Высшая математика ряды для чайников: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

9. Ряды. Высшая математика

9.1. Числовые ряды

9.2. Степенные ряды

9.1. Числовые ряды

Сходимость ряда. Сумма ряда

Пусть даны , тогда – ряд, где – член ряда.

Примеры различных рядов:

• 1+2+4+…+ – ряд сходится.
• 1–1+1–1+…+– расходится.

• – расходится (гармонический ряд).

• – сходится.

, при .

– частичная сумма

Если , то – сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.

Пример:

Теорема. О сходимости ряда

Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.

Признаки сходимости ряда

1. Необходимый признак сходимости:
2. Достаточный признак расходимости:

Доказательство:

Если , то ряд сходится.

3. 3. Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
   4. Признак сравнения:

Имеем и , то

и – сходится, тогда – сходится.

или .

Если

Пример:

, а значит – сходится.

3. 3. Признак Даламбера:

Пусть , тогда при

– ряд сходится, – ряд расходится, – требуются дальнейшие исследования.

Доказательство:

Пусть , тогда , начиная с некоторого .

или

Получаем

Пример:

Ряд –

и

– ряд расходится.

• Радикальный признак Коши:

, при , .

Тогда если , то ряд сходится, если – ряд расходится.

Доказательство:

1. 1. Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит –сходится по принципу сравнения.

• Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

Получаем, что –расходится.

Пример:

Ряд – .

Получаем – ряд сходится.

7. Интегральный признак Коши:

, при .

Доказательство:

и

Значит, если – сходится – сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряды вида: , где .

Теорема Лейбница

Если и , то ряд – сходится.

Доказательство:

Пусть , тогда

. При

. ограниченна сверху .

Так как – возрастает и ограниченна сверху

Пример: – сходится.

Пусть дан ряд , тогда

1. 1. – сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.

• – расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами

, – абсолютно сходящиеся.

Тогда – абсолютно сходится.

Функциональные ряды

, где – функция.

Область сходимости

Пусть фиксировано.

Тогда сходится, если –точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

– область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где – мажорируемы.

Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда

Пусть .

– сходится и , – непрерывна на .

Тогда – непрерывна на .

Доказательство:

(из определения непрерывности)

,

где .

При и .

Отсюда

Пример:

на

, разрыв при

Теорема.

О почленном интегрировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – интегрируемы на ( – существует). Тогда

Теорема. О почленном дифференцировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – дифференцируемы на (– существует). Тогда

9.2. Степенные ряды

, где – коэффициент, – произвольная точка, .

Частный случай:

Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.

, при

– сходится

– расходится.

– точка сходимости.

Если , то , т.е. – мажорируемый.

Область сходимости:

– сходится при

Пример:

– сходится при .

Теорема. Радиус сходимости определяется как .

Доказательство:

Возьмем , тогда

По признаку Даламбера:

Отсюда или

Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример:

или при ряд сходится.

, значит ряд сходится при любых

, значит при ряд сходится.

Разложение функций в степенной ряд

– ряд Тейлора.

, тогда

При

– ряд Маклорена.

Разложение некоторых функций в степенной ряд

или – любое.

или – любое.

или – любое.

1. 1. или при ряд сходится

или при ряд сходится

Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.

Пример:

Имеем

Получаем

Считая, что

Пример:

Контрольные примеры:

1. 1. Разложим в ряд и посчитаем

1. Разложим в ряд и посчитаем

Пример разложения функции в ряд Маклорена:

Получаем

Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов.

Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три!  Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда   – это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член ряда   помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так:  . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда   – это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член   которого входят целые положительные степени независимой переменной  . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:  , где   – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие 

только от «эн»). Простейший пример: 

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.  Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»:   или  , где   – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда  ,   или   не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например: 

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда.  Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд  .

Переменная   может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если  , то  Если  , то  Если  , то  Если  , то  И так далее.

Очевидно, что, подставляя в   то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд   будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале  . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала   и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал   и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

>

Здесь интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

А что будет происходить на концах интервала  ?  В точках  ,   степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал:   или  .

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении  . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают:  . Радиус сходимости:  . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:  . Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  , если ряд имеет вид  , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:  .

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал   (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

Исследование степенного ряда на сходимость

После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

Пример 1

Найти область сходимости степенного ряда 

Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел  . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.

Итак, решаем наш предел:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел   и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

Кстати, почему   можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко не холодно.

(5) Устраняем неопределенность   стандартным способом.

После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.

Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда:  » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при  » (значок   в математике обозначает принадлежность).

Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при  » (или при  либо  »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен  . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Я не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже достаточно того, что я пересказал своими словами несколько теорем.

Теперь раскрываем модуль по школьному правилу:  . В данном случае:  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала   и подставляем его в наш степенной ряд  :

При 

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся. 2)   – члены ряда убывают по модулю.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:  – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Далее рассматриваем правый конец интервала  , подставляем это значение в наш степенной ряд  :

При   – сходится.

Таким образом, степенной ряд   сходится на обоих концах найденного интервала.

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: 

Имеет право на жизнь  и другое оформление ответа: Ряд сходится, если 

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере  .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:  Ряд сходится при 

Слева нам нужно оставить только  , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

И раскрываем модуль по школьному правилу  :  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала. 1) При    

Обратите внимание, что при подстановке значения   в степенной ряд   у нас сократилась степень  . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

Используем признак Лейбница.  – Ряд является знакочередующимся. –   – члены ряда убывают по модулю. Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся рядом  .  Используем предельный признак сравнения: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд   расходится вместе с рядом  .

Таким образом, ряд   сходится только условно.

2) При   – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:  . При   ряд сходится только условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала   степенной ряд сходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке  , как выяснилось – сходится только условно.

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда: 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы   и   по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень  , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на  . Факториалы расписываем подробно.

 (4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что  . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель   выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что   принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при 

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда 

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны 😉 Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель  , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела   мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5: Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение   в наш степенной ряд  :

 

Будьте предельно внимательны, множитель   не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн»  . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения   в общий член степенного ряда у нас сократился множитель  . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд  . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При 

Используем признак Лейбница:  – Ряд является знакочередующимся. –   – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: ряд сходится

Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку    – расходится (по доказанному).

Ответ:   – область сходимости исследуемого степенного ряда, при   ряд сходится только условно.

Пример 7

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Это пример для самостоятельного решения.

Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

Пример 8

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Предел   по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.

Итак, ряд сходится при 

Умножаем обе части неравенства на 9: Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол  : Раскрываем модуль: И прибавляем ко всем частям единицу:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если  , то получается следующий числовой ряд:

Множитель   бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн»  .

И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени  , а значит, интервал сходимости найден правильно.

По всем признакам для полученного числового ряда   следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого:  . Таким образом, старшая степень знаменателя равна  . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя:  .

Таким образом, наш ряд нужно сходить со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд   сходится вместе с рядом  .

2) Что происходит на другом конце интервала? При   – сходится.

А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 

Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти область сходимости ряда 

Достаточно для начала =)

В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел  . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел  , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.

Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

 Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При    Используем признак Лейбница.  – Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится 2) При Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ:   – область сходимости исследуемого степенного ряда

Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ответ: Ряд сходится при 

Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.

Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на : В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) При    Степень   сократилась, значит, мы на верном пути. Используем признак Лейбница.  Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда не убывают по модулю. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак.  Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд    сходится только условно. 2) При  – расходится (по доказанному). Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:  , при  ряд сходится только условно. Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: . Примечание: Ряд  можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При    Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  . Используем предельный признак сравнения. Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом. 2) При  – расходится (по доказанному). Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 

404: Страница не найдена

Страница, которую вы пытались открыть по этому адресу, похоже, не существует. Обычно это результат плохой или устаревшей ссылки. Мы извиняемся за любые неудобства.

Что я могу сделать сейчас?

Если вы впервые посещаете TechTarget, добро пожаловать! Извините за обстоятельства, при которых мы встречаемся. Вот куда вы можете пойти отсюда:

Поиск

• Узнайте последние новости.
• Наша домашняя страница содержит самую свежую информацию о Java-разработке.
• Наша страница «О нас» содержит дополнительную информацию о сайте, на котором вы находитесь, TheServerSide.com.
• Если вам нужно, свяжитесь с нами, мы будем рады услышать от вас.

Просмотр по категории

Архитектура приложения

• Как выжить, когда царит развитие Waterfall

  Несмотря ни на что, методология Waterfall поддерживает бесчисленное количество команд разработчиков программного обеспечения. …

• Необработанный, но растущий потенциал банковского обслуживания без ядра

  Несмотря на то, что банковское дело без ядра все еще является новой концепцией, оно демонстрирует большой потенциал для освобождения банков от жестких программных систем, которые…

• Основы достижения высокой сплоченности и низкой связанности

  Легко сказать «высокая сплоченность, низкая связанность», но так ли легко это реализовать на практике? Мы рассмотрим некоторые основы …

Качество ПО

• Тестовые фреймворки и примеры для модульного тестирования кода Python

  Модульное тестирование является важным аспектом разработки программного обеспечения. Команды могут использовать Python для модульного тестирования, чтобы оптимизировать преимущества Python…

• Атрибуты эффективной стратегии тестирования базы данных

  Команды должны внедрить правильную стратегию тестирования базы данных для оптимизации результатов. Изучите эффективные атрибуты тестирования базы данных…

• Обновления Java 20 Project Loom готовят почву для Java LTS

  Java 20 повторно инкубирует две функции масштабируемости Project Loom, что делает их главными кандидатами на то, чтобы стать стандартом в сентябрьском выпуске Java …

Облачные вычисления

• 4 рекомендации, чтобы избежать привязки к поставщику облачных услуг

  Без надлежащего планирования организация может оказаться в ловушке отношений с облачным провайдером. Следуйте этим …

• Подходит ли вам облачная стратегия?

  Стратегия, ориентированная на облачные технологии, имеет свои преимущества и недостатки. Узнайте, как избежать рисков и построить стратегию, которая …

• Как использовать сценарии запуска в Google Cloud

  Google Cloud позволяет использовать сценарии запуска при загрузке виртуальных машин для повышения безопасности и надежности. Выполните следующие действия, чтобы создать свой…

Безопасность

• Десктопное приложение 3CX скомпрометировано и использовано в атаке на цепочку поставок

  Клиенты 3CX заметили, что несколько платформ обнаружения угроз начали помечать и блокировать настольное приложение поставщика унифицированных коммуникаций …

• Уязвимость Azure Pipelines выявляет угрозы цепочки поставок

  Исследователи Legit Security обнаружили уязвимость удаленного выполнения кода в платформе Microsoft Azure DevOps, которая может дать …

• Google: поставщики шпионского ПО используют iOS и Android нулевого дня

  Недавние кампании, за которыми наблюдала группа Google по анализу угроз, показали, что поставщики шпионского ПО используют нулевые дни и известные уязвимости…

ПоискAWS

• AWS Control Tower стремится упростить управление несколькими учетными записями

  Многие организации изо всех сил пытаются управлять своей огромной коллекцией учетных записей AWS, но Control Tower может помочь. Услуга автоматизирует…

• Разбираем модель ценообразования Amazon EKS

  В модели ценообразования Amazon EKS есть несколько важных переменных. Покопайтесь в цифрах, чтобы убедиться, что вы развернули службу…

• Сравните EKS и самоуправляемый Kubernetes на AWS Пользователи

  AWS сталкиваются с выбором при развертывании Kubernetes: запустить его самостоятельно на EC2 или позволить Amazon выполнить тяжелую работу с помощью EKS. См…

Форма эшелона строк – GeeksforGeeks

Матрица находится в форме эшелона строк, если она обладает следующими свойствами:

• Любая строка, полностью состоящая из нулей, находится внизу матрицы.
• Для каждой строки, которая не содержит полностью нулей, первая ненулевая запись равна 1 (называется ведущей 1).
• Для двух последовательных (ненулевых) строк ведущая единица в верхней строке находится левее, чем ведущая единица в нижней строке.

Для сокращенной эшелонированной формы строки ведущая 1 каждой строки содержит 0 ниже и выше ее в этом столбце.

Ниже приведен пример ступенчатой ​​формы: 

и сокращенной ступенчатой ​​формы:

Любую матрицу можно преобразовать в уменьшенную ступенчатую форму строк, используя технику, называемую исключением Гаусса. Это особенно полезно для решения систем линейных уравнений.

Исключение по Гауссу

Исключение по Гауссу — это способ преобразования матрицы в форму сокращенного эшелона строк. Его также можно использовать как способ нахождения решения системы линейных уравнений. Идея заключается в том, что мы выполняем некоторые математические операции над строкой и продолжаем до тех пор, пока не останется только одна переменная.

Ниже приведены некоторые операции, которые мы можем выполнить:

• Поменять местами любые две строки
• Сложить две строки вместе.
• Умножить одну строку на ненулевую константу (например, 1/3, -1/5, 2).

Учитывая следующее линейное уравнение:

и расширенную матрицу выше

Теперь нам нужно преобразовать это в форму строки-эшелона. Чтобы преобразовать это в форму строки-эшелона, нам нужно выполнить исключение Гаусса.

• Во-первых, нам нужно вычесть 2*r ₁ из r ₂ и 4*r ₁ из r ₃ , чтобы получить 0 на первом месте r ₂ и _{r 3} .

• Далее мы поменяем местами строки r2 и r3 и после этого вычтем 5*r ₂ из r ₃ , чтобы получить второй 0 в третьей строке.

• Теперь мы можем вывести значение z из r _3, т.е. 10 z =0 ⇾ z=0. С помощью значения z =0 мы можем положить его в r2, y = 2. Точно так же мы можем положить значение y и z в r ₁ и мы получим значение x=3

Ранг матрицы

Ранг матрицы — это количество ненулевых строк в эшелонированной форме строк. Для нахождения ранга необходимо выполнить следующие шаги:

• Найти строчно-ступенчатую форму заданной матрицы
• Подсчитать количество ненулевых строк.

Возьмем в качестве примера матрицу:

Теперь приведем приведенную выше матрицу к ступенчато-строчному виду

Здесь только одна строка содержит ненулевые элементы. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Реализация

• Чтобы преобразовать матрицу в редуцированную строчно-эшелонную форму, мы использовали пакет Sympy в python, для начала нам нужно его установить.

! pip install sympy     import sympy     sympy. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: