Y x найти производную: Частные производные онлайн - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

5.

Мэтуэй | Популярные задачи

Неявное дифференцирование

Неявное против явного

Как сделать неявное дифференцирование

Правила форума

Пример: Круг

Пример: x

sin(x) : Анализ-I

Содержание

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

cotopaxi

Как взять производную от y=x^sin(x)

13. 09.2010, 00:12

13/09/10
2

Чем больше изучаешь, тем более простые вещи куда-то деваются из головы… )

Объясните, плиз, принцип, как брать производные вида .
Лучше будет, если сразу на целый класс подобных задач.
Надо сначала брать как слошную степенную?

Благодарю за комментарии.

Joker_vD

Re: Как взять производную от y=x^sin(x)

13. sin(x)

13.09.2010, 00:53

Заслуженный участник

04/04/09
1351

Joker_vD

прав. Но технически проще сделать иначе. Прологарифмируйте . Получите . И теперь возьмите производные от обеих частей равенства. Причём, от левой части неявно.

cotopaxi

Re: Как взять производную от y=x^sin(x)

13. 09.2010, 09:25

13/09/10
2

Спасибо!

Виктор Викторов, точно, теперь вспомнил – прологарифмировать обе части. Дальше ход ясен.

Joker_vD, с идеей понятно, делаем экспоненту, а дальше, как производную от степенной.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 4 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

1. Вычисление производной функции

415.* f (x)=

416.* f (x) = e−x .

x, x £1,

417. * f (x)=

íln x, x >1.

418.* f (x)=

x2 – 4

x – 3

419.

* f (x)= arctg

420.* f (x) =

x – 3

ì2x + 5, x < -1,

421.* f (x)= íï-

, x £ 2,

422.* f (x)= íï

£ x.

x, x > 2.

ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Найти производные заданных функций.

423.	y = x5 + 2×3 –				1	x .
423.	y = x5 + 2×3 –				8	x .
					8
425.	y = tgx + 2ctg x .
427.	y = x3 log2 x .
	y = (			+1)arcsin x .
429.	y = (		x	+1)arcsin x .
431.	y = 73x−1 .				432. 10.

433.	y = 3	2×2 + 4x			-3 .

435. 13. y = ln(x + x2 +1).

424. y = 4x – x32 .

426. y = xx + e2 .

=1- x

428.y 1+ x .

430. y = ln cos x .

y= arctg2x .

434.y = 5x ×e4x .

=sin 2x

436.y tgx .

=x + e3x

437.y x – e3x .

439. y = 10x sin 6x .

441. y = xln x .

443.* y = arcsin e−4x

438. y = arccos x .

440. 18. y = xx .

442.y = (sin x)x .

+ln(e4x + e8x -1).

tgx +

2x (sin x + cos x ln 2)

444. *

y =

2tgx

445.* y =

tgx –

1+ (ln 2)2

2tgx

2x – x2

446. *

y =

2x – x2 + ln

–

x -1

447. *

y = x2x ×5x .

448.* y = (cos5x)ex .

5.2. Геометрический и механический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику функции

449.

Найти

угловой коэффициент

касательной

к графику

функции

f (x) =

1− 2x

, проведённой в точке с абсциссой (- 0,5).

4x +1

450. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = sin 2 x + ctg2x в его точке с абсциссой 12π .

451. Составить уравнение касательной к графику функции y = 2×2 + x – 4

в точке с абсциссой x0 = -2 .
452. Составить уравнение касательной к графику функции y =	x5	+1
			в
	x4
		+1

точке с абсциссой x0 =1.

		164		x
453. Составить уравнение нормали к графику функции y = 63	x −	164		x	в
453. Составить уравнение нормали к графику функции y = 63	x −		3		в
точке с абсциссой x0 =1.			3
точке с абсциссой x0 =1.

454.Составить уравнение нормали к графику функции y = x2 − 8x + 5 в

точке с абсциссой x0 = 4 .

455.Точка движется по прямой так, что её расстояние S от начального пункта

через t	секунд равно S =	1	t4	− 4t3 +16t2 . В какие моменты её
		4

скорость равна нулю?

456.Количество электричества, протёкшее через проводник начиная с момента времени t = 0 , даётся формулой Q = 2t2 + 3t +1. Найти силу тока в конце пятой секунды.

457.*	Хорда	параболы	y = x2 − 2x + 5 соединяет точки							с	абсциссами
	x1 = 1,	x2 = 3.	Составить	уравнение		касательной				к	параболе,
параллельной хорде.
						y = −			+ 2
458. *	Составить уравнение нормали			к линии				x			в точке её
пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
459.*	Провести касательную к гиперболе y =				x + 9
							так, чтобы она прошла
					x + 5

через начало координат.

460.* Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x = t2 + t +1. Определить кинетическую энергию в момент времени t = 5 .

	Найти производную функции y , заданной неявно.
461.	exy − cos(x2 + y2 )= 0 . 462. x2 + y2 = ln	y	+ 7 .
		x

463.	x4 − y4 = x2 y2 .

474.*

Найти производную функции y , заданной неявно, указанного порядка.

+ x

3 − 3axy = 0 , y′′

= ?

475.* y = sin(x + y), y′′ = ?

Найти производные функций, заданных неявно в точке

x0 .

464. ey = e − xy ,

x0 = 0 .

465.

+ y2 =1,

x0 =

2 .

466.

x +

y =

a , x0 = a

467.

x3 + y3 − 3xy = 0,

x0 =1.

468. *

x4 + y4 = 4×2 y2 , x0 =1. 469.* 2yln y = x , x0 = 0 .

470.*

cos(xy)= x , x0 = 0,5.

471.* y = x + arctg y ,

x0 = 0 .

472.*

y =1+ xey ,

x0 = 0 .

473.* y = cos(x + y),

x0 = π .

′′

476.

+ xy = e , найти y (x) при x = 0 .

477.*

x2 + y2 = r2 , y′′′ = ?

′′

Найти производные yxx функции, заданной неявно.

478.*

2x + 2y = 2x+y .

479.* cos

= y .

480.*

y2 − 2xy + a2 = 0 .

481.* y3 −3y + 2ax = 0.

482.*

ycosx = sin y .

483.* y = exy .

5.4. Производная обратной функции.

Производная функции, заданной параметрически

484. Найти производную функции y = arcsin x с помощью теоремы о производной обратной функции.

485.	Найти	производную функции y = log2 x				с помощью теоремы о
	производной обратной функции.
	Найти производную y′x .
486.	ìx = t -sin t,			487.	ìx = et sin t,
486.	í			487.	í
	îy =1	– cos t.			îy = et cos t.
	ìx = t3 + t,				ìx =
	ìx = t3 + t,		t0 =1.		ìx =		t -1,
488.	í	в точке		489.	í
488.	í	в точке		489.	í	y = 3 t.
	îy = t2 + t +1,				î	y = 3 t.
Найти производные первого и второго (*) порядка функций, заданных
параметрически.
490.	ìx =1- t2 ,		ìx = (t +1)t−1,				ìx = a cos t,
490.	í	491.	í	-1)t−1.		492. í
	îy = t	– t3.	îy = (t	-1)t−1.			î y = bsin t.
493.	ìx = et sin t,		ìx = 3t,				ì x = cos t,
493.	í	494.	í	– t2.		495. í
	îy = et cos t.		îy = 6t	– t2.			îy = sin 2t.
496.	ìx = tg t,
496.	í
	îy = sin 2t + 2cos2t.

Записать уравнения касательных к данным линиям в точке M0.

ìx = 3cost,

497.

M0 ç

;2 2

÷ .

îy = 4sin t,

ìx = t – t4 ,

M0 (0;0).

ìx = t3

+1,

(1;1).

498.

499. í

+ t +1,

îy = t2 – t3 ,

îy = t2

ìx = 2cos t,

–

500.

M0 ç1;

÷ .

î y = sin t,

5.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

Правило Лопиталя

Найти производные указанных порядков.

501. y = 3x + 2 , y′′′ – ?502.

503. 5.5.3. y = lnxx , y′′ – ?

505. y = x cos2x , y′′ – ? 507. y = x arccosx , y′′ – ?

509. y = ln x , y(n)- ?

y = xe−x , y′′′ – ?

504. y = sin 4x , y(5) – ?

506. y = arctg x , y′′ – ?

508. y = e−2x , y(n)- ? 510. y = x 1+ 2 , y(n)- ?

Вычислить предел по правилу Лопиталя.

511.

lim

ex −1

512. lim

1− cos 2x

1− cos3x

x→0 sin 2x

x→0

513.

lim

x − sin x

514. lim

ln x

x→0

x→∞

515.

lim

tg x

516. lim x ln x .

x→π

tg3x

x→0

517.

lim xne−x .

518. lim

e2x −1

x→+∞

x→0 ln(1+ 2x)

519.

lim (1− e2x )ctg x . 520. lim xx .

x→0

521.

lim x

1−x

x→1

522. Найти d3y , если y = (2x − 3)3 .

523.Найти d3y , если y = x(ln x −1).

524.Найти d2y , если y = ln(x + x2 + 4).

5.6.Дифференциал: геометрический смысл и приложения

Найти приращения и дифференциал в точке x0 .

525.	y = x3 , x0 =1,						x = 0,1.
526.	y = sin x ,				x0 = π , x = 0,05.
						6
527.	y = e2x , x0 = 2 ,						x = 0,2 .
	y =			, x0		= 3,	x = 0,3 .
528.			x +1
529.	y =	1			, x0	= −1,	x = 0,1.
		x2 +1

Найти приращение касательной к графику функции y = f (x) в точке

x0 .

530.	y =		1			,	x0 = −1,				x = 0,2 .
		4×4

531.	y = e			x	, x0 =1,						x = 0,1.
532.	y =					1		, x0 =	π	,	x =	π	.
		(tg x +1)2							4
											60

Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

533. arctg1,02 .

534.

4,08

535. e0,1 .

Рассчитать абсолютную и относительную погрешности.

536. xx , x = 4 ± 0,3 . 537. 3x , x = 2 ± 0,1.

5.7. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Формула Тейлора

Проверить справедливость теоремы Ролля для заданных на отрезке функций.

538.y = x2 – 9x + 2 , x Î[0;9].

539.y = x3 – 4×2 – 7x -10 , x Î[-1;2].

540.y = ln sin x , x Î éêp ; 5pùú .

ë6 6 û

Доказать, что уравнение имеет корень на данном отрезке.

541.	x = cos x , x Î	é0; pù		. 542.	2 – x = ex , x Î[0;1].
		ê	ú
		ë	2û
543.	ln x = cos x , x Î[1;e].

Написать формулу Лагранжа для функции на данном отрезке.

544. y = sin 3x	é	pù		. 545.	y = x(1- ln x), x Î[1;e].
	, x Î ê0;	6	ú
	ë		û

Написать формулу Коши для функций на данном отрезке.

546.f (x)= sin x , j(x)= ln x , x Î[a;b], 0 < a < b .

547.f (x)= e2x , j(x)=1+ ex , x Î[a;b].

Записать первые три ненулевых члена формулы Тейлора для функции в окрестности точки x0 .

548. y = x4 -5×3 + x2 -3x + 4, x0 =1.

551.y = 2x , x0 = 0 .

552.Вычислить e с точностью 10−3 .

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную – d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную – d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную – d/dx	грех(2x)
23	Найти производную – d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную – d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную – d/dx	х/2
46	Найти производную – d/dx	-cos(x)
47	Найти производную – d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную – d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную – d/dx	лог х
86	Найти производную – d/dx	арктан(х)
87	Найти производную – d/dx	бревно натуральное 5х92

Нахождение производной, когда вы не можете найти у

Вы можете сначала прочитать Введение в производные и производные правила.

Функция может быть явной или неявной:

Явный : “y = некоторая функция x”. Когда мы знаем x, мы можем вычислить y напрямую.

Неявный : “некоторая функция y и x равна чему-то другому”. Знание x не ведет непосредственно к y.

Явная форма		Неявная форма
y = ± √ (r ² − x ² )		x ² + у ² = г ²
В этой форме y выражается как функция x.		В этой форме функция выражается через y и x.

График x ² + y ² = 3 ²

Дифференцировать по x
Собери все dy dx с одной стороны
Решить для dy dx

, x0 = -1.

, x0 = 4 .

² + Y ² = R ²

Дифференциал в отношении X:

D DX (x 2 + ( (99995 (99995 (99995 (99995 (99995 (99995 (99995 (99995 (99950). 2 ) = d dx (r ² )

Решим каждый член:

Используем степенное правило: d DX (x ²) = 2x

Используйте правило цепи (объяснено ниже): D DX (Y ²) = 2Y DY ²) = 2Y DY ²) = 2Y DY 9 2 ). Постоянная, таким образом, его производная составляет 0: D DX (R ²) = 0

, который дает нам:

2x + 2y DY DX = 0

DY DX 9099 = 0
DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY DY . dx с одной стороны
y dy dx = −x
Solve for dy dx :
dy dx = −x y
Правило цепи с использованием
DY DX

Давайте посмотрим более близко к тому, как D DX (Y ²) становится 2 DY ²) 2Y DY 9 DX 2 ) DY 9 DX 0) DY 9 DX 0) 2 ). дх = дю DY DY DX

Заместитель в U = Y ²:

D DX (Y ²) DY 0). DX

, а затем:

D DX (Y ²) = 2Y DY DX ^{9910 DY DX}

9092 DY DX 9095
9099 2 DY DX 9095
9099 2 DY DX ^{DY . дх Другим распространенным обозначением является использование ’ для обозначения d dx
Цепное правило с использованием ‘
Цепное правило также можно записать с использованием обозначения ‘:
f(g(x))’ = f'(g(x))g'(x)
g(x) is наша функция “y”, поэтому:
f(y)’ = f'(y)y’
f(y) = y ² , поэтому f'(y) = 2y:
f(y) ‘= 2yy’
или альтернативно: f(y)’ = 2y dy dx
Опять же, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на
дх дх Явный
Давайте также найдем производную, используя явную форму уравнения.
Чтобы решить это явно, мы можем решить уравнение для y
Затем дифференцировать
Затем снова подставьте уравнение для y
Пример: x
² + y ² = r ² Вычесть x ² с обеих сторон: y ² = r ² – x ²
квадратный корень: y = ± √ (r ² – x ²)
Let’s Do . )
как мощность: Y = (R ² – x ²) ^½
−½ (−2x)
Упростить:y’ = −x(r ² − x ² ) ^−½
Упростить больше:y’ = −x (r ² – x ²) ^½ СЕЙЧАС, потому что Y = (R ² – X ²) 9999950950950505050505050505050509509509509509509509509509509509509509.109950 0 5050950950950509505095050950950509509.1099509. y
Таким образом мы получаем тот же результат!
Вы можете сами попробовать взять производную от отрицательного члена.
Снова цепное правило!
Да, мы снова воспользовались цепным правилом. Вот так (обратите внимание на другие буквы, но то же правило):
dy dx = dy df df dx
Substitute in f = (r ² − x ² ):
d dx (f ^½ ) = d df (F ^½) D DX (R ² – x ²)
. Производители:}
D 444444. –
D 444444444. –
9092 ) (−2x)
И подставить обратно f = (r ² – x ²):
D DX (R ² – x ²) ^½ = ½ ((R ²) ^{950). −2x)}
Отсюда мы упростили.
Использование производной
Итак, зачем находить производную y’ = −x/y ?
Ну, например, мы можем найти наклон касательной.
Пример: каков наклон окружности с центром в начале координат и радиусом 5 в точке (3, 4)?
Нет проблем, просто подставьте это в наше уравнение:
dy dx = -x/y
dy dx = -90,3/4 для бонуса уравнения 90, 90, 4 9 касательная:
y = −3/4 x + 25/4
Другой пример
Иногда неявный способ работает там, где явный способ затруднен или невозможен.
Пример: 10x
⁴ − 18xy ² + 10y ³ = 48
Как найти у? Мы не должны!
Сначала продифференцируем по x (используйте Правило произведения для термина xy ²).
Затем переместите все элементы dy/dx в левую часть.
Решите для dy/dx
Например:
Start с: 10x ⁴ – 18xy ² + 10y ³ = 48
Деривативный93 dx ) + y ² ) + 10(3y ² dy dx ) = 0
(the middle term is explained
in “Product Rule” below)
Simplify:40x ³ − 36xy dy dx − 18y ² + 30y ² dy dx = 0
dy dx on left:−36xy dy dx + 30y ² dy dx = −40x ³ + 18y ²
Simplify :(30y ² −36xy) dy dx = 18y ² − 40x ³
Simplify :3(5y ² −6xy) dy dx = 9y ² − 20x ³
And we get:
dy dx = 9y ² − 20x ³ 3(5y ² − 6xy )

Правило произведения
Для среднего члена мы использовали Правило произведения: (fg)’ = f g’ + f’ g
(xy ² )’ = x(y ² )’ + (x)’ Y ²
= X (2y DY DX ) + Y ²
Потому что (Y ²) ‘= 2y DY 2 )’ = 2y DY 2 )
О, и dx dx = 1, другими словами, x’ = 1
Обратные функции
Неявное дифференцирование может помочь нам решить обратные функции.
Общий шаблон:
Начните с обратного уравнения в явном виде. Пример: y = sin ⁻¹ (x)
Перепишите его в неинверсном режиме: Пример: x = sin(y)
Продифференцируйте эту функцию по x с обеих сторон.
Решите для dy/dx
В качестве последнего шага мы можем попытаться еще упростить, заменив исходное уравнение.
Пример поможет:
Пример: функция обратного синуса y = sin
⁻¹ (x)
Начните с: y = sin ⁻¹ (x)
В неинверсном режиме: x = sin(y)
Производная : D DX (x) = D DX SIN (Y)
1 = COS (Y) DY DX
9092 дх = 1 cos(y)
Мы также можем сделать еще один шаг, используя тождество Пифагора: )
И, поскольку sin(y) = x (сверху!), мы получаем:
cos y = √(1 − x ² )
Что приводит к:
dy dx 95 1 √(1 − х ² )
Пример: производная квадратного корня √x
Start with:y = √x
So:y ² = x
Derivative :2y dy dx = 1
Simplify: dy dx = 1 2y
Поскольку y = √x: dy dx = 1 2√x
В виде степени: y = x ^½
Мощность Правило d dx x ⁿ = nx ⁿ⁻¹ : dy dx = (½)x ^−½
Simplify: dy dx = 1 2√ х
Резюме
Для неявного получения функции (полезно, когда функция не может быть легко решена для y)
Дифференцировать по x
Собрать все dy/dx с одной стороны
Решите для dy/dx
Чтобы получить обратную функцию, переформулируйте ее без обратной, а затем используйте неявное дифференцирование

11312, 11313, 11314, 11315, 11316, 11317, 11318, 11319, 11320, 11321
Производная натурального логарифма
Производная натурального логарифма

Получение производной
Наша следующая задача — определить, что является производной от натурального логарифм. Начнем с обратного определения. Если
        г = ln x
, затем
        e ^y = х
Теперь неявно возьмем производную обеих частей по x не забывая умножать на dy/dx слева стороне, так как она дается через у, а не через х.
        e ^y dy/dx = 1
Из обратного определения мы можем заменить x на e ^y, чтобы получить
       x dy/dx = 1
Наконец, разделите на x, чтобы получить
.
        dy/dx = 1/х
Мы доказали следующую теорему

Теорема (производная натурального Функция логарифма)
Если f(x) = ln x, тогда
f ‘(x) = 1/x

Примеры
Найдите производную числа
        f(x) = ln(3x – 4)

Раствор
Мы используем цепное правило. У нас есть
        (3x – 4)’ = 3
и
        (пер. и)’ = 1/и
Если сложить это вместе, получится
.
        ф ‘(х) = (3)(1/и)
3
=
3x – 4
Пример
найти производную от
        f(x) = ln[(1 + x)(1 + x ² ) ² (1 + x ³ ) ³ ]

Раствор
Последнее, что мы хотим сделать, это использовать правило произведения и правило цепочки много раз. Вместо этого мы сначала упрощаем со свойствами естественного логарифм. У нас есть
        лн[(1 + х)(1 + x ² ) ² (1 + x ³ ) ³ ] = ln(1 + x) + ln(1 + x ² ) ² + ln(1 + x ³ ) ³
        = ln(1 + х) + 2 лн(1 + х ² ) + 3 лн(1 + х ³ )
Теперь производная не такая пугающая. Мы использовали цепное правило, чтобы получить
1 4x 9х ²
ф'(х) знак равно + +
1 + х 1 + х ² 1 + х ³

Экспоненты и с другими основаниями
Определение
Пусть а > 0 затем
          а ^х = e ^{x ln a}
Примеры
Найдите производную числа
f ( х ) = 2 ^х
Решение
Пишем
        2 ^x = e ^{x ln 2} Теперь используйте цепное правило
        f ‘( x ) = ( e ^{x ln 2} )(ln 2) = 2 ^x ln 2
Журналы с другими базами
     Мы определяем логарифмы с другими основаниями изменение базовой формулы.
Определение
л х
журнал _a x =
№ и


Примечание: Хорошая часть этой формулы заключается в том, что знаменатель является константой. Нам не нужно использовать частное правило нахождения производной

Примеры
Найдите производную следующих функций:
f(x) = log ₄ x
f(x) = логарифм (3x + 4)
f(x) = x log(2x)
Раствор
Используем формулу
л х
f(x) =
пер. 4

так что
1
f ‘(x) =
х пер.