0 будет минимальным значением ||∇h|| в кольце A:ϵ/2≤||x−p||≤ϵ.Тогда для любого пути наискорейшего подъема или спуска 91 256 h 91 257, начинающегося в точке, расположенной ближе к 91 362 91 256 p 91 257 91 365, чем расстояние ϵ/2, если путь может продолжаться от 91 362 91 256 p 91 257 91 365 дальше, чем расстояние ϵ, то h(x ) должен измениться не менее чем на kϵ/2, когда путь проходит через A . Таким образом, нам нужно только выбрать δ>0 достаточно малым, чтобы в пределах Bδ(p),|h(x)| Определение 2.

Пусть ki∈N для каждого . Пусть S=S(k1,…,kn) — (n−1)-симплекс в Rn с вершинами на осях в точках {kiei}.Для любой неотрицательной целочисленной точки решетки q=(q1,…,qn) пусть Dq будет дифференциальным оператором, который дифференцирует функцию q i раз по каждой переменной x i .

Для любого α∈Zn с неотрицательными целыми элементами мы говорим, что α лежит ниже S(k1,…,kn), если α не находится в S , но лежит на той же стороне S , что и начало координат. Пусть симплициальный многочлен Тейлора T​​Sg(x) с центром в точке p , является полиномом, удовлетворяющим условию DαT(p)=0 для всех α∉S и DαT(p)=Dαg(p) для всех α∈S.

Мы говорим, что функция C∞ g является доминирующей в p по отношению к S(k1,…,kn), если

  1. все чистые частные производные Dkieig(p) отличны от нуля

  2. чистые и смешанные частные производные Dαg(p) равны нулю для всех точек решетки α ниже S , и

  3. симплициальный многочлен Тейлора T​Sg(x) имеет изолированный нуль в точке p , что потребует, в частности, чтобы каждое k i было четным целым числом.

Мы будем использовать обозначение Dα в связи с теоремой 5 и поддерживающей ее леммой 3. В других местах более удобным будет простое обозначение индекса для частных производных.

Лемма 3.

Пусть N — открытая окрестность p=(p1,…,pn)∈Rn , а g:N→R C∞ функция. Пусть k=(k1,…,kn) с ki∈N для каждого i∈{1,…,n} , и пусть xi(t)=pi+mitki для каждого i, где каждый m i — свободная переменная.Задайте G(t)=g(x1(t),…,xn(t)).

Тогда для любого j∈N производная удовлетворяет G(j)(0)=j!∑q·k=jqi∈N∪{0}Dqg(p)∏miqiqi!, что равно Дж! В раз больше суммы членов многочлена Тейлора от g, соответствующих векторам q , которые появляются в приведенной выше сумме, где каждый x i заменен на m i .

Доказательство.

Мы можем считать, что g является аналитической функцией, так как результат зависит только от правил дифференцирования, которые будут давать те же результаты, пока g достаточно много раз дифференцируемо. Для упрощения записи предположим, что p является источником; в противном случае мы должны были бы вычесть p i из каждых x i в дальнейшем.

Пусть c x1q1⋯xnqn — член степенного ряда для g . Этот член будет вносить вклад в j -ю производную от g(x(t)) только при t  = 0, если q1k1+⋯+qnkn=j. Подставляя значения xi(t)=mitki, член становится c m1q1⋯mnqntj, чья j -я производная в t  = 0 равна (4) j! c m1q1⋯mnqn.(4)

С другой стороны, если мы продифференцируем g(x) на каждые x i q i раз, мы получим (5) c q1!⋯qn!.(5)

Разделив ( 4) в силу (5) получаем искомое выражение. ■

Теперь мы готовы опровергнуть отсутствие правила Лопиталя для функций многих переменных.

Теорема 4

(правило Лопиталя для функций многих переменных, неизолированные особенности). Пусть f и g будут C∞ функциями, определенными в окрестности N из p∈Rn . Предположим, что в пределах N всякий раз, когда g(x)=0 , тогда также f(x)=0 . Тогда

  1. Если любая первая частная производная gxi(p) отлична от нуля, то

    1. limx→pf(x)g(x)=fxi(p)gxi(p).

  2. Если ∇g(x)=0 только при x=p , то limx→pf(x)g(x)=limx→pfxi(x)gxi(x) если правая часть существует (и является конечным действительным числом, а не бесконечностью) и равна для всех i; этот последний предел берется для x так, что gxi(x)≠0

Доказательство.

Сначала рассмотрим утверждение 1. Поскольку частная производная gxi(p) отлична от нуля, мы можем ограничиться возможно меньшей окрестностью p , в которой производная везде отлична от нуля.

Пусть L будет линией, проходящей через p параллельно оси x i , и пусть C будет набором уровней g  = , так как g  = , L поперечно C в р .

Нам нужно знать, что линии, параллельные L и достаточно близкие к L , также пересекают C около p . Выберите угол θ строго ближе к π/2, чем угол между L и нормалью ∇g к C . Сформируйте двойной конус K как объединение линий, проходящих через p , образующих угол θ с ∇g; см. рис. 2. Теперь производные по направлениям g at p в направлениях конуса являются положительной константой для половины конуса и отрицательной для другой половины.Поскольку g есть C1,1, в малой окрестности B 2 из p эти производные по направлениям имеют постоянный знак. Есть меньший район B 3 из P такой, что все линии параллельно до л , которые проходят через B 3 должны пройти через обе половины K в пределах B 2 . Следовательно, они будут проходить через точки, где 91 256 g 91 257  > 0, и точки, где 91 256 g 91 257  < 0; по теореме о промежуточном значении все такие прямые также проходят вблизи p через нулевое множество g .

Рис. 2 Параллельные линии, пересекающие нулевое множество г .

Теперь рассмотрим, как показано на рисунке 3, любую последовательность (xj) точек в B 3 , сходящуюся к p , где g(xj)≠0 для всех j . Пусть zj будут точками, гарантированными выше, в которых g(zj)=0 и zj−xj является скалярным кратным вектора координат e i для каждого j . Точки zj также сходятся к p .

Рис.3 Последовательности точек, приближающихся к особенности.

Теперь для каждого j , как и при доказательстве правила Лопиталя с одной переменной, применим обобщенную теорему о среднем значении к частному f / g , ограниченному прямой L . Находим, что существует точка yj, лежащая между xj и zj, такая, что fxi(yj)gxi(yj)=f(xj)−f(zj)g(xj)−g(zj)=f(xj)g (хдж).

Но теперь, поскольку точки yj также сходятся к p , следует желаемый результат.

Теперь рассмотрим утверждение 2 теоремы. Мы применим обобщенную теорему о среднем значении к f / g , ограниченным путями быстрейшего подъема или спуска g .

Пусть λ∈R будет общим значением пределов fxi(x)/gxi(x).

При заданном ϵ1>0 выберите ϵ2>0 так, чтобы для всех x∈Bϵ2(p),|f(x)|<ϵ1 и для всех i , удовлетворяющих gxi(x)≠0,|fxi(x )/gxi(x)−λ|<ϵ12

, так что (6) |fxi(x)−λgxi(x)|<ϵ12|gxi(x)|.(6)

По лемме 1 выберем δ>0 так что пути наискорейшего изменения g , начинающиеся в B=Bδ(p), остаются в Bϵ2(p) до g  = 0.

Возьмем точку x0∈B с g(x0)≠0. Без ограничения общности g(x0)>0.

Пусть x(t),t≥0, будет параметризацией пути наискорейшего убывания g от x0. Априори может случиться так, что x(t) имеет бесконечную длину, а g(x(t)) никогда не достигает нуля. Но мы знаем, по крайней мере, что 91 256 g 91 257 приближается к нулю за конечное время. Ведь если бы g(x(t)) оставалась выше некоторого ϵ>0, то x(t) должна была бы оставаться вне некоторого шара вокруг начала координат. Но тогда в силу компактности и того, что ∇g≠0,||∇g|| будет ограничена снизу положительной величиной.Это заставит g(x(t)) уменьшиться до нуля, противоречие.

Таким образом, g(x(t)) приближается к нулю настолько близко, насколько нам нужно, за конечное время. Теперь, если бы f(x(t)) также не сходится к нулю, существовали бы ϵ3>0 и последовательность (ti) с g(x(ti))→0, но |f(x(ti))|>ϵ3 для всех и . Тогда в силу компактности подпоследовательность x(ti) будет сходиться к некоторому y0, что вынуждает g(y0)=0, но f(y0)≠0, противоречие.

Теперь x′(t) является скалярным числом, кратным −∇g(x(t)) для каждого t∈(0,t0). По цепному правилу и обобщенной теореме о среднем значении существует c∈(0,t0) такое, что f(x0)−f(x(t0))g(x0)−g(x(t0))=∇f(x (c))·x′(c)∇g(x(c))·x′(c)=∇f(x(c))·∇g(x(c))∇g(x(c)) ·∇g(x(c)).

Но поскольку f(x(t0)) и g(x(t0)) можно сделать сколь угодно малыми, мы можем гарантировать, что величина |f(x0)−f(x(t0))g(x0)−g (x(t0))−f(x0)g(x0)|меньше 12ϵ1. Тогда |f(x0)g(x0)−λ|<12ϵ1+|(∇f(x(c))−λ∇g(x(c)))·∇g(x(c))∇g(x( в))·∇g(x(c))|.

Поскольку путь x должен оставаться в пределах Bϵ2(p), согласно (6) приведенное выше выражение меньше, чем ϵ1, что и требовалось.■

Теорема 5

(правило Лопиталя для изолированных особенности).

Пусть f и g — C∞-функции в окрестности N ⊆ Rn, причем f и g равны нулю только в точках p .Для каждого i пусть li будет наименьшим натуральным числом таким, что чистая итерированная частичная Dlieig(p) отлична от нуля. Пусть S — симплекс, вершинами которого являются точки {liei}. Если g является доминирующим (определение 2), то предел f / g существует и равен λ∈R, если Dαf(p)=λDαg(p) для всех α , лежащих в или ниже S .

Обратно, если Dαg=0 для всех α ниже S , но такого λ не существует, то предел f / g не существует.

Доказательство. На

с раньше, для простоты предположим, что сингулярность p находится в начале координат. Работа внутри замкнутого шара C=Br(0) внутри N, внутри которого T​Sg равна нулю только в точке 0 .

Предположим сначала, что такое λ существует. Заметим, что f(x)g(x)=f(x)T​Sg(x)÷g(x)T​Sg(x).

Таким образом, достаточно доказать теорему с симплициальным полиномом в знаменателе; тогда λ будет равно 1, когда мы применим теорему к g/(T​Sg), и мы можем разделить пределы f/(T​Sg) и g/(T​Sg), чтобы получить желаемый результат.(Преимущество состоит в том, что при применении теоремы Коши о среднем значении проще проверить гипотезу о том, что знаменатель имеет ненулевую производную.) =L/li для каждого i . Ключевая идея состоит в приближении к началу координат по кривым (7) γx(t)=(x1tk1,…,xntkn)(7) для x∈∂Br(0) и t∈(0,1].

При любом начальном точки z≠0 в Br(0), по непрерывности можно выбрать t0≥1 такое, что ||(z1t0k1,…,znt0kn)||=r.

Пусть xi=zit0ki, тогда x∈Br(0), и путь (7) лежит в Br(0) и проходит через z при t=1/t0.

Определите F(t)=Fx(t)=f(γx(t))    и    G(t)=Gx(t)=T​Sg(γx(t)).

Примените теорему Коши о среднем значении к Fx(t)/Gx(t) на интервале t∈[0,1/t0]. Получаем f(z)g(z)=Fx(1/t0)Gx(1/t0)=F′x(c1)G′x(c1)

для некоторого c1∈(0,1/t0). Повторить приложение L – еще 1 раз, получив в итоге, что f(z)g(z)=dLdtLFx(cL)dLdtLGx(cL)=dLdtLFx(cL)dLdtLGx(0) для некоторого cL∈(0,1/ т0); последнее уравнение следует из того, что Gx является симплициальным полиномом, а знаменатель является функцией только x и постоянен в t .

По лемме 3 для фиксированных x предел при t→0 для Fx(t)/Gx(t) равен λ ; нам нужно заботиться только об однородности этого предела.

Пусть W будет (положительным) минимальным значением коэффициента t L в Gx(t), для x , удовлетворяющим ||x|| = р. Тогда Fx(L)(cL)Gx(L)(0)−λ=Fx(L)(cL)−Fx(L)(0)Gx(L)(0)≤Fx(L)(cL)−Fx( Л)(0)Л! W.

Теперь по (обычной) теореме о среднем значении числитель равен c L , умноженному на (L+1)-ю производную F , вычисленную при некотором t∈(0,cL). Итак, существует константа X , зависящая от конечного числа производных f , которые, в свою очередь, ограничены на Br(0), такая, что f(z)g(z)−λ

Поскольку t0→∞ при z→0, предел этой невязки равен нулю.■

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя (c) Copyright Foundation Coalition (SA Fulling) 1998

Класс 19.Т

Задание по чтению на вторник, 10 февраля
  • Стюарт 6.8
  • Эта веб-страница

Это не полное изложение правила Лопиталя, это просто набор дополнительных замечаний.Предполагается, что вы сначала прочитали раздел учебника!

Вспомните, вкратце, что говорит нам l’Hôpital: Предположим, мы хотим вычислить предел f(x)/g(x) как x . приближается к некоторому значению и ( и могут быть бесконечностью), и предположим, что оба f(x) и g(x) приближаются к нулю в этом пределе или оба приближаются бесконечность. Тогда предел такой же, как и предел f ‘(x)/g'(x) — что может быть легче вычислить.

Предупреждение: (версия .dvi) (версия .pdf) Когда НЕЛЬЗЯ использовать правило Лопиталя Самое важное, что нужно знать о правиле Лопиталя это когда его не следует использовать:

  1. Когда пределы двух частей не равны 0 или оба бесконечны. В этом случае правило, скорее всего, даст неправильный ответ! Пример:

    lim x ->0 + (cos x )/ x

    — положительная бесконечность, потому что числитель приближается к 1, а знаменатель приближается к 0.Если мы неправильно применим правило Лопиталя, мы получить

    lim x -> 0 + (- sin x )/1 = 0.

  2. Когда это усугубляет проблему. Пример: (версия .dvi) (версия .pdf) Когда есть лучший способ получить ответ.

    Пример 1: Предел на бесконечности

    2 – 1)/(2х 2 + 1)

    могут быть правильно оценены двумя последовательными применениями правило Лопиталя; но его также можно найти по правилу, которое мы изучили ранее: Разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень ( x 2 ) и берём предел напрямую, получая 1/2 очень быстро.

    Пример 2: Рассмотрим предел в 0 из

    (поскольку х – 1)/ х .

    Поскольку верх и низ приближаются к 0, можно использовать правило и получить

    lim x -> 0 (- sin x )/1 = 0.

    Однако менее загадочно и более поучительно вспомнить (из раздел о дифференциалах), что функция косинуса имеет квадратичный приближение

    cos x ÷ 1 – x 2 /2

    и поэтому числитель ведет себя около 0 как – х 2 /2.Это очевидно исчезает быстрее, чем знаменатель, x , поэтому предел равен нулю.

Очевидно, что первые два пункта в этом списке являются абсолютными запретами, в то время как последний – просто дружеский совет. Многие студенты злоупотребляют правилом Лопиталя, полагаясь на него как на «черный ящик». когда они узнают гораздо больше (и одинаково быстро решат проблемы), просто внимательно посмотреть и сравнить, поведение числителя и знаменателя как x -> . В частности, вы должны сначала спросить себя, знаете ли вы линейную или квадратичное приближение числителя или знаменателя около x = . Если да, то, вероятно, станет ясно, что дробь равна примерно равно константе, умноженной на некоторую степень (х – а) , и предел бесконечен, конечен или равен нулю в зависимости от того, является ли показатель степени является отрицательным, нулевым или положительным (см. Пример 2 выше). Точно так же, когда берется предел на бесконечности, спросите, является ли числитель или знаменатель «ведет себя как» определенная степень x , поскольку x становится большой; отношение двух степеней приближается к очевидному пределу на бесконечности, в зависимости от двух показателей (как в примере 1).

Когда СЛЕДУЕТ использовать правило Лопиталя?

Безусловно, наиболее важной ситуацией для использования правила является ситуация, когда числитель или знаменатель не имеет очевидный поведение, подобное мощности, когда x приближается к a . Это относится к логарифмической функции при приближении к x . либо 0, либо бесконечность, а для экспоненциальной функции как x приближается либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. (Вот почему раздел о правиле Лопиталя находится в эта глава!)

В качестве домашнего задания у вас есть ряд пределов отношений экспонент, логарифмы и обычные степени, которые вы должны оценить на практике.Однако через некоторое время результаты таких расчетов становятся очень предсказуемый. Их можно свести в список общих выводов:

  • Когда x приближается к положительной бесконечности, e x увеличивается быстрее любой степени, x n .
  • Когда x приближается к положительной бесконечности, e -x убывает быстрее любой отрицательной степени, х .
  • Когда x приближается к положительной бесконечности, ln x , хоть и уходит в бесконечность, увеличивается медленнее, чем любая положительная степень, x a (даже дробная степень, такая как a = 1/200).
  • Как х -> 0 + , – ln x уходит в бесконечность, но медленнее, чем любая отрицательная степень, x -a (даже дробный).

Экспоненциальные неопределенные формы, и 0

0 полемика

Предел (поскольку x приближается к a ) f(x) g(x) не всегда можно найти, просто взяв пределы f и g по отдельности — так же, как предел f(x)/g(x) не является частным пределов, если те пределы равны 0 или бесконечности.Чтобы увидеть, когда и почему возникает проблема, обратите внимание, что логарифм f(x) g(x) is g(x) ln f(x) , и рассмотрим предел , что . Если г приближается к 0, а логарифм приближается к положительному или отрицательному бесконечность, или если g приближается к бесконечности, а логарифм приближается к 0, тогда у нас есть неопределенная форма типа «0 умножить на бесконечность». (Что мы делаем тогда?) Эти три случая соответствуют в исходной функции

  • г -> 0, f -> бесконечность;
  • г -> 0, ф -> 0;
  • г -> бесконечность, f -> 1.

Остальная часть этой страницы – просто интересное примечание, не важное к курсу.

Возможно, вы удивитесь, увидев второй пункт в списке, так как 0 0 на первый взгляд выглядит вполне ручным объектом. Однако на самом деле, если вы заглянете в любой день в Интернет группу новостей, посвященную обсуждению математики, вы, вероятно, найдете ведутся оживленные споры о том, равно ли 0 0 1 или неопределенный. (Иногда эти споры инициирует «чудак», который обвиняет профессия математика скрывает какой-то неловкий скандал, связанный со значением 0 0 .)

Чтобы понять причину проблемы, сначала обратите внимание на то, что

  • x 0 = 1 для всех ненулевых x ;
  • 0 y = 0 для всех положительных y ;
  • 0 y не определено (или бесконечно) для отрицательного y .
Таким образом, функция (двух переменных) x y определенно не является непрерывным , поскольку точка (x,y) приближается к (0,0).(Именно поэтому 0 0 — неопределенная форма; предел зависит от направления приближения к (0,0).) Но мы знаем, что функция, разрывная в точке, не обязательно должна быть там не определено.

Аргумент в пользу определения 0 0 равным 1: Существует много полезных формул, содержащих выражения вида x y , которые остаются значимыми и истинными, когда x и y равно 0, если 0 0 интерпретируется как 1.Самый простой пример — биномиальная формула

(а + б) 2 = а 2 б 0 + 2а 1 б 1 + а 0 б 2 .

Связанный пример: Теорема Тейлора, который включает степени (x – a) .

Аргумент в пользу ухода 0 0 undefined: Если f(a) = 0 = g(a) и обе функции непрерывны, то у нас возникнет соблазн сделать поспешный вывод, что

lim х -> а f(x) g(x) = 1,

забывая, что 0 0 на самом деле является неопределенной формой.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.