Вышмат теория вероятности: Научно-образовательный портал ТУСУР | Высшая математика IV. Теория вероятностей: Учебное пособие / Магазинников Л. И. — 2012. 151 с.

Теория вероятностей – Основные Формулы и Примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

522.5K

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

• Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

• Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

• Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху.

Например:

• A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

• Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий

A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие

A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

• Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

• Событие B_{1, 2} = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

• Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение

A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,. .., и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

• A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

• Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

• A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

• Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

• событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

• событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и

  на 2-й) выпадет решка;

• событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

• событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю.

• Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Что такое рациональные числа?

К следующей статье

Числовые и буквенные выражения

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Теория вероятностей и математическая статистика на примерах. Что это такое, основные формулы, теории

Данная статья является переводом. Ссылка на оригинальную статью.

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

🎲 Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

1. Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
2. Зависимые – те, на которые влияют другие события.
3. Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
4. Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
5. Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

1. Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2. … Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
2. Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.

Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Формула вероятности P(A): количество благоприятных исходов для A делимое на общее количество возможных исходов.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

• Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
  
• Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
• Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.

Интересно, хочу попробовать

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

1. Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
2. Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
3. Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
4. Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
5. Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
6. Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
7. Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
8. Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
9. Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
10. Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
11. Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
12. Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

• В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.

• В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.

• Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

Решение

При бросании двух игральных костей существует 36 возможных исходов. Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.

Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Решение

Колода карт имеет 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, общее число возможных исходов = (4) * (13) = 52. Может быть, 4 королевы, по одной из каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4. Карточная вероятность = 4 / 52 = 1 / 13. Ответ: Вероятность получить королеву из колоды карт равна 1 / 13

Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

Решение

Используя понятие условной вероятности, P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.

В заключение

Подведем итоги:

• Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
• Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
• Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
• В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
• Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

• 47 видеолекций и 150 практических заданий.
• Консультации с преподавателями курса.

Интересно, хочу попробовать

Теория вероятностей | Определение, примеры и факты

образец места для пары игральных костей

Просмотреть все материалы

Ключевые люди:

Карл Фридрих Гаусс Пьер де Ферма Андрей Николаевич Колмогоров Симеон-Дени Пуассон Авраам де Муавр

Похожие темы:

Теорема Байеса Центральная предельная теорема стохастический процесс равнодушие вероятность

Просмотреть весь связанный контент →

теория вероятностей , раздел математики, занимающийся анализом случайных явлений. Исход случайного события не может быть определен до того, как оно произойдет, но может быть любым из нескольких возможных исходов. Считается, что фактический результат определяется случайностью.

Слово вероятность имеет несколько значений в обычном разговоре. Два из них особенно важны для развития и приложений математической теории вероятностей. Одним из них является интерпретация вероятностей как относительных частот, примером чего служат простые игры с монетами, картами, костями и колесами рулетки. Отличительной чертой азартных игр является то, что исход данного испытания нельзя предсказать с уверенностью, хотя совокупные результаты большого числа испытаний обнаруживают некоторую закономерность. Например, утверждение о том, что вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты равна половине, согласно интерпретации относительной частоты, подразумевает, что при большом числе подбрасываний относительная частота, с которой действительно выпадает «орел», будет приблизительно равна одной. -половина, хотя это не подразумевает исход любого данного броска. Есть много подобных примеров, связанных с группами людей, молекулами газа, генами и так далее. Актуарные заявления об ожидаемой продолжительности жизни для лиц определенного возраста описывают коллективный опыт большого числа людей, но не претендуют на то, чтобы сказать, что произойдет с каждым конкретным человеком. Точно так же прогнозы о вероятности возникновения генетического заболевания у ребенка родителей с известным генетическим составом являются утверждениями об относительной частоте встречаемости в большом количестве случаев, но не являются прогнозами относительно данного индивидуума.

Эта статья содержит описание важных математических понятий теории вероятностей, проиллюстрированное некоторыми приложениями, которые стимулировали их развитие. Для более полной исторической обработки см. вероятность и статистику. Поскольку приложения неизбежно включают в себя упрощение предположений, фокусирующихся на одних особенностях проблемы за счет других, полезно начать с простых экспериментов, таких как подбрасывание монеты или бросание игральной кости, а затем посмотреть, как соотносятся эти, казалось бы, легкомысленные исследования. к важным научным вопросам.

Эксперименты, выборочное пространство, события и равновероятные вероятности

Применение простых вероятностных экспериментов

Фундаментальным компонентом теории вероятностей является эксперимент, который может быть повторен, по крайней мере гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным исходы различных испытаний. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «выборочным пространством». Эксперимент с однократным подбрасыванием монеты приводит к выборке пространства с двумя возможными исходами: «орел» и «решка». Бросание двух игральных костей имеет выборочное пространство с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть отождествлен с упорядоченной парой ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают грани, показанные на отдельных костях. Важно думать о костях как об идентифицируемых (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма граней, выпавших на двух костях, равна шести» состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).

Викторина “Британника”

Числа и математика

Третий пример — вытащить n шаров из урны с шарами разных цветов. Общим результатом этого эксперимента является n -кортеж, где i th определяет цвет шара, полученного при i розыгрыше ( i = 1, 2,…, n ). . Несмотря на простоту этого эксперимента, его глубокое понимание дает теоретическую основу для проведения опросов общественного мнения и выборочных опросов. Например, лица в популяции, поддерживающие определенного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, те, кто поддерживает другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение должно узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.

Другим применением простых моделей урн является использование клинических испытаний, предназначенных для определения того, является ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура лучше стандартного лечения. В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успех или неудачу, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных этим заболеванием можно определить по шарикам в урне. Красные шарики — это те пациенты, которые вылечились новым лечением, а черные шарики — те, кто не вылечился. Обычно есть контрольная группа, которая получает стандартное лечение. Они представлены второй урной с, возможно, другой долей красных шаров. Цель опыта по извлечению из каждой урны некоторого количества шаров состоит в том, чтобы на основе выборки выяснить, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером было испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954. Она была организована Службой общественного здравоохранения США и охватила почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здравоохранения в промышленно развитых частях мира. Строго говоря, эти приложения представляют собой задачи статистики, основу для которых дает теория вероятностей.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

В отличие от экспериментов, описанных выше, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных результатов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока в первый раз не выпадет «орел». Количество возможных бросков равно 9.0025 n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного счетчика, состоящего из отрезка прямой линии, не имеющего ширины и повернутого в его центре, набор возможных исходов представляет собой набор всех углов, которые конечная позиция счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π). Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. д., выполняются на непрерывных шкалах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечное множество возможных значений. Если повторные измерения на разных субъектах или в разное время на одном и том же субъекте могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.

Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечными выборками. На заре развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента «одинаково вероятны». Тогда в большом числе испытаний все исходы должны встречаться примерно с одинаковой частотой. Вероятность события определяется как отношение числа случаев, благоприятных для события, т. е. числа исходов в подмножестве выборочного пространства, определяющего событие, к общему числу случаев. Таким образом, 36 возможных исходов при бросании двух игральных костей предполагаются равновероятными, а вероятность выпадения «шестёрки» равна числу благоприятных случаев, 5, делённому на 36, или 5/36.

Теперь предположим, что монета подбрасывается n раз, и рассмотрим вероятность того, что орел не выпадет за n подбрасываний. Результатом эксперимента является n -кортеж, k -й вход которого идентифицирует результат k -го броска. Поскольку есть два возможных исхода для каждого броска, количество элементов в пространстве выборки равно 2 ⁿ . Из них только один исход соответствует отсутствию орла, поэтому требуемая вероятность равна 1/2 ⁿ .

Немногим сложнее определить вероятность «не более одного орла». Помимо одного случая, когда орёл не выпадает, существует n случаев, в которых выпадает ровно один орёл, потому что он может выпасть при первом, втором,… или n -м подбрасывании. Следовательно, имеется n + 1 случаев, благоприятных для получения не более одной головы, и искомая вероятность равна ( n + 1)/2 ⁿ .

Теория зрения – Основная вероятность

Теория зрения – Основная вероятность

Глава 1

Эта глава представляет собой введение в основные понятия теории вероятностей.

Случайность

Нас окружает случайность. Теория вероятностей — это математическая основа, которая позволяет нам анализировать случайные события логически обоснованным образом. Вероятность события – это число, указывающее, насколько вероятно, что это событие произойдет. Это число всегда находится между 0 и 1, где 0 означает невозможность, а 1 — уверенность.

Классический пример вероятностного эксперимента — правильное подбрасывание монеты, в котором два возможных исхода — орел или решка. В этом случае вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. В реальной серии подбрасываний монеты мы можем получить больше или меньше ровно 50% орла. Но по мере увеличения количества подбрасываний долгосрочная частота выпадения орла неизбежно приближается к 50%.

Подбросить монету

Подбросить 100 раз

Для нечестной или взвешенной монеты два исхода не равновероятны. Вы можете изменить вес или распределение монеты, перетащив столбцы истинной вероятности (справа синим цветом) вверх или вниз. Если мы присвоим числа результатам — скажем, 1 для орла, 0 для решки — тогда мы создадим математический объект, известный как случайная величина.

Ожидание

Ожидание случайной величины — это число, которое пытается захватить центр распределения этой случайной величины. Его можно интерпретировать как долгосрочное среднее многих независимых выборок из данного распределения. Точнее, он определяется как взвешенная по вероятности сумма всех возможных значений в опоре случайной величины,

$$\text{E}[X] = \sum_{x \in \mathcal{X}}xP(x)$$

Рассмотрим вероятностный эксперимент по бросанию игральной кости и наблюдайте, как среднее значение текущей выборки сходится к математическому ожиданию 3,5.