Высшая математика все о матрицах: Матрицы в математике: определения и применение - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад

Определение 14.1 Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, — матрица размеров , — матрица размеров , или другими словами, матрица-столбец, — матрица размеров , или матрица-строка.

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, или .

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами.

Например, матрицу размеров можно записать в виде

В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. Например, в матрице

, .

Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца — нижний.

Укажем основные типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы. Например, в матрице главную диагональ образуют числа . Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг другу. Так у квадратной матрицы порядка элементами главной диагонали являются элементы , .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц:

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

Нижние треугольные матрицы:

Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1.

Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например, — единичная матрица третьего порядка.

Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы равны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина , называемая символом Кронекера:

Поэтому .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Глоссарий – Элементы высшей математики

w3.org/1999/xhtml” cellspacing=”0″>

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел , где И , состоящая с m строк и n столбцов и записана в виде

Две матрицы Am × nИ Bm × nОдинаковых размерностей называютсяРавными, если уровень их соответствующие элементы:.

Квадратная матрица называется Диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Суммой двух матриц Am × nИ Bm × nОдинаковых размерностей называется матрица Cm × n.

Произведением матрицы Am × nНа матрицу Bn × kНазывается такая матрица Cm × k, в которой элемент Равна сумме произведений элементов i — ой строки матрицы A на соответствующие элементы j — го столбца матрицы B:

Произведением матрицы Am × nНа число k называется матрица Той же размерности. Она обозначается kAm × n или Am × n · k. При этом k называют числовым (скалярным) множителем, Am × n — матричным множителем.

Пусть заданы действительные числа . Они определяют действительное число , которое называется Определителем или детерминантом второго порядка и записывается так:

Пусть заданы действительные числа . Они определяют действительное число

Которое называется Определителем или детерминантом третьего порядка и задается так:

Минором Элемента Определителя Называется определитель, который образуется из данного определителя в результате вычеркивания i — й строки и j — го столбца.

Алгебраическим дополнением Элемента Называется выражение , есть

Линейным уравнением С n неизвестными называется уравнение вида

,(5)

Где – Неизвестные, входящие в это уравнение в первой степени (линейно), – Данные числа, называемые коэффициентами при неизвестных, число b называется свободным членом уравнения.

Решением уравнения С n неизвестными называется такой упорядоченный набор чисел , при подстановки которых в данное уравнение вместо неизвестных Соответственно (то есть вместо Подставляем , вместо Подставляем И т. д.) оно превращается в числовую равенство (тождество):

Решением системы линейных уравнений Называется упорядоченный набор чисел , если при подстановке вместо неизвестного Числа (I = 1, 2, …, n) все уравнения системы превращаются в тождества.

Две системы линейных уравнений называются Эквивалентными, если они имеют одну и ту же множество решений

Матрица A-1 называется Обращенной К матрице A, если выполняется условие

AA-1 = A-1A = E.

Квадратная матрица A называется Вырожденной, если И Невырожденной,если.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Любая упорядоченная пара точек A и B пространства определяет Направленный отрезок или вектор. Первую точку A называют началом вектора, а вторую B — концом вектора.

Расстояние между началом вектора И его концом называется Длиной (модулем) вектора и обозначается || Или ||.

Вектор, начало и конец которого совпадает, называется Нулевым и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице называется Единичным.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяКоллинеарными.

Два вектора И Называются Равными, если они спивнапрямлени и имеют одинаковую длину. равенство векторов И Записывают так: .

Векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называютсяКомпланарными.

Суммой двух векторов И называется вектор , направлен из начала вектора В конец вектора При условии, что начало вектора Совпадает с концом вектора .

Разностью двух векторов И Называется такой вектор , что .

Произведением вектора На число Называется вектор, длина которого равна || · | T |, а направление совпадает с направлением вектора , если t> 0, и противоположный ему, если t <0. Если Или , то их произведение является нулевым вектором.

Пусть заданы n векторов И n чисел . Выражение Называется Линейной комбинацией векторов С коэффициентами .

Векторы Называют Линейно зависимыми, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю и при этом оправдывается равенство

Любая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно определяется произвольный вектор пространства, называется Базисом этого пространства.

Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его Размерностью.

Скалярным произведением двух векторов И Называется действительное число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается :

,где .

Векторным произведением вектора И Называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) длина Вектора , где ;

2) вектор Перпендикулярен к каждому из векторов И ;

3) если вектор , то векторы – Образуют правую тройку векторов.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов Называется скалярное произведение векторного произведения И вектора .

Уравнения ,называют Уравнением с двумя переменными И Если равенство выполняется не для всех пар чисел И , и тождеством, если она справедлива для всех значений И .

Линия, заданная уравнениемОтносительно некоторой системы координат в плоскости является Геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.

Алгебраическая линия второго порядка — Это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнения вида

Где коэффициенты – Действительные числа, причем хотя бы одно из чисел Отличное от нуля.

Кругом называется множество всех точек плоскости, расстояния которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны устойчивому положительном числу (радиуса).

– Каноническое уравнение круга.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами.

, (Где ) — Каноническое уравнение эллипса.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньше расстояния между фокусами.

,где .

Параболой называется множество всех действительных точек плоскости, расстояние которых от фиксированной точки плоскости, называется фокусом, равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой.

Говорят, что на множестве x задана Функция, если по определенному правилу (законом) f каждому элементу xÎx поставлено в соответствие один и только один элемент yÎy. При этом элементы xÎx называют значениями аргумента или независимой переменной функции, а соответствующие им элементы yÎy — значениями функции.

Множество EÌR называется Симметричной относительно нуля, если вместе с любым числом xÎE число Также принадлежит E.

Функция f (x), xÎE называется Парной, если множество E симметрична относительно нуля и Для любого xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Нечетным, если множество E симметрична относительно нуля и Для любого xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Периодической, если существует такое число T ¹ 0 (оно называется периодом функции), для любого числа xÎE числа (x)И при этом выполняются равенства .

Функция f (x), xÎE называется Ограниченной, если существует такое число M> 0, Для всех чисел xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Неограниченной, если для любого числа M> 0 существует такое число x0ÎE, что .

Функция f (x), xÎE называется Возрастающей (убывающей), если для произвольных x1ÎE, x2ÎE из условия Следует .

Функция f (x), xÎE называется Неспадною (незростаючою), если для произвольных чисел x1ÎE, x2ÎE из условия Следует .

Растущие, нисходящие, незростаючи, неспадни функции называются Монотонными.

Действительное число a называется Границей последовательности , если для любого действительного положительного числа Существует такой номер (Вообще, зависящий от , есть ), Что для всех номеров n, больших , выполняется неравенство .

Последовательность, которая имеет границу, называется Совпадающие. Последовательность, не имеет предела, называется Расходящихся.

Последовательность, предел которой равен нулю, называется Бесконечно малой или нулевой последовательности.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки . Число Называется Границей функции f(X) в точке , если для произвольного Существует такое число , что для всех , которые удовлетворяют условию , выполняется неравенство .

Пусть функция f (x) определена на промежутке . Число НазываетсяГраницей функции f (x) при , если для любого действительного числа Существует такое действительное число , что для всех чисел Выполняется неравенство .

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Прямая y = kx + b называется Асимптотой графика функции y = f (x) при , если

Функция f (x) называется Непрерывной в точке , если .

Точка Называется Усувною точкой разрыва функции f (x), если выполнены лишь первая и вторая условия или только второе условие предварительного определения.

Точка Называется Точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет различные конечные односторонние границы.

Точка Называется Точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке хотя бы одно из ее односторонних границ не существует или является бесконечной.

Функция f (x) называется Непрерывной в точке , если бесконечно малому приросту Аргумента Соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция f (x) называется Непрерывной на промежутке <a; b>, если непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Производной функции В точке x называется предел отношения приращения функции В этой точке к приращению аргумента , когда прирост аргумента стремится к нулю.

Функция Называется Дифференцируема в точке , если в этой точке она имеет производную.

Функция Называется Дифференцируемых на промежутке, если диференцiйовна в каждой точке этого промежутка.

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящей через точку касания, называетсяНормалью К кривой.

Пусть функция Дифференцируема в точке x. Тогда линейная относительно Часть приращения функции Называется Дифференциалом функции В точке x.

Пусть функция Определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что она имеет в точке Локальный максимум (Локальный минимум), если В этом окрестности.

Кривая называется Выпуклой (вогнутой) в точке , если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке .

Точка Называется Точкой перегиба кривой , если с одной стороны от точки (В достаточно малом ее окрестности) кривая выпуклая, а с другой стороны — вогнута.

Линией уровня функции Называют линию в плоскости XOY, заданную уравнением .

Поверхность уровня функции Называют поверхность, заданную уравнением .

Действительное число A называется Границей функции В точке , если для произвольного числа Существует такое число , что для всех точек , отличных от точки , и таких, что расстояние , выполняется неравенство .

Функция Называется Непрерывной в точке , если .

Пусть задана функция . Частных производных функции По переменной , где k — натуральное число и , называется обычная производная функции u по переменной При условии, что остальные переменных считаются постоянными.

Функция Называется Дифференцируема в точке , если ее полное приращение Можно представить в виде

(5)

Где числа И От приростов И Не зависят (вообще, они зависят от точки ), А функции И Бесконечно малыми при И .

Сумма Является линейной относительно приростов И Частью полного прироста . Ее называют Полным дифференциалом функцииИ обозначают символом .

Говорят, что функция Имеет в точке Локальный максимум(Минимум), если существует окрестность точки , в котором для каждой точки Выполняется неравенство , т. е. прирост Сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Точка , в которой частные производные И Равны нулю или не существуют, называется Критической (Или стационарной) точкой функции .

Пусть функция Задана на промежутке . Тогда функция Называется Первоначальной функции , если Дифференцирована на И Для всех .

Множество всех первобытных функции На промежутке НазываетсяНеопределенным интегралом функции И обозначается символом .

Рациональным дробью (рациональной функцией)Называется выражение вида , где – Многочлен степени m, – Многочлен степени n, .

Пусть функция Непрерывна и неотъемлемая на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми , называется Криволинейной трапецией.

Пусть функция Заданная на отрезке [a; b]. Точками Произвольно разобьем отрезок [a; b] на части . Обозначим . На кожномувидризку Произвольно возьмем по одной точке И создадим сумму Если при Существует предел сумм S (T), которая не зависит от способа разбиения (T) и выбора точек , то эту границу называютОпределенным интегралом функции На отрезке [a; b] и обозначают символом .

Таким образом, .

Число I называется Границей интегральных сумм При , если для произвольного числа Существует такое число , что для произвольного (T) — разбиение области D на части , И произвольного выбора точек , , из условия Вытекает неравенство .

При этом число I называют Двойным интегралом функции По области D и обозначают символом Или .

M.5 Расширенные свойства матрицы | СТАТ ОНЛАЙН

Ортогональные векторы

Два вектора, x и y , являются ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю.

Например,

\[ e \cdot f = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} = 2* 4 + (5)*(-2) + 4*5 = 8-10+20 = 18\]

Векторы e и f не ортогональны.

\[ g \cdot h = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2*4 + ( 3)*(-2) + (-2)*1 = 8-6-2 = 0\]

Однако векторы g и h ортогональны. Ортогональность можно рассматривать как расширение перпендикуляра для более высоких измерений. Пусть \(x_1, x_2, \ldots , x_n\) будет m -мерных векторов. Тогда линейная комбинация из \(x_1, x_2, \ldots , x_n\) представляет собой любой

m -мерный вектор, который может быть выражен как

\[ c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_n \]

где \(c_1 , \ldots, c_n\) — все скаляры. Например:

\[x_1 =\begin{pmatrix}
3 \\
8 \\
-2
\end{pmatrix},
x_2 =\begin{pmatrix}
4 \\
-2 \\
3
\end{pmatrix}\]

\[y =\begin{pmatrix}
-5 \\
12 \\
-8
\end{pmatrix} = 1*\begin{pmatrix} 9{n} c_i x_i , c_i \in \mathbb{R} \} \]

Набор векторов \(x_1, x_2, \ldots , x_n\) является линейно независимым , если ни один из векторов в наборе не может быть выражена как линейная комбинация других векторов.

Другой способ думать об этом – набор векторов \(x_1, x_2, \ldots , x_n\) линейно независимы, если единственным решением приведенного ниже уравнения является наличие \(c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0\ ), где \(c_1 , c_2 , \ldots , c_n \) — скаляры, а \(0\) — нулевой вектор (вектор, в котором каждая запись равна 0).

\[ c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_n = 0 \]

Если набор векторов не является линейно независимым, то они называются линейно зависимыми .

Пример M.5.1

\[ x_1 =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, x_2 =\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix }, x_3 =\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Существует ли вектор c , такой что

\[ c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = 0 \]

Чтобы ответить на вопрос выше, пусть:

\begin{align} 3c_1 + 4c_2 +6c_3 &= 0,\\ 4c_1 -2c_2 + 8c_3 &= 0,\\ -2c_1 + 2c_2 -2c_3 &= 0 \end{align}

Решение приведенной выше системы уравнений показывает, что единственно возможным решением является \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\). Таким образом, \(\{ x_1 , x_2 , x_3 \}\) линейно независим. Один из способов решения системы уравнений показан ниже. Во-первых, вычтите (4/3) раз 1-е уравнение из 2-го уравнения.

\[-\frac{4}{3}(3c_1 + 4c_2 +6c_3) + (4c_1 -2c_2 + 8c_3) = -\frac{22}{3}c_2 = -\frac{4}{3}0 + 0 = 0 \стрелка вправо c_2 = 0 \]

Затем сложите 1-е и 3-е уравнения вместе и подставьте \(c_2 = 0\).

\[ (3c_1 + 4c_2 +6c_3) + 3*(-2c_1 + 2c_2 -2c_3) = -3c_1 + 10 c_2 = -3c_1 + 10*0 = 0 + 3*0 = 0 \Rightarrow c_1 = 0 \]

Теперь подстановка обоих \(c_1 = 0\) и \(c_2 = 0\) в уравнение 2 дает.

\[ 4c_1 -2c_2 + 8c_3 = 4*0 -2*0 + 8c_3 = 0 \Rightarrow c_3 = 0 \]

Итак, \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\), и \(\{ x_1 , x_2 , x_3 \}\) линейно независимы.

9T X = \begin{pmatrix}
-1 \\
1\\
-2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

x_1 & x_2 & x_3
\end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix}
1 \\
-8\\
8
\end{pmatrix}+ 1
\begin{pmatrix}
4 \\
-2\\
2
\end{pmatrix} – 2 \begin{pmatrix} 90 1 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1*1 +1*4-2*1 \\
-1*-8+1*-2- 2*3 \\
-1*8+1*2-2*-2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

Норма вектора или матрицы

Норма вектора или матрицы является мерой “длины” указанного вектора или матрицы.

2 } \] 9Т А х \leq 0\).

Последние заметки – инженерная математика

См. последние заметки по всем предметам здесь.

Матрицы

Матрица представляет собой набор чисел, расположенных в порядке строк и столбцов. Элементы матрицы необходимо заключать в круглые скобки или скобки.
Ниже показана матрица из 9 элементов.

Эта матрица [M] имеет 3 строки и 3 столбца. К каждому элементу матрицы [M] можно обращаться по номеру строки и столбца. Например, ₂₃ =6

Порядок матрицы :
Порядок матрицы определяется количеством строк и столбцов.
Порядок матрицы = количество строк × количество. столбцов
Следовательно, матрица [M] является матрицей порядка 3 × 3.

Транспонирование матрицы :
Транспонирование [M] ^T матрицы m x n [M] представляет собой матрицу размера n x m, полученную путем замены строки и столбцы [M].
если A= [a _ij ] mxn , то A ^T = [B _IJ] NXM, где B _IJ = A _JI

Свойства Transpept A Matrix:

(A ^{T1 9081
. B) ^T = A ^T + B ^T
(AB) ^T = B ^T A ^T
Singular and Nonsingular Matrix:

Singular Matrix: A квадратная матрица называется сингулярной матрицей, если ее определитель равен нулю, т. е. |A|=0
Несингулярная матрица: Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Квадратная матрица: В квадратной матрице столько строк, сколько столбцов. т. е. количество строк = количество столбцов.
Симметричная матрица: Квадратная матрица называется симметричной, если транспонирование исходной матрицы равно ее исходной матрице. т. е. (A ^T ) = A.
Кососимметричная: Кососимметричная (или антисимметричная, или антиметрическая[1]) матрица представляет собой квадратную матрицу, транспонирование которой равно ее отрицательному значению, т.е. (А ^Т ) = -А.
Диагональная матрица: Диагональная матрица — это матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Термин обычно относится к квадратным матрицам.
Единичная матрица: Квадратная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны единицам, а все остальные элементы равны нулю. Т = А ^Т А = I
Идемпотентная матрица: Матрица называется идемпотентной, если A ² = A
Инволютивная матрица: Матрица называется инволютивной, если A ² = I.

Свойства сопряжения:
A(Adj A) = (Adj A) A = |A| I _n
Adj(AB) = (Adj B). (Adj A)
|Adj A|= |A| ^n-1
Adj(kA) = k ^n-1 Adj(A)
Обратная квадратная матрица:
Здесь |A| не должен быть равен нулю, значит, матрица A должна быть невырожденной.
свойства обратного:
1. (A ^-1) ^-1 = A
2. (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
3. единственный. неособая квадратная матрица может иметь обратную.
След матрицы:
Пусть A=[a _ij ] _nxn — квадратная матрица порядка n, то сумма диагональных элементов называется следом матрицы, которая обозначается tr(A). tr(A) = a ₁₁ + a ₂₂ + a ₃₃ + ……….+ a _nn . Помните, что след матрицы также равен сумме собственных значений матрицы. Например:
Свойства следа матрицы:
Пусть A и B — любые две квадратные матрицы порядка n, тогда
tr(kA) = k tr(A), где k — скаляр. .
tr(A+B) = tr(A)+tr(B)
tr(A-B) = tr(A)-tr(B)
tr(AB) = tr(BA)
Решение системы линейных уравнений:
Линейные уравнения могут иметь три возможных решения:

Нет решения
Единственное решение
Бесконечное решение
Ранг матрицы – это номер ранга матрицы: ненулевые строки в сокращенной форме строки или максимальное количество независимых строк или максимальное количество независимых столбцов.
Пусть A — любая mxn матрица, содержащая квадратные подматрицы разных порядков. Говорят, что матрица имеет ранг r, если она удовлетворяет следующим свойствам:
Она имеет хотя бы одну квадратную подматрицу порядка r с ненулевым определителем.
Все определители квадратных подматриц порядка (r+1) или выше r равны нулю.
Ранг обозначается как P(A).
, если A неособая матрица порядка n, то ранг A = n, т. е. P(A) = n.
Свойства ранга матрицы:

Если A нулевая матрица, то P(A) = 0, т.е. ранг нулевой матрицы равен нулю.
Если I _n является единичной матрицей размера nxn, то P(A) = n.
Ранг матрицы A mxn , P(A) ≤ min(m,n). Таким образом, P(A) ≤ m и P(A) ≤ n.
P(A _nxn ) = n, если |A| ≠ 0
Если P(A) = m и P(B)=n, то P(AB) ≤ min(m,n).
Если A и B — квадратные матрицы порядка n, то P(AB) ? П(А) + П(В) – п.
Если A _m×1 — ненулевая матрица-столбец, а B _1×n — ненулевая матрица-строка, то P(AB) = 1.
Ранг кососимметричной матрицы не может быть равен единице .
Система однородных линейных уравнений AX = 0 .

X = 0 всегда является решением; означает, что все неизвестные имеют то же значение, что и ноль. (Это также называется тривиальным решением)
Если P(A) = число неизвестных, единственное решение.
Если P(A) < числа неизвестных, бесконечное число решений.
Система неоднородных линейных уравнений AX = B .

Если P[A:B] ≠P(A), решения нет.
Если P[A:B] = P(A) = количество неизвестных переменных, единственное решение.
Если P[A:B] = P(A) ≠ количество неизвестных, бесконечное количество решений.
Здесь P[A:B] — ранг представления исключения Гаусса для AX = B.
Существует два состояния системы линейных уравнений:0018 Система уравнений, имеющая одно или несколько решений, называется согласованной системой уравнений.}
Несовместимое состояние: Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместимой системой уравнений.

Линейная зависимость и линейная независимость вектора:

Линейная зависимость: Набор векторов X ₁ ,X ₂ ….X _r к ₁ ,k ₂ …. .k _r такое, что: k ₁ X ₁ + k ₂ X ₂ +……..k 9 9 r _{r 902 .}

Линейная независимость: Набор векторов X ₁ ,X ₂ ….X _r называется линейно независимым, если для всех r скаляров k ₁ ,k _{k _r такое, что k ₁ X ₁ + k ₂ X ₂ +……..k _r X _r = 0, тогда k ₁ = k ₂ =……. = k _r = 0.
Как определить линейную зависимость и независимость?
Пусть X ₁ , X ₂ ….X _r — заданные векторы. Постройте матрицу с заданными векторами в качестве строк.}

Если ранг матрицы заданных векторов меньше числа векторов, то векторы линейно зависимы.
Если ранг матрицы заданных векторов равен количеству векторов, то векторы линейно независимы.

Собственное значение и собственный вектор

Собственный вектор матрицы A — это вектор, представленный матрицей X такой, что при умножении X на матрицу A направление результирующей матрицы остается тем же, что и у вектора X.

Математически приведенное выше утверждение может быть представлено как:

AX = λX

, где A — произвольная матрица, λ — собственные значения, а X — собственный вектор, соответствующий каждому собственному значению.

Здесь мы видим, что AX параллелен X. Итак, X — собственный вектор.

Метод нахождения собственных векторов и собственных значений любой квадратной матрицы A
Мы знаем, что

AX = λX

=> AX – λX = 0

=> (A – λI) X …..(1)

Приведенное выше условие будет верным, только если (A – λI) сингулярно. Значит,

|A – λI| = 0 …..(2)

(2) называется характеристическим уравнением матрицы.

Корнями характеристического уравнения являются собственные значения матрицы A.

Теперь, чтобы найти собственные векторы, мы просто подставляем каждое собственное значение в (1) и решаем его методом исключения Гаусса, то есть преобразуем расширенную матрицу (A – λI) = 0 в ступенчатую форму строк и решим линейную систему полученных таким образом уравнений.

Некоторые важные свойства собственных значений.0333

Собственные значения унитарных и ортогональных матриц имеют единичный модуль |λ| = 1

Если λ _1, =λ ₂ …….λ _n — собственные значения A, то kλ ₁ , kλ ₂ …….kλ _{n 90 kA}

Если λ _1, λ ₂ …….λ _n — собственные значения A, то 1/λ ₁ , 1/λ ₂ …….1/λ _{являются собственными значениями A ^-1}

Если λ _1, λ ₂ …….λ _n – собственные значения A, тогда λ ₁ ^k , λ ₂ ^k …….λ _n собственные значения A 903 ^k

Собственные значения A = собственные значения A ^T (транспонирование)

Сумма собственных значений = след A (сумма диагональных элементов A)

Произведение собственных значений = |A|

Максимальное количество различных собственных значений A = размер A

Если A и B две матрицы одного порядка, тогда собственные значения AB = собственные значения BA

Вероятность

Вероятность относится к степени возникновения событий. Когда происходит событие, такое как бросок мяча, выбор карты из колоды и т. д., то должна быть некоторая вероятность, связанная с этим событием.

Основные термины:

Случайное событие: – Если эксперимент повторяется несколько раз в одинаковых условиях, если он не дает каждый раз один и тот же результат, но результат в испытании является одним из нескольких возможных исходов, то такой эксперимент называется случайным событием или вероятностным событием.
Элементарное событие — Элементарное событие относится к результату каждого выполненного случайного события. Всякий раз, когда выполняется случайное событие, каждый связанный с ним результат называется элементарным событием.
Пространство выборки — Пространство выборки относится к набору всех возможных исходов случайного события. Например, когда подбрасывается монета, возможные исходы — орел и решка.
Событие – Событие относится к подмножеству выборочного пространства, связанному со случайным событием.
Возникновение события – Говорят, что событие, связанное со случайным событием, произошло, если любое из принадлежащих ему элементарных событий является исходом.
Верное событие – Событие, связанное со случайным событием, называется достоверным, если оно всегда происходит всякий раз, когда выполняется случайное событие.
Невозможное событие – Событие, связанное со случайным событием, называется невозможным, если оно никогда не происходит при выполнении случайного события.
Составное событие — Событие, связанное со случайным событием, называется составным событием, если оно представляет собой непересекающееся объединение двух или более элементарных событий.
Взаимоисключающие события – Два или более события, связанные со случайным событием, считаются взаимоисключающими, если любое из них происходит, оно предотвращает возникновение всех других событий. Это означает, что никакие два или более события не могут происходят одновременно в одно и то же время.
Исчерпывающие события – Два или более события, связанные со случайным событием, называются исчерпывающими, если их объединение представляет собой выборочное пространство.

Вероятность события – Если всего p возможных исходов, связанных со случайным экспериментом, и q из них являются благоприятными исходами для события A, то вероятность события A обозначается P(A ) и определяется как

 P(A) = q/p

Вероятность ненаступления события A, т. е. P(A’) = 1 – P(A)

Примечание –

Если значение P(A) = 1, то событие A называется уверенным событием.
Если значение P(A) = 0, то событие A называется невозможным событием.
Кроме того, P(A) + P(A’) = 1

Теоремы: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A∪B) = P(A) + P(B), если A и B исключают друг друга

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C)- P(C∩A) + P(A ∩B∩C)

P(A∩B’) = P(A) – P(A∩B)

P(A’∩B) = P(B) – P(A∩B)

Расширение теоремы умножения – Пусть A ₁ , A ₂ , …. ., A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, тогда P(A ₁ ∩A _{2 ∩A} ₃ ….. A _n ) = P(A ₁ )P(A ₂ /A ₁ )P(A ₃ /A ₂ ∩A ₁ ) ….. P(A _n /A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩ ….. ∩A _n-1 )

Total Закон вероятности — . Пусть S — выборочное пространство, связанное со случайным экспериментом, а E ₁, E ₂, …, E _n — n взаимоисключающих и исчерпывающих событий, связанных со случайным экспериментом. Если A — любое событие, которое происходит с E ₁ или E ₂ или … или E _n , то

 P(A) = P(E ₁ )P(A/E ₁ ) + P(E ₂ )P(A/E ₂ ) + ... + P(E _n )P(A/E _n )

Условная вероятность

Условная вероятность P(A | B) показывает вероятность того, что событие ‘A’ произойдет при условии, что произошло событие B.

Правило произведения:
Получено из приведенного выше определения условной вероятности путем умножения обеих сторон на P(B)

 P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B)

Формула Байеса

Случайные величины
набор действительных чисел. Цель состоит в том, чтобы получить представление о результате конкретной ситуации, когда нам даны вероятности различных результатов.

Дискретное распределение вероятностей – Если вероятности определены для дискретной случайной величины, которая может принимать только дискретный набор значений, то такое распределение называется дискретным распределением вероятностей.

Непрерывное распределение вероятностей — Если вероятности определены для непрерывной случайной величины, которая может принимать любое значение между двумя числами, то такое распределение называется непрерывным распределением вероятностей.

Кумулятивная функция распределения –
Подобно функции плотности вероятности, кумулятивная функция распределения действительнозначной случайной величины X или просто функция распределения оценивается в , представляет собой вероятность, которая примет значение меньше или равно .
Для дискретной случайной переменной,

для непрерывной случайной переменной,

Разнообразное распределение вероятности –

Однородное распределение, также известное как Districkular Distribution . .
Он имеет непрерывную случайную переменную, ограниченную конечным интервалом, и его функция вероятности имеет постоянную плотность на этом интервале.
Равномерная функция распределения вероятностей определяется как-

Ожидание: Среднее значение распределения, представленное как E[x].

Разница: .
Для равномерного распределения

Экспоненциальное распределение
Для положительного действительного числа функция плотности вероятности случайной величины с экспоненциальным распределением задается следующим образом:

, где R x 902 случайных величин.

Биномиальное распределение:

Среднее = np, где p — вероятность успеха
Дисперсия . = NP (1-P)

Распределение Пуассона:

Calculus:

Ограничения, непрерывность и дифференциация

Существуют предел-. левый предел и правый предел существуют и равны, т. е.

Некоторые общие пределы –

Правило Больницы –
Если данный предел имеет форму или, то есть оба и равны 0 или оба и равны, то предел может быть решен с помощью Правила Больницы .
Если предел имеет форму, описанную выше, то правило Лопиталя гласит, что –

где и получено дифференцированием и .
Если после дифференцирования форма все еще существует, то правило может применяться непрерывно, пока форма не будет изменена.

Непрерывность
Говорят, что функция непрерывна в диапазоне, если ее график представляет собой одну непрерывную кривую.
Формально,
Вещественнозначная функция называется непрерывной в точке области, если –
существует и равна .
Если функция непрерывна в то-

Функции, которые не являются непрерывными, называются разрывными.

Дифференцируемость
Производная действительной функции по это функция и определяется как –

Функция называется дифференцируемой , если производная функции существует во всех точках области определения. Для проверки дифференцируемости функции в точке должно существовать число
.

Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Примечание – Если функция непрерывна в точке, это не означает, что функция также дифференцируема в этой точке. Например, непрерывно в но не дифференцируемо в этой точке.

Теорема Лагранжа о среднем значении

S . ) дифференцируема в открытом интервале a < x < b

Тогда согласно теореме Лагранжа существует по крайней мере одна точка ‘c’ в открытом интервале (a, b) такая, что:

Среднее Ролля Теорема о ценности

Предположим, что f(x) — функция, удовлетворяющая трем условиям:

1) f(x) непрерывна на отрезке a ≤ x ≤ b

2) f(x) дифференцируема на открытом отрезке a < x < b

3) f(a) = f(b)

Тогда согласно теореме Ролля существует по крайней мере одна точка ‘c’ в открытом интервале (a, b) такая, что:

f ‘(c) = 0

Неопределенные интегралы

Определение: Пусть f(x) — функция. Тогда семейство всех ее первообразных называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.
Символ ∫f(x)dx читается как неопределенный интеграл от f(x) по x.
Таким образом, ∫f(x)dx= ∅(x) + C.
Таким образом, процесс нахождения неопределенного интеграла функции называется интегрированием функции.

Основные формулы интегрирования –

∫x ⁿdx = (x ⁿ⁺¹ /(n+1))+C
∫(1/x)dx = (log _e |x|)+C
∫e ^x dx = (e ^x )+C
∫a ^x dx = ((a ^x )/(log _e a))+C
∫sin(x)dx = -cos(x)+C
∫cos(x)dx = sin(x)+C
∫sec ² (x)dx = tan(x)+C
∫cosec ² (x)dx = -cot(x)+ C
∫sec(x)tan(x)dx = sec(x)+C
∫cosec(x)cot(x)dx = -cosec(x)+C
∫cot(x)dx = log |грех(х)|+С
∫tan(x)dx = log|sec(x)|+C
∫sec(x)dx = log|sec(x)+tan(x)|+C
∫cosec(x)dx = log|cosec(x)-cot(x)|+C

Определенные интегралы:
Определенные интегралы являются продолжением неопределенных интегралов, определенные интегралы имеют пределы [a, b].