Вывод формулы момент инерции сферы: Как вывести формулу момента инерции - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Как вывести формулу момента инерции

Содержание

Что такое инерция
Определение момента инерции
Теорема Штейнера
Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Материальная точка массы m

На расстоянии r от точки, неподвижная

Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m

Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m

Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁

Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины

l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Прямой тонкий стержень длины l и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

Тонкостенная сфера радиуса r и массы m

Ось проходит через центр сферы

Шар радиуса r и массы m

Ось проходит через центр шара

Конус радиуса r и массы m

Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину

Правильный треугольник со стороной

a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс

Квадрат со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Сплошной однородный шар

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние

l/2.

По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать I_A = kml 2 , где

l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I_A = I_C + m(l/2) 2 . Величину I_C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I_C = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

откуда

k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I_X = I_У.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска

С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr.

Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI_z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm.

Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х

2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ

= mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I_X = I_Y = I_Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9812 — | 7680 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Осевые моменты инерции некоторых тел

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J_a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Сплошной конус

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

От каких величин зависит момент инерции. Момент инерции

Системы на квадраты их расстояний до оси:

m i – масса i -й точки,
r i – расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где – полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара – 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x , y и z – координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей – его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции – геометрическая характеристика сечения вида

где – расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ – м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) – это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

(1),

где – тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где –

Системы на квадраты их расстояний до оси:

m i – масса i -й точки,
r i – расстояние от i -й точки до оси.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

где – полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Центробежный момент инерции

где x , y и z – координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции – геометрическая характеристика сечения вида

где – расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) – это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: . {2}.}

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара – 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .

Центробежный момент инерции

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}

где x , y и z – координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. {2}\cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.

В решении задач 12.1 -12.4 не учитывалась инертность вращающихся частей (барабана, редуктора и электродвигателя). Работа, затрачиваемая на ускорение вращательного движения, может быть определена через кинетическую энергию вращающейся массы т. Для объема массой dm, находящегося на расстоянии г от центра вращения, кинетическая энергия равна dmx> 2 / 2. Скорость ц = cor, тогда кинетическая энергия объема массой dm вращающегося тела равна dm со 2 г 2 / 2. По аналогии с выражением кинетической энергии объема массой dm при поступательном движении как функции от ц 2 / 2 запишем выражение для кинетической энергии при вращательном движении как функцию от со 2 / 2:

где dJ = r 2 dm – мера инертности во вращательном движении элементарного объема массой dm, находящегося на расстоянии гот оси вращения.

Интеграл по объему тела

момент инерции тела относительно оси вращения Z-

Моменты инерции тел простой формы

1. Круглый однородный тонкий диск радиуса R постоянной толщины И и плотности р (рис. 12.1, а).

Ось вращения проходит через центр диска. Момент инерции диска равен

Рис. 12.1.
Масса диска т = рhnR 2 . Таким образом, момент инерции тонкого однородного диска относительно собственного центра массы (центра тяжести) равен J Cz = mR 2 / 2.
2. Круглое тонкое кольцо радиуса R постоянной ширины b и толщины И (рис. 12.1, б).
Интеграл
Масса кольца
Следовательно, момент инерции кольца равен
и для очень узкого кольца при b« R момент инерции J Cz = mR 2 .
3. Тонкий однородный стержень сечением s и длиной I.
3.1. Пусть ось вращения г проходит через центр тяжести (рис. 12.1, в). Интеграл
где 5 – площадь поперечного сечения стержня.
Масса стержня т = рsi. Следовательно, J Cz = тР / 12.
3.2. Ось вращения? проходит через один из концов стержня (рис. 12.1, г).
Интеграл
т.е. в 4 раза больше J c z –
Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения
Момент инерции тела J z относительно оси вращения, смещенной на расстояние с относительно центра масс тела, запишем в виде
Интеграл по объему где т – масса тела. Интеграл
относительно оси, проходящей через центр тяжести (центр
Следовательно, при параллельном переносе момент инерции тела относительно оси, находящейся на расстоянии с от центра тяжести, равен
где У с, =jr 2 dm – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела.
? Задача 12.5
Используя формулу (12.9), определить момент инерции тонкого стержня длиной / и постоянной площади сечения s. Ось вращения проходит через один из концов стрежня.
Решение
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен J Cz = тР / 12. Момент инерции относительно оси, проходящей от центра тяжести на расстоянии 1/2 , равен
Согласно (12.9) из всех осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.
Совместим начало ортогональной системы координат с центром тяжести тела. Используя формулу (12.8), можно определить моменты инерции тела J x , J y и J относительно каждой из трех осей координат. Мысленно поворачивая тело поочередно относительно каждой из координатных осей, можно заметить, что в некоторых положениях значения моментов инерции достигают экстремальных значений. Оси, относительно которых один из моментов инерции тела достигает наибольшего значения (из всех возможных при любых поворотах), а другие – наименьших значений, называют главными осями инерции тела. Очевидно, что для тела с центром симметрии (шар, полый шар) все оси главные. Ось симметрии тела (цилиндра, прямоугольного параллелепипеда и т.п.) также является главной осью.
Если главная ось инерции детали, например ротора турбины, смещена параллельно оси вращения (рис. 12.2, а ), то на ротор действует центростремительная сила, равная С е = тоз 2 е с (т – масса ротора; е с – смещение главной оси инерции ротора относительно оси вращения). Сила С е воспринимается опорами ротора и пере-

Рис. 12.2. Схема сил инерции при вращении неуравновешенного ротора дается фундаменту машины. Заметим, что вектор силы С г по отношению к неподвижным опорам и фундаменту вращается с частотой со. Возникают колебания машины и фундамента. Очевидно, для уравновешивания ротора необходимо обеспечить г с = 0. Такое уравновешивание называется статическим и может быть выполнено при невращающемся роторе.
На рис. 12.2, б показана схема сил инерции, действующих при вращении на статически уравновешенный ротор. При этом главная ось инерции может не совпадать с осью вращения, образуя с ней некоторый угол а.
Центростремительные силы С а, действующие на правую и левую части ротора, противоположно направлены и создают момент сил. Этот момент сил передается на опоры ротора, возбуждая колебания машины и фундамента. Для уравновешивания ротора необходимо обеспечить а = 0, что возможно только при вращении ротора, и поэтому оно называется динамическим. По данным измерения колебаний машины определяют, в каком месте ротора необходимо установить противовес или удалить часть материала ротора.
Учитывая некоторое различие плотности и других свойств литого материала, слитки для поковок роторов паровых турбин изготавливают в форме тел с осевой симметрией относительно продольной оси, с которой должна будет совпадать ось вращения ротора.
? Задача 12.6
Определить ускорение тележки с грузом по условию задачи 12.4.
Момент инерции ротора электродвигателя равен / = 0,03 кгм 2 . Масса барабана т 6 = 200 кг, а радиус R = 0,2 м.
Решение
При возможных перемещениях 8ф и 8х зависимость (12.5) запишем в виде
где 8х = R 5(р / / (/ пр – передаточное отношение между валами электродвигателя и подъемника).
Соответственно, ускорение х = /?ф// пр; угол поворота барабана 8ф б = = 8ф / / ; угловое ускорение барабана ф б = ф// пр. Тогда
Момент инерции барабана определим, полагая, что масса барабана сосредоточена на радиусе R. Тогда / б = тЮ = 200 0,2 2 = 8 кг м 2 . Передаточное число / = to R / х> = 60,7.
Угловое ускорение ротора электродвигателя
Ускорение тележки с грузом х = 0,573 м/с 2 . Это значение почти в 4 раза меньше, чем расчетное ускорение без учета инертности двигателя и барабана (см. задачу 12.3). ?
В задаче 12.6 сомножитель при угловом ускорении представляет собой момент инерции системы, приведенный к оси электродвигателя. Очевидно, что для получения приведенного момента инерции деталей, установленных на тихоходном валу, к оси более быстроходного вала следует уменьшить его значение в / 2 раза (/ – передаточное отношение между этими валами).
Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:
J = mr 2 (75)
Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:
Рис. 26.
К определению момента инерции точки.
Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.
В результате получается следующее выражение:
Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:
dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:
Размерность момента инерции – кг*м 2 .
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :
Момент инерции шара радиуса R :
Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:
Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).
К расчету момента инерции стержня
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
Момент силы F относительно точки O
Момент инерции сплошного цилиндра формула
Содержание
Что такое момент инерции?
Сплошной цилиндр и главная ось
Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось
Полый цилиндр
Где используются знания величин I для цилиндров?
Пример решения задачи
Момент инерции однородного сплошного цилиндра радиуса R относительно его геометрической оси__
Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним (r+ dr). Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r 2 dm (dr 3 · dr (p — плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра
.
Поскольку πR 2 h — объем цилиндра, его масса т = πR 2 hp, а .
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8944 — | 7612 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.
Что такое момент инерции?
Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:
Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м 2 ).
Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:
Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.
Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.
Сплошной цилиндр и главная ось
Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.
Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:
Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I₁. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.
Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.
Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось
Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?
Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:
Момент инерции I₂ имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I₁, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:
Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R 2 .
Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L 2 .
Полый цилиндр
Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R₁ и внутренний R₂.
Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:
Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.
Где используются знания величин I для цилиндров?
Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.
Из формулы выше для момента инерции I₁ понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I₁ возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.
Пример решения задачи
Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:
Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:
Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.
Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.
Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:
Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:
Момент силы вычисляется так:
Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:
Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.
Осевые моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Материальная точка массы m
На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m
Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m
Ось проходит через центр сферы
Шар радиуса r и массы m
Ось проходит через центр шара
Конус радиуса r и массы m
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
Правильный треугольник со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
Квадрат со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒
Основные понятия
Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, численно равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
Момент силы относительно неподвижной точки – физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора данной точки, к которой приложен вектор силы, и вектора силы.
Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на ось вектора момента силы, определенного относительно точки, лежащей на данной оси.
Основные формулы
Момент инерции твердого тела: .
Теорема Штейнера: .
Момент инерции цилиндра (диска): .
Момент инерции полого цилиндра (кольца): .
Момент инерции шара: .
Момент инерции тонкостенной сферы: .
Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через его середину): .
Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через один из его концов): .
Кинетическая энергия вращения: .
Момент силы относительно неподвижной точки:
Основной закон динамики вращения твердого тела:

Примеры решения задач

Задача 3. 1
К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию тела через 4 с после начала действия силы.

Дано: Сплошной диск Найти Решение
Рис.3.1 Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле: , (1) где – момент инерции диска.

К диску приложена постоянная касательная сила.
Момент этой силы, исходя из основного закона динамики вращения твердого тела, равен
. (2)
Но момент силы можно определить, зная плечо этой силы:
. (3)
Приравнивая формулы (2) и (3), получаем выражение для нахождения угловой скорости вращения диска:
;
.
Подставляем момент инерции диска и угловую скорость в формулу (1):
После подстановки данных получаем
Ответ:
Задача 3. 2
Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению , рад. Определить момент сил через 3 с после начала вращения.

Дано: Шар Найти Решение Основной закон динамики вращения твердого тела позволяет найти момент сил: . (1) Момент инерции шара: . (2)

Угловое ускорение – это вторая производная угла поворота по времени:
(3)
Подставляем формулы (2) и (3) в уравнение (1):
.
Найдем значение момента сил:
.
Ответ:
Задача 3.3
Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока 400 г? Трением пренебречь.
Дано: Найти Решение Сделаем рисунок к данной задаче, учитывая, что блок в виде диска может вращаться вокруг оси.
Рис.3.2 Составляем уравнения по второму закону Ньютона для двух грузиков, движущихся поступательно и уравнение по основному закону динамики вращения твердого тела для блока:

Делаем проекции первых двух уравнений системы на координатную ось Оy:

(1)
Так как шнур нерастяжимый, то грузы будут двигаться с одинаковым ускорением, т.е. , также, в соответствие с третьим законом Ньютона, будут равны силы натяжения шнуров:
Момент сил, приложенных к блоку:
Приравниваем правые части полученных уравнений:
(2)
Силы натяжения шнуров выразим из системы (1) и подставляем в уравнение (2):
Перегруппировав полученное выражение, можно выразить ускорение:
Ответ:
Задача 3.4
Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.
Дано: . Найти Решение Шар, катясь по горизонтальной поверхности, совершает одновременно поступательное и вращательное движение, следовательно, его полная кинетическая энергия складывается из двух составляющих:
, (1)
где – момент инерции шара, относительно оси, проходящей через центр его масс, а – угловая скорость вращения шара.

Подставляем формулы момента инерции и угловой скорости в уравнение (1):
(2)
Из полученного выражения (2) выделяем произведение , которое позволяет найти долю кинетической энергии, приходящейся на поступательное движение шара:
(3)
Зная кинетическую энергию поступательного движения, найти долю кинетической энергии вращательного движения легко:

(4)

Подставляем исходные значения в формулы (3) и (4):

Ответ:

Задача 3. 5

Найти момент инерции однородного тела, имеющего форму диска, в котором сделан квадратный вырез. Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска 20 см, сторона квадрата 10 см, масса тела 5 кг. Имеется в виду момент инерции относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр.

Дано: Найти Решение Сделаем рисунок диска, имеющего квадратный вырез. Момент инерции сплошного диска, относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр его масс равен .
Рис.3.3 Так как диск имеет вырез, то его момент инерции уменьшается на величину момента инерции квадратного параллелепипеда относительно заданной оси z, т.е. , (1) где – момент инерции квадратного параллелепипеда, найденный с учетом теоремы Штейнера, относительно оси вращения z.

Формула (1) с учетом записанных моментов инерции приобретает вид:

.

Учтем, что b – это половина диагонали квадрата, т.е. :

. (2)

В условии задана масса изделия, т.е. диска с вырезом:

Выразим из полученной формулы общую для диска и параллелепипеда высоту:

. (3)

Определяем массы диска и квадратного параллелепипеда через заданную массу изделия, подставляя вместо высоты выражение (3):

Подставляем полученные массы в формулу (2):

.

Полученное выражение позволяет найти момент инерции изделия:

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Диаметр диска 20 см, масса 800 г. Определить момент инерции диска, относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска ( ).

2. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по всей длине проволоки с линейной плотностью 0,1 кг/м (0,144 ).

3. Два тела массами 0,25 кг и 0,15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок. Блок укреплен на краю стола, по поверхности которого скользит тело массой 0,25 кг. С каким ускорением движутся тела, если коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0,2? Масса блока 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь (1,96 ).

4. Рассчитать момент инерции тонкого диска радиусом 10 см с вырезом радиусом 5 см относительно оси z, указанной на рис 3.4. Масса изделия 1 кг.

Рис. 3.4

Контрольные вопросы

1. Сколько значений момента инерции может иметь данное тело?

2. На тело с моментом инерции 2 действует вращающий момент 8 . С каким угловым ускорением вращается тело?

3. Во сколько раз момент инерции диска относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию, меньше его момента инерции относительно оси, проходящей через край диска перпендикулярно основанию?

4. На какую высоту вкатится по наклонной плоскости шар, если у основании этой плоскости скорость его поступательного движения 4 м/с?

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒
Читайте также:

Момент инерции прямоугольника вывод формулы. Момент инерции квадратного сечения. Центробежный момент инерции сечения Jxy
Прямоугольное сечение.
Прямоугольное сечение имеет две оси симметрии, а главные центральные оси Сx и Cy проходят через середины параллельных сторон.
Главный центральный момент инерции относительно оси x
Элементарную площадку dA в этом случае можно представить в виде полоски во всю ширину сечения и толщиной dy, значит dA=b*dy. Подставим под знак интеграла значение dA и проинтегрировав по всей площади, т.е. в пределах изменения ординаты y от –h/2 до +h/2, получим
Окончательно
Аналогично получим формулу главного центрального момента инерции прямоугольника относительно оси y:
Круглое сечение
Для круга главные центральные моменты инерции относительно осей x и y равны между собой.
Поэтому из равенства
Треугольник
2.Изменение моментов инерции при переходе от центральных осей к параллельным:
J x1 =J x + a 2 А;
J y1 =J y + b 2 А;
момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. J y 1 x 1 =J yx + abF; (“a” и “b” подставляют в формулу с учетом их знака).
3.Изменение моментов инерции при повороте осей
J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  – J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;
J x1y1 =(J x – J y)sin2 + J xy cos2 ;
Угол >0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y1 + J x1 = J y + J x
Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции – оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей:
, если
 0 >0  оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:
J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:
J x 1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y 1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x 1 y 1 =(J max – J min)sin2;
4.Классификация элементов конструкций
Стержнем наз. Геом тела у которых один из размеров много больше других.
Пластины или оболочки – это геом тела у которых один из размеров
Массивные тела – все размеры одного порядка
5.Основные допущения о свойствах материала
Однородные – в люб. точке материалы имеют одинак. физико-химич. св-ва;
Сплошная среда – кристаллич. строение и микроскопич. дефекты не учитываются;
Изотропны – механич. св-ва не зависят от направления нагружения;
Идеальная упругость – полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки.
6. Типы опор
а) Шарнирно – неподвижная (двухсвязная) опора: Воспринимает как вертикальные, так и горизонтальные усилия (усилия под углом).
б) Шарнирно – подвижная опора – воспринимает только вертикальные нагрузки. Реакция опоры всегда направлена вдоль опорного стержня, перпендикулярно опорной поверхности
в) Жесткая заделка (трехсвязная)
Реакции в опорах определяют из условия равновесия (уравнение статики).
7. Классификация нагрузок
По месту действия
Поверхностные и объемные
а) сосредоточенная сила
б) распределенная сила
прямоугольная Rq= qa
треугольная Rq= ½ qa
в) сосредоточенный момент
изгибающий
скручивающий
г) распределенный момент
Rmz= mz a –равнодейств распр мом
По времени действия
Постоянные и временные
По характеру действия
Статические и динамические
По характеру возникновения
Активная(известны) и реактивная (неизвестны)
8. Основные принципы изучаемого курса
При расчете сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил . Сложный вид нагружения представляется как система простых видов нагружения действующих независимо друг от друга. Решение при сложном сопротивлении получается в результате сложения решений полученных при простых видах нагружения.
принцип Сен-Венана
на достаточном удалении от места приложения нагрузки характер её воздействия не зависит от способа её приложения, а зависит от величины равнодействующей.
9. Внутренние усилия. Метод сечений (Метод РОЗУ)
Nz=∑z (pi) нормальная с
Qx=∑x (pi) поперечная с
Mz=∑mz (pi) крутящий момент
Mx=∑mx (pi) изгибающий
Разрезаем мысл тело плоск
Отбрасываем одну из г внутр усил
Заменяем внутр усилиями
Уравновешив внутр ус внеш нагр
10. Правило знаков внутренних усилий
Правило знаков поперечных сил при изгибе:
Крутящий момент
Против ЧС при взгляде со стороны сеч то +
Правило знаков изгибающих моментов:
Правило проверки правильности построения эпюр нагружения:
В сечениях балки, где приложены внешние сосредоточенные нагрузки на эпюре д.б. скачёк на величину этой нагрузки.
11.Эпюры внутренних усилий
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
ПРИ КРУЧЕНИИ
при прямом изгибе
12. {2}.}
Безразмерные моменты инерции планет и спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара – 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}
где x , y и z – координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. {2}\cdot J_{Z}=1.}
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.
Рассматривая в предыдущих разделах простейшие виды деформаций – осевое растяжение и сжатие, смятие, скалывание – мы выяснили, что их сопротивление действующей силе пропорционально только размерам площади поперечного сечения элемента, на который действует сила. Так, при одинаковой площади сечения, одном и том же материале и одинаковой силе, действующей на каждый из стержней, изображенный на рис. 9.14, в них возникнут равные напряжения.
Переходя далее к изучению других более сложных видов деформаций (кручение, изгиб, внецентренное сжатие и др.) мы увидим, что в этих случаях сопротивление элемента конструкции внешним силам зависит не только от площади его поперечного сечения, но и от распределения этой площади в плоскости сечения, т. е. от формы сечения.
Из обыденного опыта ясно, что согнуть стержень 4 в вертикальном направлении труднее, чем стержень 5, а стержень 6 имеет еще большую жесткость, хотя площади сечений всех этих стержней одинаковые (рис. 9.14).
Параметрами, характеризующими геометрические свойства различных плоских фигур, кроме площади, являются: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции.
Статический момент площади . Представим брус с произвольной формой поперечного сечения площадью F , в плоскости которого проведена ось х (рис. 9.15). Выделим элемент площади dF , расположенный на расстоянии у от оси х .. Статическим моментом элементарной площадки , относительно оси х называют произведение этой площадки на ее расстояние до оси:

Статический момент всей площади F относительно оси х равен сумме статических моментов всех элементарных площадок, которые могут быть выделены на рассматриваемой площади:

Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести площади фигуры определяют по формулам:
Поэтому
Следовательно, статический момент фигуры площадью F относительно какой-нибудь оси равен произведению площади на расстояние центра тяжести фигуры до этой оси. Размерность статического момента – единица длины в кубе ( , ).
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют центральными.Если фигура имеет ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, т. е. оси симметрии одновременно являются и центральными осями.
Будем также иметь в виду, что статический момент сложной фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов относительно той же оси простых фигур, на которые может быть разбита исходная сложная фигура:

Рис. 9.16. Схема к определению координат центра тяжести сложной фигуры.
Для решения этой задачи выберем две оси координат х и у , совпадающие со сторонами фигуры. Разобьем фигуру, все размеры которой должны быть известны, на элементарные части – прямоугольники – координаты центров тяжести которых очевидны, так как эти части симметричны. Составим теперь выражения для вычисления статического момента всей площади, например относительно оси у . Это можно сделать двумя способами:
а) взять сумму статических моментов отдельных площадей
В этих выражениях F – площадь всей фигуры; – координата ее центра тяжести; – площади отдельных частей фигуры, а – координаты их центров тяжести.
Приравнивая друг к другу написанные выше формулы, получим уравнение с одной неизвестной :
Аналогично этому расстояние центра тяжести фигуры от оси х может быть выражено так:
Составляя интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой произведение элемента площади на квадрат расстояния до начала координат (рис. 9.17), получим полярный момент инерции :
Отметим еще одну характеристику, в которой площадка dF умножается на произведение координат
Эту величину называют центробежным моментом инерции . Приведенные моменты инерции измеряются в единицах длины” взятой в четвертой степени (, ).
Осевые и полярные моменты инерции фигуры – величины положительные и не могут быть равными нулю. Центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями инерции и обозначаются . Для симметричной фигуры ось симметрии является и главной осью.
Осевые моменты инерции, определенные относительно главных осей, имеют максимальное и минимальное значения.
Так же как и для статического момента, момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции образующих ее фигур. Подчеркнем, что сказанное справедливо в том случае, когда все моменты инерции вычисляются относительно одной и той же оси.
Для моментов инерции существует еще одно правило, часто используемое в расчетах. Применительно к осевым моментам оно “формулируется следующим образом: момент инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной, равен моменту инерции относительно центральной оси плюс произведение площади фигуры, на квадрат расстояния между осями (рис. 9.18):
Для центробежных моментов инерции соответствующее правило в аналитическом виде выглядит так:
Для получения значения момента инерции конкретной фигуры в принципе надо решить соответствующий интеграл по площади этой фигуры. Однако с целью облегчения инженерных расчетов такие интегралы для наиболее распространенных форм поперечных сечений строительных элементов уже решены и результаты решений в виде формул представлены в таблицах, одна из которых помещена в приложении 3.
Кроме того, в ГОСТах на все стандартные профили проката, выпускаемые в нашей стране (уголки, двутавры и др.), даются значения осевых моментов инерции и других геометрических характеристик для каждого типоразмера проката (см. приложение 4).
Наконец, для сложных по форме сечений моменты инерции определяют, используя изложенные выше два правила: о сложении моментов инерции и о пересчете моментов инерции относительно одних осей на другие оси.
Момент сопротивления . Осевым моментом сопротивления плоской фигуры относительно какой-либо оси, лежащей в плоскости фигуры, называется частное от деления момента инерции относительно той же оси на расстояние до наиболее удаленной точки фигуры (см. рис. 9.17):
Моменты сопротивления имеют размерность длины в кубе (, ).
Формулы для расчетов осевых моментов сопротивлений наиболее часто встречающихся фигур приведены в приложении 3, а конкретные значения этой характеристики для профилей стального проката даны в ГОСТах (приложение 4). Отметим, что в отличие от моментов инерции моменты сопротивления складывать нельзя.
Радиус инерции . Радиусом инерции называется величина, получаемая по формуле
а для круга диаметром d радиус инерции относительно оси, проходящей через центр круга, равен
Сфера применения рассмотренных выше геометрических характеристик сечений будет раскрыта при изучении видов деформаций, которым посвящены следующие подразделы настоящей главы.
В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур.
Прямоугольник и параллелограмм (рис. 6.4). Выделим элементарную полоску площадью dF = bdy и подставим это значение dF под знак интеграла (6.5):
Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (6.13):
.
Моменты инерции прямоугольника относительно осей y c и y вычисляются по формулам (6.16) и (6.17), где b заменяется на h , а h на b :
Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем
Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр d и подсчитывают I p по формуле
Центральные оси y и z делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей y и z должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии y и оси z , проходящей через его основание (рис. 6.2), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,
а моменты инерции четверти круга
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
1. Геометрические характеристики сечений.
1.3. Моменты инерции простых сечений.
1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0 , проходящей через центр тяжести параллельно основанию.
За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

Итак,
(1.11)
Аналогично, получим
(1.12)
2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга
За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp
тогда
Следовательно,
(1. 13)
Теперь легко найдем Ixo . Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо , откуда
(1.14)
2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
(1.15)
где c = d/D.
Аналогично полярный момент инерции
(1.16)
2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1 , параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:
DA = by dy,
Где by – длина прямоугольника.
Вращательная инерция — Грег Скул
Проще говоря, вращательная инерция (представленная $I$) объекта является мерой того, насколько вращающийся объект будет «сопротивляться» отклонению от равномерной и постоянной угловой скорости $\ vec{ω}$. Вращательная инерция играет ту же роль во вращательном движении, что и масса в прямолинейном движении. Оба являются мерой того, насколько объект сопротивляется изменению равномерного движения. В линейном движении инерция (насколько объект будет сопротивляться переходу от равномерного движения по прямой линии с постоянной скоростью) — это просто масса $m$. Но при вращательном движении то, насколько вращающийся объект будет сопротивляться переходу из состояния постоянной угловой скорости $\vec{ω}$ (что и измеряет величина $I$) зависит не только от массы $ m$ объекта, но и от того, как распределяется эта масса. У нас уже есть некоторое интуитивное представление об этом понятии. Например, предположим, что я кладу на стол два шара одинаковой массы, которые имеют постоянную угловую скорость $\vec{ω}=0$ (другими словами, они не вращаются). Но предположим, что один из шаров твердый, а другой совершенно полый. Несмотря на то, что обе сферы имеют одинаковую массу, если вы попытаетесь раскрутить полую сферу, вы обнаружите, что заставить ее вращаться гораздо труднее, чем твердую сферу. Это один из примеров того, как рациональная инерция объекта (сопротивление объекта изменению от постоянной скорости $\vec{ω}$) зависит от того, как масса объекта распределена в пространстве. 92dm},\tag{2}$$
где $dm$ – масса каждого бесконечно малого элемента массы, а $r$ – расстояние по перпендикуляру между этим элементом массы и осью вращения объекта. Уравнения (1) и (2) фиксируют, как величина $I$ зависит от массы системы или объекта и как эта масса распределяется в пространстве на расстояния $r_i$ (для системы $n $ частицы) или $r$ (для объекта).
Просто взглянув на эти уравнения качественно, мы можем понять, почему полый шар имеет большую инерцию вращения, чем сплошной шар той же массы. Перпендикулярное расстояние $r$ каждого элемента массы, составляющего твердую сферу, больше, чем плечо рычага $r$ между каждым элементом массы и осью вращения. Как видно на рисунке 1, для полой сферы все элементы массы расположены на внешней поверхности сферы; вот почему большинство из них довольно далеко от оси вращения. Но для сплошной сферы большая часть элементов массы находится внутри сферы. Элементы массы внутри сферы могут располагаться довольно близко к оси вращения, как показано на рисунке 1. Таким образом, большинство элементов массы в сплошной сфере будут иметь меньшее плечо вывода $r$, чем элементы массы в полая сфера, расположенная вдоль дальнего внешнего края сферы. 92dm}\), также должен быть большим и, согласно уравнению (2), этот объект должен иметь большую инерцию вращения $I$.
Качественно мы знаем, что полая сфера имеет большую инерцию вращения, чем сплошной шар; поэтому труднее ускорить или замедлить его вращение. Но давайте докажем это количественно, решив интеграл в уравнении (2), чтобы найти инерцию вращения для полой сферы; затем, после этого, мы сделаем то же самое для твердой сферы. В уравнении (2) $r$ представляет перпендикулярное расстояние каждого элемента массы от оси вращения. Мы знаем, что радиус сферы $R$ представляет собой общее расстояние каждого элемента массы от центра сферы. Если мы позволим $θ$ обозначить угол между осью вращения и расстоянием $R$ каждой частицы, то плечом рычага каждой частицы будет просто $r=Rsinθ$. Подставляя это в уравнение (2), мы имеем 92θdm},\tag{3}$$
Чтобы решить интеграл в уравнении (3), выразим как подынтегральную функцию, так и пределы интегрирования по $θ$. Если полая сфера имеет очень тонкую оболочку, то мы можем игнорировать толщину оболочки и аппроксимировать всю массу сферы как находящуюся на поверхности сферы. Это означает, что каждый элемент беспорядка $dm$ находится на бесконечно малом элементе поверхности $Rdθ$. Если через $σ$ обозначить массу на единицу площади полой сферы, то массу $dm$ каждого элемента массы можно выразить как 92.\tag{5}$$
Зная массу $M$ и радиус $R$ полой сферы, можно использовать уравнение (5) для расчета инерции вращения этой сферы.
Эта статья находится под лицензией CC BY-NC-SA 4.0.
2.19: Момент инерции относительно точки
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
8369
Джереми Татум
Университет Виктории
Под «моментом инерции» мы до сих пор понимали второй момент массы по отношению к оси. Мы легко смогли отождествить его с инерцией вращения по отношению к оси, а именно отношением приложенного крутящего момента к результирующему угловому ускорению. 92_i) \label{eq:2.19.1} \]
как (второй) момент инерции с относительно начала координат , также иногда называемый «геометрическим моментом инерции». Я не могу очевидным образом связать его с простым динамическим понятием так же, как я связал момент инерции по отношению к оси с инерцией вращения, но мы увидим, что это ни в коем случае не просто утомительное арифметическое упражнение, и у него есть свое применение. Символ I , вероятно, довольно часто использовался в этой главе; поэтому для описания геометрического момента инерции я буду использовать символ $ {\bf \iota} $.
Очевидно, что момент инерции относительно начала координат не зависит от ориентации какого-либо конкретного базисного набора ортогональных осей, поскольку он зависит только от расстояний частиц от начала координат.
Если вы вспомните определения $A, B$ и $C$ из раздела 2.15, вы легко увидите, что
\[ {\bf \iota} = \frac{1}{2} (A+B+C) \label{eq:2.19.2} \]
и мы уже отметили (см. уравнение 2.16.2), что $ A + B + C $ инвариантно относительно вращения осей. В разделе 2.18 мы выразили это несколько более общим образом, сказав, что «след симметричной матрицы инвариантен относительно ортогонального преобразования». К настоящему времени это, вероятно, кажется немного менее загадочным. 92 \alpha(4 \alpha – \sin 4 \alpha)} \nonumber \]
где $\sin \alpha = \sqrt k $.
Примера $\PageIndex{1}$ должно быть достаточно, чтобы убедиться, что понятие $ {\bf \iota } $ полезно, но это не единственное его применение. Мы встретимся с ним снова в главе 3 о динамике систем частиц; в частности, она будет играть роль в том, что мы познакомимся с теоремой вириала.
Эта страница под названием 2.19: Момент инерции по отношению к точке распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Татумом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
Джереми Татум
Лицензия
CC BY-NC
Версия лицензии
4,0
Показать оглавление
нет
Метки
источник@http://orca. phys.uvic.ca/~tatum/classmechs.html
Видео-вопрос: Нахождение момента инерции твердого шара относительно одной из его хорд
Стенограмма видео
Найти момент инерции однородного сплошного шара радиуса 𝑎 и массы 𝑚 относительно оси, которая находится на расстоянии корня два 𝑎 больше двух от центра шара. Это (а) девять 𝑚𝑎 в квадрате на 10, (b) два 𝑚𝑎 в квадрате на пять, (c) семь 𝑚𝑎 в квадрате на пять, (d) 13 𝑚𝑎 в квадрате на 20 или (e) 𝑚𝑎 в квадрате на два?
Давайте сначала расчистим место и начнем с рисования простой схемы сценария. Итак, у нас есть однородная сплошная сфера радиуса 𝑎 и массы 𝑚. И он вращается вокруг оси, которая находится на расстоянии двух 𝑎 больше двух от его центра. Итак, мы находим момент инерции этого твердого тела относительно оси, отличной от его главной оси, которая не проходит через его центр масс.
Однако эта ось параллельна главной оси, поэтому мы можем использовать теорему о параллельности осей. Это гласит, что любой момент инерции 𝐼 относительно оси, параллельной главной оси, определяется моментом инерции объекта относительно его главной оси, 𝐼 равным нулю, плюс произведение массы объекта, 𝑚, и квадрата расстояния между двумя осями, 𝑙 в квадрате. Итак, нам просто нужно найти момент инерции объекта относительно его главной оси, 𝐼 ноль, а остальное очень просто.
Момент инерции однородной сплошной сферы относительно оси, проходящей через ее центр, — хорошо известная цифра, но мы выведем ее из первых принципов. Давайте центрируем сферу в начале сферической системы координат с осью вращения вдоль оси 𝑦. Типичная точка в этой системе координат находится на расстоянии 𝑟 от начала координат. Угол, который линия от начала до точки образует с 𝑥𝑧-плоскостью, является широтой точки 𝜙, которая может быть от нуля на северном полюсе на положительной оси 𝑦 до 𝜋 на южном полюсе на отрицательной оси 𝑦. Угол, который точка образует с осью 𝑥 в плоскости 𝑥𝑧, представляет собой долготу точки 𝜃, которая изменяется от нуля по положительной оси 𝑥 до 𝜋 по отрицательной оси 𝑥 и до двух 𝜋 обратно по положительной 𝑥- ось.
Обратите внимание, что точные соглашения о сферических координатах могут различаться. Но небольшие различия, например, по какой оси найти аргумент, не будут иметь значения для этих вычислений. Рассмотрим типичный бесконечно малый кусок этой сферы. Элемент объема в сферических координатах d𝑣 выглядит так. Он имеет глубину d𝑟. А заметание под малым углом d𝜃 и d𝜙 дает площадь поперечного сечения 𝑟 d𝜙, умноженную на 𝑟 sin 𝜙 d𝜃. Это дает d𝑣 равно 𝑟 квадрату греха 𝜙 d𝑟 d𝜃 d𝜙. Опять же, точные соглашения могут различаться. Но пока этот элемент объема согласуется с используемой вами системой координат, это не будет иметь значения для расчетов.
Момент инерции этого маленького кусочка сферы d𝐼 определяется его массой, назовем это d𝑚, произведением расстояния от оси вращения в квадрате, назовем это 𝑠 в квадрате. Мы можем повторно выразить d𝑚 как плотность в этой точке 𝜌, умноженную на объем d𝑣. Подставляя это и наше выражение для d𝑣 в уравнение для d𝐼, мы получаем d𝐼 равно 𝑠 в квадрате 𝜌𝑟 в квадрате cos 𝜙 d𝑟 d𝜃 d𝜙. 𝑠 на самом деле просто расстояние фигуры от оси 𝑦. Это расстояние иногда обозначается в сферических координатах с большим 𝑅 и может быть дано в стандартных сферических координатах как малое 𝑟, умноженное на грех широты 𝜙. И подстановка этого в наше уравнение для d𝐼 дает 𝜌𝑟 четвертому греху в кубе 𝜙 d𝑟 d𝜃 d𝜙.
Чтобы найти момент инерции всей сферы, нам нужно проинтегрировать d𝐼 между пределами границ сферы. Таким образом, 𝐼 равно тройному интегралу между 𝜙 один и 𝜙 два, 𝜃 один и 𝜃 два, и 𝑟 один и 𝑟 два из 𝜌𝑟 четвертому греху в кубе 𝜙 d𝑟 d𝜃 d𝜙.
Давайте сейчас подключим эти ограничения, так как это значительно упростит интеграцию. Поскольку сфера сосредоточена в начале координат, нижняя и верхняя границы 𝑟 будут просто равны нулю, а радиус сферы 𝑎 соответственно. Нижний и верхний пределы долготы 𝜃 будут равны нулю и двум 𝜋 соответственно. И, наконец, нижняя и верхняя границы широты 𝜙 будут равны нулю и 𝜋 соответственно.
И последнее, прежде чем мы продолжим, это 𝜌 в интегрировании на самом деле является константой, поскольку сфера однородна и определяется как общая масса сферы 𝑚, деленная на ее общий объем 𝑣. Но давайте пока просто назовем это 𝜌 и оставим это на потом. Однако это означает, что мы можем взять 𝜌 вне интеграции. Это дает нам 𝐼 равно тройному интегралу между 𝜙 равным нулю и 𝜋, 𝜃 равно нулю и двум 𝜋, а 𝑟 равно нулю и 𝑎 из 𝜌𝑟 четвертому греху в кубе 𝜙 d𝑟 d𝜃 d𝜙.
Мы можем выполнять эту интеграцию в любом порядке, который мы выберем, но некоторые заказы будут проще, чем другие. Как правило, проще начать с самой простой интеграции, другими словами, с переменной с наименьшей зависимостью. В этом подынтегральном выражении мы видим, что у нас есть зависимость от 𝑟 до четвертой и синус в кубе 𝜙, но никакой зависимости от 𝜃. Поэтому давайте сначала проинтегрируем по 𝜃, а затем давайте проинтегрируем по 𝜙, потому что тригонометрическое интегрирование по сферическим системам координат обычно приводит к хорошим сокращениям.
Итак, это дает нам 𝜌, умноженное на интеграл между нулем и 𝑎 d𝑟, умноженный на интеграл между нулем, и 𝜋 d𝜙, умноженный на интеграл между нулем и двумя 𝜋𝑟 до четвертого синуса в кубе 𝜙 d𝜃. Интегрируя по 𝜃, мы получаем просто 𝜃 в пределах от нуля до двух 𝜋. Таким образом, это оценивается просто двумя 𝜋, которые мы можем вынести за пределы остальной части интегрирования. Таким образом, теперь у нас есть умноженный на два 𝜋𝜌 интеграл между нулем и 𝑎 d𝑟, умноженный на интеграл между нулем и 𝜋𝑟 до четвертого синуса в кубе 𝜙 d𝜙.
Прежде чем продолжить, очистим еще немного места. Теперь нам нужно знать, как интегрировать куб греха 𝜙 относительно 𝜙. При интегрировании любой тригонометрической функции, возведенной в большую степень, помните свои тригонометрические тождества. Поскольку квадрат греха 𝜙 тождественно равен единице минус квадрат косинуса 𝜙, мы можем переписать этот интеграл как грех 𝜙, умноженный на единицу минус квадрат косинуса 𝜙 d𝜙. Раскрывая эти скобки, мы получаем sin 𝜙 минус sin 𝜙 cos в квадрате 𝜙. Интегрировать грех 𝜙 будет легко. А для второго члена обратите внимание, что отрицательный sin 𝜙 является производным от cos 𝜙.
Итак, распознав и используя цепное правило, мы можем видеть, что этот термин на самом деле является производной одной трети в кубе 𝜙. Таким образом, это дает интеграл от куба греха 𝜙 d𝜙, равный отрицательному cos 𝜙 плюс одна треть куба cos 𝜙 плюс 𝐶. Таким образом, очищая некоторое пространство и интегрируя по 𝜙, мы получаем 𝐼 равно двум 𝜋𝜌, умноженным на интеграл между нулем и 𝑎 отрицательного cos 𝜙, плюс одна треть куба cos 𝜙, оцененная между нулем и 𝜋, умноженная на 𝑟 до четвертого d𝑟.
Эти тригонометрические функции будут значительно упрощены, потому что мы вычисляем ноль и 𝜋. Вычисляя, получаем один минус одна треть минус минус один плюс одна треть. Упрощая это и вынося константу за пределы интегрирования, мы получаем восемь третей 𝜋𝜌, умноженных на интеграл между нулем и 𝑎 от 𝑟 до четвертого d𝑟. И, наконец, интегрирование по 𝑟 дает нам от одной пятой 𝑟 до пятой.
Давайте освободим еще немного места. И вычисление интеграла дает нам восемь третей 𝜋𝜌 умножить на одну пятую 𝑎 до пятой, что еще больше упрощает до восьми на 15 раз 𝜋𝜌𝑎 до пятой. Теперь нам нужно заменить выражение для 𝜌 на 𝑚 и 𝑎. Опять же, поскольку сфера однородна, 𝜌 просто равно массе сферы 𝑚, деленной на ее объем 𝑣. Объем сферы определяется стандартной формулой для объема сферы: четыре трети умножить на 𝜋 умножить на 𝑎 в кубе. Таким образом, это упрощается до 𝜌 равно трем 𝑚 на четыре 𝜋𝑎 в кубе.
Подставив это в наше уравнение для 𝐼, мы получим восемь на 15, умноженное на 𝜋, умноженное на три 𝑚 на четыре, умноженное на 𝜋𝑎 в кубе, умноженное на 𝑎 до пятого. Очищая некоторое пространство, и теперь мы будем обозначать 𝐼 как 𝐼 ноль, момент инерции относительно главной оси, равный двум 𝑚𝑎 в квадрате над пятью, что действительно является стандартной формулой для момента инерции однородной твердой сферы относительно ее главной оси. . Теперь это просто вопрос использования теоремы о параллельных осях.
Таким образом, момент инерции относительно заданной оси 𝐼 равен двум 𝑚𝑎 в квадрате из пяти плюс произведение массы сферы 𝑚 и ее расстояния от главной оси в квадрате, что равно корню два 𝑎 из двух в квадрате. Раскрытие скобок и упрощение дает нам два 𝑚𝑎 в квадрате на пять плюс 𝑚𝑎 в квадрате на два. И, наконец, подведение к общему знаменателю дает нам 𝐼 равно девяти 𝑚𝑎 в квадрате на 10. Сравнивая это с нашим выбором ответов, ответ будет таким: (а) девять 𝑚𝑎 в квадрате на 10.
Радиус вращения: определение, формула и приложения
В этой статье мы узнаем о радиусе вращения в физике и его приложениях. Мы также рассчитаем его значение для тонкого стержня и твердого шара.
Начнем с определения.
Радиус вращения — это воображаемое расстояние от оси вращения до точки, в которой сосредоточена вся масса тела, так что момент инерции относительно оси остается неизменным.
Он в основном связывает момент инерции относительно конкретной оси с площадью вращения.
Какова формула радиуса вращения?
Допустим, у нас есть тело массой M , тогда момент инерции равен
Инерция (I) = MK ²
Здесь K обозначает радиус вращения.
Из приведенного выше уравнения мы можем вывести формулу радиуса вращения как
К = √(I/М)
Итак, К — это квадратный корень из I (момент инерции), деленный на М , полной массы тела.
Now, suppose the body consists of n particles each of mass m and r ₁ , r ₂ , r ₃ , …. , r _n — перпендикулярные расстояния частиц от оси вращения.
Тогда момент инерции тела относительно оси вращения равен
I = M ₁ R ₁ ² + M ₂ R ₂ ² + M ₃ R ₃ ^{2 r ₃ ^{2 + . 2}}
Согласно нашему предположению, каждая частица имеет одинаковую массу, м . Итак, наше уравнение становится
I = m (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + …… + r _n ² )
Умножив правую часть на н/н , получим
I = mn (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + …… + r _n
2 ) /
2
Нам известна полная масса тела, M = mn .
I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + …… + r _n ² ) / n
Из предыдущего уравнения имеем I = MK ² . Итак,
MK ² = M (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₃ ² + …… + R _N ² + …… + R _N отмена M с обеих сторон К ² = (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + …… + r _n ² ) / n K = √( (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + …… + r _n
2) / 90 107 K = корень квадрата среднего расстояния частиц от оси вращения.
Следовательно, мы можем также определить радиус вращения как среднеквадратичное расстояние различных частиц тела от оси вращения.
Расчет радиуса инерции тонкого стержня
Предположим, у нас есть тонкий стержень массой M и длиной L . Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной его длине, равен
I = М Д ² / 12
Из предыдущего уравнения мы знаем, что отношение между моментом инерции и радиусом вращения равно
I = MK ²
Теперь давайте объединим два приведенных выше уравнения.
МК ² = МЛ ² / 12 К ² = L ² / 12 К = L / √ (12)
Следовательно, если мы знаем длину стержня, мы можем вычислить значение K .
Вычислить радиус вращения тонкого стержня
Вычислить радиус вращения твердого шара
Предположим, у нас есть твердый шар радиусом R и массой M . Момент инерции шара
I = 2 МР ² / 5
Так как значение I = МК ² уравнение принимает вид
МК ² = 2 МР ² / 5
Здесь K — радиус вращения.
К ² = 2 Р ² / 5 K = √(⅖) R
Следовательно, мы можем вычислить значение K , если знаем радиус твердой сферы.
Расчет радиуса вращения твердой сферы
Использование радиуса вращения
Расчет радиуса вращения относительно прост, поэтому его часто используют для изучения различных динамических систем. Например,
1. В молекулярной системе мы можем использовать радиус вращения ( K ) для измерения эффективного размера полимера. Если значение К невелико, то можно сказать, что полимер относительно компактен.
2. Аналогично в проектировании конструкций , мы можем использовать K для измерения жесткости колонны.
3. Мы также можем использовать радиус вращения для определения распределения массы по оси вращения. Если значение К мала, значит масса близка к оси вращения. Однако, если К велико, масса находится далеко от оси вращения.
Похожие статьи
Коэффициент трения
Типы трения
Принцип углового момента
Момент инерции: определение, вывод, формула
Момент инерции может быть определен как количественная мера инерции вращения тела . Проще говоря, момент инерции можно описать как величину, определяющую величину крутящего момента , необходимого для определенного углового ускорения по оси вращения. Момент инерции зависит от распределения массы вокруг оси вращения. В зависимости от выбранной оси момент инерции меняется.
Проверка: радиус вращения
Содержание
Каков момент инерции?
Момент момента инерции формулы
Расчет момента инерции
Moment of Inertia для различных объектов
Moment of Inertia для различных объектов
Moment of Inertia для различных объектов
Предыдущие годы
9003 Предыдущие годы 9003 . Что следует помнить
Примеры вопросов
0108
Что такое момент инерции?
[Нажмите здесь, чтобы просмотреть вопросы предыдущего года]
Момент инерции — это «количество, представленное телом, которое сопротивляется угловому ускорению, и представляет собой сумму произведения массы каждой частицы на квадрат расстояния от ее оси вращения. ». Момент инерции также известен как вращательная инерция или угловая масса.
Момент инерции
0107 крутящий момент необходим для определенного углового ускорения по оси вращения. Ось может быть внутренней или внешней и может быть фиксированной или нефиксированной. кг м² — единица СИ для Момент инерции.
Факторы, которые определяют момент инерции
Момент инерции, в основном, зависит от следующих трех факторов:
Плотность
SHAME и Size
6053 Акси.
AX
AX
3.
AX
3.
AX
.0060
Также проверьте: Радиальное ускорение
Момент инерции Формулы
[Нажмите здесь для образцов. I = m × r²
Где
I = момент инерции.
м = сумма произведений массы.
r = расстояние от оси вращения.
M¹ L² T° – размерная формула момента инерции.
Уравнение для момента инерции дается:
I = I = ∑mi Ri²
. ]
Для расчета момента инерции мы используем две важные теоремы:
Теорема о перпендикулярной оси
Теорема о параллельной оси
Теорема о перпендикулярной оси
Согласно теореме о перпендикулярной оси момент инерции плоского тела относительно оси, перпендикулярной плоскости тела, равен сумме моментов инерции тело вокруг двух перпендикулярных осей, совпадающих с перпендикулярной осью и лежащих в плоскости тела, т. е.
Перпендикулярная ось Теорема
Теорема об перпендикулярных осях применима только к плоским телам (двухмерным телам). Тела должны быть плоскими с очень малой или незначительной толщиной.
Теорема о параллельной оси
Согласно теореме о параллельной оси момент инерции тела относительно оси, параллельной телу, проходящей через центр масс, равен сумме моментов инерции тела относительно оси проходящей через центр масс и произведение массы и квадрата расстояния между двумя осями, т. е. I _Z’ = I _z + Mα²
Здесь α = расстояние между двумя осями.
Теорема о параллельных осях
Теорема о параллельных осях применима к телам любой формы.
Момент инерции однородного стержня относительно его биссектрисы
Однородный стержень
Момент инерции однородного стержня относительно его серединного перпендикуляра может быть выражен как
I = ML² / 12
, где,
I = момент инерции
M = Mass of the Uniform Rod
I = Moment Anertia
M = Mass of the Uniform66669. 2
2
.
. Определение момента инерции однородного стержня относительно его биссектрисы
Рассмотрим однородный стержень массы M и длины L, и момент инерции нужно вычислить относительно биссектрисы AB.
Поскольку стержень однороден, масса на единицу длины (линейная массовая плотность) остается постоянной.
∴ M/L = dm/dx
⇒ dm = (M/L)dx
Момент инерции dm,
⇒ dI = dm x²
⇒ dI = ²0009 x²03 dxL.
⇒ I = -L/2 ∫+L/2 dI
= M/L × -L/2∫+L/2 x² dx
Здесь
x = -L/2 — левый конец стержня,
, а «x» меняется с –L/2 на +L/2.
Сейчас,
⇒ I = M/L × [x³/3] + L/2-L/2
⇒ I = ML²/12.
Hence,
the moment of inertia of a uniform rod about a perpendicular bisector is, I = ML²/12
The Moment of Inertia of a System of Particles
Moment of Инерция системы частиц
Момент инерции системы частиц можно выразить как:
I = ∑mi Ri²
, где,
I = момент инерции
RI = перпендикулярное расстояние от оси до ^TH.
Момент инерции твердого тела
Момент инерции твердого тела
Момент инерции твердого тела может быть выражен как 3
38 I = ∫R² DM
Moment of Inertia Round Cring Обол. Круглое кольцо вокруг своей оси можно выразить следующим образом:
I = MR²
Проезд через центр
Момент инерции четырехгранной тарелки
Момент инерции четырехсторонней (прямоугольной) тарелки относительно линии, параллельной краю и проходящей через центр, может быть выражен как:
I = MI² / 12
Если масса элемента параллельна длине пластины, то момент инерции будет, Момент инерции однородной круглой пластины относительно ее оси
Момент инерции однородной круглой пластины
Момент инерции однородной круглой пластины относительно ее оси можно выразить как: I = MR² / 2
Момент инерции тонкой сферической оболочки или однородной полой сферы 2 9 006 4 9006
0107 Moment of Inertia of Thin Spherical Shell
Moment of Inertia of Thin Spherical Shell or Uniform Hollow Sphere can be expressed as:
I = 2MR² / 3
Момент инерции твердого шара
Момент инерции твердого шара
Момент инерции твердого шара можно выразить как:
I = 2MR² / 5
Moment of Inertia для различных объектов
[клик здесь для выборки. , I = ½ МР².
Момент инерции обруча относительно оси симметрии будет, I = MR².
Момент инерции твердого шара будет I = 2/5 MR².
Момент инерции стержня относительно центра будет, I = 1/12 ML².
Момент инерции сплошного цилиндра относительно центрального диаметра будет равен I = ¼ MR² + 1/12 ML².
Момент инерции обруча относительно диаметра будет, l = ½ MR².
Момент инерции тонкой сферической оболочки будет I = 2/3 MR².\
Момент инерции стержня относительно его конца будет I = 1/3 ML².
Проверить больше:
Вопросы предыдущего года
L-образный объект, сделанный из тонких стержней однородной формы … [JEE Mains 2019]
Рассмотрим тонкий равномерный квадратный лист из жесткого материала … [JEE Mains 2015]
Из однородного круглого диска радиусом … [JEE Mains 2018]
В физическом равновесии работает по принципу моментов … [JEE Mains 2017]
Пусть момент инерции полого цилиндра длиной … [JEE Mains 2019]
Два однородных круглых диска вращаются независимо … [JEE Mains 2020]
Крутящий момент τ на теле относительно заданной точки оказывается равным … [JEE Advanced 1998]
Два шара, обладающих линейным импульсом … [JEE Advanced 2008]
однородный круговой диск … [JEE Advanced 2000]
Тонкая проволока длиной L и однородной линейной плотностью массы p … [JEE Advanced 2000]
Блок массой M имеет круговой разрез без трения … [JEE Advanced 2017]
Рассмотрим тело, показанное на рисунке, состоящее из двух одинаковых шаров … [JEE Advanced 2003]
Частица совершает равномерное круговое движение … [JEE Advanced 2003]
Момент инерции тонкого квадрата пластина … [JEE Advanced 1992]
Однородный стержень массы M и длины L изогнут в форме … [JKCET 2019]
Шар массой 0,2 кг опирается на вертикальную стойку высотой 5 м … [JEE Advanced 2011]
Что нужно помнить
Проверьте больше:
Примеры вопросов
Вопросы. Момент инерции в основном зависит от скольких факторов и каковы они? (1 балл)
Ответ . Момент инерции в основном зависит от трех факторов. Это:
Плотность материала.
Форма и размер корпуса.
Ось вращения.
Вопрос. Два шара А и В соединены стержнем. Масса шара А 500 грамм, масса шара В 300 грамм. Расстояние между шаром А и осью вращения XY равно 20 см, а расстояние между шаром В и осью вращения XY равно 30 см. Каков момент инерции системы относительно XY? (3 балла)
Ответ . Дано,
Ось вращения XY
мА = 500 грамм = 0,5 кг
mB = 300 грамм = 0,3 кг
rA = 20 см = 0,2 м
rB = 30 см = 0,3 м
Теперь, х (0,04) + (0,3) х (0,09)
I = 0,02 + 0,027
I = 0,047 кг м²
Отсюда момент инерции системы относительно XY равен 0,047 кг м².
Вопрос. Два шара А и В соединены стержнем. Расстояние между мячом А и мячом В равно 40 см. Масса шара А 700 грамм, масса шара В 600 грамм. Чему равен момент инерции системы? (2 балла)
Ответ . Дано:
мА = 700 грамм = 0,7 кг
мБ = 600 грамм = 0,6 кг
rA = 0 см = 0 м
rB = 40 см = 0,4 м = (0,7)× (0)2 + (0,6)× (0,4)2
I = 0 + 0,096
I = 0,096 кг м²
Отсюда момент инерции системы равен 0,096 кг м².
Вопрос. Два шара А и В соединены стержнем. Расстояние между мячом А и мячом В равно 70 см. Масса шара А равна 9.00 грамм, а масса шара B равна 700 граммам. Чему равен момент инерции системы? (3 балла)
Ответ . Дано:
мА = 900 грамм = 0,9 кг
мБ = 700 грамм = 0,7 кг
rA = 0 см = 0 м
rB = 70 см = 0,7 м = (0,9)× (0)² + (0,7)× (0,7)²
I = 0 + 0,343
I = 0,343 кг м²
Отсюда момент инерции системы равен 0,343 кг м².
Вопрос. Что такое Момент инерции? (2 балла)
Отв. Момент инерции может быть выражен как количество тела, которое сопротивляется угловому ускорению, и является суммой произведения массы каждой частицы на квадрат расстояния от ее оси вращения.
Вопросы. Учтите, что масса каждого шара, соединенного шнуром – 200 граммов. Длина шнура дана 80 см, а ширина 40 см. Определить момент инерции всех шаров относительно их оси вращения? (3 балла)
Отв. Принимая массы всех шаров по данному уравнению = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 200 грамм = 0,2 кг
Расстояние между шаром и осью вращения ₁ ) = 40 см = 0,4 м
То же самое для мяча 2, мяча 3 и мяча 4 = 40 см = 0,4 м
Следовательно, I = m ₁ r _{0 3 6 m 90 36 1 0 29029 2} r ₂ ² + M ₃ R ₃ ² + M ₄ R ₄ ²
⇒ I = (0,2) × (0,4) ⁸
⇒ I = (0,2) × (0,4) ²
. ) ² + (0,2) × (0,4) ² + (0,2) × (0,4) ²
⇒ I = 0,032 + 0,032 + 0,032 + 0,032
тит. инерции 0,128 кгм ²
Вопрос. Определить теорему о перпендикулярной оси. (2 балла)
Ответ. Теорема о перпендикулярной оси: момент инерции плоского тела относительно оси, перпендикулярной плоскости тела, равен сумме моментов инерции тела относительно двух перпендикулярных осей, совпадающих с перпендикулярной осью и лежащих в плоскости тела, то есть I _z = I _x + I _y .
Вопросы. Дайте определение вращательному движению. (1 балл)
Отв. Вращательное движение может быть выражено как вращение тел, которое остается постоянным на протяжении всего времени вращения вокруг неподвижной оси.
Вопрос. Чему равен момент инерции обруча относительно его оси симметрии? (1 балл)
Отв. Момент инерции обруча относительно оси симметрии будет, I = MR².
Вопросы. Как еще называют момент инерции? (1 балл)
Отв. Момент инерции часто также называют вращательной инерцией или угловой массой.
Читайте также:
0001
В первом случае каждая из четырех масс находится на расстоянии ½ с от оси. Таким образом…
I = ∑ r ² м

I = 4 ⎛
⎜
⎝ с ⎞ ²
⎟
⎠ м
2

I = мс ²

Во втором случае две массы находятся на оси и не влияют на момент инерции. Остальные массы находятся на расстоянии s от оси каждая. Таким образом…
I = ∑ r ² м
I = 2 мс ²
В третьем случае две массы лежат на оси, а две — на половине диагонали на расстоянии ½ с √2 от оси. Таким образом…
I = ∑ r ² м

I = 2 ⎛
⎜
⎝ с √2 ⎞ ²
⎟
⎠
2

I = мс ²

В четвертом случае одна масса лежит на оси, две на расстоянии с и одна по диагонали на расстоянии с √2 от оси. Таким образом…
I = ∑ r ² m
I = 2 ms ² + m ( s √2) ²
I = 4 мс ²
кольцо, обруч, цилиндрическая оболочка, тонкая трубка
Здесь не так много доказательств. Поскольку вся масса находится на одинаковом расстоянии R от оси вращения, момент инерции такой же, как у точечной массы, расположенной на расстоянии R с оси, а именно…
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = Р ² ⌠
⌡ дм
которое имеет тривиальное решение…
I = MR ²
Обратите внимание, что высота пялец не имеет значения. Эта формула одинаково хорошо работает как для длинной тонкой трубки, так и для плоского тонкого кольца.
кольцо, полый цилиндр, толстая труба
Полый цилиндр представляет собой ряд бесконечно тонких вложенных друг в друга цилиндрических оболочек, сложенных вместе. Способ записать это в исчислении…
I = ⌠
⌡ р ² дм
Масса каждого бесконечно малого слоя ( дм ) равна общей плотности (ρ), умноженной на бесконечно малый объем ( дВ ) слоя.
I = ⌠
⌡ r ² ρ дВ
Бесконечно малый объем равен площади поверхности цилиндрической оболочки (2π rh ), умноженной на ее бесконечно малую толщину ( dr ).
I = ⌠
⌡ r ² ρ2π rh dr
Последняя часть головоломки — это плотность, то есть масса, деленная на объем.
I = ⌠
⎮
⌡ р ² М 2π правая передняя
В
Объем полого цилиндра равен объему внешнего цилиндра минус объем внутреннего цилиндра.
V = π R ₂ ² h − π R ₁ ² h
V = π ( R ₂ ² – R ₁ ² ) h
Складываем вместе и интегрируем от внутреннего радиуса ( R ₁ ) к внешнему радиусу ( R ₂ ) дает…
I = ⌠
⎮
⌡ р ² М 2π правая передняя
π ( R ₂ ² − R ₁ ² ) ч 9
9
Р ₂
I = 2 М ⌠
⎮
⌡ р ³ др
Р ₂ ² – Р ₁ ²
Р ₁
I = 2 М R ₂ ⁴ − R ₁ ⁴
Р ₂ ² – Р ₁ ² 4
, что упрощается до…
I = M ( R ₂ ² + R ₁ ² )( R ₂ ² − R ₁ ² )
2( R ₂ ² − R ₁ ² )
и в итоге упрощается до…
I = ¹ ₂ М ( R ₂ ² + R ₁ ² )
Обратите внимание, как несколько шагов назад в этом уравнении исключена высота. Эта формула будет работать для длинной толстостенной трубы или плоского полого диска (также известного как кольцо ).
диск, сплошной цилиндр
Сплошной цилиндр — это полый цилиндр с нулевым внутренним радиусом, поэтому это доказательство аналогично предыдущему. Начните с определения момента инерции и подставьте плотность, умноженную на объем (ρ дВ ) для массы ( дм ).
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = ⌠
⌡ r ² ρ дВ
Бесконечно малый объем – это площадь поверхности цилиндрической оболочки (2π rh ) умноженная на его бесконечно малую толщину ( др ). Плотность однородного цилиндра равна его общей массе ( M ), деленной на его общий объем (π R ² h ).
I = ⌠
⌡ r ² ρ дВ
I = ⌠
⎮
⌡ р ² М 2π правая передняя
π Р ² ч
Теперь проинтегрируем все бесконечно малые оболочки от r = 0 до r = R …
Р
I = 2 М ⌠
⎮
⌡ р ³ др = 2 М Р ⁴
Р ² Р ² 4
0
и упростить…
I = ¹ ₂ MR ²
Опять же, высота не является фактором, влияющим на момент инерции этой формы. Эта формула будет работать для длинного сплошного цилиндра или плоского сплошного диска.
сферическая оболочка
Это жесткое доказательство. Как всегда, начнем с базовой формулы.
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = ⌠
⌡ r ² ρ дВ
Теперь самое сложное. Как мы нарежем эту штуку? Кольца рекомендую. Представьте стандартный единичный круг из класса триггеров. Начни с x оси, как обычно, и пройдите против часовой стрелки по окружности круга, измеряя и угол θ, который начинается с 0 радиан и заканчивается на π радиан, делая маленькие, крошечные d θ шагов. (Я буду использовать ось x в качестве оси вращения. Надеюсь, это нормально.) Радиус каждого кольца равен R sin θ, что означает, что его окружность равна 2π R sin θ. Ширина одного из этих колец будет R d θ, а его толщина будет небольшой. Что-то, что, мы надеемся, исчезнет в математике, которую мы собираемся начать. Назовем это т . Это дает нам элемент объема dV = (2π R sin θ)( R d θ)( t ) и интеграл…
I = ⌠
⌡ ( R sin θ) ² ρ(2π R sin θ Rd θ t )
Мы приближаемся. Замените плотность на массу на единицу объема. Объем сферической оболочки будет равен площади поверхности оболочки (4π R ² ) умноженная на его толщину ( t ).
I = ⌠
⎮
⌡ ( R sin θ) ² М (2π R sin θ R d θ t )
В
I = ⌠
⎮
⌡ ( R sin θ) ² М (2π R ² t sin θ d θ)
4π R ² т
Упростите этого зверя. Я просил тебя.
I = МР ² ⌠
⎮
⌡ sin ³ θ d θ
2
Вау! Что случилось со всеми символами? Говорю тебе, вся эта алгебра – волшебство. Упс, я забыл пределы интегрирования. Давайте вставим их.
№
I = МР ² ⌠
⎮
⌡ sin ³ θ d θ
2
0 г.
Хм, я не совсем понимаю, как это решить. Могу ли я предложить посмотреть результат в интегральной таблице? Или, может быть, позволить машине сделать всю работу за вас? Если вы скажете этому найти интеграл от (sin x ) ³, он вернет что-то вроде этого выражения без констант в начале или пределов в конце…
№
I = МР ² ¹ ₁₂ ⎡
⎢
⎣ , потому что 3θ − 9, потому что θ ⎤
⎥
⎦
2
0
Пределы этого интеграла… ну… что-то. Я чувствую себя таким ленивым сегодня после того, как обнаружил все эти моменты инерции. Позвольте мне использовать другой онлайн-источник для расчета верхнего предела…
cos(3·π) − 9 cos(π) = +8
и нижний предел…
cos(3·0) − 9 cos(0) = −8
количества в квадратных скобках.
I = МР ² ¹ ₁₂ ⎡
⎢
⎣ (+8) – (-8) ⎤
⎥
⎦
2
I = ¹⁶ ₂₄ MR ²

Я вижу приближение окончательного ответа.
I = ² ₃ MR ²
Теперь я официально счастлив.
полая сфера
Что такое полая сфера, но ряд сферических оболочек, сложенных друг на друга. Не используйте основную формулу.
не использовать I = ⌠
⌡ р ² дм не использовать
Начнем с того, что мы только что получили секунду назад — момента инерции сферической оболочки.
I _{сферическая оболочка} = ² ₃ MR ²
Разбейте полую сферу на ряд бесконечно малых сферических оболочек и объедините эти бесконечно малые моменты.
Р ₂
I = ⌠
⎮
⌡ ² ₃ р ² дм
Р ₁
Заменить dm на ρ dV . Замените плотность общей массой ( M ) на общий объем ( ⁴ ₃ π( R ₂ ³ − − R ₁ ³ )). Замените dV поверхностью сферы (4π r ² ), умноженной на ее бесконечно малую толщину ( dr ).
Р ₂
I = ⌠
⎮
⌡ ² ₃ r ² ρ dV
Р ₁
Р ₂
I = ⌠
⎮
⌡ ² ₃ р ² М 4π р ² др
⁴ ₃ π( R ₂ ³ − − R ₁ ³ )
Р ₁
Можно упростить до…
Р ₂
I = 2 М ⌠
⎮
⌡ р ⁴ др
Р ₂ ³ – Р ₁ ³
Р ₁
, который, безусловно, легко интегрируется.
Р ₂
I = 2 М ⎡
⎢
⎣ р ⁵ ⎤
⎥
⎦
Р ₂ ³ – Р ₁ ³ 5
Р ₁
Установите пределы…
I = 2 М R ₂ ⁵ − R ₁ ⁵
Р ₂ ³ – Р ₁ ³ 5
и немного подчистить.
I = ² ₅ M R ₂ ⁵ − R ₁ ⁵
R ₂ ³ – Р ₁ ³
Это настолько просто, насколько я могу это сделать.
твердая сфера
Хотите простое доказательство? Что такое сплошная сфера, как не полая сфера без внутреннего радиуса. Начните с формулы полой сферы
.
I _{полая сфера} = ² ₅ M Р ₂ ⁵ – Р ₁ ⁵
Р ₂ ³ – Р ₁ ³
Пусть R ₂ = R и предел равен R ₁ → 0
I = ² ₅ M Р ⁵
Р ³
Упростить и готово.
I = ² ₅ MR ²
Хотите более серьезное доказательство? Твердая сфера построена подобно луковице из слоя за слоем тонких сферических оболочек. Каждая оболочка имеет момент инерции, равный
I _{сферическая оболочка} = ⌠
⌡ ² ₃ р ² дм
I _{сферическая оболочка} = ⌠
⌡ ² ₃ r ² ρ дВ
Again, density is total mass ( M ) divided by total volume ( ⁴ ₃ π R ³ ) and infinitesimal volume ( dV ) is the surface area of a сферическая оболочка (4π r ² ) умноженное на его бесконечно малую толщину ( dr ). Подставьте эти значения и упростите…
I = ⌠
⎮
⌡ ² ₃ р ² М 4π р ² др
⁴ ₃ π R ³
I = 2 M ⌠
⌡ р ⁴ др
Еще один простой интеграл…
Р Р
I = 2 M ⌠
⎮
⌡ р ⁴ др = 2 М ⎡
⎢
⎣ р ⁵ ⎤
⎥
⎦
5
0 0
и это дает нам правильный ответ…
I = ² ₅ MR ²
Осмелюсь ли я попробовать еще одно доказательство? Что такое сплошная сфера, как не стопка дисков.
I _диск = ⌠
⌡ ¹ ₂ r ² дм = ⌠
⌡ ¹ ₂ r ² ρ дВ
Просмотрите свою аналитическую геометрию. Формула круга…
R ² = x ² + y ²
Диски нашей сферы имеют радиусы (обозначенные символом y ), которые изменяются в соответствии с этой формулой.
y ² = R ² − x ²
Опять же, плотность равна общей массе ( M ), деленной на общий объем (⁴ ₃ π R ³ ), но теперь бесконечно малый объем ( dV ) представляет собой площадь поверхности круглого диска (π y ² ), умноженное на его бесконечно малую толщину ( дх ). Подставить, упростить, …
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ ( R ² − x ² ) М π( R ² − x ² ) dx
⁴ ₃ π R ³
I = 3 М ⌠
⎮
⌡ ( R ² – x ² ) ² dx
8 Р
и интегрировать. Это некрасиво. Следуя своему усмотрению зрители советуют.
+ Р
I = 3 М ⌠
⎮
⌡ ( R ² – x ² ) ² dx
8 Р ³
− Р
+ Р
I = 3 М ⎡
⎢
⎣ x ⁵ − 2 Р ² x ³ + R ⁴ x ⎤
⎥
⎦
8 Р ³ 5 3
г. − Р
Все, что в квадратных скобках, сокращается до ¹⁶ ₁₅ R ⁵ . Поверьте мне. Я проверял это несколько раз.
I = 3 М 16 Р ⁵
8 Р ³ 15
Еще одно упрощение, и все готово.
I = ² ₅ MR ²
стержень, прямоугольная пластина (перпендикулярная биссектриса)
Пусть M и L — масса и длина пластины соответственно. Затем…
λ = М
Л
— его линейная плотность. Разделите прямоугольник вверх на тонкие полоски, идущие параллельно оси вращения. Ширина этих полос, dx , умноженное на линейную плотность, равно бесконечно малой массе каждого из них. Добавьте это в формулу момента инерции и проинтегрируйте от левого края пластины (-½ L ) до правого края (+½ L ).
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = ⌠
⌡ x ² λ дх
+½ л
I = ⌠
⎮
⌡ x ² М дх
Л
−½ Д
+½ л
I = ⎡
⎢
⎣ Мх ³ ⎤
⎥
⎦
3 Л
−½ л
Вещи отменяются, и при минимальном объеме работы вы заканчиваете с…
I = ¹ ₁₂ МЛ ²
стержень, прямоугольная пластина (ось вдоль края)
Используйте ту же настройку, что и в предыдущем доказательстве. Интегрировать от левого края пластины к правому краю; то есть от 0 до L .
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = ⌠
⌡ x ² λ дх
Л
I = ⌠
⎮
⌡ x ² М дх
Л
0
Л
I = ⎡
⎢
⎣ Мх ³ ⎤
⎥
⎦
3 Л
0
Полегче, вот ответ…
I = ¹ ₃ МЛ ²
Вы также можете попробовать использовать теорему о параллельных осях.
I = I _см + ML ²
Момент инерции относительно центра масс был определен в предыдущем доказательстве. Просто добавьте небольшую коррекцию, и все готово.
I = ¹ ₁₂ МЛ ² + M ( ¹ ₂ L ) ²
I = ( ¹ ₁₂ + ¹ ₄ ) ML ²
Это упрощает ответ…
I = ¹ ₃ МЛ ²
прямоугольная пластина, сплошная коробка (ось перпендикулярна лицевой стороне)
Начните с базовой формулы, но сделайте одно изменение. Заменим объемную плотность (ρ = M / V ) с поверхностной плотностью (σ = M / A ), поскольку толщина пластины не влияет на момент инерции относительно этой оси.
I = ⌠
⌡ р ² дм
I = ⌠
⌡ р ² σ да
I = ⌠
⎮
⌡ р ² М да
А
Теперь давайте нарежем тарелку на прямоугольные полоски dx в длину и dy в ширину и любую старую высоту.
I = ⌠⌠
⎮⎮
⌡⌡ р ² М дх dy
ДШ
Поскольку мне нравятся аналогии с приготовлением пищи, представьте, что мы разрезаем тарелку на бесконечно малые кусочки картофеля фри. Каждая картошка фри имеет координаты ( x , y ) относительно оси, а значит их расстояния от оси можно найти по теореме Пифагора.
r ² = x ² + y ²
Теперь ставим все вместе и устанавливаем пределы интегрирования. Для пластины длиной 91 468 L 91 469 и шириной 91 468 W 91 469 соответствующие пределы будут ±½ 91 468 L 91 469 и ±1/2 91 468 W 91 469 .
+½ Ш +½ л
I = ⌠
⎮
⌡ ⌠
⎮
⌡ ( x ² + y ² ) М дх dy
ДШ
−½ Вт −½ Д
Интегрировать сначала по x , пока y остается постоянным…
+½ Вт +½ л
I = М ⌠
⎮
⌡ ⎡
⎢
⎣ x ³ + xy ² ⎤
⎥
⎦ свет
ДШ 3
−½ Вт г. −½ Д
+½ Ш
I = М ⌠
⎮
⌡ ⎛
⎜
⎝ Л ³ + Ly ² ⎞
⎟
⎠ свет
ДШ 12
−½ Вт
затем проинтегрировать по y …
+½ Ш
I = М ⎡
⎢
⎣ л ³ у + Ли ³ ⎤
⎥
⎦
ДШ 12 3
−½ Вт
I = М ⎛
⎜
⎝ Д ³ Ш + ДШ ³ ⎞
⎟
⎠
ДШ 12 12
и упростить.
я = ¹ ₁₂ M ( L ² + W ² )
куб (ось перпендикулярна грани)
Куб – это пластина, длина и ширина которой равны. Начните с результатов предыдущего доказательства…
I = ¹ ₁₂ M ( L ² + W ² )
и установить L = W = S .
I = ¹ ₁₂ M ( S ² + S ² )
Вот и все!
I = ¹ ₆ MS ²
конус (поворот вокруг своей центральной оси)
Конус представляет собой бесконечную стопку бесконечно малых дисков разного радиуса. Если сложить моменты инерции всех этих очень-очень тонких ломтиков, то получится момент инерции всего конуса. Сложение множества очень маленьких кусочков для создания целого называется интеграцией.
I = ⌠
⌡ I _срез dx
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ m _срез r ² dx
Замените массу на плотность, умноженную на объем, и продолжайте.
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ ρ A r ² dx
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ ρ (π r ² ) r ² dx
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ πρ r ⁴ dx
«Хитрость» в решении этой части задачи заключается в определении того, как радиус срезов изменяется от вершины ( x = 0) до основания ( x = H ). Нам нужна функция, которая начинается с 0, заканчивается на R и линейно возрастает. Могу я предложить…
р = Р x
Н
Переключитесь и интегрируйтесь.
Н
I = ⌠
⎮
⌡ ¹ ₂ πρ ⎛
⎜
⎝ Р x ⎞ ⁴
⎠ дх
Н
0
Н
I = πρ R ⁴ ⎡
⎢
⎣ x ⁵ ⎤
⎥
⎦
2 Н ⁴ 5
0
I = πρ R ⁴ H
10
Напомним, что объем конуса равен…
В = ¹ ₃ π Ч ² Н
Видишь объем, спрятанный внутри момента инерции? Это там.

I =	M ( R ₂ ² + R ₁ ² )( R ₂ ² − R ₁ ² )
	2( R ₂ ² − R ₁ ² )

		№
I =	МР ²	⌠ ⎮ ⌡	sin ³ θ d θ
I =	2	⌠ ⎮ ⌡	sin ³ θ d θ
		0	г.

					№
I =	МР ²	¹ ₁₂	⎡ ⎢ ⎣	, потому что 3θ − 9, потому что θ	⎤ ⎥ ⎦
	2
					0

		Р ₂
I =	2 М	⌠ ⎮ ⌡	р ⁴ др
I =	Р ₂ ³ – Р ₁ ³	⌠ ⎮ ⌡	р ⁴ др
		Р ₁

I _{полая сфера} = ² ₅ M	Р ₂ ⁵ – Р ₁ ⁵
	Р ₂ ³ – Р ₁ ³

	Р				Р
I = 2 M	⌠ ⎮ ⌡	р ⁴ др = 2 М	⎡ ⎢ ⎣	р ⁵	⎤ ⎥ ⎦
I = 2 M	⌠ ⎮ ⌡	р ⁴ др = 2 М	⎡ ⎢ ⎣	5	⎤ ⎥ ⎦
	0				0

	+½ Ш	+½ л
I =	⌠ ⎮ ⌡	⌠ ⎮ ⌡	( x ² + y ² )	М	дх dy
I =	⌠ ⎮ ⌡	⌠ ⎮ ⌡	( x ² + y ² )	ДШ	дх dy
	−½ Вт	−½ Д

		+½ Вт				+½ л
I =	М	⌠ ⎮ ⌡	⎡ ⎢ ⎣	x ³	+ xy ²	⎤ ⎥ ⎦	свет
I =	ДШ	⌠ ⎮ ⌡	⎡ ⎢ ⎣	3	+ xy ²	⎤ ⎥ ⎦	свет
		−½ Вт		г.		−½ Д

		+½ Ш
I =	М	⌠ ⎮ ⌡	⎛ ⎜ ⎝	Л ³	+ Ly ²	⎞ ⎟ ⎠	свет
	ДШ			12
		−½ Вт

						+½ Ш
I =	М	⎡ ⎢ ⎣	л ³ у	+	Ли ³	⎤ ⎥ ⎦
	ДШ		12		3
						−½ Вт

Как вывести формулу момента инерции

Что такое инерция

Определение момента инерции

Теорема Штейнера

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел

От каких величин зависит момент инерции. Момент инерции

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Центробежный момент инерции

Геометрический момент инерции

Центральный момент инерции

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Центробежный момент инерции

Геометрический момент инерции

Центральный момент инерции

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Центробежный момент инерции

Момент инерции сплошного цилиндра формула

Что такое момент инерции?

Сплошной цилиндр и главная ось

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Полый цилиндр

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пример решения задачи

Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера

Момент инерции прямоугольника вывод формулы. Момент инерции квадратного сечения. Центробежный момент инерции сечения Jxy

2.Изменение моментов инерции при переходе от центральных осей к параллельным:

3.Изменение моментов инерции при повороте осей

4.Классификация элементов конструкций

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Центробежный момент инерции

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

Вращательная инерция — Грег Скул

2.19: Момент инерции относительно точки

Видео-вопрос: Нахождение момента инерции твердого шара относительно одной из его хорд

Стенограмма видео

Радиус вращения: определение, формула и приложения

Какова формула радиуса вращения?

Расчет радиуса инерции тонкого стержня

Вычислить радиус вращения твердого шара

Использование радиуса вращения

Момент инерции: определение, вывод, формула

Что такое момент инерции?

Факторы, которые определяют момент инерции

Момент инерции Формулы

Теорема о перпендикулярной оси

Теорема о параллельной оси

Moment of Inertia для различных объектов

Вопросы предыдущего года

Что нужно помнить

Примеры вопросов

0001

Оставить комментарий Отменить ответ