Помогите решить / разобраться (Ф)
| Fennec |
| ||
05/05/15 |
| ||
| |||
| Pulseofmalstrem |
| ||
16/12/14 |
| ||
| |||
| Fennec |
| |||||
05/05/15 |
| |||||
| ||||||
.., я жестко тупанул ( Спасибо большое, что подсказали на что обратить внимание.| rustot |
| |||
29/11/11 |
| |||
| ||||
| Munin |
| |||
30/01/06 |
| |||
| ||||
| zer0 |
| ||
04/06/12 |
| ||
| |||
05.2015, 17:35 | arseniiv |
| |||
27/04/09 |
| |||
| ||||
05.2015, 18:28 
Таким образом,т. к. . Для вычисления модулей всего этого безобразия достаточно знать естественное .| fronnya |
| ||
27/03/14 |
| ||
| |||
Ему эти операторы поворота.. Это ведь, если не ошибаюсь, в теор. механике на втором курсе вводят, операторные методы там всякие.| arseniiv |
| |||
27/04/09 |
| |||
| ||||
Это же действительно очень узко применимый подход, ещё и вынуждающий решать однотипные задачи по-разному. Притом проекции вектора на ось — вещь школьная. И координаты, соответственно, тоже. Матрицам только не повезло.| rustot |
| |||
29/11/11 |
| |||
| ||||
Без этого все связанное с ускорениями остается только заучивать как набор феноменов| Munin |
| |||
30/01/06 |
| |||
| ||||
| fronnya |
| ||
27/03/14 |
| ||
| |||
| arseniiv |
| |||
27/04/09 |
| |||
| ||||
05.2015, 21:42 | Skeptic |
| |||||
01/12/11 |
| |||||
| ||||||
05.2015, 09:59 
Лишнее я стер.| zer0 |
| ||
04/06/12 |
| ||
| |||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 15 ] |
Модераторы: Pphantom, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, photon, whiterussian, profrotter, Супермодераторы
Центростремительное ускорение – вывод формулы и практическое применение :: SYL.
ruЦентростремительное ускорение сопровождает нас повсюду. Именно оно заставляет нашу Землю вращаться вокруг Солнца. Возникающая при этом сила тяжести позволяет нам существовать на этой планете. Как можно понять, что представляет собой центростремительное ускорение? Определение этой физической величины представлено ниже.
Наблюдения
Самый простой пример ускорения тела, движущегося по окружности, можно наблюдать, вращая камень на веревке. Вы тянете веревку, а веревка тянет камень к центру. В каждый момент времени веревка сообщает камню некоторое количество движения, и каждый раз – в новом направлении. Можно представить движение веревки в виде серии слабых рывков. Рывок – и веревка изменяет свое направление, еще рывок – еще раз изменение, и так по кругу. Если вы внезапно отпустите веревку, рывки прекратятся, а вместе с ними и прекратится изменение направления скорости. Камень будет двигаться в направлении касательной к кругу. Возникает вопрос: “С каким ускорением будет двигаться тело в это мгновение?”
Формула центростремительного ускорения
Прежде всего стоит заметить, что движение тела по окружности является сложным.
Камень участвует в двух видах движения одновременно: под действием силы он движется к центру вращения, и одновременно по касательной к окружности, от этого центра удаляется. Согласно Второму закону Ньютона, сила, удерживающая камень на веревке, направлена к центру вращения вдоль этой веревки. Туда же будет направлен вектор ускорения.
Пусть за некоторое время t наш камень, равномерно двигаясь со скоростью V, попадает из точки A в точку B. Предположим, что в момент времени, когда тело пересекало точку B, на него перестала действовать центростремительная сила. Тогда за промежуток времени оно попало бы в точку K. Она лежит на касательной. Если бы в тот же момент времени на тело действовали бы только центростремительные силы, то за время t, двигаясь с одинаковым ускорением, оно оказалось бы в точке O, которая расположена на прямой, представляющей собой диаметр окружности. Оба отрезка являются векторами и подчиняются правилу векторного сложения. В результате суммирования этих двух движений за отрезок времени t получаем результирующую движения по дуге AB.
Если промежуток времени t взять пренебрежимо малым, то дуга AB будет мало отличаться от хорды AB. Таким образом, можно заменить движение по дуге движением по хорде. В этом случае перемещение камня по хорде будет подчиняться законам прямолинейного движения, то есть пройденное расстояние AB будет равно произведению скорости камня на время его движения. AB = V х t.
Обозначим искомое центростремительное ускорение буквой a. Тогда пройденный только под действием центростремительного ускорения путь можно рассчитать по формуле равноускоренного движения:
AO = at2 / 2.
Расстояние AB равно произведению скорости и времени, то есть AB = V х t,
AO – вычислено ранее по формуле равноускоренного движения для перемещения по прямой: AO = at2 / 2.
Подставляя эти данные в формулу и преобразуя их, получаем простую и изящную формулу центростремительного ускорения:
a = v2 / R
Словами это можно выразить так: центростремительное ускорение тела, двигающегося по окружности, равно частному от деления линейной скорости в квадрате на радиус окружности, по которой вращается тело.
Центростремительная сила в таком случае будет выглядеть так, как на картинке ниже.
Угловая скорость
Угловая скорость равна частному от деления линейной скорости на радиус окружности. Верно и обратное утверждение: V = ωR, где ω – угловая скорость
Если подставить это значение в формулу, можно получить выражение центробежного ускорения для угловой скорости. Оно будет выглядеть так:
a = ω2R.
Ускорение без изменения скорости
И все же, отчего тело с ускорением, направленным к центру, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру вращения? Ответ кроется в самой формулировке ускорения. Факты говорят о том, что движение по окружности реально, но для его поддержания требуется ускорение, направленное к центру. Под действием силы, вызванной данным ускорением, происходит изменение количества движения, в результате чего траектория движения постоянно искривляется, все время меняя направление вектора скорости, но не изменяя ее абсолютной величины.
Двигаясь по кругу, наш многострадальный камень устремляется внутрь, в противном случае он продолжал бы двигаться по касательной. Каждое мгновение времени, уходя по касательной, камень притягивается к центру, но не попадает в него. Еще одним примером центростремительного ускорения может стать водный лыжник, описывающий небольшие круги на воде. Фигура спортсмена наклонена; он как бы падает, продолжая движение и наклонившись вперед.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что ускорение не увеличивает скорость тела, так как векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг к другу. Добавляясь к вектору скорости, ускорение лишь меняет направление движения и удерживает тело на орбите.
Превышение запаса прочности
В предыдущем опыте мы имели дело с идеальной веревкой, которая не рвалась. Но, допустим, наша веревка самая обычная, и даже можно вычислить усилие, после которого она просто порвется. Для того чтобы рассчитать эту силу, достаточно сопоставить запас прочности веревки с нагрузкой, которую она испытывает в процессе вращения камня.
Вращая камень с большей скоростью, вы сообщаете ему большее количество движения, а значит, и большее ускорение.
При диаметре джутовой веревки около 20 мм ее прочность на разрыв равна около 26 кН. Примечательно, что длина веревки нигде не фигурирует. Вращая груз размером в 1 кг на веревке радиусом в 1 м, можно вычислить, что линейная скорость, необходимая для ее разрыва равна 26 х 103 = 1кг х V2 / 1 м. Таким образом, скорость, которую опасно превышать, будет равна √26 х 103 = 161 м/с.
Сила тяжести
При рассмотрении опыта мы пренебрегали действием силы тяжести, так как при таких больших скоростях ее влияние пренебрежимо мало. Но можно заметить, что при раскручивании длинной веревки тело описывает более сложную траекторию и постепенно приближается к земле.
Небесные тела
Если перенести законы движения по окружности в космос и применить их к движению небесных тел, можно заново открыть несколько давно знакомых формул. Например, сила, с которой тело притягивается к Земле, известна по формуле:
F= m*g.
В нашем случае множитель g и является тем самым центростремительным ускорением, которое было выведено из предыдущей формулы. Только в этом случае роль камня будет выполнять небесное тело, притягивающееся к Земле, а роль веревки – сила земного притяжения. Множитель g будет выражен через радиус нашей планеты и скорость ее вращения.
Итоги
Сущность центростремительного ускорения состоит в тяжелой и неблагодарной работе удержания движущегося тела на орбите. Наблюдается парадоксальный случай, когда при постоянном ускорении тело не изменяет величины своей скорости. Для неподготовленного ума такое заявление довольно парадоксально. Тем не менее и при расчете движения электрона вокруг ядра, и при вычислении скорости вращения звезды вокруг черной дыры, центростремительной ускорение играет не самую последнюю роль.
|
Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. |
⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 9Следующая ⇒ Остановимся несколько подробнее на ускорении Кориолиса. Выше была получена формула (1) Как видно из приведенной формулы, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости твердого тела, с которым связана подвижная система отсчета, на скорость точки относительно этой подвижной системы. Направлен вектор ас так же, как и вектор омего е * Vr т.е. перпендикулярно плоскости проходящий через векторы омега е и Vr в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение омего е с Vr видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.57). Из формулы (1) следует, что модуль ускорения Кориолиса определяется по следующей формуле: (2) Из формулы (2) видно, что ускорение Кориолиса равно нулю, когда: Омего е = О, т.е. когда переносное движение поступательное или Vr= 0, т. 3) т.е. векторы омего е и Vr коллинеарны. Отметим, что в тех случаях, когда ускорение Кориолиса равно нулю, абсолютное ускорение определяется по правилу параллелограмма. Для того, чтобы понять причины появления ускорения Кориолиса, рассмотрим следующий пример. Допустим, что прямая ОА вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со, а вдоль этой прямой движется точка М с постоянной относительной скоростью Vr. Пусть положение ОА рассматриваемой прямой соответствует моменту времени i. В этот момент точка занимает положение М, ее переносная скорость Ve по величине равна (омего-ОМ и направлена перпендикулярно прямой ОА. За промежуток времени At прямая ОА повернется на угол дл. А и займет положение ОА1. Точка на прямой к этому моменту времени займет положение М1 т. е. пройдет путь, равный отрезку ММ1. Переносная скорость Ve1i точки в момент t+дл.t по величине равна омего ОМ1 и направлена перпендикулярно прямой OA1 (рис. Мы видим, что переносная скорость точки М изменяется не только по величине, но и по направлению, и это изменение происходит как следствие относительного движения точки, т.е. перемещения ее по прямой на расстояние ММ1. Изменение переносной скорости по величине за промежуток времениAt равно Отношение этого изменения переносной скорости к промежутку времени Дt в пределе при At—>0 дает добавочную величину ускорения, вызванного относительным движением. Назовем эту величину аc1. Тогда Направление вектора ас1 модуль которого равен омего Vr, в пределе при Аt->0 совпадает с направлением вектора переносной скорости, т.е. перпендикулярно ОА. Рассмотрим теперь изменение относительной скорости. В нашем примере величина относительной скорости постоянна, однако в связи с движением прямой ОА относительная скорость изменяется по направлению. Найдем ту добавочную величину ускорения, которая необходима для изменения относительной скорости по направлению. где векторы Vrl и Vr равны по модулю, но различны по направлению, и угол между ними равен Да (см. рис. 2.58). Определим модуль и направление вектора ас2. Из равнобедренного треугольника ОВС следует Умножая числитель и знаменатель последней формулы на Да, после некоторых очевидных преобразований получим
Вопрос № 32 ⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒ Читайте также: Техника прыжка в длину с разбега Организация работы процедурного кабинета Области применения синхронных машин Оптимизация по Винеру и Калману |
|
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-23; просмотров: 80; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. |
Определение реакций опор и моментов защемления
е. в данный iwoivieHT относительная сксрость обраща
2.58).
Обозначим эту искомую величину через ас2. Тогда
su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.004 с.)домашних заданий и упражнений – Простой вывод формулы центростремительного ускорения?
Вы можете сделать этот вывод, разбив положение орбитальной частицы на компоненты. Он не короткий, но я думаю, что он полезен, потому что дополняет алгебру конкретными физическими аналогиями. Я разделю его на четыре части: разложение , колебание , энергия и симметрия .
Разложение
Положение частицы, движущейся по круговой траектории, можно описать двумя полусинусоидальными волнами, наполовину не совпадающими по фазе, или, что то же самое, синусоидой и косинусоидой:
(через)
Это легко вывести: предположим, что частица движется с постоянной угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $r$.
Тогда $\theta = \omega t$, и базовая тригонометрия говорит нам, что положение частицы при $\theta$ определяется как $x = r \cos\theta$ и $y = r\sin\theta$. Мы можем заменить, чтобы получить $x = r \cos (\omega t)$ и $y = r \sin (\omega t)$.
Колебания
Оказывается, есть еще один вид движения, описываемый синусоидами: колебания груза на пружине. В такой системе
$$x(t) =A \cos\left(\sqrt{k \over m}t \right)$$
где $A$ – амплитуда (т.е. разница между максимальной длиной пружины и ее длина), $k$ — постоянная силы пружины по закону Гука, а $m$ — конечно же, масса. Вывод этого уравнения обычным способом требует не только математических вычислений, но и дифференциальных уравнений, поэтому я попрошу вас поверить мне на слово чуть позже.
Для наших целей это означает, что механику орбитальной частицы можно смоделировать двумя колеблющимися пружинами: одной для компоненты $x$ и одной для компоненты $y$, идентичной первой, но вдвое меньшей – не в фазе с ним.
Чтобы представить, как это выглядит, вернитесь к анимации выше и представьте, что синяя и красная точки прикреплены к пружинам, которые в состоянии покоя стоят на уровне $0$.
Теперь, когда у нас есть модель на основе пружины, мы можем использовать ее для определения силы, действующей на частицу вдоль оси $x$! По закону Гука сила, с которой пружина действует на прикрепленный груз, равна $F = -kx$. Попробуем использовать эту формулу для определения ускорения частицы, когда пружина $x$ достигает максимальной длины. Мы знаем, что в этом случае его максимальная длина будет равна $r$ — это соответствует моменту, когда частица находится в точках $x = r, y = 0$. И мы знаем, что $F = ma$. Таким образом, подстановкой $ma = -kr$; разделить на $m$ и
$$ a = -k \frac{r}{m}$$
Наша работа наполовину сделана. Но теперь у нас новая проблема: мы не знаем, что такое $k$ — в конце концов, настоящей пружины нет, поэтому мы ничего не можем измерить. Нам нужно знать, какое значение $k$ будет иметь пружина, если она будет двигаться так же, как частица, вдоль оси $x$.
Чтобы решить эту проблему, мы должны начать думать о законах сохранения.
Энергия
Давайте подумаем, что происходит, когда пружина $x$ колеблется. Когда пружина находится в точке $x = r$, она оказывает на частицу наибольшую силу, но частица вообще не движется. Это прямо на пике волны. Это означает, что $v = 0$. С этого момента сила, с которой пружина действует на частицу, разгонит ее от $0$ до наибольшей скорости $-v_\text{max}$. 1 И к тому времени, когда частица достигнет $x = 0$, пружина перестанет действовать; это состояние покоя пружины. Поскольку пружина не действует, мы достигли $-v_\text{max}$ — направление будущего ускорения будет противоположным, замедляя частицу до тех пор, пока она не достигнет $x = -r$.
Таким образом, это означает, что при $x = r$ мы имеем $F = -F_\text{max}$, $a = -a_\text{max}$ и $v = 0$. А при $x = 0$ имеем $F = 0$, $a = 0$ и $v = -v_\text{max}$. 92 доллара — это основная ньютоновская механика. Какова формула для $P$ в этом случае? Это самая сложная часть вывода.
Потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна количеству отрицательной работы , выполненной для ее растяжения до $x = r$. Итак, мы должны запомнить формулу работы: $W = Fd$, где $d$ означает пройденное расстояние, то есть $x$, если предположить, что мы начинаем с $x = 0$. Но тогда у нас есть проблема. $F = -kx$ не является константой — это функция от $x$.
В общем, это означало бы, что мы должны заняться исчислением. Но, к счастью, $F = -kx$ — линейная функция, поэтому искомое значение равно площади треугольника, образованного осью $x$ и линией $F = -kx$:
(через)
В приведенной выше таблице $k = 1$, пройденное расстояние $d = x_\text{max} = 1$, а площадь данного треугольника представляет значение, которое вы получаете, когда умножить $F(x)$ на пройденное расстояние, учитывая изменения значения $F$ по мере увеличения расстояния. Но поскольку высота треугольника равна $-kx_\text{max}$, а основание треугольника равно $x_\text{max}$, мы можем просто использовать старую добрую геометрию.
Площадь треугольника равна $\rm \frac{1}{2} основания \times height$ — или, здесь, потому что $x_\text{max} = r$ 92}{r}\end{align}
Вам может быть интересно, почему в этой версии появляется отрицательный знак. Но вспомним, что ускорение технически находится в направлении, противоположном направлению смещения. Итак, когда $x = r, y = 0$, ускорение направлено в сторону $-r$. Если бы это было иначе, частица разгонялась бы наружу! 2
Симметрия
Последний шаг этого вывода требует хитрости. Мы начали с того, что разбили движение в двух измерениях на движение по двум одномерным компонентам. Затем мы использовали воображаемые пружины для описания движения частицы вдоль этих двух компонентов. И теперь мы сталкиваемся с последним вопросом: как выбрать компоненты $x$ и $y$?
Они должны располагаться под прямым углом друг к другу, но это только половина дела — нам нужно найти «правильное место» для начала, «настоящую» координату $x$. Беда в том, что мы не можем.
Круговой путь, по которому движется частица, осесимметричен. В круге нет ничего, что могло бы сказать нам, где он «начинается» или «заканчивается».
Это означает, что приведенная выше цепочка рассуждений верна независимо от того, с чего мы начнем. Мы можем выбрать любую точку на окружности как точку $x=1, y=0$, и все вышесказанное будет действительным. Итак, где бы ни находилась частица, мы просто устанавливаем эту точку как нашу точку $x = r, y = 0$, и все остальное встает на свои места.
Если бы мы хотели сделать больше работы для себя, мы могли бы решить детали тригонометрически, используя приведенные выше формулы, скорректировав их по оси $y$, а затем рекомбинируя значения $x$ и $y$ с помощью векторной алгебры. Но нам это и не нужно — аргумент симметрии в данном случае более силен.
1. Здесь “наибольшая” действительно означает “наиболее отрицательная”, потому что частица движется в отрицательном направлении $x$. Эти значения действительно будут $-F_\text{max}$ и $-v_\text{max}$.
В дальнейшем, когда частица движется в противоположном направлении, эти значения будут положительными.
2. Чтобы разобраться в знаках, требуется много тонкой работы; в частности, вы должны понять, почему отрицательная работа становится положительной потенциальной энергией. Также полезно думать о $r$ как о векторе (у которого есть направление), а не о величине (у которой нет направления). К счастью, в этом случае физическая интуиция дает надежное руководство; если что-то окажется явно неправильным, перепроверьте свое мышление.
Объяснение урока: ускорение на расстоянии
В этом объяснении мы узнаем, как использовать начальную и конечную скорости объекта, а также перемещение для определения ускорения по формуле 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Мы можем вспомнить определение ускорения следующим образом.
Определение: Ускорение
Ускорение объекта определяется как скорость изменения скорости этого объекта.
Среднее ускорение 𝑎 объекта, скорость которого изменяется на величину
Δ𝑣 за период времени Δ𝑡 определяется выражением
𝑎=Δ𝑣Δ𝑡.
Мы также можем вспомнить, что скорость является векторной величиной, что означает, что она имеет направление, а также величина. Поскольку ускорение измеряет скорость изменения скорости, это означает, что ускорение также является векторной величиной. Для движения по прямой линии (другими словами, объект, который движется только вперед и назад вдоль одной оси), это фактически означает, что скорости и ускорения могут быть положительный или отрицательный.
Наше определение ускорения полезно, когда нас интересует, как скорость объекта меняется со временем. Но иногда нас не так интересует, через какое время происходит ускорение более, а скорее на расстояние, пройденное объектом в процессе.
Например, это может иметь место при рассмотрении тормозного пути автомобиля.
Допустим, у нас есть автомобиль, который движется с некоторой постоянной скоростью, когда водитель замечает
препятствие впереди, как показано на рисунке ниже.
Водителю необходимо затормозить, чтобы остановить автомобиль до того, как он достигнет положения этого препятствие. Применение тормозов заставит автомобиль замедлиться; это отрицательное ускорение или замедление . Важный вопрос тогда не в том, сколько раз пройдёт машина до остановится, но сколько расстояний он преодолеет, прежде чем его скорость достигнет нуля. Сюда, водитель знает, на каком расстоянии от препятствия нужно затормозить.
Мы обозначим это расстояние, на котором скорость изменяется, как 𝑠, ускорение
как 𝑎, начальная скорость как 𝑢 и конечная скорость как
𝑣. Обратите внимание, что здесь и далее в этом толкователе, когда мы ссылаемся на
Под «расстоянием» мы подразумеваем «величину смещения». В случае
движение по прямой и без изменения направления, эти два термина взаимозаменяемы. в
примере останавливающегося автомобиля конечная скорость 𝑣 будет
0 м/с, но в целом как начальная
и конечные скорости могут быть ненулевыми.
Мы можем вывести уравнение, связывающее ускорение и расстояние, следующим образом.
Расстояние 𝑠, пройденное объектом, движущимся со средней скоростью, 𝑣av, за интервал времени Δ𝑡 определяется выражением 𝑠=𝑣Δ𝑡.av
Мы можем переписать среднюю скорость, 𝑣av, как 𝑣=𝑣+𝑢2,ср. где 𝑣 — конечная скорость, а 𝑢 — начальная скорость.
Мы можем использовать наше определение ускорения как 𝑎=Δ𝑣Δ𝑡, чтобы переписать Δ𝑡 как Δ𝑡=Δ𝑣𝑎=𝑣−𝑢𝑎.
Тогда, подставляя в эти выражения 𝑣av и Δ𝑡 в наше выражение для пройденного расстояния, 𝑠, мы получаем 𝑠=𝑣Δ𝑡=𝑣+𝑢2×𝑣−𝑢𝑎.av
Умножая члены сверху и снизу дроби, получаем 𝑠=𝑣−𝑢2𝑎.
Умножая обе части на 2𝑎, а затем добавляя 𝑢 к обеим сторонам, мы можем переписать это уравнение как: 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Определение: ускорение на расстоянии
Конечная скорость, 𝑣, начальная скорость, 𝑢,
и пройденное расстояние 𝑠 для объекта, подвергающегося равномерному ускорению,
𝑎, связаны формулой
𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Возможно, покажется странным, что мы смогли вывести формулу для ускорения, 𝑎, которое не включает количество времени, когда наше определение ускорения зависит от изменения скорости и интервал времени, в течение которого происходит это изменение. Причина, по которой можно придумать формулу без использования времени заключается в том, что время связано со смещением и скоростью через 𝑣=Δ𝑠Δ𝑡.
Есть несколько ограничений на то, когда мы можем использовать нашу формулу:
- Ускорение объекта должно быть постоянным.
- Движение объекта должно происходить по прямой линии.
Только при выполнении этих двух условий мы можем использовать формулу 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Давайте посмотрим на пример, в котором мы можем применить эту формулу. Во всех примерах внутри
этот объяснитель, мы будем использовать те же обозначения: начальная скорость помечена 𝑢,
конечная скорость обозначена 𝑣, ускорение обозначено 𝑎, а расстояние, пройденное
которой происходит это ускорение, обозначено 𝑠.
Пример 1. Расчет конечной скорости ускоряющегося объекта
Объект выходит из состояния покоя и ускоряется с 2 м/с 2 вдоль 9 м длинная прямая линия. Какую конечную скорость имеет тело?
Ответ
Давайте начнем с присвоения меток значениям, данным нам в вопросе.
Нам говорят, что объект стартует из состояния покоя, а это значит, что его начальная скорость равна нулю. Итак, у нас есть 𝑢=0/мс.
Нам говорят, что он разгоняется более 9 м длинная прямая, значит имеем 𝑠=9м.
Наконец, нам говорят, что ускорение равно 2 м/с 2 , поэтому мы знаем, что 𝑎=2/мс.
Мы можем нарисовать схему, показывающую ситуацию.
В эскизе мы обозначили все величины, данные нам в вопросе, а также отметили конечную скорость, 𝑣, которую мы пытаемся найти. Эта конечная скорость является скоростью объекта после того, как он ускорился. на дистанции 𝑠=9м.
Поскольку нам сказали, что значение ускорения равно 𝑎=2/мс, мы знаем, что это постоянное ускорение.
Нам также говорят, что ускорение происходит по прямой.
Напомним, что поскольку эти два необходимых критерия соблюдены, наша формула 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠 может быть использовано.
Глядя на формулу, мы видим, что нам известны значения всех величин в правой части: 𝑢=0/мс, 𝑎=9/мс, и 𝑠=9м.
Подстановка этих значений дает нам выражение для квадрата конечной скорости 𝑣: 𝑣=(0/)+2×2/×(9).msmsm
Вычисляя правую часть, имеем 𝑣=36/.ms
Последний шаг — извлечь квадратный корень, чтобы получить 𝑣: 𝑣=√36/=6/.msms
Итак, теперь у нас есть ответ. Конечная скорость 𝑣 объекта равна 6 м/с. Направление эта скорость имеет то же направление, что и ускорение.
Иногда бывают ситуации, когда помогает формула 𝑣=𝑢=2𝑎𝑠
но где величина, которую мы хотим рассчитать, не является конечной скоростью, 𝑣,
объекта. Другими словами, возможно, мы уже знаем значение этой конечной скорости, но хотим
чтобы узнать значение одной из других переменных в формуле.
В этом случае нам нужно переставить уравнение, чтобы сделать предмет уравнения каким-либо количество, значение которого мы хотим найти.
Например, если бы мы хотели вычислить значение 𝑎, было бы полезно есть уравнение, которое гласит 𝑎=…, и аналогично для любых других величин.
Давайте рассмотрим пример, в котором нам нужно изменить формулу.
Пример 2. Расчет ускорения объекта на расстоянии
Объект выходит из состояния покоя и ускоряется на 8 м длинная прямая линия. Его скорость достигает 12 м/с. когда он находится в конце строки. Каково ускорение тела вдоль линии?
Ответ
Давайте начнем с обозначения значений, данных нам в вопросе.
Нам говорят, что длина прямой линии, по которой движется объект, равна 8 м, значит, 𝑠=8 м.
Нам также говорят, что объект ускоряется из состояния покоя, то есть его начальная скорость равна
𝑢=0/мс,
и что он достигает скорости 12 м/с
в конце линии, поэтому конечная скорость равна 𝑣=12/мс.
Мы можем нарисовать эскиз, показывающий эту информацию.
Мы пометили все количества, данные нам в вопросе, в нашем эскизе, а также отметили ускорение 𝑎, которое нас просят найти.
Вспомним нашу формулу: 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
В этом случае величина, которую мы пытаемся вычислить, — это ускорение 𝑎. Это означает, что нам нужно изменить формулу, чтобы сделать 𝑎 субъектом.
Начнем с вычитания 𝑢 из обеих частей формулы, что дает нам 𝑣−𝑢=2𝑎𝑠.
Затем мы делим обе части на 2𝑠, что дает нам 𝑣−𝑢2𝑠=𝑎.
Наконец, перестановка левой и правой частей дает нам 𝑎=𝑣−𝑢2𝑠.
Теперь, когда мы сделали ускорение, 𝑎, подлежащее, мы готовы заменить в наших значениях: 𝑣=12/мс, 𝑢=0/мс и 𝑠=8м.
Когда мы это сделаем, мы получим следующее выражение для 𝑎: 𝑎=(12/)−(0/)2×8.msmsm
Вычисляя выражения в числителе и знаменателе в правой части, получаем 𝑎=144/16.мсм
Когда мы делаем это деление в правой части, мы получаем, что
𝑎=9/.
ms
Таким образом, наш ответ состоит в том, что ускорение объекта вдоль линии равно 9 м/с 2 .
В обоих примерах, которые мы видели до сих пор, объект начал движение из состояния покоя, и ускорение увеличилось. скорость объекта от начальной скорости 0 м/с до отличной от нуля конечной скорости.
В общем случае начальная скорость объекта может принимать любое значение. Другими словами, объект может, вообще говоря, уже двигаться до периода ускорения.
Вспоминая, что скорость и ускорение являются векторными величинами, мы можем видеть, что для движения по прямой возможны два варианта:
- Ускорение действует в том же направлении, что и скорость, и увеличивает скорость в этом направлении.
- Ускорение действует в направлении, противоположном скорости, и уменьшает величину скорости.
Эти два случая наглядно показаны на схеме ниже.
Давайте рассмотрим пример, в котором начальная скорость не равна нулю.
Пример 3: Расчет начальной скорости ускоряющегося объекта
Объект имеет начальную скорость, которая увеличивается до 14 м/с когда объект ускоряется со скоростью 5 м/с 2 в направлении его скорости. Объект ускоряется по 17,1 м длинная прямая линия. Какова начальная скорость тела?
Ответ
Начнем с обозначения величин, данных нам в вопросе.
Нам говорят, что скорость объекта увеличивается до 14 м/с при этом ускоряется в направлении своей скорости.
Это означает, что и скорость, и ускорение имеют один и тот же знак.
Получаем, что конечная скорость равна 𝑣=14/мс. Поскольку нам сказали, что ускорение равно 5 м/с 2 , мы имеем, что 𝑎=5/мс.
Нам говорят, что объект ускоряется более 17,1 м длинная прямая, поэтому 𝑠=17,1м.
Вопрос просит нас найти начальную скорость, которую мы обозначим 𝑢.
Мы можем нарисовать эскиз, отображающий эту информацию, следующим образом.
У нас постоянное значение ускорения и нам говорят, что движение происходит по прямой, поэтому наша формула 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠 здесь можно использовать.
Так как нас просят найти значение начальной скорости, давайте изменим формулу так, чтобы 𝑢 предмет.
Вычитая 2𝑎𝑠 с обеих сторон, получаем 𝑣−2𝑎𝑠=𝑢.
Тогда, поменяв местами левую и правую части уравнения, мы получим 𝑢=𝑣−2𝑎𝑠.
Теперь мы готовы подставить значения из вопроса: 𝑣=14/мс, 𝑎=5/мс, и 𝑠=17,1м.
Это дает нам следующее выражение для квадрата начальной скорости: 𝑢=(14/)−2×5/×(17.1).msmsm
Оценка правой части дает 𝑢=196/−171/𝑢=25/.msmsms
Наконец, извлечение квадратного корня из обеих частей дает нам 𝑢=5/.мс
Итак, мы нашли, что начальная скорость объекта была 5 м/с. Поскольку это значение положительное, оно находится в том же направлении, что и ускорение, и конечная скорость.
В этом последнем примере ускорение было в том же направлении, что и начальная скорость объекта,
таким образом, эффект этого ускорения заключался в увеличении скорости объекта в том направлении, в котором он уже двигался.
Теперь рассмотрим пример, в котором ускорение действует в направлении, противоположном начальной скорости.
Пример 4: Расчет начальной скорости замедляющегося объекта
Объект имеет начальную скорость, которая уменьшается до 10 м/с когда объект ускоряется в направлении, противоположном его скорости. Объект движется по по прямой линии длиной 60 м с ускорением 6,5 м/с 2 . Что такое начальный объект скорость с точностью до метра в секунду?
Ответ
Давайте начнем с присвоения меток значениям, данным нам в вопросе.
Нам говорят, что скорость уменьшается до конечного значения 10 м/с, поэтому имеем 𝑣=10/мс.
Нам также говорят, что объект движется по 60 м длинная прямая, поэтому 𝑠=60м.
Наконец, нам говорят, что объект ускоряется в направлении, противоположном его скорости, с величиной
6,5 м/с 2 . Поскольку мы выбрали скорость
𝑣 быть положительным и ускорение противоположно этому, то это ускорение
должен быть отрицательным.
Итак, мы имеем 𝑎=−6,5/мс.
Чтобы прояснить эти направления, мы можем нарисовать ситуацию следующим образом.
В этом наброске мы обозначили величины, значения которых нам известны, а также их направления. Мы также обозначили начальную скорость 𝑢 и ее направление; значение 𝑢 — это то, что нас просят найти. Обратите внимание, что в этом наброске мы не включили отрицательный знак ускорения, потому что оно неявно включено в направление ускорения стрелка; значение ускорения +6,5 м/с 2 в том направлении, на которое указывает эта стрелка.
У нас есть постоянное значение ускорения 𝑎, и нам говорят, что движение идет по прямой. Это означает, что мы можем использовать нашу формулу: 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Поскольку нас просят найти 𝑢, давайте переформулируем эту формулу так, чтобы 𝑢 тему.
Вычитая по 2𝑎𝑠 с каждой стороны, получаем 𝑣−2𝑎𝑠=𝑢.
Поменяв местами левую и правую части, получим 𝑢=𝑣−2𝑎𝑠.
Теперь мы готовы подставить наши значения в это уравнение.
Когда мы это делаем, нам нужно взять
внимание со знаками всех величин.
Подставляя 𝑣=10/мс, 𝑎=−6,5 м, и 𝑠=60м, получаем следующее выражение для квадрата начальной скорости: 𝑢=(10/)−2×−6,5/×(60).msmsm
Вычисляя правую часть (и обращая внимание на отрицательные знаки), получаем 𝑢=100/−−780/𝑢=100/+780/𝑢=880/.msmsmsmsms
Затем извлечение квадратного корня из обеих частей дает нам 𝑢=29,66…/.ms
Здесь многоточие указывает на то, что есть дополнительные десятичные знаки.
Наконец, отметим, что вопрос, заданный для нашего ответа на ближайший метр в секунду. Округление нашего результата до ближайшего метра в секунду дает 𝑢=30/.ms
Итак, мы нашли, что начальная скорость объекта с точностью до метра в секунду равна 30 м/с.
Пожалуй, самая полезная перестановка формулы
𝑣=𝑢+2𝑎𝑠
это то, с чем мы до сих пор не сталкивались: перестановка, делающая 𝑠 субъектом.
Это форма, в которой нам понадобится эта формула для расчета тормозного пути автомобиля, который было нашим первоначальным побуждением к желанию уравнения, связывающего ускорение и перемещение.
Чтобы сделать 𝑠 предметом, мы сначала вычтем 𝑢 с обеих сторон уравнения, что дает нам 𝑣−𝑢=2𝑎𝑠.
Затем, разделив на 2𝑎 и поменяв местами левую и правую части уравнение закончено, имеем 𝑠=𝑣−𝑢2𝑎.
Давайте вернемся к случаю с автомобилем, в котором водитель замечает препятствие впереди и применяет тормоза, чтобы остановить машину. Напомним, ситуация показана на диаграмме ниже.
Мы знаем, что конечная скорость автомобиля будет 𝑣=0/мс. Если бы мы знали величина ускорения, 𝑎, которое обеспечивают тормоза, и начальная скорость, 𝑢, на котором ехал автомобиль, мы могли бы использовать уравнение 𝑠=𝑣−𝑢2𝑎 для вычисления расстояния, 𝑠, что автомобиль будет двигаться до того, как он остановится.
Мы закончим работу над примером задачи, целью которой является вычисление пройденного расстояния.
Пример 5. Расчет расстояния, пройденного при ускорении
Большая птица должна бежать, хлопая крыльями, чтобы взлететь в воздух. Птица должна быть бежать со скоростью 5,745 м/с, чтобы начать летать. Если птица может разогнаться до 1,65 м/с 2 , какое расстояние он должен пробежать, прежде чем сможет взлететь? Дайте ответ с точностью до одного десятичного знака.
Ответ
Мы начнем с обозначения количества, которое нам дано.
Вопрос требует, чтобы мы определили расстояние, 𝑠 которое должна пробежать птица, прежде чем она сможет взлететь.
Нам говорят, что птица должна бежать со скоростью 5,745 м/с. чтобы начать летать, поэтому конечная скорость равна 𝑣=5,745/мс. Можно также предположить, что птица начиная с состояния покоя, что дает нам начальную скорость 𝑢=0/мс. Последняя часть информации, которую мы получаем заключается в том, что птица может ускоряться со скоростью 𝑎=1,65/мс.
Мы можем нарисовать эскиз, отображающий эту информацию, следующим образом.
Заданная нам скорость ускорения является постоянной величиной. Можно предположить, что, как показано на нашем эскизе, птица бежит в по прямой, готовясь к полету.
В этом случае мы можем использовать нашу формулу: 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
Поскольку мы пытаемся найти значение 𝑠, нам нужно сделать 𝑠 подлежащим.
Итак, сначала вычитаем 𝑢 с каждой стороны: 𝑣−𝑢=2𝑎𝑠.
Затем мы делим обе части на 2𝑎 и меняем местами левую и правую части: 𝑠=𝑣−𝑢2𝑎.
Теперь мы можем подставить наши значения 𝑣=5,745/мс, 𝑢=0/мс, и 𝑎=1,65/мс. Это дает нам следующее выражение для 𝑠: 𝑠=(5,745/)−(0/)2×1,65/.msmsms
Оценка выражений в числителе и знаменателе в правой части дает 𝑠=33.005025/3.3/.msms
Выполнение деления дает нам 𝑠=10.00152….m
Здесь многоточие указывает на наличие дополнительных десятичных знаков.
Последний шаг — отметить, что вопрос требует нашего ответа с точностью до одного десятичного знака.
Округляем наш результат до единицы
десятичный разряд дает
𝑠=10.0.м
Итак, мы нашли, что птица должна пробежать 10,0 м прежде чем он сможет взлететь.
Ключевые точки
- Конечная скорость, 𝑣, начальная скорость, 𝑢 и пройденное расстояние, 𝑠, для объекта, подвергающегося равномерному ускорению, 𝑎 связаны соотношением формула 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.
- Эта формула применима только тогда, когда ускорение 𝑎 постоянно, а движение прямолинейно.
- Ускорение является векторной величиной. Для движения по прямой она может быть либо положительной (в том же направлении, что и начальная скорость) или отрицательное (в направлении, противоположном начальной скорости).
- Мы можем использовать формулу 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠, когда любые три величины в этой формуле
известен, и мы пытаемся найти четвертый. Если количество, которое мы пытаемся найти, не является окончательным
скорость, 𝑣, то мы должны начать с перестановки формулы, чтобы количество, которое мы пытаемся вычислить,
найти тему.
Уравнения постоянного ускорения: введение и примеры
Для тела, движущегося в одном направлении с постоянным ускорением, уравнения постоянного ускорения или SUVAT используются для связи пяти различных переменных движения. Эти переменные:
с = Перемещение – полное перемещение тела с начала измерения в данный момент времени.
u = Начальная скорость – скорость тела в начале измерения.
v = Конечная скорость – скорость тела в конце измерения.
a = Ускорение – постоянное ускорение объекта на протяжении всего измерения.
t = Затраченное время – время, прошедшее с начала до конца измерения.
Пять уравнений с постоянным ускорением
Существует пять различных уравнений с постоянным ускорением, которые используются для соединения и решения переменных выше. Это хорошая идея, чтобы выучить эти уравнения наизусть.
V = U + AT
S = ½ (U + V) T
S = UT + ½AT²
S = VT -½AT²
S = VT -½AT²
V = VT -½AT²
VT = VT -½AT²
VT = VT -½AT²
.
Обратите внимание, что каждое уравнение имеет четыре из пяти переменных SUVAT. Имея любые три переменные, можно было бы решить для любой из двух других переменных.
Когда можно использовать уравнения SUVAT? Уравнения SUVAT применимы для тела, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением.
Вывод уравнений постоянного ускорения
Давайте посмотрим, как мы получаем эти уравнения.
Уравнение 1: По определению ускорение — это изменение скорости в единицу времени. Следующая диаграмма демонстрирует эту концепцию.
Тело с начальной скоростью u разгоняется с постоянным ускорением до достижения конечной скорости v через время t.
Выразим определение математически.
ускорение = (изменение скорости)/(изменение во времени)
=> a = (v – u)/t
Преобразовывая приведенное выше уравнение, мы получаем первое уравнение:
v = u + at
Уравнение 2: Помните, здесь мы имеем дело с постоянным ускорением. Таким образом, средняя скорость за время движения равна (u + v)/2. Умножение средней скорости на время дает смещение. Следовательно,
s = (u + v)/2 × t
Это дает нам второе уравнение,
s = ½ (u + v) t
Уравнение 3: v из первого уравнения во второе уравнение.
s = ½ (u + v) t
=> s = ½ (u + u + at) t
Это дает нам третье уравнение,
s = ut + ½at²
Уравнение 4: получить четвертое уравнение, сначала преобразовать первое уравнение и выразить его через u.
=> u = v – at
Подставляем это значение u в третье уравнение,
s = ut + ½at²
=> s = (v – at) t + ½at²
Это дает нам четвертое уравнение ,
s = vt – ½at²
Уравнение 5: Чтобы получить пятое уравнение, сначала переформулируйте первое уравнение и выразите его через t.
=> t = (v – u)/a
Подставьте это значение t во второе уравнение,
s = ½ (u + v) t
=> s = ½ (u + v) (v – u)/a
=> 2as = (v + u) (v – u)
=> 2as = v² – u²
Это дает нам пятое уравнение,
v² = u² + 2 as
Решение задач с использованием уравнений постоянного ускорения
Рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью уравнений постоянного ускорения.
Автомобиль с начальной скоростью 8 м/с движется с ускорением 2 м/с².
За какое время он достигнет скорости 20 м/с?
Решение 1
Здесь v = 20 м/с, u = 8 м/с, a = 2 м/с². v = u + at
=> t = (v – u)/a
=> t = (20 – 8)/2
= 6 секунд
Автомобиль с начальной скоростью 8 м/с ускоряется со скоростью 2 м/с². За какое время он проедет расстояние 200 м?
Решение 2
Здесь s = 200 м, u = 8 м/с, a = 2 м/с².
s = ut + ½at²
=> 65 = 8t + ½ × 2t²
=> t² + 8t – 65 = 0
=> t = 5
Примечание: полученное квадратное уравнение дает два значения, 5 и -13. Время не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа берем положительное значение.
Марафонец решает ускориться на последних 200 метрах забега. Он разогнался со скоростью 0,07 м/с² и в итоге пересек финишную черту со скоростью 8 м/с. С какой скоростью он бежал, прежде чем решил ускориться?
Решение 3
Здесь s = 200 м, v = 8 м/с, a = 0,07 м/с².
v² = u² + 2 as
=> u² = v² – 2as = 8 × 8 – 2 × 0,07 × 200
=> u² = 36
=> u = 6 м/с
Велосипедист едет по прямой дороге. Он разгоняется с постоянной скоростью от скорости 4 м/с до скорости 7,5 м/с² за 40 секунд. Найдите а) расстояние, которое она проходит за эти 40 секунд. б) ее ускорение за эти 40 секунд.
Решение 4
a) s = ½ (u + v) t
=> s = ½ × (4 + 7,5) × 40 = 230 м
b) v = u + at
=> 7,5 = 4 + 40a
=> a = (7,5 – 4)/40 = 0,0875 м/с²
Мяч брошен вверх с начальной скоростью 39,2 м /с. Сколько времени понадобится мячу, чтобы достичь максимальной высоты, если предположить, что g = 9,8 м/с²
Решение 5
Здесь ускорение мяча равно -9,8 м/с², так как именно сила тяжести замедляет мяч вниз.
v = u + at
=> 0 = 39,2 – 9,8t
=> t = 4 секунды
Уравнения постоянного ускорения — основные выводы
Уравнения постоянного ускорения используются для связи пяти различных переменных: s = смещение, u = начальная скорость, v = конечная скорость, a = ускорение, t = затраченное время.
