Выделить действительную и мнимую части функции: комплексные-числа / Выделить действительную и мнимую части / Математика

Содержание

Условия Коши-Римана. Восстановление функции комплексной переменной

Определение

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера – соотношения, связывающие вещественную $u=u(x;y)$ и мнимую $v=v(x;y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$, где $z=x+iy$ .

Для того чтобы функция $f=f(z)$, которая определена в некоторой области комплексной плоскости $D$, была дифференцируема в точке $z_{0}=x_{0}+i y_{0}$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $u=u(x;y)$ и $v=v(x;y)$ были дифференцируемы в точке $(x_0;y_0)$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}$$

Эти условия впервые появились в работе французского ученого-энциклопедиста, философа, математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717 – 1783) в 1752 году.

В работе швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707 – 1783), доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Великий французский математик и механик Огюстен Луи Коши (178 9- 1857) пользовался этими соотношениями для построения теории функций.

Пусть задана действительная часть $u(x;y)$ функции комплексной переменной $f(z)$. Требуется найти мнимую часть $v(x;y)$ этой функции. Найти саму функцию $f=f(z)$, используя некоторое начальное условие.

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть $v(x;y)$ .

2) Когда и действительная, и мнимая части функции $f(z)$ известны, составляем функцию $f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$ . Далее в полученном выражении надо произвести такие преобразования, чтобы выделить переменную $z=x+iy$ или $$\bar{z}=x-i y$$, то есть “избавиться” от переменных $x$ и $y$.

Замечание 1

На практике будут полезны соотношения:

$$x+i y=z$$ $$x^{2}+2 x y i-y^{2}=(x+i y)^{2}=z^{2}$$ $$x^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}-y^{3} i=(x+i y)^{3}=z^{3}$$

Замечание 2

Поделить на мнимую единицу $i$ равносильно умножению на $-i$. {2}+5 z i$

Читать первую тему – понятие комплексного числа, раздела комплексные числа.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Простое обхождение с комплексными числами | Windows IT Pro/RE

Пользовательские функции (UDF), реализованные Microsoft в SQL Server 2000, обеспечивают возможность построения изящных программных решений при выполнении обработки данных. В рамках SQL Server, лишенного UDF, некоторые задачи слишком сложны и могут быть решены только на уровне клиентского приложения. Подобные решения подразумевают двусторонний обмен данными между клиентом и сервером даже тогда, когда пользователю нужны только результаты вычислений по базе данных. Одна из таких сложных проблем б- операции с комплексными (мнимыми) числами. Комплексные числа сами по себе являются мощным инструментом в решении многих математических задач, справиться с которыми посредством действительных чисел слишком сложно.

Но если использовать UDF с поддержкой алгебры комплексных чисел, то нет нужды заботиться об этой математической сложности.

Стандартная форма представления комплексного числа: z=a+bi. Комплексное число z состоит из двух частей б- действительной (a) и мнимой (b), каждая из которых является действительным числом, а i б- квадратный корень из -1. Комплексные числа называют также мнимыми из-за того, что они дают решение уравнению i²=-1, чего нет в обычной алгебре. Однако если представить, что решение такого уравнения существует, т. е. действительно существует некое «число» i, равное квадратному корню из -1, то тем самым можно облегчить решение более сложных проблем. На самом деле мнимые числа занимают прочные позиции во многих областях (физика, медицина, электроника и др.).

Рисунок 1. Геометрическое изображение комплексного числа.

Комплексным числам соответствуют простые геометрические образы на двумерной плоскости. В этом случае ось x называют действительной осью, ось y б- мнимой осью, а саму плоскость z б- плоскостью комплексных чисел, или z-плоскостью. Комплексное число изображают либо точкой с координатами (a, b), либо вектором с началом в центре координат (0, 0) и концом в точке с координатами (a, b) (см. Рисунок 1).

Зачем нужен T-SQL?

Комплексные числа требуют не только особого обращения, но и богатого воображения, поэтому арифметические операции и другие вычисления с комплексными числами представляют собой уникальную алгебру. В такой обюектно-ориентированной среде, как С++, например, поддерживать комплексные числа достаточно просто б- можно создать класс комплексных чисел. Можно даже загрузить арифметические операции сложения (+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/), что сделает обращение с комплексными числами более естественным.

T-SQL, в отличие от С++, в настоящее время не поддерживает обюектно-ориентированные возможности, т. е. пользователь не может создавать классы, представляющие комплексные числа. Тем не менее в T-SQL есть две другие возможности б- либо хранить действительную и мнимую части как два раздельных значения, либо хранить комплексное число целиком как строку символов (например, 1+2i).

Неудобство при выполнении операций с комплексными числами в клиентском приложении состоит в том, что пользователю приходится иметь дело со всей совокупностью данных. T-SQL же обладает огромной мощью в обработке наборов данных, а кроме того, он возвращает только нужные клиентскому приложению результаты вычислений. Благодаря этому T-SQL и позволит найти подходящее решение. Несмотря на то что T-SQL не обладает свойствами обюектно-ориентированной среды, он позволяет писать UDF, которые можно включать в запросы, а такая возможность делает UDF идеальным инструментом T-SQL для обращения с комплексными числами.

Хранение и расщепление комплексных чисел

Выполнять действия с комплексными числами удобней, если хранить их в символьной строке переменной длины. Можно даже создать определяемый пользователем тип (UDDT), назвав его Complex, и использовать при описании переменных.

EXEC sp_addtype complex, 'varchar(50)'

При таком подходе прежде всего осуществляется проверка того, что всякое значение переменной, представляющей комплексные числа, задано корректно. Возможно, также понадобится выделить действительную и мнимую части комплексного числа с тем, чтобы производить вычисления, использующие лишь одну из этих частей.

Итак, перейдем к написанию программы. Первая задача б- построить функцию с аргументом типа символьная строка переменной длины, хранящей комплексные числа. Эта функция проверяет, является ли строка символов корректно заданным комплексным числом. Если да, то функция принимает значение 1, если нет б- значение 0. Программа в Листинге 1 представляет функцию с именем cxValid, которая и выполняет эту задачу. Функция cxValid производит ряд проверок входного параметра @cx, и, как только одна из проверок не проходит, выполнение программы прекращается. Сначала функция удаляет начальные и хвостовые пробелы. Поскольку функция рассматривает аргумент как входной параметр, любые действия над аргументом внутри функции не влияют на значение аргумента за ее пределами. Фактически входной параметр б- это лишь копия значения переменной, а не указатель адреса этого значения в памяти. Первый тест заключается в проверке крайнего правого символа строки б- это должна быть буква i. Если это так, программа удаляет крайний правый символ. Далее выполняется встроенная команда поиска символа по образцу (PATINDEX(‘%_[-+]’,@cx)+1), для нахождения позиции знака + или б- в середине строки и дальнейшего сохранения ее в переменной @signpos. Эта команда поиска возвращает номер позиции символа, предшествующего знаку + или б-, который должен быть в середине комплексного числа. Затем добавляем 1 и получаем точное значение местоположения знака. Хочу отметить важность подчеркивания, которое соответствует одиночному символу. При этом, если действительная часть комплексного числа содержит собственный знак (-3, например), команда поиска игнорирует его, поскольку ей требуется хотя бы один символ перед знаком. Наконец, если в середине предполагаемого комплексного числа знака найдено не было, PATINDEX возвращает 0.

Теперь, когда номер позиции знака в середине строки сохранен в переменной, можно легко выделить действительную и мнимую части комплексного числа и проверить с помощью встроенной функции IsNumeric, являются ли они числовыми значениями. Если строка прошла все проверки, cxValid возвращает значение 1. Это означает, что данная строка символов является допустимым значением, в противном случае функция возвращает 0.

Если нужно, чтобы в столбцах заданного типа Complex были только корректно заданные комплексные числа, следует ввести правило, которое обеспечивает ту же логику, что и функция dbo.cxValid, а затем связать это правило с пользовательским типом Comp-lex. На Листинге 2 показано, как создается такое правило и как оно связывается с типом Complex. Обратите внимание, что функцию cxValid нельзя использовать внутри правила, потому что в правилах SQL Server допускается использование только встроенных функций. Кроме того, каждое правило должно быть записано как единое выражение, и значит, при задании правила не удастся разделить проверочную логику на несколько этапов, как в функции cxValid.

Поскольку для хранения комплексных чисел используется символьная строка переменной длины, в представлении комплексных чисел появляется некоторая неоднозначность. Вот несколько допустимых вариантов записи одного и того же комплексного числа, демонстрирующих эту гибкость:

1+2i
1 + 2i
+1 + 2i
1.000+ 2.0i

Беспорядочная запись комплексных чисел выглядит некрасиво. А придерживаясь определенного порядка в записи комплексных чисел, можно упростить написание программ. Например, пользователь может указывать знак перед действительной частью только в том случае, если это минус, отделять с обеих сторон промежуточный знак одиночными пробелами, удалять начальные и хвостовые пробелы, а также удалять позиции с незначащими нулями. Можно задать функцию, аргумент которой б- корректно заданное комплексное число, а значение б- то же самое число, приведенное к стандартному виду [-]a{+/-}bi. Пример в Листинге 3 описывает функцию cxStandardize, которая выполняет следующие действия.

С помощью встроенной функции REPLACE удаляет все пробелы.
Отделяет друг от друга действительную и мнимую части (промежуточный знак остается с мнимой частью) и удаляет все позиции с незначащими нулями.
Соединяет действительную и мнимую части, дописывая мнимую часть вслед за действительной.

Вставляет одиночные пробелы перед промежуточным знаком и после него.
Удаляет знак + перед действительной частью, если он есть.

Перед началом выполнения действий комплексной арифметики часто требуется выделить действительную и мнимую части комплексного числа. Снова для этой цели можно создать функцию. Листинг 4 содержит полное и весьма простое описание функций cxGetReal и cxGetImaginary. Эти функции используют встроенную функцию PA-TINDEX точно так же, как и предыдущие функции, б- они определяют номер позиции промежуточного знака и возвращают соответствующую часть строки либо по левую сторону от знака, либо сам знак вместе с тем, что по правую сторону от него, исключая букву i.

Помимо необходимости разбить строку, представляющую комплексное число, на ее действительную и мнимую части, может понадобиться и обратное б- составить комплексное число из данных действительной и мнимой частей. Функция cxStrForm в Листинге 5 компонует строку из четырех частей: действительной части, знака мнимой части, самой мнимой части и символа i. Действительная и мнимая части являются аргументами функции cxStrForm. Знак вычисляется при помощи встроенной функции SIGN(), где в качестве аргумента берется мнимая часть. Теперь для окончательного формирования строки, представляющей комплексное число, остается только записать одну за другой все эти части. Полученная строка передается в функцию cxStandardize в качестве аргумента, а та приводит исходное комплексное число к стандартному виду.

Более сложные операции с комплексными числами

Рисунок 2. Сложение комплексных чисел.

Итак, фундамент заложен, и следующий шаг б- обеспечение программными средствами комплексной арифметики. У комплексных чисел есть свои правила сложения, вычитания, умножения и деления, и с помощью UDF можно обеспечить их выполнение.

Рисунок 3. Геометрическое изображение сложения комплексных чисел.

Чтобы сложить два комплексных числа, следует сложить отдельно действительную и мнимую части (см. Рисунок 2). Геометрически сложение можно представить следующим образом (см. Рисунок 3). Если начертить параллелограмм, исходя из векторов складываемых комплексных чисел, то сумме соответствует диагональ параллелограмма, т. е. вектор с началом в начале координат и концом в противоположной вершине, при этом координаты вершины равны сумме координат исходных векторов.

Рисунок 4. Вычитание комплексных чисел.

Теперь легко построить функцию cxAdd (см. Листинг 6). Функция имеет два аргумента типа комплексное число и производит вычисления в четыре этапа. Сначала используется функция cxValid. Она проверяет, являются ли оба аргумента корректно заданными комплексными числами, и, если хотя бы один из них таковым не является, функция cxAdd возвращает NULL. Затем используются функции cxGetReal и cxGetImaginary; выделенные из обоих аргументов действительные и мнимые части сохраняются в числовых переменных. После этого функция вычисляет суммы действительных и мнимых частей по правилам комплексного сложения. И в конце используется функция cxStrForm, которая возвращает результат сложения в стандартном виде комплексного числа.


Рисунок 5. Геометрическое изображение разности комплексных чисел.	Рисунок 6. Умножение комплексных чисел.

Рисунок 7. Деление комплексных чисел.

Комплексное вычитание производится почти так же, как и сложение. Действительная и мнимая части вычитаются отдельно, как показано на Рисунке 4. С геометрической точки зрения комплексное вычитание можно рассматривать как частный случай сложения: второе число берется с противоположным знаком и складывается с первым (см.

Рисунок 5). В Листинге 7 приведено описание функции cxSubtract. Функция cxSubtract устроена так же, как и cxAdd. Единственное изменение должно быть внесено в формулу, дающую окончательные действительную и мнимую части.

На Рисунке 6 показано, как перемножаются два комплексных числа. Обратите внимание, что в определенный момент вычислений выражение b₁b₂i² заменяется на b₁b₂ т.к.i²=-1. Результат комплексного умножения основан на предположении, что уравнение i²=-1 имеет решение, в противном случае формулу умножения было бы нельзя упростить.

В Листинге 8 дано описание функции cxMult. Как и в предыдущих случаях, устройство функции cxMult аналогично устройству других функций; меняются только формулы окончательной действительной и мнимой частей.

Рисунок 8. Полярная форма комплексного числа.

Комплексное деление использует сопряжение комплексных чисел. Комплексное число, сопряженное числу z, обозначается _z; оно имеет ту же действительную часть, что и z, а его мнимая часть б- это взятая с обратным знаком мнимая часть z. Если умножить комплексное число на сопряженное ему, то получится a²+b². При делении комплексных чисел числитель и знаменатель домножаются на a²-b²*i, т. е. делитель превращается в (a²+b²i)*(a²-b²i). Это выражение является произведением числа на сопряженное ему, и оно приводит к знаменателю a₂²+b₂². Рисунок 7 поясняет, как производится комплексное деление. Листинг 9 содержит программу, которую можно использовать для создания функции cxDivide, и окончательные формулы действительной и мнимой частей.

Полярная форма комплексных чисел

Рисунок 9. Вычисление длины вектора.

Комплексные числа представляют также в полярной форме (r, н?). Полярная форма используется в тех случаях, когда для вычислений имеет значение величина угла вектора, изображающего комплексное число. Первый компонент полярной формы (r) б- длина вектора, т. е. расстояние от начала координат до точки (a, b) на комплексной плоскости. Угол (н?) б- это угол между действительной осью и вектором, который представляет комплексное число. Полярная форма комплексного числа изображена на Рисунке 8. Длину вектора на комплексной плоскости называют также абсолютным значением или модулем. Длина вектора вычисляется по теореме Пифагора, как показано на Рисунке 9. На Рисунке 10 изображен треугольник с вершинами в точках (0, 0) (a, 0) (a, b). Согласно теореме Пифагора, длина r равна квадратному корню из суммы двух других сторон, возведенных во вторую степень. Итак, полярная форма комплексного числа: z=r*cosн?+i*r*sinн?. Из этой формулы выводится формула Эйлера (см. Рисунок 11), которая широко используется в комплексной алгебре. Пользуясь терминами полярной формы, можно написать UDF, которая вычисляет длину вектора r по теореме Пифагора (см. Листинг 10).

Рисунок 10. Геометрическое изображение модуля комплексного числа.

Эти несколько примеров иллюстрируют общую идею того, как с помощью UDF обеспечивается комплексная алгебра. Отталкиваясь от элементарных функций, можно создавать другие комплексные функции, которые могут понадобиться в дальнейших построениях, например корень n-й степени из комплексного числа.

Что дают комплексные функции

Рисунок 11. Формула Эйлера.

Оперирование комплексными числами в SQL Server представляет собой не только хорошее упражнение в написании функций и в решении задач комплексной алгебры (да и вообще темой для более глубокого изучения), но и также практическое применение. При большом количестве комплексных чисел можно хранить их в таблицах, создавать запросы на поиск чисел, заполнять ими ячейки и ориентироваться среди записей, возвращаемых в клиентское приложение. Клиентское приложение не нуждается в том, чтобы хранить у себя такое огромное количество данных. Более того, некоторые приложения работают со сложными исходными данными большого обюема даже тогда, когда реально им нужны только обработанные результаты вычислений исходных данных. Обращение к готовым результатам вычислений сокращает цикл обмена данными между клиентом и сервером и позволяет задействовать возможности SQL Server в обработке данных с большей эффективностью. Для иллюстрации возможностей комплексных чисел предлагается метод применения комплексных функций в запросах. А во врезке «Обработка звука и изображения» приведен пример использования комплексных чисел в обработке звука и изображения.

Использование комплексных чисел

Для начала можно создать простую таблицу с двумя столбцами, в которых хранятся комплексные числа, а затем выполнить запрос к этой таблице. В примере Листинга 11 создается таблица ComplexNumbers, которая заполняется образцами комплексных чисел. Теперь для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления с каждой парой нужно вставить в запрос комплексные функции (см. Листинг 12). В Таблице 1 содержатся результаты этого запроса. Каждая строка в результирующем наборе состоит из двух комплексных чисел и их суммы, разности, произведения и частного. Производить комплексные операции с числами, которые сами являются результатами вычислений, б- задача более сложная, нежели одинарные вычисления. Допустим, нужно подсчитать сумму произведений всех пар комплексных чисел из таблицы ComplexNumbers. Хотя система UDF насыщена разнообразными функциональными возможностями, T-SQL не позволяет создать функцию, которая работала бы со строками таблицы и которую можно было бы включить в запрос как любую другую встроенную функцию, например SUM(). Однако можно сделать следующий ход: T-SQL позволяет выполнять запросы с сохранением результата в переменной. Такой запрос не возвращает результат в клиентское приложение, а присваивает определенное значение некоторой переменной. Для этого следует задать переменную типа комплексное число и присвоить ей начальное значение 0+0i. Далее, запрос циклически обрабатывает все строки таблицы и всякий раз, переходя к очередной строке, добавляет к значению переменной произведение соответствующей пары комплексных чисел. В Листинге 13 содержится пример подобного запроса.

Те проблемы, которые были почти неразрешимы в предыдущих версиях SQL Server, стали простыми в SQL Server 2000 и UDF. Поэтому UDF можно использовать не только для манипулирования комплексными числами, но и для множества других задач в силу большой гибкости данного программного средства.

Ицик Бен-Ган б- старший преподаватель на курсах по SQL Server в колледже Hi-Tech в Израиле. Является председателем израильской группы пользователей SQL Server. С ним можно связаться по адресу: [email protected].

Обработка звука и изображения

Давайте теперь рассмотрим пример использования комплексных чисел в базах данных. Практическое применение этой абстрактной идеи до сих пор полностью не раскрыто. Этот пример касается данных, представляющих звуковые волны. Данные, представляющие звуковую волну, хранятся в таблице SQL Server, при этом каждая строка содержит показатель уровня звука в определенный момент времени (пространственная область значений). Такой способ хранения данных более удобен для создания звукового файла из табличных данных. Список команд, создающих таблицу SoundWave, может выглядеть так:

CREATE TABLE SoundWave
(
time_index int   NOT NULL PRIMARY KEY,
sound_level decimal(19,9) NOT NULL
)

Допустим, в этой таблице содержатся данные пятиминутного трека с компакт-диска. При частоте дискретизации 44,1 кГц таблица будет содержать 13 230 000 строк: 44 100 фрагментов в секунду * 300 секунд. Задача состоит в том, чтобы получить преобразованную звуковую волну с помощью данного фильтра из таблицы Filter (т. е. применить к исходному звуку определенные звуковые эффекты или эффекты эквалайзера) и сохранить звуковую волну в таблице FilteredSoundWave. Программа, создающая таблицу Filter, может выглядеть следующим образом:

CREATE TABLE Filter
(
frequency_index int  NOT NULL PRIMARY KEY,
 filter_vector complex NOT NULL
)

Проблема состоит в том, что у данных в таблице Filter б- частотная область значений, тогда как у данных в таблице SoundWave б- пространственная. Поэтому перед применением фильтра к исходной звуковой волне нужно преобразовать звуковые данные к частотной области значений. Для этого используется математический алгоритм комплексного преобразования Фурье. В рамках данной статьи преобразования Фурье в деталях не обсуждаются, но будем считать, что к функциям, обеспечивающим преобразования Фурье, имеется доступ. Итак, к исходным данным применяется преобразование Фурье, а результат сохраняется в таблице TransformedSoundWave, созданной в следующей программе:

CREATE TABLE TransformedSoundWave
(
frequency_index int  NOT NULL PRIMARY KEY,
 filter_vector complex NOT NULL
)

Каждая строка в таблице TransformedSoundWave содержит частотный индекс и комплексное число. Длина вектора комплексного числа выражает уровень сигнала, а угол вектора выражает сдвиг фазы сигнала. Теперь применение фильтра к исходной волне становится простым б- оно состоит в комплексном умножении векторов фильтра и векторов звуковой волны. Сохранить преобразованный звук можно в таблице TransformedFilteredSoundWave, имеющей частотную область значений. Структура этой таблицы такая же, как и у таблицы Trans-formedSoundWave. Для того чтобы сохранить звуковую волну, можно создать запрос (см. Листинг А).

Теперь полученный звук с наложенным эффектом следует преобразовать из частотной области значений обратно в пространственную, для чего используется обратное преобразование Фурье. Результат сохраняется в таблице FilteredSoundWave с такой же структурой, как и у таблицы SoundWave. Помимо сохранения всех промежуточных этапов обмена данными между клиентом и сервером, использование этого метода позволяет хранить и преобразовывать звук непосредственно в базе данных сервера. В дальнейшем, выполнив простую процедуру, из таблицы, содержащей звуковые данные, можно создать файл типа .wav.

Этот простой пример показывает, как можно использовать комплексные функции в базах данных. На практике, при выполнении определенных вычислений, вместо сохранения промежуточных результатов в таблицах можно использовать запросы, включая в них подходящие функции. Поэтому представленные выше промежуточные таблицы могут и не понадобиться. Подобную процедуру можно выполнить и для создания визуальных эффектов у исходных графических данных. В этом случае используются графические фильтры.

Листинг А. Наполнение таблицы параметрами преобразованной звуковой волны.

INSERT INTO TransformedFilteredSoundWave
 SELECT
  T.frequency_index,
  dbo.cxMult(T.signal_vector, F.filter_
vector) AS signal_vector
  FROM
    TransformedSoundWave AS T
   JOIN
    Filter AS F ON T.frequency_index =
 F.frequency_index

**Таблица 1. Комплексные арифметические операции над парами комплексных чисел.**
key_ col	cx1	cx2	Add	Subtract	Multiply	Divide
1	5 + 2i	2 + 4i	7 + 6i	3 – 2i	2 + 24i	0.9 б? 0.8i
2	2 + 9i	4 + 5i	6 + 14i	-2 + 4i	-37 + 46i	1. 29268292 + 0.63414634i
3	7 + 4i	3 + 2i	10 + 6i	4 + 2i	13 + 26i	2.23076923 – 0.15384615i
4	3 + 2i	6 + 3i	9 + 5i	-3 – 1i	12 + 21i	0.53333333 + 0.06666666i
5	4 + 3i	7 + 2i	11 + 5i	-3 + 1i	22 + 29i	0.64150943 + 0.24528301i
6	1 + 4i	4 + 3i	5 + 7i	-3 + 1i	-8 + 19i	0.64 + 0.52i
7	7 + 2i	8 + 1i	15 + 3i	-1 + 1i	54 + 23i	0.89230769 + 0.13846153i
8	2 + 3i	3 + 6i	5 + 9i	-1 – 3i	-12 + 21i	0.53333333 – 0.06666666i
9	3 + 6i	2 + 8i	5 + 14i	1 – 2i	-42 + 36i	0.79411764 – 0.17647058i
10	2 + 1i	3 + 2i	5 + 3i	-1 – 1i	4 + 7i	0. 61538461 – 0.07692307i

Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними были определены ранее (см. лекцию 4). Напомним их. Комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, мнимая единица ( ). При этом число называется действительной частью, а число – мнимой частью комплексного числа . Число называется сопряженным к числу а неотрицательное число называется модулем числа . Множество всех комплексных чисел обозначают буквой . P1.eps Каждому комплексному числу соответствует единственная точка на плоскости или радиус-вектор этой точки. При этом ось называется действительной осью, с ось – мнимой осью. Сама плоскость называется комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой . Угол называется аргументом комплексного числа . Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется угол лежащий в пределах (или в пределах ). Главное значение аргумента обозначается так: . Из рис. 1 видно, что Значит, комплексное число можно записать еще в виде Эта форма называется тригонометрической формой числа , а его первоначальная форма –алгебраической формой комплексного числа . Если воспользоваться формулой Эйлера то можно получить еще одну форму комплексного числа называемую показательной формой числа[3] Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е.

Действия над комплексными числами определяются равенствами:

Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:

(эти формулы легко получить, используя равенства 1–2). Отсюда вытекает следующее равенство

Действительно, применяя первую из предыдущих формул раз, будем иметь

1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости

Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие корня.

Определение 1.Корнем й степени из комплексного числа называется такое комплексное число я степень которого равна Обозначение:

Таким образом, Пусть Имеем (при )

Значит, Изменяя здесь видим, что различные значения корня й степени получаются при Дальнейшее изменение привело бы к уже полученным значениям Если же то, очевидно, Мы доказали следующий результат.

Теорема 1. Если то корень имеет ровно различных значений: Если то имеет только одно значение, равное нулю.

Например,

Приведем примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости:

а) – окружность с центром в точке радиусом ;

б) – открытый круг с центром в точке радиусом ;

в) – внешность открытого круга с центром в точке радиусом ;

г) – открытое кольцо с центром в точке ;

д) – луч с началом в точке , идущий под углом к положительному направлению действительной оси;

е) – внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке и углом ;

ж) – прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку ;

з) – прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку

и) вертикальная полоса между прямыми и

к) горизонтальная полоса между прямыми и

Рекомендуем сделать рисунки всех перечисленных множеств. В качестве упражнения попробуйте записать аналитичеcки (в виде уравнений или неравенств) приводимые ниже множества на комплексной плоскости.

Рис. 2

Понятие окрестности точки вводится также, как и в действительном анализе.

Определение 2. окрестностью точки называется открытый круг

с центром в точке радиуса Проколотой окрестностью точки называется множество

Определение 3.Точка называется внутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Если все точки множества внутренние, то называется открытым множеством.

Определение 4.Точка называется граничной точкой множества если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие так и точки, не принадлежащие Множество всех граничных точек образует границу Обозначение:

Определение 5. Множествоназывается связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходя из Множествоназывается односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из И, наконец, множество называется связным, если его граница состоит из попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров.

Определение 6.Любое открытое связное множество называется областью. Область называется ограниченной, если существует круг, охватывающий область В противном случае область называется не ограниченной.

Пусть и две области на комплексной плоскости причем находится в плоскости а в плоскости

Определение 7. Говорят, что задана функция отображающая область в область если каждому числу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел по закону При этом называется областью определения функции Если каждому поставлено в соответствие единственное число то говорят, что функция однозначна; в противном случае функция многозначна. Функция называется однолистной в области если

Например, функция однозначная, но не однолистная, а функция трёхзначная. Функция однозначная и однолистная.

Поскольку каждое комплексное число вполне определяется своей действительной и мнимой частью, то функцию комплексной переменной можно записать в виде

Например, функцию можно записать в указанном виде, если в ней выделить действительную и мнимую части: Здесь Частные типы комплексных функций:

а) комплексная последовательность:

б) комплексная функция действительного аргумента:

С последней функцией мы встречались в главе 4 при рассмотрении комплексных решений дифференциальных уравнений. Такие функции часто используются при задании кривых в комплексной плоскости. Например, уравнение описывает уравнение окружности в плоскости радиуса и с центром в точке

Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2091; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Действительные и мнимые части сложной функции

Вопрос 4 года, 10 месяцев назад

Изменено 4 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Всегда ли можно разделить действительную и мнимую части сложной функции? И почему ? Я всегда делал это расчетным путем, но существует ли теорема о том, что деление на действительную и мнимую части всегда возможно?

комплексный анализ

$\endgroup$

$\begingroup$

Вот ваша теорема:

Теорема . Дана функция $f:X\to \Bbb C$ из некоторого произвольного множества $X$ в комплексное число. Тогда существуют функции $f_R,f_I:X\to\Bbb R$ такие, что $f=f_R+if_I$.

Доказательство .

Определить

$$f_R=\frac 12[f+\bar f],\qquad f_I=\frac1{2i}[f-\bar f],$$

, где $\bar f$ обозначает комплексное сопряжение $f$. Покажем, что $f_R$ действительно. Обратите внимание, что комплексное число $z$ действительно тогда и только тогда, когда $\bar z=z$. Поэтому

$$\overline{f_R}=\overline{1/2[f+\bar f]}=\frac12\overline{[f+\bar f]}=\frac12[\bar f+\bar{\bar f }]=\frac12[\bar f+f]=f_R,$$

достаточно, чтобы показать, что $f_R$ действительно. То же самое работает для $f_I$. Осталось показать

$$f_R+if_I=\frac12[f+\bar f]+i\frac1{2i}[f-\bar f]=\frac12[f+\bar f+f-\bar f]= \frac12[2f]=f$$

и готово. $\square$

Обычно мы обозначаем

$$\mathrm{Re}(f)=f_R\qquad \text{and}\qquad \mathrm{Im}(f)=f_I.$$

Теорема выше дает удобный способ вычислить их:

$$\mathrm{Re}(f)=\frac12[f+\bar f],\qquad \mathrm{Im}(f)=\frac1{2i}[f-\ bar f],$$

при условии, что вы верите, что комплексное сопряжение всегда существует. 2$, т. е. 2D-плоскость точки $(x,y)$. Каждому комплексному числу $z=x+iy$ можно поставить в соответствие точку $(x,y)$. Действительная и мнимая части — это координаты $x$ и $y$ соответственно. 9\топ.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Функции $\operatorname{Re}, \operatorname{Im}:\Bbb C\to \Bbb R$ хорошо определены и могут, как и любая четко определенная функция, принимающая на вход комплексные числа, состоять из сложная функция $f:\Bbb C\to \Bbb C$, чтобы получить две функции $$ {\ operatorname {Re}} \ circ f: \ Bbb C \ to \ Bbb R \\ {\ operatorname {Im}} \ circ f: \ Bbb C \ to \ Bbb R $$ которые извлекают действительную и мнимую части $f$ соответственно.

$\endgroup$

$\begingroup$

Да.

Возьмите $f:\mathbb C\to\mathbb C$.

Тогда по определению для каждого $z\in\mathbb C$ значение $f(z)$ является комплексным числом. Следовательно, $f(z)$ можно записать как $f(z)=a+bi$. “Вещественная часть” $f$ просто отображает $z$ в соответствующий $a$, а “комплексная часть” отображает его в $b$.

Более строго можно определить $$f_r(z) = \mathrm{Re}(f(z)) = \frac{f(z) + \overline{f(z)}}{2}$$ и

$$f_i(z)=\mathrm{Im}(z)=\frac{f(z)-\overline{f(z)}}{2i}$$

и вы можете показать, что $f_r$ и $f_i$ оба принимают только действительные значения и что $$f(z)=f_r(z)+if_i(z)$$

$\endgroup$

$\begingroup$

взять функцию $f:\Bbb C\mapsto\Bbb C$.

это функция $f(z)=w$. поскольку из определения $f$ мы знаем, что оба $z,w$ являются сложными, я могу переписать его: $f(a+ib)=c+id$, но $c,d$ не являются постоянными (ну, они могут , но это не имеет значения), они зависят от $z$, если они зависят от $z$, значит, они являются функциями, следовательно, $f(z)=c(z)+id(z)$. 92, g(a,b)=(c,d)$. здесь мы снова видим, что $c$ и $d$ зависят от входных данных функции, поэтому мы можем записать это как $g(a,b)=(c(a,b),d(a,b) )$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Да, можно.

Помните, что любая функция сложной переменной может быть записана как $f(z) = f(x + iy)$, и это может предоставить, а может и не предоставить простую (или менее) возможность разложить ее на $g( x) + ih(y)$ или в более общем виде и лучше:

$$f(z) = f(x + iy) = \Re(f(z)) + \Im(f(z))$$ 9{1/2\ln(z)}$$

Тогда вы будете иметь дело с логарифмом

$$\log(z) = \log(|z|) + i\arg(z)$$

Тогда мы всегда можем найти чудовищные примеры, но это не так.

Чтобы получить точный ответ, проверьте ответ 5xsum!

$\endgroup$

3.1: Комплексные числа — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 1343

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных $i$. 2+4=0\]
Наши лучшие предположения могут быть +2 или -2. Но если мы проверим +2 в этом уравнении, это не сработает. Если мы проверим -2, это не сработает. Если мы хотим получить решение этого уравнения, нам придется пойти дальше, чем мы до сих пор. В конце концов, до сих пор мы описывали квадратный корень из отрицательного числа как неопределенный. К счастью, есть другая система чисел, которая обеспечивает решение подобных проблем. В этом разделе мы рассмотрим эту систему счисления и то, как в ней работать.
Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных
i
Мы знаем, как найти квадратный корень из любого положительного действительного числа. Аналогичным образом мы можем найти квадратный корень из отрицательного числа. Отличие в том, что рут не настоящий. Если значение подкоренного числа отрицательное, корень называется мнимым числом. Мнимое число i определяется как квадратный корень из минус 1.
\[\sqrt{-1}=i\]
Итак, используя свойства радикалов, 92=−1\]
Мы можем записать квадратный корень любого отрицательного числа как кратное i. Возьмем квадратный корень из –25.
\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \\ &= 5i \end{align}\]
Мы используем 5 i , а не −5 i , потому что главный корень из 25 является положительным корнем.
Комплексное число представляет собой сумму действительного числа и мнимого числа. Комплексное число выражается в стандартной форме при записи $a+bi$, где $a$ — действительная часть, а $bi$ — мнимая часть. Например, $5+2i$ — комплексное число. То же самое и с $3+4\sqrt{3}i$.
Рисунок $\PageIndex{1}$
Мнимые числа отличаются от действительных чисел, поскольку возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число. Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел.
Мнимые и комплексные числа
Комплексное число — это число вида $a+bi$, где
- $a$ — действительная часть комплексного числа.
- $bi$ — мнимая часть комплексного числа.
Если $b=0$, то $a+bi$ – действительное число. Если $a=0$ и $b$ не равно 0, комплексное число называется мнимым числом . Мнимое число – это четный корень из отрицательного числа.
Стандартная форма
Дано мнимое число, выразить его в стандартной форме.
1. Запишите $\sqrt{-a}$ как $\sqrt{a}\sqrt{-1}$.
2. Выразите $\sqrt{−1}$ как $i$ .
3. Напишите $\sqrt{a}{\cdot}i$ в простейшей форме.