Главная
Высшая математика уравнения дифференциальные уравнения: Высшая математика – Дмитрий Степанов

Высшая математика уравнения дифференциальные уравнения: Высшая математика – Дмитрий Степанов

Содержание

Высшая математика – Дмитрий Степанов

Введение в дополнительные главы высшей математики

рассматриваются определение системы, виды и классы систем, моделирование и кинематическая интерпретация системы, фазовые точки, пространство и портрет в MathCad, моделирование на основе дифференциальных уравнений, особые точки и бифуркация системы, устойчивость и хаос системы, моделирование систем.

Подробнее…

Дифференциальные уравнения первого порядка

рассматриваются общий вид уравнения, виды уравнений, общее и частное решение, интегральная кривая, задача Коши, виды уравнений и способы их решения, численные методы решения уравнений, функции решения уравнений в MathCad, примеры решения уравнений в среде MathCad.

Подробнее…

Дифференциальные уравнения высших порядков

рассматриваются дифференциальные уравнения высших порядков, методы понижения уравнений высших порядков, линейные однородны уравнения, линейные неоднородны уравнения, пример решения линейного неоднородного уравнения, пример реализации уравнения в MathCad.

Подробнее…

Системы дифференциальных уравнений

рассматриваются общий вид системы уравнений, решение системы дифференциальных уравнений, методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, системы дифференциальных уравнений и их свойства, системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, пример реализации системы уравнений в MathCad.

Подробнее…

Теория устойчивости

рассматриваются локальная и глобальная теоремы существования, устойчивость по Ляпунову для уравнений и систем, устойчивость автономных систем, метод функций Ляпунова, устойчивость по первому приближению.

Подробнее…

Неподвижные точки

рассматриваются автономные дифференциальные уравнения, точки покоя автономных дифференциальных уравнений, автономная система дифференциальных уравнений, точки покоя системы дифференциальных уравнений, пример построения фазового портрета в MathCad.

Подробнее…

Моделирование динамических систем

рассматриваются самоорганизация, динамическая система, бифуркация и хаос, модель хищник-жертва, генератор Дуффинга, генератор Ван-дер-Поля, система Лоренца, примеры реализации систем в MathCad.

Подробнее…

Экзаменационные вопросы

рассмотрены экзаменационные вопросы по дисциплине: введение в дополнительные главы высшей математики, дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, точки покоя системы, моделирование динамических систем.

Подробнее…

Основные дифференциальные уравнения и их решения

Разделение переменных
f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0

Решение
$\int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$

Линейное уравнение первого порядка
dx/dy + P(x)y = Q(x)

Решение
$y e^{\int P dx} = \int Q e^{\int P dx} dx + c$

Уравнение Бернулли
dy/dx + P(x)y = Q(x)yn

Решение
$v e^{(1-n) \int P dx} = (1-n) \int Q e^{(1-n) \int P dx} dx + c$
, где v = y1-n.
Если n = 1, решение имеет вид
$ln y = \int (Q – P ) dx + c$

Точное уравнение
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, где ∂M/∂y = ∂N/∂x.

Решение
$\int M \partial x + \int (N – \frac{\partial}{\partial y}\int M \partial x) dy = c$
, где ∂x означает интегрирование по x при постоянной y.

Однородное уравнение
dy/dx = F(y/x).

Решение
$ln x = \int \frac{dv}{F(v) – v} + c$, где v = y/x. Если F(v) = v, решением будет y = cx.

yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0

Решение
$ln x = \int \frac{G(v) dv}{v \{G(v) – F(v)\} } + c$, где v = xy. Если G(v) = F(v), решением будет xy = c.

Линейное однородное уравнение второго порядка
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = 0 , a,b – действительные константы.

Решение
Пусть m1, m2 – корни уравнения m2 + am + b = 0. Тогда возможны три варианта

Вариант 1.     m1,m2 действительные и несовпадающие:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2 x}$

Вариант 2. {px} (c_1 \cos qx + c_2 \sin qx)$

Линейное неоднородное уравнение второго порядка.
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = R(x), a, b – действительные константы.

Решение
Аналогично предыдущему случаю, возможны три варианта.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Уравнение Коши (или Эйлера).
x2d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = S(x) .

Решение
После замены x = et уравнение принимает вид
d2y/dt2 + (a – 1)(dy/dt) + by = S(et)
, и теперь решение его сводится к вышеуказанным вариантам.

Уравнение Бесселя.
x2d2y/dx2 + x(dy/dx) + (λ2x2 – n2)y = 0.

Решение
y = c1Jn(λx) + c2Yn(x).

Модифицированное уравнение Бесселя
x2d2y/dx2 + (2p + 1)x(dy/dx) + (α2x2r + β2)y = 0. r)\}$
, где q = √p2 – β2.

Уравнение Лежандра
(1 – x2)d2y/dx2 – 2xdy/dx + n(n + 1)y = 0.

Решение
y = c1Pn(x) + c2Qn(y).

Дифференциальные уравнения. | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Дифференциальные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.

Например, уравнение 2xy’-3y=0′, где y=y(x), является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а u’x-u’y+1=0, где u=u(x,y), дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

F(x,y,y’,…,у(n))=0, (1)

где F – некоторая функция от n+2 переменных, n1, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение x2(y”’)4-x(y’)5+8=0 третьего порядка и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

y(n)=F(x,y,y’,…,y(n-1))

где F –некоторая функция от n+1 переменной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y=y(x), которая при подстановке её в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sinx является решением уравнения y”+y=0, так как (sinx)”+sinx=0 для любых х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример 1. Решить уравнение у”=х.

Поскольку y”=, то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: dy’=xdx. Выполняя почленное интегрирование, получаем y’=+C1, где C1 произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству dy=(+C1)dx. Интегрируя почленно, окончательно получаем y=+C1x+C2, где C1 – произвольная постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения (1) n-го порядка называется такое решение:

y=φ(x,C1,…,Cn) (2)

которое является функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных C1,C2,…,Cn. (Независимость постоянных означает отсутствие каких – либо соотношений между ними). Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

В примере 1 y=+C1x+C2 – общее решение, y=+2x+1 – частное решение дифференциального уравнения у”=х.

Научная работа кафедры высшей математики

В 90-е годы прошлого столетия научная работа на кафедре велась в двух фундаментальных областях математики – дифференциальные уравнения и математический анализ, по которым в ХГТУ с 1995 года функционировал докторский диссертационный совет. Долгие годы работали еженедельные научные семинары по каждой из специальностей, которые играли существенную роль в научной жизни г. Хабаровска и Дальнего Востока.

По каждой из областей исследования проводились по двум направлениям. В области дифференциальных уравнений  это краевые задачи для нелинейных вырождающихся уравнений и уравнений переменного типа (нелинейная теплопроводность, задача Стефана, нелинейное уравнение Трикоми, уравнения Прандтля, Навье-Стокса, Бюргерса с вязкостью, зависящей от градиента и со сменой направления параболичности, некоторые классы вариационных неравенств).

Развивались абстрактные методы исследования таких задач – метод компактности, метод исследования нелинейных уравнений в нецилиндрических областях, основанный на относительной компактности абстрактных функций из шкалы банаховых пространств.

Второе направление представляли линейные уравнения неклассического типа. К таким уравнениям относятся линейные вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, уравнения смешанного типа и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. Эти уравнения связаны с задачами газовой динамики, теории упругости и многими другими вопросами механики. Проводились интенсивные исследования по следующим темам: сингулярные краевые задачи для эллиптических и гиперболических уравнений с операторами Бесселя; задачи Дарбу-Проттера для многомерных гиперболических уравнений; численные методы решения вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа; специальные функции для вырождающихся эллиптических, гиперболических и ультрапараболических уравнений; спектральные задачи для вырождающихся эллиптических уравнений.

Работали научно-исследовательский и учебный семинар «Уравнения неклассического типа».

Еще одной темой исследований были параболические уравнения со сменой направления параболичности, а также ультрапараболические уравнения, по которым получены фундаментальные результаты по оценкам потенциалов в гёльдеровских пространствах, качественно отличающихся от оценок для обычных параболических потенциалов.

По специальности «Математический анализ» на кафедре проводились научно-исследовательские работы по следующим темам: геометрическая теория меры на пространствах с субримановой геометрией, теория функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения на нильпотентных группах Ли, весовые неравенства Харди в банаховых функциональных пространствах на полуоси. По данным темам на кафедре работали еженедельно научно-исследовательский и учебный семинар «Функциональный анализ». Все научные исследования поддерживались двумя грантами Министерства образования РФ, грантом РФФИ, грантом ФЦП «Интеграция», зарубежными грантами и стипендиями.

В начале нового столетия по объективным причинам вышеупомянутые семинары прекратили работу и научно-исследовательская работа на кафедре приобрела индивидуальный характер. Наряду с продолжающимися исследованиями в областях математического анализа и дифференциальных уравнений появились исследования в других направлениях, таких как проблемы разрешимости оптимизационных задач, стохастические динамические системы, теория массового обслуживания, теория устойчивости систем разностных и дифференциальных уравнений. В ниже следующем обзоре представлены работы по этим направлениям:

Подгаев Александр Григорьевич

Специальность: 01.01.01 – функциональный анализ, 01.01.02 – дифференциальные уравнения

Направления исследований:

Разрешимость краевых нестационарных задач для квазилинейных вырождающихся уравнений с частными производными, в том числе в нецилиндрических областях и с неизвестной границей. Изучение вопросов компактности множеств, ориентированных на использование в дифференциальных уравнениях.

Результаты:

  1.  Доказаны теоремы существования решений для нелинейных уравнений переменного типа, уравнений Кортвега-де Вриза-Бюргерса, для системы обобщенных уравнений Прандтля и уравнений Эйлера.
  2. Поставлена и изучена новая задача типа Стефана с неизвестной границей и неизвестным коэффициентом скрытой удаленной теплоты плавления.
  3. Доказаны теоремы об относительной компактности множеств из пространств Бохнера и шкалы банаховых пространств, имеющих приложения в задачах с нестационарными границами.

Основные публикации:

  1. Задача определения скрытой удельной теплоты плавления по величине зоны протаивания //Доклады Академии наук, 1977, т.253, №3. С 313-315.
  2. On relative compactness set of abstract functions from scale of the Banch spaces. Functional Analysis, Approximation Theory and Numerical Analysis. Word Scientifie Publisling Co. 4. London Singapure. 1994. C. 219-236.
  3. Разрешимость нелинейного с вырождением при производной по времени на решении уравнения теплопроводности в классах неограниченных функций //Доклады Академии наук, 2002, т. 382, №3. С 1-3
  4. Краевая задача для уравнения Кортвенга-де Вриза-Бюргерса со знакопеременным коэффициентом. //Вестник ТОГУ, №4(7), 2007. С. 185-198, №4(8), 2008. С 9-20.

Маркова Наталья Владимировна

Направление исследований:

Изучение моделей резервирования и массового обслуживания с применением асимптотических методов.

Результаты:

  1. Для определения вероятности наличия элементов на рабочих местах системы резервирования с восстановлением (с конкуренцией между ремонтными местами и без таковой) обнаружено явление типа фазового перехода.
  2. Получены новые предельные соотношения для хвоста распределения интервалов между выходом заявок и хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания в нестационарном режиме.
  3. Получены новые асимптотические формулы для хвостов распределения времени ожидания в одноканальных системах массового обслуживания.

Основные публикации:

  1. Переходные явления в объединенной системе резервирования с восстановлением. //Дальневост. матем. журнал. 2001. Т. 2. №2. – С. 106-114.
  2. Маркова Н.В. Асимптотический анализ времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания. //Дальневост. матем. журнал. 2004. Т. 5. №1. – С. 66-71.
  3. Маркова Н.В., Цициашвили Г.Ш. Асимптотические формулы распределения времени работы сети //Автоматика и телемеханика. 2008. №1. – С.80-182.
  4. Гренкин Г.В., Маркова Н.В., Цициашвили Г.Ш. Свойства компонент связ-ности параллельно-последовательных соединений. //Дальневост. матем. жур-нал. – 2012. Т. 12. №1. – С. 12-19.
  5. Цициашвили Г.Ш., Осипова М.А., Маркова Н.В. Рекуррентная последова-тельность параллельно-последовательных соединений.// Вестник Тихоокеан-ского государственного университета. – №3(26), 2012. – С. 27-32.

Прудников Виталий Яковлевич

Направление исследований:

Изучение проблем разрешимости оптимизационных задач.

Результаты:

  1. Получен критерий коэрцитивности выпуклых по направлениям функционалов.
  2. Неравенство Иенсена распространено на идеальные пространства.
  3. Получено условие полунепрерывности интегральных функционалов на композиции идеальных пространств.

Последние публикации:

  1. О коэрцитивности выпуклых функционалов. //Известия вузов. Математика, 2005г.
  2. Неравенство Иенсена в идеальных пространствах. // Сиб. ж. инд. матем., 2007г.
  3. Неравенство Иенсена в произвольных идеальных пространствах. //Вестник ТОГУ, №4(8), 2008.
  4. Prudnikov V.Ya. The Jensen Inequality in Ideal Spaces. Journal of Applied and Industrial Mathematics. – 2009. Vol. 3, No 2. – Pp. 1–10.
  5. Прудников В. Я. Полунепрерывность интегральных функционалов.// Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информаци-онных наук». – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009.  – С. 49.
  6. Прудников В. Я. О существовании равномерно выпуклых функционалов. // Труды Всерос. конф. XXXV-я Дальневост. Матем. Школа-семинар им. ак. Е. В. Золотова. – Владивосток,  2010. – С. 144–147.
  7. Прудников В. Я. Минимизация функционалов на замкнутом ограниченном множестве. // Тез. докл. Междун. конф. «Торическая топология и автоморфные функции». – Хабаровск:  Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011. – С. 171.
  8. 8. Прудников В. Я. Модуль выпуклости одного функционала в равномерно вы-пуклом банаховом пространстве. // Тез. докл. «Алгоритмический анализ неус-тойчивых задач». – Екатеринбург, 2011. – С. 64–65.
  9. Прудников В. Я. Минимизация функционалов на замкнутом множестве. // Тез. докл. Междун. конф. «Обратные и некорректные задачи математической физики». – Новосибирск, 2012. – С. 425.

Карачанская Елена Викторовна

Направление исследований:

Исследование стохастических динамических систем и построение их программных управлений с вероятностью 1.

Результаты:

  1. Получено аналитическое решение для стохастического дифференциального уравнения специального вида.
  2. Разработана модель динамики полимерной цепи конечной длины с бесконечным числом звеньев под действием случайных возмущений.
  3. Разработан алгебраический алгоритм построения программного управления с вероятностью 1 стохастической динамической системы на динамическом многообразии.
  4. Разработан алгоритм построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе известного множества его первых интегралов.
  5. Разработан алгоритм построения программных управлений детерминированной системой на основе заданного интегрального многообразия движения системы.

Последние публикации:

  1. Карачанская (Чалых) Е.В. Построение программного управления стохастической системы на динамическом многообра-зии. // Препринт. Владивосток: Ин-т прикл. мат. ДВО РАН, 2008.
  2. Chalykh E. The Construct of the Program Control with Probability is Equaled to 1 for the Some Class of Stochastic Systems // Journal of Ubiquitous Convergence Technology (JUCT). – Vol. 2, No 2, November 2008. – pp. 105-108.
  3. Чалых Е.В. Построение программного управления с вероятностью 1 для сто-хастических динамических систем // Дифференциальные уравнения. Функцио-нальные пространства. Теория приближений. // Тез. докл. Междун. конф., по-священ. 100-летию со дня рожд. С.Л.Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008г.). /Ин-т математики СО РАН. – Новосибирск: 2008. – С. 227.
  4. Чалых Е.В.  Алгебраическое построение программных управлений детерми-нированной системы // Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук». – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – C.157.
  5. Чалых Е.В.  Построение всего множества дифференциальных уравнений по известному множеству  его первых интегралов // Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук». – Хаба-ровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – C.57-59.
  6. Чалых Е.В. Построение множества программных управлений  с вероятно-стью 1 для одного класса стохастических систем // Автоматика и телемеханика, 2009, №8. – С. 110–122.  (Пер. на англ.: Chalykh E. Constructing the set of prog-ram controls with probability 1 for one class of stochastic systems // Automation and Remote Control, Volume 70, Number 8. – Pp. 1364-1375).
  7. Карачанская Е. В. Построение множества дифференциальных уравнений, обладающих заданным набором первых интегралов: препринт № 152. –   Хаба-ровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 19 с.
  8. Карачанская Е. В.  Программные управления движением детерминированной системы по заданному целевому множеству: препринт № 153. –  Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 15 с.
  9. Дубко В. А., Карачанская Е. В. SНCS-ряды и их применение для обобщения, классификации и моделирования случайных гармонических процессов: пре-принт № 154. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 31 с.
  10. Karachanskaya (Chalykh) E. Dynamics of random chains of finite size with an infinite number of elements in R2. // Theory of Stochastic processes. 2010 vol.16 (32), no. 2.  – Pp. 58-68.
  11. Дубко В. А., Карачанская Е. В. Нахождение автоморфных преобразований для заданной функции. // Торическая топология и автоморфные функции: тез. докл. Междун. конф., Хабаровск, 5-10 сентября 2011 г. / под научной ред. Бух-штабера В.М., Быковского В.А. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011. – С.143-144.
  12. Дубко В. А., Карачанская Е. В. Классификация и моделирование  случайных гармонических процессов на основе SHCS-рядов // Математические заметки ЯГУ, 2011, т.18, вып.1. – C. 36–54.
  13. Карачанская Е. В. Об одном из обобщений формулы Ито-Вентцеля. // Обо-зрение прикладной и промышленной математики. – 2011, т.18, вып.2. – С.494-496.
  14. Карачанская Е. В. Построение программных управлений динамической системы на основе множества ее первых интегралов // Труды Междун. конф. по математической теории управления и механике (Суздаль, 3–7 июля 2009). – М.: СМФН, 42, РУДН, 2011. – С. 125–133.
  15. Карачанская Е. В. Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями  //  Вестник Тихо-океанского государственного университета. – № 2(21), 2011. – С.51–60.
  16. Карачанская Е. В. Построение множества дифференциальных уравнений с заданным набором первых интегралов // Вестник Тихоокеанского государствен-ного университета. – № 3(22), 2011. – С.47–56.
  17. Карачанская Е. В. Моментные характеристики и динамика положения диффундирующей на сфере точки под действием пуассоновских скачков // Вестник Тихоокеанского государственного университета. – № 1(24), 2012. – С.69–72.
  18. Дубко В. А., Карачанская Е. В., Карачанский А. В. Стохастические ориен-тированные цепи. Модели и применение // Математические заметки ЯГУ, 2012, т.19, вып.1. – C. 169-183.
  19. Дубко В. А., Карачанская Е. В. О двух подходах к построению обобщенной формулы Ито-Вентцеля: препринт № 174. / Вычислительный центр ДВО РАН. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. – 27 с.
  20. Карачанская Е. В.  Программное управление стохастическими системами с вероятностью единица как применение метода инвариантов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высоко-технологичных систем [Текст]// Тез. докл. Всеросс. конф. с междун. участием. Москва, РУДН, 23-27 апреля 2012 года. – М.: РУДН, 2012. – C. 285-287.

Дифференциальные уравнения | Расширенный список литературы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агафонов, С., А. Обыкновенные дифференциальные уравнения / С. А. Агафонов, Т.В. Муратова. – М.: Academia, 2018. – 352 c.
2. Агафонов, С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов вузов / С.А. Агафонов, Т.В. Муратова. – М.: ИЦ Академия, 2008. – 240 c.
3. Агафонов, С.А. Дифференциальные уравнения. Вып. VIII / С.А. Агафонов. – М.: МГТУ , 2011. – 347 c.
4. Аксенов, А.П. Дифференциальные уравнения в 2 т: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.П. Аксенов. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 600 c.
5. Алексеев, Д.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Вводный курс с иллюстрациями в Microsoft Excel / Д. В. Алексеев, Г.А. Казунина. – М.: Ленанд, 2019. – 160 c.
6. Амелькин, В.В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения / В.В. Амелькин. – М.: УРСС, 2010. – 144 c.
7. Амелькин, В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В. Амелькин. – М.: КД Либроком, 2012. – 208 c.
8. Амелькин, В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В. Амелькин. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 208 c.
9. Аносов, Д.В. Дифференциальные уравнения то решаем, то рисуем / Д.В. Аносов. – М.: МЦНМО, 2010. – 200 c.
10. Аносов, Д.В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем / Д.В. Аносов. – М.: МЦНМО, 2016. – 200 c.
11. Аполлонский, С.М. Дифференциальные уравнения математической физики в электронике. / С.М. Аполлонский. – СПб.: Питер, 2012. – 352 c.
12. Аполлонский, С.М. Дифференциальные уравнения математической физики в электротехнике / С.М. Аполлонский. – СПб.: Питер, 2019. – 320 c.
13. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд. – М.: МЦНМО, 2012. – 344 c.
14. Белопольская, Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам математической физики и финансовой математики: Учебное пособие / Я.И. Белопольская. – СПб.: Лань, 2019. – 308 c.
15. Босс, В. Лекции по математике: Дифференциальные уравнения / В. Босс. – М.: Ленанд, 2019. – 208 c.
16. Босс, В. Лекции по математике: Дифференциальные уравнения / В. Босс. – М.: Ленанд, 2017. – 208 c.
17. Босс, В. Лекции по математике. Т. 2: Дифференциальные уравнения: Учебное пособие / В. Босс. – М.: КД Либроком, 2016. – 208 c.
18. Босс, В. Лекции по математике т.2: Дифференциальные уравнения / В. Босс. – М.: КД Либроком, 2012. – 208 c.
19. Боярчук, А.К. АнтиДемидович. Т.5. Ч.2: Дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных первого поряд / А.К. Боярчук, Г.П. Головач. – М.: ЛКИ, 2014. – 256 c.
20. Боярчук, А.К. АнтиДемидович. Т.5. Ч.1: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения первого порядка. Справочное пособие по высшей мат / А.К. Боярчук, Г.П. Головач. – М.: Ленанд, 2015. – 240 c.
21. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике.Т. 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Часть 1: Дифференциальные уравнения первого порядка / А.К. Боярчук, Г.П. Головач. – М.: КД Либроком, 2012. – 240 c.
22. Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.3 в 2 книгах. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 507 c.
23. Васильев, В. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация / В. Васильев. – М.: КомКнига, 2010. – 136 c.
24. Васильев, В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи / В.Б. Васильев. – М.: КомКнига, 2010. – 136 c.
25. Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в прим. и зад. / А.Б. Васильева и др. – М.: Физматлит, 2005. – 432 c.
26. Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.Б. Васильева и др. – М.: Физматлит, 2005. – 432 c.
27. Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие / А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов и др. – СПб.: Лань, 2010. – 432 c.
28. Виленкин, И.В. Высшая математика: Интегралы по мере. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер, О.В. Гробер. – Рн/Д: Феникс, 2011. – 302 c.
29. Гайшун, И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения / И.В. Гайшун. – М.: УРСС, 2004. – 272 c.
30. Геворкян, П.С. Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения / П.С. Геворкян. – М.: Физматлит, 2007. – 272 c.
31. Геворкян, П.С. Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения. Ч.2 / П.С. Геворкян. – М.: Физматлит, 2007. – 272 c.
32. Гордин, В.А. Дифференциальные и разностные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать / В.А. Гордин. – М.: ИД ВШЭ, 2016. – 531 c.
33. Горлач, Б.А. Ряды. Интегрирование. Дифференциальные уравнения: Учебник / Б.А. Горлач. – СПб.: Лань, 2017. – 252 c.
34. Григорьев, М.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / М.П. Григорьев. – М.: Вузовская книга, 2008. – 248 c.
35. Григорьев, М.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / М.П. Григорьев, Ю.Т Половинкин, Н.А. Романова и др. – М.: Вузовская книга, 2008. – 248 c.
36. Гусак, А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2011. – 416 c.
37. Гусак, А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Примеры и задачи: Учебное пособие / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2011. – 416 c.
38. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – СПб.: Лань, 2008. – 400 c.
39. Демидович, Б.П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие / Б.П. Демидович, В.П. Моденов. – СПб.: Лань, 2006. – 288 c.
40. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – СПб.: Лань, 2010. – 400 c.
41. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – СПб.: Лань, 2008. – 400 c.
42. Демидович, Б.П. Дифференциальные уравнения / Б.П. Демидович, В.П. Моденов. – СПб.: Лань, 2006. – 288 c.
43. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Б. П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – СПб.: Лань, 2010. – 400 c.
44. Димитриенко, Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Вып. XII / Ю.И. Димитриенко. – М.: МГТУ , 2011. – 367 c.
45. Егоров, А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями / А.И. Егоров. – М.: Физматлит, 2007. – 448 c.
46. Емельянов, В.В. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие / В.В. Емельянов. – СПб.: Лань, 2010. – 432 c.
47. Жабко, А.П. Дифференциальные уравнения и устойчивость: Учебник. / А.П. Жабко, Е.Д. Котина и др. – СПб.: Лань, 2015. – 320 c.
48. Жабко, А.П. Дифференциальные уравнения и устойчивость: Учебник / А.П. Жабко, Е.Д. Котина, О.Н. Чижова. – СПб.: Лань, 2015. – 320 c.
49. Зарипов, Р.С. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Р.С. Зарипов, Е.Р. Валяева. – СПб.: Лань П, 2016. – 400 c.
50. Зарипов, Р.С. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие / Р.С. Зарипов, Е.Р. Валяева. – СПб.: Лань, 2006. – 288 c.
51. Зармаев, А.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие / А.А. Зармаев. – СПб.: Лань КПТ, 2016. – 288 c.
52. Звёздочкин, В.А. Дифференциальные уравнения и устойчивость: Учебник / В.А. Звёздочкин. – СПб.: Лань, 2015. – 320 c.
53. Каргаполов, М.И. Курс математики для технических высших учебных заведений. Часть 3. Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория оптимизации: Учебное пособие / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. – СПб.: Лань, 2013. – 528 c.
54. Ким-Тян, Л.Р. Ряды и дифференциальные уравнения: числовые и функциональные ряды: Учебное пособие / Л.Р. Ким-. – М.: МИСиС, 2012. – 82 c.
55. Кирюшин, В.И. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Лекции и практикум: Учебное пособие КПТ / В.И. Кирюшин, С.В. Кирюшин. – СПб.: Лань КПТ, 2016. – 608 c.
56. Козлов, Н. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Кратные интегралы, теория поля, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие / Н. Козлов. – СПб.: Лань, 2009. – 448 c.
57. Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: КД Либроком, 2013. – 256 c.
58. Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Ленанд, 2016. – 256 c.
59. Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Ленанд, 2019. – 256 c.
60. Лелявин, С.Н. Дифференциальные и разностные уравнения / С.Н. Лелявин. – М.: Русайнс, 2018. – 176 c.
61. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс: С контрольными работами: Ряды и интегралы. Векторный и комплексный анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Операционное исчисление / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный; Под ред. С.Н.. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 592 c.
62. Марон, И.А. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова; Под ред. Б.П. Демидович. – СПб.: Лань, 2010. – 400 c.
63. Матросов, В.Л. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными: Учебник для студентов вузов / В.Л. Матросов, Р.М. оглы Асланов, М.В. Топунов. – М.: ВЛАДОС, 2011. – 376 c.
64. Миносцев, В.Б. Курс математики для технических ВУЗов. Ч. 3. Дифференциальные уравнения. Уравнения математикеской физики. Теория оптимизации / В.Б. Миносцев. – СПб.: Лань, 2013. – 528 c.
65. Муратова, Т.В. Дифференциальные уравнения: Учебник и практикум для академического бакалавриата / Т. В. Муратова. – Люберцы: Юрайт, 2015. – 435 c.
66. Муратова, Т.В. Дифференциальные уравнения: Учебник и практикум для академического бакалавриата / Т.В. Муратова. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 435 c.
67. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. – М.: Ленанд, 2014. – 360 c.
68. Опойцев, В.И. Школа Опойцева: Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Опойцев. – М.: Ленанд, 2018. – 256 c.
69. Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложениях к анализу динамических систем: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. – М.: МАИ, 2010. – 188 c.
70. Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Высшая школа, 2001. – 376 c.
71. Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практический курс: Учебное пособие с мультимедиа сопровождением / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, К.А. Рыбаков. – М.: Логос, 2010. – 384 c.
72. Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Практический курс / А.В. Пантелеев, Якимова А.С., Рыбаков. К.А.. – М.: Логос, 2010. – 384 c.
73. Петрушко, И.М. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. / И.М. Петрушко. – СПб.: Лань, 2006. – 608 c.
74. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др. – М.: Физматлит, 2005. – 272 c.
75. Понтрягин, Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения / Л.С. Понтрягин. – М.: Едиториал УРСС, 2018. – 208 c.
76. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: Ленанд, 2019. – 336 c.
77. Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. / К.Б. Сабитов. – М.: Высшая школа, 2005. – 671 c.
78. Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения: Практический курс / А.М. Самойленко. – М.: Высшая школа, 2006. – 383 c.
79. Сергеев, И.Н. Дифференциальные уравнения: Учебник / И.Н. Сергеев. – М.: Академия, 2019. – 240 c.
80. Сергеев, И.Н. Дифференциальные уравнения: Учебник для студентов / И.Н. Сергеев. – М.: ИЦ Академия, 2013. – 288 c.
81. Серовайский, С.Я. История математики: Эволюция математических идей: Алгебра. Анализ. Дифференциальные уравнения. Теория экстремума / С.Я. Серовайский. – М.: Ленанд, 2019. – 368 c.
82. Сикорский, Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: С приложением их к некоторым техническим задачам / Ю.С. Сикорский. – М.: КомКнига, 2019. – 156 c.
83. Сикорский, Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. С приложением их к некоторым техническим задачам / Ю.С. Сикорский. – М.: КомКнига, 2010. – 160 c.
84. Соловьев, И.А. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Кратные интегралы, теория поля, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие / И.А. Соловьев, В.В. Шевелев, А.В. Червяков и др. – СПб.: Лань, 2009. – 448 c.
85. Соловьев, И.А. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Кратные интегралы, теория поля, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. / И.А. Соловьев, В.В. Шевелев, А.В. Червяков и др. – СПб.: Лань, 2009. – 448 c.
86. Сычев, В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики / В.В. Сычев. – М.: ИД МЭИ, 2010. – 252 c.
87. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения. (Курс высшей математики и математической физики) / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: Физматлит, 2005. – 256 c.
88. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: Физматлит, 2005. – 256 c.
89. Тихонов, А.О. Дифференциальные уравнения (курс высшей математики и матфизики) / А.О. Тихонов, Т.Г. Струк, В.А. Перепелица. – М.: Физматлит, 2004. – 256 c.
90. Треногин, В. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.А. Треногин. – М.: Физматлит, 2009. – 312 c.
91. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения. Пер. с англ. / Ф. Трикоми. – М.: Едиториал УРСС, 2010. – 352 c.
92. Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М.В. Федорюк. – М.: КД Либроком, 2017. – 448 c.
93. Филипс, Г. Дифференциальные уравнения. Пер. с англ. / Г. Филипс. – М.: Издательство ЛКИ, 2017. – 112 c.
94. Хеннер, В.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, основы специальных функций и интегральных уравнений: Учебное пособие / В.К. Хеннер, Т.С. Белозерова, М.В. Хеннер. – СПб.: Лань, 2017. – 320 c.
95. Шалдырван, В.А. Руководство по решению обыкновенных дифференциальных уравнений: Дифференциальные уравнения первого порядка. Нелинейные дифференциальные уравнения / В.А. Шалдырван, К.В. Медведев. – М.: КД Либроком, 2012. – 248 c.
96. Шалдырван, В.А. Руководство по решению обыкновенных дифференциальных уравнений: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Граничные задачи для ОДУ. Понятие / В.А. Шалдырван, К.В. Медведев. – М.: КД Либроком, 2012. – 248 c.
97. Шалдырван, В.А. Дифференциальные уравнения / В.А. Шалдырван, К.В. Медведнев. – М.: Вузовская книга, 2008. – 356 c.
98. Шалдырван, В.А. Дифференциальные уравнения / В.А. Шалдырван, К.В. Медведев. – М.: Вузовская книга, 2008. – 356 c.
99. Шилин, А.П. Дифференциальные уравнения: Подробный разбор решений типовых примеров. 1800 примеров, собранных в многовариантные задания по важнейшим темам курса. Коллекция важнейших типов решений алгоритмического характера / А.П. Шилин. – М.: Ленанд, 2017. – 312 c.
100. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения: Учебник / Л.Э. Эльсгольц. – М.: ЛКИ, 2014. – 312 c.
101. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Издательство ЛКИ, 2019. – 312 c.
102. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения / Л.Э. Эльсгольц. – М.: ЛКИ, 2013. – 320 c.

Высшая математика.

Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения

Настоящая книга вместе с другой книгой автора, >, охватывает весь комплекс вопросов, которые изучаются в рамках курса > в высших учебных заведениях, за исключением вопросов линейной алгебры и аналитической геометрии. Она содержит следующие разделы высшей математики: >, >, > и >. Для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов, а также для изучающих в том или ином объеме высшую математику. Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области экономики и управления, техники и технологии. begincentersooРецензенты:par д.ф.-м.н., проф. Петрушко И.М., д.ф.-м.н., проф. Смирнов Ю.М.endcenter

Автор
Издательство ООО “Физматлит”
Дата издания 2007
Кол-во страниц 272
Номер тома 2
ISBN 978-5-9221-0710-5
Тематика Математика. Прикладная математика
№ в каталоге 710

Категории: Учебная литература

Тесты к экзамену по учебной дисциплине “Высшая математика” (дифференциальные уравнения)

№

Вопросы

Варианты ответов

1.    

Какое из уравнений называется дифференциальным уравнением n-ого порядка.

1.

2.

3.

4.

5.

2.   

Определите порядок дифференциального уравнения .

1.

2.

3.

4.

5.

3.   

Что называется порядком дифференциального уравнения

1. n-ый порядок производной

2. наибольшая производная функции

3. порядок производной от неизвестной функции, входящей в уравнение

4. наибольший порядок производной от неизвестной функции, входящей в уравнение

5. степень производной функции, входящей в уравнение

4.    

Какая функция является решением дифференциального уравнения?

1. всякая функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество

2. любая функция

3.

4. непрерывная функция

5. интегрируемая функция

5.   

Указать общее решение дифференциального уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

6.   

Указать общий интеграл дифференциального уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

7.   

Указать постановку задачи Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка

1.

2.

3.

4.

5.

8.   

Какая из заданных функций является общим решением уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

9.   

Какая из функций является решением задачи Коши

1.

2.

3.

4.

5.

10.   

Определите задачу Коши для дифференциального уравнения I-ого порядка

1.

2.

3.

4.

5.

11.   

Определите задачу коши для дифференциального уравнения II-ого порядка

1.

2.

3.

4.

5.

12.   

Всегда ли дифференциальное уравнение I-ого порядка имеет вид?

1. всегда

2. иногда

3. когда уравнение разрешимо относительно у

4. чаще всего

5. никогда

13.   

Геометрический смысл дифференциального уравнения

1. это тангенс угла наклона касательной к кривой

2. семейство интегральных кривых, в каждой точке которых заданна касательная к ней

3. это кривая, в каждой точке которой известна касательная к ней

4. система интегральных кривых с касательной

5. совокупность всех кривых с заданным углом наклона

14.    

Определить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

1.

2.

3.

4.

5.

15.   

Укажите точную формулировку теоремы задачи о существовании и единственности (задачи Коши)

1. через все точки  проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

2. если в уравнении  определена в некоторой D, то через все точки проходит одна и только одна интегральная кривая этого уравнения

3. пусть функция в уравнении  и её частная производная  непрерывны в области D, содержащей точку , тогда существует единственное решение , удовлетворяющее н.у.

4. решение задачи Коши заполняет всю область D

5. пусть функция в уравнении и её частная производная  непрерывны в области D, тогда существует единственно верное решение

16.    

Какое из уравнений является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

1.

2.

3.

4.

5.

17.   

Какая из функция является однородной?

1.

2.

3.

4.

5.

18.   

Каков порядок однородной функции ?

1.

2.

3. не является однородной

4.

5.

19.   

Какое из уравнений I-ого порядка является однородным?

1.

2.

3.

4.

5.

20.   

Какое из уравнений I-ого порядка интегрируется с помощью замены ?

1. линейное

2. уравнение Бернулли

3. однородное

4. с разделяющимися переменными

5. ни одного из известных дифференциальных уравнений I-ого порядка

21.   

Указать общий вид линейного дифференциального уравнения I порядка

1.

2.

3.

4.

5.

22.   

Какое из уравнений является линейным I-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

23.    

Решением какого уравнения является следующая формула:

?

1. однородное

2. уравнение Бернулли

3. с разделяющимися переменными

4. линейного I-ого порядка

5. линейного II-ого порядка

24.   

Каким методом ищется решение линейного дифференциального уравнения I-ого порядка?

1. подстановкой

2. методом Бернулли

3. заменой

4. заменой

5. заменой

25.   

Какое уравнение интегрируется с помощью подстановки ?

1.

2.

3.

4.

5.

26.    

Какое из уравнений называется уравнением Бернулли?

1.

2.

3.

4.

5.

27.   

Какое из уравнений интегрируется с помощью подстановки ?

1.

2.

3.

4.

5.

28.   

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

2. линейное I-ого порядка

3. уравнение Бернулли

4. однородное

5. линейное II-ого порядка

29.   

Какое из уравнений является уравнением Бернулли?

1.

2.

3.

4.

5.

30.   

Укажите правильную формулировку теоремы существования и единственности задачи Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка

1. если в уравнении функции f непрерывна в некоторой области, которая содержит точку , то существует и притом единственное решение уравнение, удовлетворяющее начальному условию

2. если в уравнении функции f определена в  области, которая содержит точку , то существует и притом единственное решение уравнение, удовлетворяющее начальному условию

3. если в уравнении частные производные f по всем аргументам непрерывны в области которая содержит точку , то существует и притом единственное решение уравнения

4. если в уравнении функции f и её частные производные по аргументам , непрерывны в некоторой  области, которая содержит точку , то существует и притом единственное решение  уравнения удовлетворяющего начальному условию

5. если в уравнении функция f непрерывна то существует и притом единственное решение этого уравнения

31.   

Укажите функцию, которая является общим решением уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

32.   

Какое из уравнений интегрируется с помощью подстановки ?

1.

2.

3.

4.

5.

33.   

Какое из уравнений интегрируется с помощью подстановки ?

1.

2.

3.

4.

5.

34.   

Какое из уравнений является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением n-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

35.   

Какое из уравнений является однородным линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка ?

1.

2.

3.

4.

5.

36.   

Какое из уравнений является однородным линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

37.   

Если y1 и y2 – частные линейно независимые решения уравнения , то какая комбинация из указанных функций также будет решением?

1.

2.

3.

4.

5.

38.   

Если y1 и y2 – частные линейно независимые решения уравнения , то какое  из следующих выражений является общим решением этого уравнения?

1. , где

2. , где

3. , где

4.

5. , где

39.   

Указать определитель Вронского дифференциальных функций y1 и y2

1.

2.

3.

4.

5.

40.   

Определить линейно-независимые функции

1. и

2.  и

3.  и

4.

5.  и

41.   

Если вронскиан , то функции y1 и y2?

1. линейно независимы

2.

3.  – общее решение уравнения

4.  и  сравнить нельзя

5. линейно зависимы

42.   

Указать формулу Лиувилля

1.

2.

3.

4.

5.

43.   

Если известно одно частное решение y1 уравнения  

1.

2.

3.

4.

5.

44.   

Пусть – частное решение уравнения . Найти другое частное решение (используя формулу Лиувилля)

1.

2.

3.

4.

5.

45.   

Определить характеристическое уравнение для дифференциального уравнения n-ого порядка

1.

2.

3.

4.

5.

46.   

Какое частное решение соответствует действительному корню с кратностью единицы характеристического уравнения для однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

47.   

Какое частное решение соответствует действительному корню с кратностью r характеристического уравнения для однородного линейного дифференциального уравнения II-ого порядка?

1.   r линейно независимых частных решений     

2.   

 2. линейно независимые решения

 3. частных решений

 4.

 5.

48.

Какое частное решение соответствует паре комплексно сопряжённых корней и характеристического уравнения для однородного линейного уравнения дифференциального уравнения n-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

49.

Какое решение соответствует каждой паре комплексно сопряжённых корней и кратности m характеристического уравнения для однородного линейного уравнения дифференциального уравнения n-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

50.

Указать характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения II-ого порядка

1. , где – линейно независимые решения дифференциального уравнения n-ого порядка

2. , где  – линейно независимые решения уравнения

3. , где – линейно независимые решения уравнения

4. , где , – линейно независимые решения уравнения

5. , где  – линейно независимые решения уравнения

51.

Указать характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения II-ого порядка  

1.

2.

3.

4.

5. , где y – решение уравнения

52.

Укажите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения II-ого порядка в случае действительных и различных  корней характеристического уравнения 

1. , где

2.

3.

4.

5. – где y – решение уравнения

53.

Определить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения II-ого порядка в случае действительных и равных  корней характеристического уравнения

1. , где

2. , где

3. , где

4. , где

5. , где

54.

Определить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения II-ого порядка в случае комплексно сопряжённых корней характеристического уравнения

1. , где

2. , где

3.

4.

5. , где

55.

Указать формулировку для общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка, если yr – частное решение уравнения , а y0 – общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка 

1. , где

2.

3. , где

4. , где

5.

56.

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид, то в каком случае частное решение находится только методом Лагранжа?

1.

2.

3.

4.

5.

57.

При каком виде правой части неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами частное решение можно строить методом подбора?

1.

2.

3.

4.

5.

58.

Определить общее решение уравнения

1. , где

2. , где

3. , где

4. , где

5. , где

59.

Какое из уравнений является линейным неоднородным дифференциальным уравнением II-ого порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

60.

Определить функцию, являющуюся частным решением уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

61.

Какое уравнение интегрируется только методом вариации произвольных постоянных?

1.

2.

3.

4.

5.

62.

Какое из уравнений является линейным неоднородным дифференциальным уравнением II-ого порядка с постоянными коэффициентами?  

1.

2.

3.

4.

5.

63.

Указать общее решение уравнения , если известны два его частных решения

1.

2.

3.

4.

5.

64.

Какое из уравнений может интегрироваться методом подбора частного решения?

1.

2.

3.

4.

5.

65.

Какие две данные функции линейно зависимы?

1.

2.

3.

4.

5.

66.

Какое из уравнений является линейным однородным III-его порядка?

1.

2.

3.

4.

5.

67.

Дано общее решение однородного уравнения     укажите систему для нахождения общего решения неоднородного уравнения по методу Лагранжа

1.

2.

3.

4.

5.

68.

Какой вид должны иметь правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, чтобы его частное решение строилось методом подбора? 

1.

2.

3.

4.

5.

69.

В каком виде ищется частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью?

1.

2.

3.

4.

5.

70.

Чему равно r в формуле , если (корни характеристического уравнения) для неоднородного линейного дифференциального уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью?

1.

2.

3.

4.

5.

71.

Чему равно r в формуле  если  или – (k1¹k2 – корни характеристического уравнения ) для неоднородного линейного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью?

1.

2.

3.

4.

5.

72.

Чему равно r в формуле  если  или – (k1, k2 – корни характеристического уравнения ) для неоднородного линейного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью?

1.

2.

3.

4.

5.

Дифференциальные уравнения – Дифференциальные уравнения высшего порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 7: Дифференциальные уравнения высшего порядка

В этой главе мы рассмотрим дифференциальные уравнения более высокого порядка. На самом деле в этой главе содержится больше, чем в большинстве учебников, где обсуждаются дифференциальные уравнения высших порядков.

Мы обязательно рассмотрим тот же материал, что и большинство учебников. Однако во всех предыдущих главах все наши примеры представляли собой дифференциальные уравнения 2 и порядка или \(2 \times 2\) системы дифференциальных уравнений. Итак, в этой главе мы также собираемся привести пару примеров, касающихся дифференциальных уравнений порядка 3 rd или выше с преобразованиями Лапласа и рядами, а также обсудить некоторые более крупные системы дифференциальных уравнений.{\text{th}}\) Линейные уравнения порядка. В этом разделе мы начнем главу с краткого обзора некоторых основных идей, лежащих в основе решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Включены будут обновленные определения/факты для принципа суперпозиции, линейно независимых функций и вронскиана.

Линейные однородные дифференциальные уравнения. В этом разделе мы расширим идеи решения линейных однородных дифференциальных уравнений -го и -го порядка до более высокого порядка.Как мы увидим, большая часть процесса идентична нескольким естественным расширениям повторяющихся действительных корней, которые встречаются более двух раз. Нам также нужно будет обсудить, как поступать с повторяющимися сложными корнями, которые теперь возможны. Кроме того, мы увидим, что основная трудность в случаях высших порядков состоит в простом нахождении всех корней характеристического многочлена.

Неопределенные коэффициенты. В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример, чтобы проиллюстрировать, что использование неопределенных коэффициентов в дифференциальных уравнениях более высокого порядка ничем не отличается от того, когда мы использовали его в дифференциальных уравнениях 2 -го и -го порядков только с одним небольшим естественным расширением.

Изменение параметров. В этом разделе мы дадим подробное обсуждение процесса использования изменения параметров для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Мы также разработаем формулу, которую можно использовать в этих случаях. Мы также увидим, что работа, связанная с использованием вариации параметров в дифференциальных уравнениях более высокого порядка, может иногда быть весьма сложной.

Преобразования Лапласа

. В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример использования преобразований Лапласа для решения дифференциального уравнения на дифференциальном уравнении порядка 3 rd просто для того, чтобы сказать, что мы рассмотрели уравнение с порядком выше 2 nd .Как мы увидим, кроме формулы для преобразования Лапласа \(y”’\), которую мы можем получить из общей формулы, нет никакой реальной разницы в том, как преобразования Лапласа используются для дифференциальных уравнений более высокого порядка. .

Системы дифференциальных уравнений. В этом разделе мы кратко рассмотрим расширение идей, которые мы обсуждали для решения систем дифференциальных уравнений \(2 \times 2\), на системы размера \(3 \times 3\). Как мы увидим, в основном это просто естественные расширения того, что мы уже знаем, что делать.Мы также сделаем несколько быстрых замечаний о системах \(4 \times 4\).

Решения серии

. В этом разделе мы рассмотрим быстрый пример, показывающий, что процесс поиска решений серии для дифференциальных уравнений более высокого порядка почти такой же, как и для дифференциальных уравнений 2-го порядка -го и -го.

17. Дифференциальные уравнения

Многие физические явления можно моделировать с помощью язык исчисления.Например, данные наблюдений свидетельствуют о том, что что температура чашки чая (или другой жидкости) в помещение с постоянной температурой будет остывать со временем со скоростью пропорциональна разнице между температурой в помещении и температура чая.

В символах, если $t$ — время, $M$ — комнатная температура, а $f(t)$ — температура чая в момент времени $t$, тогда $f'(t) = k(M-f(t))$, где $k>0$ — константа, зависящая от сорта чая. (или, в более общем смысле, вид жидкости), но не при комнатной температуре или температура чая.Это Закон охлаждения Ньютона и уравнение, которое мы только что написал пример дифференциальное уравнение . В идеале мы хотели бы решить это уравнение, а именно найти функцию $f(t)$, описывающую температуры с течением времени, хотя это часто оказывается невозможно, и в этом случае должны быть использованы различные методы приближения. использовал. Использование и решение дифференциальных уравнений является важным область математики; здесь мы видим, как решить некоторые простые, но полезные типы дифференциальных уравнений.

Неформально дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором одно или появляется больше производных некоторой функции. Как правило, научная теория создаст дифференциальное уравнение (или систему дифференциальные уравнения), который описывает или управляет некоторыми физическими процесс, но теория не будет производить желаемую функцию или функции напрямую.

Напомним из раздела 6.2, что когда переменная производная по времени от функции $y(t)$ иногда записывается как $\dot y$ вместо $y’$; это довольно часто встречается при изучении дифференциальные уравнения.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

2. Однородные линейные уравнения первого порядка

3. Линейные уравнения первого порядка

4. Приблизительно

5. Однородные уравнения второго порядка

6. Линейные уравнения второго порядка

7. Линейные уравнения второго порядка, возьмите два

Обыкновенные дифференциальные уравнения — EqWorld

ЭкВорлд

Мир математических уравнений

 

Точные решения > Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения


Основные справочники:
  1. Э. Камке, Differentialgleichungen: Losungsmethoden und Losungen, I, Gewohnliche Differentialgleichungen , BG Teubner, Лейпциг, 1977.
  2. Г. М. Мерфи, Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения , Д. Ван Ностранд, Нью-Йорк, 1960 г.
  3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003 г. (2-е издание).

См. также:

  1. Д. Цвиллингер, Справочник по дифференциальным уравнениям , Academic Press, Бостон, 1997 (3-е издание).
  2. Полянин А.Д., Манжиров А.В., Справочник по математике для инженеров и ученых (главы 12, T5 и T6), Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон – Лондон, 2006.
    3. .

Примечание . Вышесказанное Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений содержит гораздо больше уравнений и решений, чем представлено в этом разделе EqWorld.

 

На веб-сайте EqWorld представлена ​​обширная информация о решениях для различные классы обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, функциональные уравнения, и другие математические уравнения.

Copyright © 2004-2017 Андрей Д. Полянин

Обыкновенные дифференциальные уравнения – учебная программа Беннингтонского колледжа, осень 2021 г.

Избранное

Дифференциальные уравнения — самый мощный и наиболее распространенный математический инструмент в науке. Всякий раз, когда закон выражается в форме «что происходит в следующий момент», мы имеем дифференциальное уравнение; и определение долгосрочного поведения является областью дифференциальных уравнений. Планеты, звезды, жидкости, электрические цепи, популяции хищников и жертв, эпидемии: почти любая система, компоненты которой непрерывно взаимодействуют во времени, моделируется дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения также являются основой чистой математики. Основное внимание в этом курсе уделяется классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, представленной в классическом тексте Тененбаума и Полларда. Однако больше внимания, чем обычно, будет уделяться фактическому распознаванию того, когда ситуация может быть смоделирована дифференциальным уравнением, и установлению дифференциалов в дополнение к поиску решений.Мы также рассмотрим некоторый асимптотический анализ, как в тексте Бендера и Орзага. Глубина охвата может быть скорректирована в зависимости от уровня подготовки каждого учащегося. Мы рассмотрим точные решения линейных дифференциальных уравнений с одной переменной и асимптотические решения нелинейных уравнений. Более продвинутый качественный анализ нелинейных уравнений будет рассмотрен в MAT 4108 Дифференциальные уравнения и нелинейные системы , для которых этот класс будет хорошей подготовкой.

Обратите внимание, что в нашей нестандартной последовательности исчисления мы не рассматриваем некоторые стандартные вычислительные методы исчисления во вводном курсе MAT 4288 Исчисление: классический подход . Вместо этого эти методы рассматриваются в этом классе. Таким образом, этот курс является хорошим выбором для учащихся, которые прошли курс «Исчисление: классический подход» и хотят продолжить изучение исчисления.


Результаты обучения:
– Разрабатывать и практиковать вычислительные методы исчисления, включая производные правила, замену, интегрирование по частям и частичные дроби
– распознавать, когда ситуацию можно смоделировать дифференциальным уравнением; найти модели дифференциальных уравнений и оценить их правдоподобие
– Выполнить все стандартные точные решения обыкновенных дифференциальных уравнений (на уровне Тененбаума и Полларда) и провести элементарный асимптотический анализ, когда точные решения недоступны (на уровне вводных частей Бендера и Орзага)
– Быть знакомым с некоторыми стандартными специальными функциями математики (гамма-функция, функции Бесселя, функции Эрмита и т. д.).)
– Научитесь проверять правильность предлагаемых решений
– Научитесь строить предположения и задавать хорошие вопросы
– Продолжать развивать концептуальное мышление более высокого порядка в математике («математическая зрелость»)

Способ сдачи: Удаленный доступ
Предварительные требования: MAT 4288 Математический анализ: классический подход или любой другой математический анализ на уровне колледжа (с разрешения преподавателя). Свяжитесь с Эндрю Макинтайром по электронной почте или в Slack до открытия регистрации 4000, чтобы попросить добавить вас.
Уровень курса: 4000-уровень
Кредиты: 4
П/Чт 15:40 – 17:30 (Полный срок)
Максимальное количество учащихся: 20
Частота проведения курсов: каждые 2–3 года

Категории: Все курсы, Математика, Удаленный доступ
Теги:

Дифференциальные уравнения. Определение, типы и решения

Дифференциальные уравнения открывают широкий спектр приложений в математике, физике, технике и даже финансах. Есть много физических явлений, которые определяются с помощью исчисления и дифференциальных уравнений. С помощью дифференциальных уравнений мы можем решать уравнения, содержащие производные и начальные условия.

Дифференциальные уравнения объединяют наши знания о производных, интегралах и алгебре для решения уравнений, содержащих функции и их производные.

Видя, как важны дифференциальные уравнения в высшей математике, мы должны понимать составляющие дифференциальных уравнений, знать различные типы дифференциальных уравнений и учиться упрощать и решать эти типы уравнений.Эта статья является вводной — наша цель — дать вам первое представление о дифференциальных уравнениях.

Что такое дифференциальное уравнение?

Проще говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее один или несколько членов, являющихся обыкновенными или частными производными функции (или функций), над которыми мы работаем. Теперь с помощью дифференциальных уравнений мы можем найти связь между функциями и их производными. {\color{DarkOrange}\text{Знак равенства}}\phantom{x} 12 \end{aligned}

В следующих уроках вы столкнетесь с более сложными дифференциальными уравнениями, но идея остается той же: оно считается дифференциальным уравнением до тех пор, пока оно содержит производные и частные производные.3 + 1)$ — одно из многих решений дифференциального уравнения. Это означает, что любая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, считается решением дифференциального уравнения.

Порядок и степень дифференциальных уравнений

Мы можем определить дифференциальное уравнение по его порядку – наивысшему порядку производной, которая появляется в данном уравнении. Мы также можем расширить наше понимание степеней до дифференциальных уравнений. Степень представляет степень старшей производной, присутствующей в дифференциальном уравнении.

Лучший способ понять порядок и степень дифференциальных уравнений в примерах, поэтому мы подготовили некоторые для вас:

дифференциальное уравнение

4 Заказать

\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} = 4x + 5\end{align}

Порядок уравнения равен $1$.

Степень уравнения $1$.{(5)} = 8y + 2\sin x\end{align}

Порядок уравнения $5$.

Степень уравнения $1$.

Двумя наиболее распространенными типами дифференциальных уравнений являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Из одних только их имен мы сразу знаем, что эти двое отличаются друг от друга соответствующими орденами. У нас есть много способов классификации дифференциальных уравнений, поэтому мы выделили для вас специальный раздел!

Типы дифференциальных уравнений

Знание того, как классифицировать дифференциальные уравнения, пригодится при выборе наилучшей стратегии упрощения и решения дифференциальных уравнений.Мы уже обсуждали один способ классификации дифференциальных уравнений: по их порядку.

Классификация дифференциальных уравнений по их порядку

Мы можем классифицировать дифференциальные уравнения на основе их высшего порядка. {(n) }) &= 0\end{aligned}

Как вы уже, наверное, догадались, уравнения в частных производных содержат частные производные одной или нескольких функций.2}\end{aligned}

Классификация дифференциальных уравнений как однородных и неоднородных

Дифференциальное уравнение называется однородным, если все его члены имеют одинаковую степень. Вы, наверное, уже догадались: если члены дифференциального уравнения не имеют одной и той же степени, то ОДУ или УЧП неоднородны.

Уравнение однородного дифференциала

7 Эти являются общими формами однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Теперь, когда мы рассмотрели все наши основы дифференциальных уравнений, давайте дадим вам краткий обзор процесса поиска решения дифференциальных уравнений.

Как решать дифференциальные уравнения?

Мы можем найти решения дифференциальных уравнений, выделив дифференциальный коэффициент в одной части уравнения, а затем применив соответствующие методы интегрирования. Есть два метода, которые мы можем применить при решении дифференциальных уравнений: 1) путем разделения переменных или 2) с использованием интегрирующих факторов.Вот быстрое руководство, чтобы запомнить для каждого метода:

Неомогенное дифференциальное уравнение

\ Начало {Выровняйте} p (x, y) \ phantom {x} dx + q (x, y ) \phantom{x}dy\end{align}

 

\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} +Py = Q\end{align}

 

4 Разделение переменных

4 Интеграция факторов

\ Begin {Cromated} P (x, y) \ phantom { x}dx = Q(x,y) \phantom{x}dy\end{align}

 

\begin{align} \dfrac{dy}{dx} +Py = Q\end{align}

 

Первый метод, разделение переменных, наиболее полезен, когда мы можем переписать обе части уравнения так, чтобы каждая часть содержала одну переменную и дифференциал по отношению к назначенной переменной. Общая форма уравнения подтверждает, что, разделив или сгруппировав выражения на основе их переменных, мы можем интегрировать обе части уравнения по разным переменным на каждой стороне.

\begin{aligned} \int P(x,y)\phantom{x}dx = \int Q(x,y ) \phantom{x}dy\end{aligned}

Между тем, мы можем использовать второй метод (интегрирующие коэффициенты), когда частные производные выражений не равны. Для случая $\dfrac{dy}{dx} +Py = Q$, $\dfrac{\partial Q}{\partial x} \neq \dfrac{\partial P}{\partial y}$ – и когда такое случается, дифференциал не точен.3}{6} – 4x + C$, называется общим решением, поскольку оно учитывает все функции, удовлетворяющие уравнению.

На приведенном выше графике показаны три уравнения, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению. В следующем примере мы увидим, что происходит, когда нам дают начальное значение для дифференциального уравнения.

Пример 2

Решите дифференциальное уравнение $0,245\dfrac{dv}{dt} = 9,8v$ при условии, что у нас есть начальное значение функции: $v(0) = 36$.

Оставить комментарий