5.11. Вывод закона Ома
16
Постоянный ток Н. Ф. Шемяков
___________________________________________________________________________________________________________________
Лекция 8
5.10. Классическая теория электропроводности металлов
На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.
Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.
Большая концентрация электронов в металлах (no 1028 – 1029 м3) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов
В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.
Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.
Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия – узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,
где m
–
масса электрона; vкв
–
средняя квадратичная скорость теплового
движения.
Например, при температуре Т
= 273 К, vкв
105 м/c.
При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого
, (5.38)
где n0 – концентрация электронов; qe – заряд электрона; v – средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = <u> + v.
Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.
При максимально
допустимой плотности тока в металлах
cредняя
скорость упорядоченного движения v
10
По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.
Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.
Поэтому на основании второго закона Ньютона
F = ma = m,
где F = qeE; Е – напряженность электрического поля.
Средняя скорость упорядоченного движения
v =.
Если средняя продолжительность времени свободного пробега t, то после интегрирования
F = ma = m
получим, что vмах =
или
v
=.
Если u всех электронов одинаковы, но v u, найдем среднее время пробега электрона
.
С учетом этого формулу (5.39) перепишем в виде:
. (5.40)
Следовательно, плотность тока
, (5.41)
где (5.42)
– удельная электропроводимость проводника.
Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме
j
=
E.
После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.
Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину
. (5.43)
Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия
. (5.44)
В единице объема проводника содержится n0 электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами
. (5.45)
Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности
,
(5.
46)
где
vмах = 2v.
Используя формулу (5.39) и
окончательно получим
(5.47)
или
w = E2.
Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.
. (5.48)
18.2. Вывод закона Ома в дифференциальной форме в классической электронной теории
Друде
считал, что сразу после очередного
соударения электрона с ионом кристаллической
решетки скорость упорядоченного движения
электрона равна нулю.
Предположим, что
напряженность поля не изменяется. Тогда
под действием поля электрон получит
постоянное ускорение равное
и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения
(18.2) |
где t – среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости . В этом приближении , где – среднее значение длины свободного пробега, – скорость теплового движения электронов. Подставим это значение t в формулу (18.2)
Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального
Подставив это выражение в
получим
Плотность
тока оказалась пропорциональной
напряженности поля.
Следовательно, мы
получили закон Ома. Согласно коэффициент
пропорциональности между j и Е представляет
собой проводимость
(18.3) |
Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами.
18.3. Вывод закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме в классической теории электропроводности
К концу свободного пробега электрон приобретает скорость , и, следовательно, дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой
Столкнувшись
с ионом, электрон по предположению
полностью теряет приобретенную им за
время пробега скорость, и передает
энергию кристаллической решетке.
Эта
энергия идет на увеличение внутренней
энергии металла, проявляющееся в его
нагревании. Каждый электрон претерпевает
за секунду в среднем 1/t соударений,
сообщая всякий раз решетке энергию .
Следовательно, в единице объема за
единицу времени должно выделяться тепло
где n – число электронов проводимости в единице объема. Величина есть не что иное, как удельная мощность тока. Множитель при совпадает со значением (18.3) для закона Ома. Таким образом. Мы пришли к выражению закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
18.4. Связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (закон Видемана-Франца)
Из
опыта известно, что наряду с высокой
электропроводностью металлы отличаются
также большой теплопроводностью. Видеман
и Франц установили в 1853 г. эмпирический
закон, согласно которому отношение
коэффициента теплопроводности к
коэффициенту электропроводности для
всех металлов приблизительно одинаково
и изменяется пропорционально абсолютной
температуре.
Способностью проводить
тепло обладают и неметаллические
кристаллы. Однако теплопроводность
металлов значительно превосходит
теплопроводность диэлектриков. Из этого
можно заключить, что теплопередача в
металлах осуществляется в основном не
кристаллической решеткой, а электронами.
Рассматривая электроны как одноатомный
газ, для коэффициента теплопроводности
можно заимствовать выражение кинетической
теории газа
где – плотность газа; .
Тогда
(18.4) |
Удельная теплоемкость одноатомного газа равна
Подставляя эти значения в выражение (18.4), получим
(18. |
5)Разделив (18.5) на (18.3), имеем
Произведя замену приходим к соотношению
(18.6) |
которое выражает закон Видемана-Франца, При T=300°К для отношения получается значение , очень хорошо согласующееся с экспериментальными данными.
электромагнетизм – Вывод закона Ома
спросил
Изменено 2 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Можно ли вывести закон Ома (возможно, в каком-то соответствующем пределе) из уравнений Максвелла?
- электромагнетизм
- электрические цепи
- физика твердого тела
- электрический ток
- электрическое сопротивление
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Закон Ома $\vec\jmath=\sigma\vec{E}$ может быть строго выведен в пределе малых электрических полей с использованием теории линейного отклика.
Это приводит к формуле Кубо для электропроводности, которая связывает $\sigma$ с пределом нулевой частоты корреляционной функции запаздывающий ток-ток. 9\beta(-\omega,-q)]\rangle \right\}
$$
(Конечно, этот вывод включает в себя больше, чем просто уравнение Максвелла. Оно правильно выводится в контексте неравновесной теории поля.) Модель Друде представляет собой модель спектральной функции корреляционной функции ток-ток. с точки зрения одного “времени столкновения”. Эта модель может быть получена в рамках кинетической теории, которая применима, когда взаимодействия слабые, а корреляционная функция может быть вычислена в терминах квазичастиц.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Нет, не так, как вы, вероятно, думаете. Вы можете многое сделать с уравнениями Максвелла, но вам придется выйти за их пределы, чтобы вывести закон Ома.
Существует тривиальное отношение, идущее от точек к макроскопическим объектам (например, умножение на длины и площади поперечного сечения), но это просто дает разные формы того, что до сих пор называют законом Ома.
Как я указал в комментарии к принятому в настоящее время ответу Томаса, я думаю, что решение Кубо неявно предполагает (, т.е. , не выводится с нуля) линейную зависимость между током и полем. Это уже выходит за рамки законов Максвелла.
Полный ответ требует большего. См. , например , Riess (2004). Вот почему я говорю, что нет – правильный ответ на ваш фактический вопрос.
Важно отметить, что я не думаю, что оригинальная статья Кубо по этому вопросу пытается вычислить какие-либо фактические значения $\sigma.$ Таким образом, Кубо не вывел ни один из аспектов закона Ома. Скорее, формализм Кубо позволяет вычислять $\sigma$, предполагая существование линейной зависимости.
По этим причинам я бы возражал против использования Томасом фразы «выведено строго» при описании вклада Кубо в том виде, как он описан.
Это также частично, почему я думаю, что мой собственный ответ стоит представить. (Меня несколько беспокоит использование этой фразы в этом контексте, особенно если я также говорю, что проблемная модель Друде также дает это, как будто это тривиальное уравнение для вывода или что-то в этом роде.)
$\endgroup$
$\begingroup$
Нет, это приближение, а не выведенное из первых принципов. Он основан на эмпирических наблюдениях.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Я добавил этот ответ, потому что в некоторых комментариях к этому и другим подобным вопросам (помеченным как повторяющиеся) запрашивались дополнительные подробности квантово-механического вывода закона Ома.
Приведенный здесь вывод подходит для квантовой механики одиночных частиц и пытается вывести закон Ома в форме:
$$
j_i = \sigma_{ij}E_j\;,
$$
где $j_i$ — i-я компонента тока (плотность), E_j — j-я компонента электрического поля, а $\sigma_{ij}$ — проводимость (тензор).
{-iH_0t}\;.
$$ 9I_j(t’),p_i]|0\rangle\;.
$$
Эта специфическая связь между j и E также основана на предположении об отсутствии тока в невозмущенном основном состоянии $|0\rangle$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Сначала имеем следующее уравнение, полученное из определяющих соотношений:
$$\vec{J}=\sigma(\vec{r},t)*\vec{E}$$
что сигма постоянна во всей среде и не является временно дисперсионной. Поэтому оператор свертки эквивалентен умножению. 92_{1}\vec{E}\cdot\vec{dl} ==> V=E \cdot l$$
Предыдущее соотношение ( $V=E \cdot l$ ) справедливо, только если электрическое поле константа вдоль кривой l . Поэтому мы будем применять то приближение, которое выполняется в материалах с малыми потерями, т. е. диэлектрическую проницаемость $\epsilon$ не является временно дисперсионным и постоянным во всей среде $\epsilon(\vec{r},t)\cong\epsilon$.
Наконец, мы можем вывести закон Ома как:
$$\int\vec{J}\cdot\vec{dS} = \int\sigma\cdot\vec{E}\cdot\vec{dS} == > I = \int\sigma\cdot\frac{V}{l}\cdot dS = \sigma \cdot \frac{V}{l}\cdot S$$
$$V=I\cdot R$$ $$R= \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{l}{S}$$ $$Resistivity=\rho= \frac{1}{\sigma}$$
Напоминание: Диэлектрическая проницаемость среды $\epsilon$ должна быть постоянной и
временно не рассеивается.
Это условие выполняется в подавляющем большинстве материалов проводников.
$\endgroup$
3
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Утверждение закона Ома, проверочный эксперимент, вывод в простых шагах0124
Закон Ома гласит: Падение потенциала на резисторе пропорционально току, проходящему через резистор: V ∝ I. Закон Ома применяется только к резисторам с постоянным сопротивлением; то есть к резисторам, сопротивление которых одинаково независимо от того, какой ток проходит через них. Для таких резисторов: V/I = R (где R постоянно). Закон Ома можно записать так: V = IR (где R — константа).
Резисторы, подчиняющиеся закону Ома, называются омическими резисторами. Для омического резистора график зависимости V от I будет прямой линией. Наклон графика будет равен постоянному сопротивлению. Это показано на рисунке 1. Любой компонент, который ведет себя подобным образом, описывается как омический компонент, и мы говорим, что он подчиняется закону Ома.
Посмотрите на график на рисунке 1. Такой график называется ВАХ. На приведенном графике точки немного разбросаны, но четко лежат на прямой.
Проведена линия наилучшего соответствия. Вы увидите, что он проходит через начало координат графика. Другими словами, ток I прямо пропорционален напряжению V. Прямолинейный график, проходящий через начало координат, показывает, что сопротивление проводника остается постоянным и не зависит ни от тока, ни от p.d.
Здесь, в этом посте, мы обсудим это подробнее и рассмотрим следующее: Закон Ома, Утверждение, вывод формулы, Проверка закона Ома экспериментом, определение, расчет по формуле, График V-I омического и неомического проводники и т. д.
Содержание
- Что такое закон Ома?
- Какова формула закона Ома?
- Как вывести формулу закона Ома?
- Начертите график VI для омических проводников
- Омические проводники или омические резисторы – характеристики
- Нарисуйте график VI для проводников, которые ведут себя неомически при повышении температуры
- Неомические проводники или неомические резисторы – характеристики
- Как мы можем проверить закон Ома с помощью эксперимента?
- Что нужно для эксперимента или проверочного теста
- Этапы проведения эксперимента по закону Ома
- Как использовать формулу закона Ома для решения числовых задач
- Заключение
Что такое закон Ома?
Падение потенциала на резисторе пропорционально току, проходящему через резистор: V ∝ I.
Закон Ома применим только к резисторам с постоянным сопротивлением; то есть к резисторам, сопротивление которых одинаково независимо от того, какой ток проходит через них. Для таких резисторов: V/I = R (где R постоянно). Закон Ома можно записать так: V = IR (где R — константа).
Другими словами: Закон Ома гласит, что ток через металлический элемент пропорционален разности потенциалов между его концами при условии, что температура остается постоянной. Это утверждение также известно как утверждение закона Ома.
Какова формула закона Ома?
Формула закона Ома выглядит следующим образом: V = IR,
Здесь V — разность потенциалов на двух концах проводника. И символ I обозначает ток, протекающий через проводник, а R – сопротивление этого проводника.
Как вывести формулу закона Ома?
Если ток I проходит через металлический элемент, когда к этому элементу приложена разность потенциалов V (между двумя его концами), то мы можем записать
I ∝ V уравнение закона принимает вид
I = (1/R) V
=> I = V/R
или V = IR ……………….
(1)
Здесь, Здесь R — постоянная для данного элемента и называется его сопротивлением.
Таким образом, этот закон Ома может быть выражен уравнением или формулой V = IR
Таким образом, вывод закона Ома сделан.
Итак, мы увидели, что этот закон Ома может быть выражен формулой или уравнением V = IR, где V — разность потенциалов на металлическом элементе, а I — ток, протекающий через элемент. R — электрическое сопротивление элемента.
Начертите график VI для омических проводников
График VI для омических проводников / омических материалов.Прямая линия указывает на постоянное сопротивление.
Омические проводники или омические резисторы – характеристики
Ниже приведены эквивалентные описания характеристик определенного типа резистора, подчиняющегося закону Ома:
- резистор является омическим резистором
- резистор подчиняется закону Ома резистора постоянна
- график зависимости V от I для резистора представляет собой прямую линию
- напряжение пропорционально току для резистора.
Нарисуйте график VI для проводников, которые ведут себя неомически при повышении температуры
Устройство, работающее по закону Ома, называется омическим. На самом деле ни одно устройство не является полностью омическим, хотя некоторые материалы имеют примерно омическое поведение в широком диапазоне токов.
Одной из причин, по которой проводники не остаются омическими, является то, что их температура повышается по мере прохождения через них большего тока. Сопротивление нормального проводника увеличивается с повышением температуры, что делает его неомическим.
Примером этого неомического проводника является металлическая нить лампы накаливания, которая сильно нагревается при нормальной работе.
График VI для вольфрамовой нити накаливания.При увеличении тока температура нити накала увеличивается, что увеличивает ее сопротивление.
Изменение сопротивления проявляется в изменении наклона графика.
Неомические проводники или неомические резисторы – характеристики
Ниже приведены эквивалентные утверждения об этом типе неомического резистора:
- резистор неомический
- резистор не подчиняется закону Ома
- сопротивление резистора непостоянна
- График зависимости V от I для резистора не является прямой линией.
Как мы можем проверить закон Ома с помощью эксперимента?
Здесь мы обсудим, как провести простой эксперимент для проверки закона Ома.
Что нам нужно для Эксперимента или проверочного испытания
Что нам нужно:
Четыре или пять сухих элементов,
тонкий провод (AB),
вольтметр,
амперметр,
штепсельный ключ
и несколько толстых соединительных проводов .
Шаги для выполнения эксперимента по закону Ома
1> Мы должны начать тест с одной ячейки. Мы должны подключить цепь, как показано на рисунке а.
— Амперметр покажет нам ток I, протекающий по цепи, а вольтметр измерит разность потенциалов V между концами А и В провода.
– Мы должны отметить эти значения. (1-й набор тестовых данных) Помните, что этот набор измеренных значений V и I относится к установке с одной ячейкой.
Одиночная ячейка 2> Теперь нам нужно последовательно соединить две ячейки в цепи, как показано на рисунке b.
— Мы обнаружим, что показания вольтметра увеличиваются. Это означает, что к проводу АВ приложена большая разность потенциалов.
— это очевидно, так как в данном случае мы последовательно применили 2 ячейки.
— Мы также обнаружим, что показания амперметра также увеличились. Мы должны записать новые значения V и I. (2-й набор тестовых данных)
2 ячейки последовательно
3> Мы должны повторить эксперимент, соединив последовательно три ячейки, четыре ячейки и так далее. на. В каждом случае измерьте разность потенциалов и силу тока. (3-й набор, 4-й набор… тестовых данных)
4> Если мы вычислим значение V/I для каждого набора тестовых данных, мы обнаружим, что оно почти одинаково.
— Итак, V/I = R — константа, что является еще одним способом формулировки закона Ома. Здесь R — сопротивление провода АВ.
График закона Ома: Если построить график зависимости тока I от разности потенциалов V, то это будет прямая линия (рис.