Применение интегралов. Примеры
Существует ряд методов вычислений, среди которых функции, дифференцирование и интегрирование. Приложения интегралов применяются в различных областях, таких как математика, наука, инженерия. Далее, для вычисления площадей или неправильных форм в двумерном пространстве мы используем в основном интегральные формулы.
Здесь дается краткое введение в интегралы, с приложениями интегралов для нахождения площадей под простыми кривыми, площадей, ограниченных кривой и линией, и площади между двумя кривыми, а также применения интегралов в других математических дисциплинах наряду с решаемыми Примеры.
| 1. | Определение интеграла |
| 2. | Типы интегралов |
| 3. | Приложения интегралов |
| 5. | Решенные примеры применения интегралов |
| 6. | Практические вопросы по применению интегралов |
| 7. |
Часто задаваемые вопросы по применению интегралов |
Определение интеграла
Учитывая производную f’ функции f, возникает вопрос: «Можем ли мы определить функцию f?» Здесь функция f называется первообразной или интегралом от f’. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. С другой стороны, значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.
Например, производная f(x) = x 3 равно f’(x) = 3x 2 ; и первообразная g(x) = 3x 2 есть f(x) = x 3. Здесь интеграл от g(x) = 3x 2 равен f(x)=x 3
Определение интеграла:
Интеграл также называют антипроизводной, так как это процесс, обратный дифференцированию. Вообще есть два типа интегралов. Определенные интегралы определяются для интегралов с пределами, а неопределенные интегралы не включают никаких пределов. Здесь давайте подробнее рассмотрим определенные и неопределенные интегралы.
Типы интегралов
Определенные интегралы
Это интегралы, которые имеют ранее существовавшие значения пределов; тем самым окончательное значение интеграла становится определенным. Определенные интегралы используются для нахождения площади под кривой относительно одной из осей координат и с заданными пределами. Здесь мы стремимся найти площадь под кривой g(x) относительно оси x и иметь пределы от b до a.
Неопределенные интегралы
Это интегралы, которые не имеют ранее существовавшего значения пределов; тем самым делая окончательное значение интеграла неопределенным.
Неопределенные интегралы используются для интегрирования алгебраических выражений, тригонометрических функций, логарифмических и экспоненциальных функций. Здесь g'(x) — ответ производной, который при интегрировании дает исходную функцию g(x). Интегрирование не возвращает постоянное значение исходного выражения, поэтому к ответу интеграла добавляется константа «с».
Применение интегралов
Некоторые из множества применений интегралов перечислены ниже:
В математике интегралы используются для нахождения:
- Центр масс (центроид) области с криволинейными сторонами
- Среднее значение кривой
- Площадь между двумя кривыми
- Площадь под кривой
В физике интегралы используются для нахождения:
- Центр тяжести
- Центр масс
- Масса и момент инерции транспортных средств
- Масса и импульс спутников
- Скорость и траектория спутника
- Тяга
Существуют две формы интегралов.
Применение интегралов также включает нахождение площади, заключенной в затмение, площади области, ограниченной кривой, или любой замкнутой области, ограниченной по осям x и y. Применение интеграций варьируется в зависимости от полей. Графические дизайнеры используют его для создания трехмерных моделей. Физики используют его для определения центра тяжести и т. д.
Давайте посмотрим на одно из распространенных применений интегралов, т.е. на то, как найти площадь под кривой.
Как найти площадь под кривой?
Площадь под кривой можно рассчитать в три простых шага. Во-первых, нам нужно знать уравнение кривой (y = f(x)), пределы, в которых должна быть рассчитана площадь, и ось, охватывающую площадь. Во-вторых, мы должны найти интегрирование (первообразную) кривой.
Наконец, нам нужно применить верхний предел и нижний предел к интегральному ответу и взять разницу, чтобы получить площадь под кривой. 9b_a\)
=\( g(b) – g(a)\)
Связанные темы:
- Интеграция
- Интегральный калькулятор
- Интеграция по частям
- Формула дифференцирования и интегрирования
- Формулы интегрирования
Важные замечания по применению интегралов:
- Значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.
- Вообще есть два типа интегралов:
Определенные интегралы (значение интеграла определено)
Неопределенные интегралы (значение интеграла неопределенное)
Часто задаваемые вопросы по применению интегралов
Каковы применения интегралов в реальной жизни?
Интеграция находит множество применений в инженерии, физике, математике и т. д. Например, в физике очень нужна интеграция.
Например, для расчета центра масс, центра тяжести и момента инерции массы внедорожника. Чтобы рассчитать скорость и траекторию объекта, предсказать положение планет и понять электромагнетизм.
Каковы реальные приложения интегралов и дифференцирования?
Дифференциация и интеграция могут помочь нам решить многие типы реальных проблем. Мы используем производную для определения максимальных и минимальных значений определенных функций (например, стоимость, прочность, количество материала, используемого в здании, прибыль, убыток и т. д.). А приложения интегралов полезны для нахождения площадей неправильных форм.
Какое применение интегралов в математике?
Интегралы используются для оценки таких величин, как площадь, объем, работа и вообще любая величина, которую можно интерпретировать как площадь под кривой.
Что такое интеграция простыми словами?
В математике интегрирование — это метод сложения или суммирования частей для нахождения целого.
Это обратный процесс дифференциации, когда мы сводим функции к частям. Этот метод используется для нахождения суммы в больших масштабах.
Как вы определяете интеграцию?
Интеграл – это функция, производной которой является данная функция. Интегрирование в основном используется для нахождения площадей двумерной области и вычисления объемов трехмерных объектов. Следовательно, нахождение интеграла функции по x означает нахождение площади относительно оси X и кривой. Интеграл также называют антипроизводной, так как это процесс, обратный дифференцированию.
Какие существуют два типа интегралов?
Существуют две формы интегралов.
- Неопределенные интегралы: это интеграл функции, когда нет предела для интегрирования. Он содержит произвольную константу.
- Определенные интегралы: Интеграл функции с пределами интегрирования.
– Зачем нам нужно изучать методы интеграции?
Это довольно старый вопрос, но я не видел ответа, отражающего мою точку зрения.
Итак, вот мои два цента. Есть три основные причины (помимо тех, которые уже упоминались), по которым я считаю целесообразным изучение методов интеграции:
- Изучение методов интеграции усиливает важность двойственности.
Фундаментальные теоремы прекрасны отчасти потому, что они заключают в себе обратную связь между дифференцированием и интегрированием. Было бы позором не увидеть, как эта двойственность доведена до предела. Например, мы можем ожидать, что каждое свойство, которому удовлетворяет дифференцирование, может иметь обратную связь, которой удовлетворяет интегрирование. И действительно, интеграцию по частям можно рассматривать как «противоположность» правилу произведения. А изменение переменных можно рассматривать как «противоположное» цепному правилу.
Преследование двойственности всегда и везде — это хорошая привычка, которую вы должны сформировать, когда станете математиком. Методы интеграции, возможно, являются первыми шагами к развитию этой привычки.
- Методы интегрирования полезны в вычислительном отношении для доказательств.
Больше, чем можно было бы ожидать от упражнений. Это правда, что большинство начальных задач в тексте по математическому анализу довольно повторяющиеся и утомительные. Однако эти проблемы подобны тренировочным колесам. 9п х\, дх$$ для каждого натурального числа $n$ интегрирование по частям означало бы $$I_n=\frac{n-1}{n}I(n-2)\,.$$ Это небольшое наблюдение легло в основу доказательства тождества Джона Уоллиса. $$\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5} \cdot\frac{6}{7}\cdots=\frac{\pi}{2}$$ что само по себе довольно красиво, связывая $\pi$ с нечетными и четными положительными целыми числами.
Следует также упомянуть, что одно из самых ранних и наиболее распространенных доказательств иррациональности $\pi$ использует интегрирование по частям.
Аналогичная техника с логарифмированием могла бы $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\ln 2$$ что тоже эстетически интересно.
- Научные методы интеграции сообщают вам о том, что
возможно и намекают на то, что невозможно . Эти намеки на невозможность ведут к красивой математике.
Здесь уместна цитата. А именно,
«Общая интеграция — лишь воспоминание о дифференциации…» — Август де Морган
Интеграция интересна именно тем, что она сложная. Без FTC вычисление интегралов с помощью сумм Римана (или верхних/нижних) утомительно и часто требует изобретательности искры, которая резко меняется в зависимости от функций, которые вы хотите интегрировать. Однако с FTC многие элементарные функции интегрируются довольно легко. Имея в своем распоряжении мощный инструмент, естественно продолжать и использовать его для расчета вещей, которые нас интересуют.