Алгоритмы выделения контуров изображений / Хабр
В свете недавних статей об обработке изображений я хотел бы немного рассказать об алгоритмах выделения контуров: методы Робертса, Превитта и Собеля (эти методы взяты для рассмотрения как самые известные и часто используемые).
Не буду докучать объемной теорией, а ограничусь лишь минимальными сведениями, необходимыми для понимания сути алгоритмов.
Все указанные методы основываются на одном из базовых свойств сигнала яркости – разрывности. Наиболее общим способом поиска разрывов является обработка изображения с помощью скользящей маски, называемой также фильтром, ядром, окном или шаблоном, которая представляет собой некую квадратную матрицу, соответствующую указанной группе пикселей исходного изображения. Элементы матрицы принято называть коэффициентами. Оперирование такой матрицей в каких-либо локальных преобразованиях называется фильтрацией или пространственной фильтрацией
Схема пространственной фильтрации иллюстрируется на рисунке ниже (см. рисунок 1).
Рисунок 1. Схема пространственной фильтрации
Процесс основан на простом перемещении маски фильтра от точки к точке изображения; в каждой точке (x,y) отклик фильтра вычисляется с использованием предварительно заданных связей. В случае линейной пространственной фильтрации отклик задается суммой произведения коэффициентов фильтра на соответствующие значения пикселей в области, покрытой маской фильтра. Для маски 3х3 элемента, показанной на рисунке 1, результат (отклик) R линейной фильтрации в точке (x,y) изображения составит:
(1.1)
что, как видно, есть сумма произведений коэффициентов маски на значения пикселей непосредственно под маской. В частности заметим, что коэффициент w(0,0) стоит при значении f(x,y), указывая тем самым, что маска центрирована в точке (x,y).
При обнаружении перепадов яркости используются дискретные аналоги производных первого и второго порядка.
Для простоты изложения будут рассмотрены одномерные производные.
Первая производная одномерной функции f(x) определяется как разность значений соседних элементов:
(1.2)
Здесь использована запись в виде частной производной для того, чтобы сохранить те же обозначения в случае двух переменных f(x,y), где придется иметь дело с частными производными по двум пространственным осям. Использование частной производной не меняет существа рассмотрения.
Аналогично, вторая производная определяется как разность соседних значений первой производной:
(1.3)
Вычисление первой производной цифрового изображения основано на различных дискретных приближениях двумерного градиента. По определению, градиент изображения f(x,y) в точке (x,y) — это вектор [2]:
(1.4)
Важную роль при обнаружении контуров играет модуль этого вектора, который обозначается ∇f и равен
(1.5)
Эта величина равна значению максимальной скорости изменения функции f в точке (x,y), причем максимум достигается в направлении вектора ∇f. Величину ∇f также часто называют градиентом.
Направление вектора градиента также является важной характеристикой. Обозначим α(x,y) угол между направлением вектора ∇f в точке (x,y) и осью x. Как известно из математического анализа [2],
(1.6)
Отсюда легко найти направление контура в точке (x,y), которое перпендикулярно направлению вектора градиента в этой точке. А вычислить градиент изображения можно, вычислив величины частных производных ∂f/∂x и ∂f/∂y для каждой точки.
Оператор Робертса
Пусть область 3х3, показанная на рисунке ниже (см.
Рисунок 2. Окрестность 3х3 внутри изображения
Один из простейших способов нахождения первых частных производных в точке состоит в применении следующего перекрестного градиентного оператора Робертса [1]:
(1.7)
и
(1.8)
Эти производные могут быть реализованы путем обработки всего изображения с помощью оператора, описываемого масками на рисунке 3, используя процедуру фильтрации, описанную ранее.
Рисунок 3. Маски оператора Робертса
Реализация масок размерами 2х2 не очень удобна, т.к. у них нет четко выраженного центрального элемента, что существенно отражается на результате выполнения фильтрации. Но этот «минус» порождает очень полезное свойство данного алгоритма – высокую скорость обработки изображения.
Оператор Превитта
Оператор Превитта, так же как и оператор Робертса, оперирует с областью изображения 3х3, представленной на рисунке 2, только использование такой маски задается другими выражениями:
(1.
9)
и
(1.10)
В этих формулах разность между суммами по верхней и нижней строкам окрестности 3х3 является приближенным значением производной по оси x, а разность между суммами по первому и последнему столбцам этой окрестности – производной по оси
Рисунок 4. Маски оператора Превитта
Оператор Собеля
Оператор Собеля тоже использует область изображения 3х3, отображенную на рисунке 2. Он довольно похож на оператор Превитта, а видоизменение заключается в использовании весового коэффициента 2 для средних элементов:
(1.11)
и
(1.12)
Это увеличенное значение используется для уменьшения эффекта сглаживания за счет придания большего веса средним точкам.
Маски, используемые оператором Собеля, отображены на рисунке ниже (см. рис. 5).
Рисунок 5.
Маски оператора Собеля
Рассмотренные выше маски применяются для получения составляющих градиента . Для вычисления величины градиента эти составляющие необходимо использовать совместно:
(1.14)
или
(1.15)
Ну и в завершении продемонстрирую результаты обработки изображений (см. рисунки 6-8) описанными методами.
Рисунок 6. Исходное изображение №1
Рисунок 7. Исходное изображение №2
Рисунок 8. Исходное изображение №3
Результаты обработки методами Робертса, Превитта и Собеля продемонстрированы ниже:
Рисунок 9. Исходные изображения после обработки методом Робертса
Рисунок 10. Исходные изображения после обработки методом Превитта
Рисунок 11. Исходные изображения после обработки методом Собеля
Список литературы
- Р. Гонсалес, Р. Вудс Цифровая обработка изображений — М: Техносфера, 2005 – 1007с
- Кудрявцев Л.
В. Краткий курс математического анализа – M.: Наука, 1989 – 736с - Анисимов Б.В. Распознавание и цифровая обработка изображений – М.: Высш. школа, 1983 – 295с
В. Краткий курс математического анализа – M.: Наука, 1989 – 736стренажеры по теме Вычисление производных
Тренажеры по теме «Вычисление производных».
1. Ефремов Дмитрий Борисович.
2. Средняя школа при Посольстве России в Швеции.
3. Учитель математики.
Рассмотренная ниже система тренировочных заданий помогает осуществить поэтапную отработку умения вычислять производную функции, что является основой для успешного изучения темы «Применение производной», которая, в свою очередь, представлена на экзамене по математике.
Распределение блоков заданий по принципу «от простого к сложному» создает ситуацию успеха для слабоуспевающих учеников.
10 тренажеров позволят каждому десятикласснику отработать изучаемые формулы и правила дифференцирования.
Каждый из тренажеров 1-3 направлен на отработку одной формулы:
1 – производная линейной функции,
2 – производная степенной функции с натуральным показателем,
3- производная степенной функции с целым отрицательным показателем.
В тренажере 4 требуется применить все формулы, изучаемые до рассмотрения правил дифференцирования.
Тренажеры 5-9 направлены на отработку правил дифференцирования:
5- «производная суммы функций»,
6- «постоянный множитель выносится за знак производной»,
7- комбинация правил из пунктов 5 и 6,
8 – «производная произведения двух функций»,
9 – «производная частного двух функций».
Последний тренажер 10 помогает на примере тригонометрических функций еще раз повторить все правила дифференцирования.
Вычисление производных.
Тренажер 1.Тренажер 2.
№ | y=kx+b | y‘ =k | ||||
1 | y= 3x-2 | y‘ = | ||||
2 | y=5x+1 | y‘ = | ||||
3 | y=2+7x | y‘ = | ||||
4 | y=4-6x | y‘ = | ||||
5 | y=8x | y‘ = | ||||
6 | y= – 4x | y‘ = | ||||
7 | y= x | y‘ = | ||||
8 | y= | y‘ = | ||||
9 | y=5+x | y‘ = | ||||
10 | y=x-7 | y‘ = | ||||
11 | y= -0,5x | y‘ = | ||||
12 | y=x-4 | y‘ = | ||||
13 | y=6x-1 | y‘ = | ||||
14 | y=3-11x | y‘ = | ||||
15 | y=8+7x | y‘ = | ||||
№ | y=xn | y‘ = n· xn-1, n>0 |
1 | y= x2 | y‘ = |
2 | y= x3 | y‘ = |
3 | y= x4 | y‘ = |
4 | y= x5 | y‘ = |
5 | y= x6 | y‘ = |
6 | y= x7 | y‘ = |
7 | y= x15 | y‘ = |
8 | y= x100 | y‘ = |
9 | y= x311 | y‘ = |
10 | y= x201 | y‘ = |
Тренажер 3.
Тренажер 4.
y=xn | y‘ = n· xn-1, n<0 | |
1 | y= x -2 | y‘ = |
2 | y= x -3 | y‘ = |
3 | y= x -4 | y‘ = |
4 | y= x -5 | y‘ = |
5 | y= x -6 | y‘ = |
6 | y= x -7 | y‘ = |
7 | y= x -100 | y‘ = |
8 | y= x -15 | y‘ = |
9 | y= x -150 | y‘ = |
10 | y= x -1000 | y‘ = |
функция | производная | |
1 | y= | y‘ = |
2 | y= | y‘ = |
3 | y= π | y‘ = |
4 | y= 6x+3 | y‘ = |
5 | y= 4 | y‘ = |
6 | y= x2 | y‘ = |
7 | y= x | y‘ = |
8 | y= 1024 x | y‘ = |
9 | y= | y‘ = |
10 | y= sin2x + cos2x | y‘ = |
Тренажер 5.
Тренажер 6.
Правило 1 (u + v)’ = u‘ + v‘ | ||
1 | y=x7+x | y‘ = |
2 | y=x-2 + | y‘ = |
3 | y= -4x+x4 | y‘ = |
4 | y= x9 + | y‘ = |
5 | y=x-1–x2+1 | y‘ = |
6 | y=6x-3+x5 | y‘ = |
7 | y=4+ π+ | y‘ = |
8 | y=x10+x-3 | y‘ = |
9 | y=x7-3x+2 | y‘ = |
10 | y=x-5+ – π | y‘ = |
Правило 2 (c ∙u)’=c ∙ u‘ | ||
1 | y=3x4 | y‘ = |
2 | y= -2x7 | y‘ = |
3 | y= -7x-3 | y‘ = |
4 | y=1,5x4 | y‘ = |
5 | y=6 | y‘ = |
6 | y= | y‘ = |
7 | y= -2 | y‘ = |
8 | y=3x -5 | y‘ = |
9 | y= | y‘ = |
10 | y= | y‘ = |
Тренажер7.
Тренажер 8.
Правила 1 и 2 (u + v)’ = u‘ + v‘ (c ∙u)’=c ∙ u‘ | ||
1 | y=4x3 +8x2 | |
2 | y=6x3-4 | |
3 | y=+4x-2 | |
4 | y=6x3-5x2+2х-4 | |
5 | y=2x-2+4x-1+7 | |
6 | y=3x3 +x-9 π | |
7 | y=2х+ +1 | |
8 | y= x6+12 | |
9 | y=-5x-2 +2x-5 | |
10 | y=х4+9x2+8 |
Правило 3 (u∙v)’ = u‘∙v+u ∙ v‘ | ||
1 | y= x· | y‘ = |
2 | y= x4·(x6+3x+4) | y‘ = |
3 | y=·(3x-7) | y‘ = |
4 | y= (x-3π)· | y‘ = |
5 | y= (5x3+2x4)·(3-x) | y‘ = |
Тренажер 9.
Правило 4 | ||
1 | y= | y‘ = |
2 | y= | y‘ = |
3 | y= | y‘ = |
4 | y‘ = | |
5 | y‘ = | |
Тренажер10.
тригонометрические функции | ||
1 | y=sin x | y‘ = |
2 | y=cos x | y‘ = |
3 | y=tg x | y‘ = |
4 | y=ctg x | y‘ = |
5 | y=2sinx | y‘ = |
6 | y=-3cosx | y‘ = |
7 | y=tgx | y‘ = |
8 | y= | y‘ = |
9 | y= (3x-1)·tgx | y‘ = |
10 | y= (x-4+1)·ctgx | y‘ = |
11 | y= (2x3+4x2-6)·cosx | y‘ = |
12 | y= x2·cosx | y‘ = |
13 | y= x4·sinx | y‘ = |
14 | y= | y‘ = |
15 | y= | y‘ = |
Адрес публикации: https://www.
prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/171850-trenazhery-po-teme-vychislenie-proizvodnyh
| Мгновенные решения
Связанный контент
сообщите об этом объявлении
сообщите об этом объявлении
f( x , y) =
Решите для:
(опционально):
Вычисление в ( x , y ) = ( , )
Решение:
Урок частичной производной
Содержание урока
Что такое частная производная?
Предположим, у нас есть функция z = f(x , y) . Выход z зависит от двух переменных: x и y . Частная производная измеряет скорость изменения функции z по отношению к изменению любой независимой переменной x или y .
Другими словами, частные производные говорят нам, каково изменение функции по отношению к изменению одной из независимых переменных.
Почему мы изучаем частные производные?
Математическое исчисление легко представить как предмет, который полезен или актуален только в школьной обстановке. Тем не менее, исчисление используется по-разному, чтобы выполнить все, от запуска ракеты в космос до максимизации прибыли в конкретной бизнес-операции.
В этом случае давайте посмотрим, как мы можем использовать частные производные, чтобы максимизировать прибыль, когда мы упаковываем и отправляем товары клиентам:
Предположим, что мы управляем отделом доставки для компании, которая продает товары онлайн-покупателям. В связи с быстрым приближением курортного сезона нам необходимо сбалансировать правильное количество сезонных сотрудников и сотрудников, работающих полный рабочий день, чтобы мы могли максимизировать нашу ежедневную прибыль.
Упаковка и транспортировочные коробки для сотрудников Сезонные сотрудники обходятся компании дешевле, поскольку их почасовая оплата ниже, чем у штатных сотрудников, и они не имеют права на дополнительные льготы компании.
Однако сезонные сотрудники, как правило, менее продуктивны, чем штатные, из-за их сравнительно более низкого уровня опыта.
Мы можем объединить эту информацию с историческими данными, которые связывают прибыль с количеством сезонных и штатных сотрудников, чтобы максимизировать потенциальный доход. При достаточном количестве данных нанесенные точки этой функции создадут поверхность на трехмерном графике, где 9Ось 0011 z представляет прибыль на основе независимых переменных x (сезонные сотрудники) и y (штатные сотрудники).
Используя частные производные, мы можем увидеть изменение прибыли в зависимости от изменения в каждом типе служащих. Другими словами, если бы мы разрезали трехмерный график вдоль фиксированного значения для штатных сотрудников (значения и ), трехмерный график превратился бы в двумерную кривую, параллельную x – z плоскость (см. рис. 1). Взятие частной производной функции по количеству сезонных работников эффективно показывает наклон кривой (изменение прибыли) при изменении количества сезонных работников.
Вышеупомянутый метод также можно использовать для сохранения постоянного количества сезонных сотрудников, чтобы увидеть кривую, параллельную y – 9плоскость 0011 z (см. рис. 2). Взятие частной производной по количеству штатных сотрудников покажет нам наклон кривой (изменение прибыли) при изменении количества штатных сотрудников.
Рисунок 2. Функция с двумерной кривой, параллельной плоскости y-z ценить.Важным выводом здесь является тот факт, что мы можем использовать исчисление для улучшения и оптимизации вещей, начиная от высокоуровневых научных приложений и заканчивая повседневными деловыми операциями. Имея эти инструменты в нашем наборе математических инструментов, мы можем получить максимальную отдачу от наших усилий.
Как решить задачу частичного дифференцирования
Если заданная функция имеет знаки «+» или «-», разделяющие члены (пример: f(x,y) = x 2 + у 3 ) , шаги решения задачи частичного дифференцирования следующие:
- Разбейте выражение на части, используя знаки «+» или «-» в качестве разделителей.
- При вычислении ∂ f /∂ x , возьмите производную от частей из шага 1 относительно x , считая y константой. При вычислении ∂ f /∂ y возьмите производную от частей из шага 1 по отношению к y при обработке x как константы.
- Поместите получившиеся фрагменты из шага 2 обратно в одно выражение.
- Если вам необходимо оценить частную производную в точке
Если данная функция НЕ имеет знаков «+» или «-», разделяющих члены (например: f(x,y) = – x 2 ) , шаги для решения задачи частичного дифференцирования следующие:
- Если вычислить ∂ f /∂ x , взять производную данной функции по x , рассматривая y как константа. При вычислении ∂ f /∂ y , возьмите производную данной функции по отношению к y , рассматривая x как константу.
- Если вам необходимо оценить частную производную в точке 92+y-10\\ \\ & \hspace{3ex} \text{Кроме того, оцените }\frac{\partial f}{\partial x}\text{ at}(x,y) = (1, 2) \\ \\ & \hspace{3ex} \text{Давайте начнем с вычисления частной производной каждой части} \\ & \hspace{3ex} \text{функции по }x\text{. Нам может быть полезно представить это как} \\ & \hspace{3ex} \text{следующий процесс:} \\ \\ & \hspace{3ex} \text{1.) Разбейте функцию на части, используя знаки ‘+’ или ‘-‘ в качестве разделителей.} \\ & \hspace{3ex} \text{2.) Возьмем производную этих частей по }x\text{ при обработке } \\ & \hspace{ 6.5ex}y\text{ как константу.} \\ & \hspace{3ex} \text{3.) Соедините получившиеся части вместе в одно выражение.} \\ & \hspace{3ex} \text{4 .) Вычислить }\frac{\partial f}{\partial x}\text{ в }(x,y) = (1, 2).\\ \\ & \text{1. 2\text{) } = 2 \hspace{0ex} x\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}2\text{) }\;\frac{\partial f}{\partial x}\text{ (}y\text{) } = 0\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}3\text{) } \;\frac{\partial f}{\partial x}\text{ (}-10\text{) } = 0\\\\ & \text{3.) Затем поместим отдельные }\frac{\ частичные f}{\partial x}\text{ фрагменты, найденные на шаге 2, снова вместе} \\ & \hspace{3ex} \text{в одно выражение:} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow\frac {\partial f}{\partial x} = 2 x\\ \\ & \text{4.) Теперь давайте подставим заданные значения для }x \text{ и } y \text{ в найденное выражение} \\ & \hspace{3ex} \text{на шаге 3 и оцените.} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x\\ \\ & \hspace {3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\text{ оценивается как }(1, 2) = 2 \hspace{0ex} (1)\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow 2\\ \\ & \text{Поэтому частная производная от }f \text{ по }x\text{ равна:} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\bo xed{\ frac {\ partial f} {\ partial x} = 2 x}} \\ \\ & \ text {and} \\ \\ & \ Longrightarrow \ boxed {\ boxed {\ frac {\ partial f} { \partial x}\text{ оценивается как (}1, 2) = 2}}\end{align}$$ 92+y-10\\ \\ & \hspace{3ex} \text{Кроме того, оцените }\frac{\partial f}{\partial y}\text{ at}(x,y) = (1, 2) \\ \\ & \hspace{3ex} \text{Давайте начнем с вычисления частной производной каждой части} \\ & \hspace{3ex} \text{функции по }y\text{. 2\text{) } = 0\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}2\text{) }\;\frac{ \partial f}{\partial y}\text{ (}y\text{)} = 1\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}3\text{)}\;\frac{\ частичное f}{\partial y}\text{ (}-10\text{) } = 0\\\\ & \text{3.) Затем поместим отдельные }\frac{\partial f}{\partial y}\text{ фрагменты, найденные на шаге 2, снова вместе} \\ & \hspace{3ex} \text{в одно выражение:} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow\frac{\partial f}{ \partial y} = 1\\ \\ & \text{4.) Теперь давайте подставим заданные значения для }x \text{ и } y \text{ в найденное выражение} \\ & \hspace{3ex} \ text{на шаге 3 и оцените.} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{ \partial f}{\partial y}\text{ оценивается в }(1, 2) = 1\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow 1\\ \\ & \text{Следовательно, частная производная от } f \text{ по отношению к }y\text{ равно:} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = 1}} \\ \\ & \text{and} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\boxed{\frac {\partial f}{\partial y}\text{ оценивается в (}1, 2) = 1}}\end{выравнивание}$$
Как работает калькулятор частных производных
Калькулятор частных производных состоит из трех основных компонентов: HTML, CSS и JavaScript.
HTML, или «язык гипертекстовой разметки», создает базовую структуру калькулятора. Это то, что мы используем для определения полей ввода, кнопок и поля шагов решения.
CSS, или «Каскадные таблицы стилей», используется для стилизации всего, от цвета калькулятора до размера шрифта текста на каждой из кнопок калькулятора. Таким же образом мы определяем физическую форму и размеры поля решения.
JS или «JavaScript» вдыхает жизнь в калькулятор. В то время как HTML и CSS позволяют калькулятору физически присутствовать на странице с определенной эстетикой, JS позволяет калькулятору фактически функционировать, принимая ввод пользователя, вычисляя ответ, а затем возвращая ответ в поле шагов решения.
Все это объединяется, чтобы предоставить пользователю простой в использовании Калькулятор Частных Производных, который помогает им учиться и проверять свою работу быстро и эффективно!
Symbollab -изначальный -Google Suce
AllebildervideoSnewsmapsShoppingBücher
Sucoptionen
Ergebnisse Für Symbolic -DEDIVATION
STATTDESS SIMBOLNABLINABINABINABINABINABITATION 9000
.
Программа символьного дифференцирования находит производную данной формулы по заданной переменной, создавая на выходе новую формулу. Как правило, программы символьной математики манипулируют формулами для создания новых формул, а не выполняют числовые вычисления на основе формул.24. Сентябрь 2007 г.
CS 381K: Символическая дифференциация – UT Computer Science
www.cs.utexas.edu ›Пользователи› Novak ›ASG -Symdif
Hervorgehobene Snippets
2 ähnliche. используется для получения символической дифференциации?Каковы 7 правил производных?
Является ли автодифф самым эффективным?
Что представляет производная в реальной жизни?
Дифференцировать символьное выражение или функцию — MATLAB diff
www.mathworks.com › … › Математика › Исчисление
Чтобы вычислить производную относительно матрицы, вы можете использовать символические переменные матрицы. Например, найти производную ∂ Y / ∂ A .
..Описание · Примеры · Входные аргументы
Разница между символьным дифференцированием и автоматическим…
stackoverflow.com › вопросы › разница между…
Символьное дифференцирование создает цепочки выражений для получения символьного представления производной, но никогда не передает числа. …
Символическое дифференцирование с одной переменной из деревьев выражений
Производная символьной функции по определенному значению — переполнение стека
Преобразование сценария MATLAB в символьный сценарий, чтобы найти… в Р?
Дополнительная информация из stackoverflow.com
Автоматическое дифференцирование — Википедия0002 Символьное дифференцирование сталкивается с трудностями преобразования компьютерной программы в одно математическое выражение и может привести к неэффективному коду. Число …
Bilder
Alle Angeigen
Alle Anleigen
AP Calculus AB Тема: Символическая дифференциация – YouTube
www.
youtube.com ›Смотрите12.09.2017 · коррекция: я забыл, чтобы упростить! !!!! Квадратный корень из 1 на 2 упрощает до 1/2 …
Dauer: 7:20
Прислан: 12.09.2017Примеры символьного дифференцирования в исчислении 1 – YouTube
www.youtube.com › смотреть
08.12.2020 · В этом видео рассматриваются два примера символического дифференцирования. Эти типы задач…
Dauer: 4:04
Прислан: 08.12.2020Символическое дифференцирование – SLU Math
mathstat.slu.edu › ~may › ExcelCalculus › chap-4-S…
В этой главе мы исследуем правила символической дифференциации. Это позволяет нам перейти от функции, определяемой формулой, к ее производной, определяемой формулой …
Автоматическое и символическое дифференцирование – Библиотека Deal.II
www.dealii.org › Deal.II › group__auto__symb__diff
Символическое дифференцирование с точки зрения его конструкции и использования сильно отличается от автоматического дифференцирования.
При вычислении ∂ f /∂ y , возьмите производную данной функции по отношению к y , рассматривая x как константу.
2\text{) } = 2 \hspace{0ex} x\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}2\text{) }\;\frac{\partial f}{\partial x}\text{ (}y\text{) } = 0\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}3\text{) } \;\frac{\partial f}{\partial x}\text{ (}-10\text{) } = 0\\\\ & \text{3.) Затем поместим отдельные }\frac{\ частичные f}{\partial x}\text{ фрагменты, найденные на шаге 2, снова вместе} \\ & \hspace{3ex} \text{в одно выражение:} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow\frac {\partial f}{\partial x} = 2 x\\ \\ & \text{4.) Теперь давайте подставим заданные значения для }x \text{ и } y \text{ в найденное выражение} \\ & \hspace{3ex} \text{на шаге 3 и оцените.} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x\\ \\ & \hspace {3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\text{ оценивается как }(1, 2) = 2 \hspace{0ex} (1)\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow 2\\ \\ & \text{Поэтому частная производная от }f \text{ по }x\text{ равна:} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\bo xed{\ frac {\ partial f} {\ partial x} = 2 x}} \\ \\ & \ text {and} \\ \\ & \ Longrightarrow \ boxed {\ boxed {\ frac {\ partial f} { \partial x}\text{ оценивается как (}1, 2) = 2}}\end{align}$$ 92+y-10\\ \\ & \hspace{3ex} \text{Кроме того, оцените }\frac{\partial f}{\partial y}\text{ at}(x,y) = (1, 2) \\ \\ & \hspace{3ex} \text{Давайте начнем с вычисления частной производной каждой части} \\ & \hspace{3ex} \text{функции по }y\text{.
2\text{) } = 0\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}2\text{) }\;\frac{ \partial f}{\partial y}\text{ (}y\text{)} = 1\\\\ & \hspace{3ex} \text{2.}3\text{)}\;\frac{\ частичное f}{\partial y}\text{ (}-10\text{) } = 0\\\\ & \text{3.) Затем поместим отдельные }\frac{\partial f}{\partial y}\text{ фрагменты, найденные на шаге 2, снова вместе} \\ & \hspace{3ex} \text{в одно выражение:} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow\frac{\partial f}{ \partial y} = 1\\ \\ & \text{4.) Теперь давайте подставим заданные значения для }x \text{ и } y \text{ в найденное выражение} \\ & \hspace{3ex} \ text{на шаге 3 и оцените.} \\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow \frac{ \partial f}{\partial y}\text{ оценивается в }(1, 2) = 1\\ \\ & \hspace{3ex} \Longrightarrow 1\\ \\ & \text{Следовательно, частная производная от } f \text{ по отношению к }y\text{ равно:} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = 1}} \\ \\ & \text{and} \\ \\ & \Longrightarrow \boxed{\boxed{\frac {\partial f}{\partial y}\text{ оценивается в (}1, 2) = 1}}\end{выравнивание}$$
Программа символьного дифференцирования находит производную данной формулы по заданной переменной, создавая на выходе новую формулу. Как правило, программы символьной математики манипулируют формулами для создания новых формул, а не выполняют числовые вычисления на основе формул.
..
youtube.com ›Смотрите