Задачи по матрицам: определение, свойства и примеры решения задач

Матрицы

МатрицыПоложительные элементы главной диагонали

8 сентября 2021573admin

Диагонали выделяют только в том случае, если матрицы квадратные, то есть количество строк равно количеству столбцов. Элементы главной диагонали имеют индексы

Задачи средней сложностиНайти столбец матрицы с максимальной суммой элементов

8 сентября 2021764admin

Для решения данной задачи необходимо найти сумму элементов каждого столбца матрицы, после чего сравнить между собой суммы. При этом надо запомнить, какому

Задачи средней сложностиСуммы строк и столбцов матрицы

8 сентября 20211.4к.admin

Посчитать суммы каждой строки и каждого столбца матрицы. Вывести суммы строк в конце каждой строки, а суммы столбцов под соответствующими столбцами.

МатрицыКоличество двузначных чисел в матрице

8 сентября 2021308admin

Сформировать матрицу из чисел от 0 до 999, вывести ее на экран. Посчитать количество двузначных чисел в ней. Следует до циклов, в которых заполняется матрица

Задачи средней сложностиПоследний элемент строк матриц — сумма предыдущих элементов строки

8 сентября 2021196admin

Матрица 5×4 заполняется вводом с клавиатуры кроме последних элементов строк. Программа должна вычислять сумму введенных элементов каждой строки и

Задачи средней сложностиМаксимальный элемент среди минимальных элементов столбцов матрицы

8 сентября 2021308admin

Найти максимальный элемент среди минимальных элементов столбцов матрицы. В одной из переменных будем сохранять минимальный элемент текущего столбца.

МатрицыЗаполнение третьей матрицы по результатам сравнения элементов первых двух

8 сентября 202189admin

Две равноразмерные матрицы (например, 4×3) заполняются вводом с клавиатуры. В ячейки третьей матрицы такой же размерности записывать бОльшие элементы

Задачи средней сложностиОбмен значений главной и побочной диагоналей квадратной матрицы

8 сентября 2021440admin

В квадратной матрице 10×10 обменять значения элементов в каждой строке, расположенные на главной и побочной диагоналях. Диагонали можно выделить лишь

МатрицыСортировка столбцов матрицы по возрастанию элементов первой строки

8 сентября 20211.6к.admin

Изменить последовательность столбцов матрицы так, чтобы элементы их первой строки были отсортированы по возрастанию. Например, дана матрица В результате

Задачи средней сложностиЗапись в матрицу результатов побитовых операций

8 сентября 2021188admin

Заполнить первые две строки двумерного массива 4×8 случайными нулями и единицами. В третью строку записать результат побитовой операции И над числами

Сведения о приложениях для матрицы приоритетов — превратите сообщения электронной почты в задачи Appfluence Inc – Microsoft 365 App Certification

• 10/16/2021
• Чтение занимает 4 мин

В этой статье

Последнее обновление разработчика: 23 июня 2021 г.

Общие сведения

Сведения, предоставляемые корпорацией Appfluence Inc Корпорации Майкрософт:

Information	Отклик
Название приложения	Матрица приоритетов — превратите электронные почты в задачи
Идентификатор	WA104381735
Office 365 поддерживаемые клиенты	Outlook 2016 или позже Windows, Outlook 2016 или более поздней версии на Mac, Outlook на iOS, Outlook на Android, Outlook в Интернете
Имя компании-партнера	Appfluence Inc
URL-адрес веб-сайта-партнера	https://appfluence.com/office-365-project-management-integr…
URL-адрес политики конфиденциальности	https://appfluence.com/privacy/
URL-адрес терминов использования	https://appfluence.com/eula

Отзывы

Вопросы или обновления любой из сведений, которые вы видите здесь? Свяжитесь с нами!

Обработка данных приложением

Эта информация была предоставлена Appfluence Inc о том, как это приложение собирает и хранит организационные данные и управление, которое будет иметь ваша организация над данными, которые собирает приложение.

Доступ к данным с помощью Microsoft Graph

Список всех разрешений Graph Майкрософт, которые требуется этому приложению.

Разрешение	Тип разрешения (Делегированная/ приложение)	Собираются ли данные? Обоснование для его сбора?	Хранятся ли данные? Обоснование его хранения?	Azure AD App ID
Calendars.Read	делегирована	Только при добавлении нового пользователя в учетную запись мы храним его электронную почту.	При создании учетной записи мы используем это, чтобы предложить другим участникам группы.	5be2b320-a5b7-4221-893c-dee506e4e365
User.ReadBasic.All	делегирована	Только при добавлении нового пользователя в учетную запись мы храним его электронную почту.	При создании учетной записи мы используем это, чтобы предложить другим участникам группы.	5be2b320-a5b7-4221-893c-dee506e4e365
offline_access	делегирована	Мы храним маркер входа для выполнения запросов от имени пользователя	Обновление маркера, не беспокоя пользователя. (Матрица приоритетов для Teams)	5be2b320-a5b7-4221-893c-dee506e4e365
Files.Read.All	делегирована	Мы не храним никаких сведений о файлах, если пользователь явно и сознательно не создает элемент Матрицы приоритетов, который связывается с исходным файлом.	В нашей функции One-on-One (доступной через наше веб-приложение, а также наши надстройки Outlook/Teams) мы используем эту функцию для выделения файлов SharePoint/OneDrive, которые разделяются между двумя пользователями в нашей системе, для облегчения собраний и общего взаимодействия.	affadfb6-f17b-428f-97f9-9aae3b6175bc
User.Read	делегирована	Основные сведения о профиле пользователя (имя, имя, фамилия, электронная почта, аватар) хранятся нами.	Получите имя пользователя, электронную почту, аватар, чтобы персонализировать свою учетную запись вместе с нами.	affadfb6-f17b-428f-97f9-9aae3b6175bc
openid	делегирована	Мы храним подключение SSO, чтобы указать режим входа для пользователя.	Для того, чтобы войти в пользователей с помощью единой входной.	affadfb6-f17b-428f-97f9-9aae3b6175bc
Calendars.Read	делегирована	Небольшое количество событий календаря превращается в задачи, хранимые в нашей системе.	Ознакомьтесь с событиями календаря, чтобы они могли отображаться в нашем представлении 1:1. Также для инициализации новых учетных записей.	d76f016f-52c7-41b5-835b-900361d7040c
Mail.Read	делегирована	Мы храним задачи, созданные в нашей системе, со ссылкой на исходное сообщение.	Используется в Outlook, чтобы превращать электронные почты в задачи и отображать общие работы в представлении 1:1.	d76f016f-52c7-41b5-835b-900361d7040c
Tasks.Read	делегирована	Некоторые Outlook/планировщик реплицированы в нашей системе, чтобы помочь новым пользователям.	Мы загружаем новые учетные записи пользователей с их Graph задачами.	d76f016f-52c7-41b5-835b-900361d7040c

Не-службы Майкрософт используется

Если приложение передает или делится организационными данными с не-службой Майкрософт, укай список службы, не microsoft, которую использует приложение, какие данные передаются, и включай обоснование необходимости передачи этой информации приложением.

Не службы Майкрософт не используются.

Данные телеметрии

В телеметрии или журналах этого приложения отображаются какие-либо идентифицируемые организационные сведения (OII) или данные, идентифицируемые конечным пользователем (EUII) ? Если да, опишите, какие данные хранятся и какие политики хранения и удаления?

Да, мы используем электронную почту пользователя в качестве уникального ID в нашей системе, которая используется для отслеживания ошибок приложений, а также для отслеживания ключевых событий в системе (скачивания, входы, версии приложений и т. д.), с тем чтобы наша группа обслуживания клиентов могли оперативно отвечать на запросы клиентов. В рамках нашего соответствия GDPR мы удаляем все данные клиентов в течение 2 недель после запроса на удаление, хотя на практике мы делаем это в один и тот же день, так как у нас есть внутренние скрипты для этого в полуавтоматической основе.

Организационные элементы управления данными, хранимые партнером

Описание того, как администраторы организации могут управлять своими сведениями в партнерских системах? например, удаление, хранение, аудит, архивация, политика конечных пользователей и т. д.

Данные приложения надежно хранятся в зашифрованной базе данных, доступ к которой ограничен небольшой группой администраторов. Для дальнейшего безопасного доступа мы применяем двух факторов проверку подлинности, ограничим доступ к контролируемому набору IP-адресов и найдите базу данных в собственной частной подсети, непосредственно недоступной из открытого интернета.

Обзор сведений об организации

Участвуют ли люди в просмотре или анализе любых данных, идентифицируемых в организации (OII), собираемых или хранимых этим приложением?

Нет

Отзывы

Вопросы или обновления любой из сведений, которые вы видите здесь? Свяжитесь с нами!

Сведения о удостоверениях

Эта информация была предоставлена Appfluence Inc о том, как это приложение обрабатывает проверку подлинности, авторизацию, лучшие практики регистрации приложений и другие критерии удостоверения.

Information	Отклик
Интеграция с платформой Microsoft Identify Platform (Azure AD)?	Да
Рассмотрели ли вы и выполнили все применимые методы, описанные в платформа удостоверений Майкрософт списке интеграции?	Да
Использует ли ваше приложение MSAL (Microsoft Authentication Library) для проверки подлинности?	Нет
Поддерживает ли ваше приложение политики условного доступа?	Нет
Запрашивает ли ваше приложение наименьшие разрешения на привилегии для вашего сценария?	Да
Точно ли статически зарегистрированные разрешения вашего приложения отражают разрешения, которые ваше приложение запрашивает динамически и постепенно?	Да
Поддерживает ли ваше приложение многотенантность?	Да
У вашего приложения есть конфиденциальный клиент?	Да
У вас есть все идентификаторы единого ресурса перенаправления, зарегистрированные для вашего приложения?	Да
Что вы не используете для вашего приложения?	– Перенаправление URL-адресов под диктовки, – Поток учетных данных владельца ресурса (ROPC)
Предоставляет ли ваше приложение какие-либо веб-API?	Да
Позволяет ли модель разрешений добиться успеха только в том случае, если клиентская приложение получает соответствующее согласие?	Да
Использует ли приложение API предварительного просмотра?	Нет
Использует ли ваше приложение неподготовленные API?	Нет

Отзывы

Вопросы или обновления любой из сведений, которые вы видите здесь? Свяжитесь с нами!

Ранг матрицы задачи с решением и примерами по высшей математике

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю.

Ранг матрицы будем обозначать или .

Очевидно, что если в матрице имеется отличный от нуля минор порядка , а все миноры порядка либо равны нулю, либо не существуют, то .

Если ранг квадратной матрицы порядка равен , то называют дефектом матрицы . Если — невырожденная (), то и дефект матрицы равен нулю.

Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие:

1) умножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;

3) перестановку местами двух параллельных рядов матрицы.

Если матрица получена из матрицы некоторым элементарным преобразованием, а матрица , в свою очередь, получена из матрицы также элементарным преобразованием, то говорят, что матрица получена из матрицы последовательным применением этих преобразований.

Если матрица получена из матрицы путем элементарного преобразования, то будем писать .

Теорема. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу исходной матрицы.

Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минор .

Метод окаймляющих миноров основан на том, что ранг данной матрицы равен порядку такого минора этой матрицы, который отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

Задача №6.

Найти ранг матрицы

Решение:

Так как среди миноров второго порядка данной матрицы есть отличные от нуля, например, минор , а все миноры третьего порядка равны нулю (в этих минорах имеются пропорциональные строки), то .

Задача №7.

Найти ранг матрицы

Решение:

Приведем матрицу к трапециевидной форме. Прибавив ко второй строке первую, умноженную на -2, к третьей — первую, умноженную на -3, к четвертой — первую, умноженную на -1, получим

Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на -1, и поменяв местами в полученной матрице третью и четвертую строки, имеем

Эта матрица является трапециевидной ранга 3. Следовательно, .

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Матрица Эйзенхауэра как инструмент расстановки приоритетов — СКБ Контур

Почему так сложно делать выбор между приоритетными и второстепенными задачами? Исследования невролога Антонио Дамасио показывают, что принятие решений неразрывно связано с эмоциями. Потому неудивительно, что беспокойство и депрессия часто характеризуются как состояния загнанности в тупик и неспособности принимать решения. Использование простых инструментов наподобие матрицы Эйзенхауэра помогает не просто разобраться в делах, но и снизить эмоциональную нагрузку. Со временем, усвоив принципы этой концепции, можно научиться легко и быстро определять разницу между важным, срочным, второстепенным и бесполезным.   

Считается, что матрица Эйзенхауэра имеет непосредственное отношение к словам Дуайта Д. Эйзенхауэра: «У меня есть две проблемы: срочная и важная. Срочная не является важной, а важная — срочной». 

Дуайт Д. Эйзенхауэр известен, прежде всего, как 34-й президент США (с 1953 по 1961 годы). До того, как стать президентом, он был генералом и командовал союзными войсками во время Второй мировой войны. В 1950 году Эйзенхауэр стал первым верховным главнокомандующим объединенными вооруженными силами НАТО в Европе.

Специфическая профессиональная деятельность постоянно вынуждала Эйзенхауэра принимать жесткие решения и ежедневно фокусироваться на различных задачах. Чтобы оптимизировать процесс, он создал свой метод, который стал широко известен как матрица Эйзенхауэра. Сегодня ею могут пользоваться не только генералы, но и обычные люди вплоть до домохозяек — он помогает расставлять приоритеты в текущих задачах и наводить порядок в делах.

Как использовать матрицу Эйзенхауэра

Этот инструмент подходит тем, кто готов и способен оценивать важность своих задач и четко их классифицировать.  Метод подразумевает разделение задач и действий на четыре группы:  

1. срочные и важные;
2. важные, но не срочные;
3. срочные, но не важные;
4. не срочные и не важные.

Конечная цель метода Эйзенхауэра — помочь отфильтровать второстепенные дела от важных решений и сосредоточиться на том, что действительно имеет значение.

Если представить матрицу Эйзенхауэра в виде картинки, то она будет выглядеть так:  

Значение квадрантов в матрице

Задачи распределяются по конкретным квадрантам, которые в свою очередь определяют, когда и как долго вы можете выполнять задачу. 

• Квадрант I — «Сделайте это немедленно» (срочные и важные)

Сюда попадают приоритетные задачи, требующие немедленного внимания. Они имеют жесткие сроки и должны выполняться прежде всего остального и лично.   

• Квадрант II — «Решите, когда вы это сделаете» (важные, но не срочные)

Этот квадрант — стратегическая часть матрицы, идеально подходящая для долгосрочного развития.  Элементы, которые он включает, важны, но не требуют немедленного вмешательства. При этом задачи имеют определенный дедлайн и тоже выполняются лично.

• Квадрант III — «Делегируйте кому-нибудь» (срочные, но не важные)

В этот квадрант попадают телефонные звонки, электронные письма и планирование встреч и мероприятий. Эти типы задач обычно не требуют личного внимания, потому что не подразумевают измеримый результат. Квадрант III помогает минимизировать то, что отвлекает от важной работы. Благодаря делегированию вы можете сосредоточить внимание на более серьезных вещах.

• Квадрант IV — «Сделайте это позже» (не важные, не срочные)

Действия, попадающие в квадрант IV, — это сопутствующие дела, которые не приносят никакой ценности. Проще говоря, это то, что всегда можно отложить, не боясь каких-либо последствий. Эти дела отнимают время и мешают выполнять более важные задачи, которые вы вносите в первые два квадранта. 

Выбор цвета для матрицы

Назначьте каждому из квадрантов матрицы цвет и свяжите его с уровнем приоритета.

Например:

Красный = срочно.

Желтый = важно, но не очень срочно.

Зеленый = срочно, но не важно.

Серый = не срочно, не важно.

В процессе использования матрицы для профессиональных целей вы увидите, что большинство задач попадают в квадранты I и III. Самый значимый результат приносят действия из квадранта II, потому что это бизнес-цели, которые влияют на долгосрочный успех бизнеса, при этом они редко классифицируются как срочные.

Сложнее всего понять то, что отвлекает вас от запланированного курса. Но если вы справитесь с этой фундаментальной проблемой управления временем, то избавитесь от мыслей о зря потерянных часах. Задайте себе два вопроса, чтобы определиться с долгосрочными стратегиями в принятии решений:

• Когда вы будете заниматься важными, но не срочными задачами?
• Когда вы сможете потратить время на решение важных задач, прежде чем они внезапно станут срочными?

Стоит помнить о том, что иногда задачи из одного квадранта неожиданно попадают в другой. Если возникнет чрезвычайная ситуация, ваши приоритеты изменятся. Например, вы владеете небольшим бизнесом, звонит недовольный клиент и просит связать его с менеджером из-за задержки с доставкой. Эта проблема сразу же станет выше других элементов в матрице.

Распределение задач по квадрантам имеет некоторые особенности, и их нужно учитывать:

1. Списки дел облегчают жизнь. Убедитесь в том, что при распределении задач вы задаете правильные вопросы, которые помогают определить, что нужно выполнить в первую очередь. Ключевой признак — приоритет.
2. В каждый квадрант можно добавлять много действий и задач, однако лучше, чтобы максимальное количество не превышало более восьми элементов. Иначе вы будете отдаляться от главной цели — завершения задачи.
3. Создавайте отдельные матрицы для профессиональной и личной жизни.
4. Только вы можете определить уровень приоритета элементов в своем списке. Каждое утро начинайте со списка дел из матрицы, и уже к концу недели вы увидите результат.

Шаблон матрицы Эйзенхауэра

Чтобы упростить процесс распределения задач, используйте шаблон, разработанный сервисом Evernote:

Матрицу Эйзенхауэра можно перевести в программу для управления проектами Trello. Составьте список дел для каждой из четырех досок (= квадрант) и сделайте отдельную доску «Входящие», куда будут поступать все задачи до распределения по квадрантам. Это позволит вам визуально оценивать свою нагрузку.

Матрица Эйзенхауэра — это простой инструмент, помогающий избежать состояния аналитического паралича, которое возникает каждый раз, когда вы даже не знаете, с чего начать. 

Что важно, а что — срочно? / Хабр

Матрица Эйзенхауэра – очень известный метод определения приоритетов. Например, в знаменитой книге Стивена Кови «Семь навыков высокоэффективных людей» матрице посвящена целая глава.

Матрица – это инструмент расстановки приоритетов задач. Придумал ее, говорят, 34-й президент США Дуайт Эйзенхауэр. Определять приоритеты с помощью матрицы просто и эффективно.

Насколько он известен, настолько же и не распространен в нашей среде, касалось бы это работы или жизни. Выглядит матрица Эйзенхауэра так:

Любая задача, которую надо сделать, попадает в один из четырех квадрантов матрицы. Выполнять следует в порядке сверху вниз, слева направо. Сначала – срочные и важные, потом – срочные и не важные, дальше не срочные и важные, и, наконец, не срочные и не важные.

Ключевая проблема, с которой сталкиваются люди при работе с матрицей Эйзенхауэра, это классификация задач по срочности и важности. А если точнее, то главная беда – понять, что вообще такое срочность и важность. Так и не разобравшись, люди бросают матрицу, поигравшись день или два. Попробуем разобраться.

К сожалению, или к счастью, однозначных критериев нет. Любой человек может придумать свои правила, но не любой будет этим заниматься. Поэтому поступим так: я расскажу, как я определяю срочность и важность, а вы решите для себя, годится вам такой подход, или нет. Ну и придумаете свои правила.

Начнем со срочности, т.к. она приоритетнее важности.

Какую задачу можно назвать срочной? Не помню, где я слышал этот критерий, но он мне очень понравился своей простотой. Срочная задача – та, которую после окончания срока можно уже не делать. Просто и понятно.

Но применить такой подход в жизни не просто. Вот перестала у клиента работать база – чинить надо срочно или нет? По критерию – нет, т.к. базу нужно поднимать и сейчас, и завтра, и через неделю. Если вы попробуете в кризисной ситуации кому-нибудь объяснять критерий срочности, то ничего хорошего не выйдет.

Поэтому мы возьмем более сглаженный критерий. Срочно – это когда высоки потери от того, что задача не решена. Отвлекитесь и подумайте, насколько срочны задачи, которые мы привыкли считать таковыми?

К сожалению, многие менеджеры склонны называть срочными задачами все подряд. Сожаление вызывает не то, что они не правы, а то, что перестает работать система приоритетов – все задачи выглядят одинаково. Программисту становится сложно выбирать.

В задачах клиентов часто встречается объективная срочность – например, вышеупомянутое падение базы. Или на дворе 19-е число октября, и клиенту надо сдавать НДС, а декларация никак не формируется. Или, не дай Бог, конец марта, и налог на прибыль никак не посчитать. Или счета-фактуры не печатаются, по необъяснимой причине, и возникают простои в отгрузке.

Такие задачи являются срочными, потому что удовлетворяют нашему критерию – есть реальные потери от того, что задача не решается. И не просто есть – не сданный вовремя налог на прибыль грозит нешуточным штрафом.

Важно уметь разделять понятия «срочность» и «срок выполнения». Срок, так или иначе, есть у любой задачи, даже если он не обозначен. Тут я немного забегаю вперед, о сроках будет рассказано в другой раз, но хочу, чтобы вы поняли: наличие срока – это не срочность. Равно как и приближение срока – это не срочность.

Срочность задачи никак не соотносится со сроком ее исполнения. Например, срок выполнения задачи может вообще быть не типа «дата», а «как можно быстрее, блин!». Т.е., формально, срока-то никакого нет. А задача, тем не менее, срочная. Или срок у задачи может быть — завтра, но все понимают, что ее поставил человек, которому решение нафиг не нужно — он по первой же просьбе перенесет срок на любую дату. Или система так устроена, что без указания срока задачу нельзя внести.

Срочность – это отдельный атрибут задачи, характеризующий контекст ее рождения и жизни, а не менеджерские обозначения вроде «срока выполнения» или «включения в план этого дня».

Теперь о важности. Вернемся к классику – Стивену Кови. Он обозначил важными те задачи, которые на будущее. Достаточно простое, хоть и не совсем понятное определение. Попробуем расшифровать.

Есть задачи, от решения которых ничего принципиально не меняется. Вот решили вы ее, клиент заплатил деньги, и не произошло никаких значимых изменений – ни у вас, ни у клиента. Решение этой задачи не вызвало шквала новых задач, не запустился долгоиграющий проект, никого не уволили и не приняли на работу, не решилась какая-нибудь гнетущая проблема бизнеса клиента.

А есть задача клиента, решив которую, вы получаете проект. Есть центральная задача этапа проекта, которая переводит его из тестирования в эксплуатацию. Есть задача на проверку гипотезы в рискованной разработке, после решения которой у вас случается первый релиз, и вы можете, наконец, показать свой продукт пользователям и получить обратную связь. Есть задача, от решения которой зависит репутация команды или всей вашей компании. Есть задача, по которой будут судить о вашем повышении в должности. Есть задача, от которой зависит ваша часовая ставка.

Вот эти задачи – важные. От них что-то зависит. И не просто «что-то», а конкретное, понятное вам и полезное для вас «что-то». Они не только влияют на будущее, но и формируют его.

Вот, например, я создаю этот материал, который впоследствии станет курсом. Пока я не напишу материал, курса не будет. Не будет курса – не будет продаж. Напишу курс – все случится. Написание курса – важная задача. Вместо этого я могу отвлекаться на текущие задачи – сделать что-нибудь для клиентов, или выпустить очередной релиз. Возможно, это срочные задачи, но они не создают будущего. А курс – создает.

Вот это и есть важность задачи. Подспудно ее все понимают, но вот в чем загвоздка – одного понимания недостаточно. Когда мы говорили о выборе задачи, то отмечали: если человек сам решает, за какую задачу взяться, то он руководствуется собственными критериями. А какой человек, в здравом уме, по своей воле возьмется за важную задачу?

Сами понимаете: высокая важность – это высокая ответственность. Что бы мы не думали о людях, или о себе, то ответственности мы стараемся избегать. Поэтому важная задача будет откладываться, а программист займется тем, что ему по душе.

Чтобы важные задачи выполнялись в первую очередь, необходимо скорректировать систему приоритетов и помочь исполнителю с выбором. И вот настал момент, когда мы вносим в нашу систему приоритетов первый алгоритм – будем определять порядок выполнения в зависимости от срочности и важности.

Технически это очень просто. Достаточно добавить к задаче два поля – срочность и важность, и упорядочить по ним очередь. Например, рассчитав приоритет выполнения задачи в виде цифры. Если задача срочная, то добавляем 2 условных единицы, если важная – 1 условную единицу.

Итого, не важная и не срочная задача будет иметь приоритет, равный нулю. Срочная и не важная – 2. Не срочная и важная – 1. Срочная и важная – 3. Теперь упорядочиваем список задач по убыванию рассчитанного приоритета, и получаем результат – правильную последовательность, которая отражает нашу стратегию.

Правила расчета цифр срочности и важности – не жесткие. И, к сожалению, работают только в том случае, если срочность и важность присваиваются задаче вдумчиво, а не просто так, чтобы побыстрее сделали.

Например, часто встречается ситуация, когда задачи от клиентов записывают менеджеры, а исполняют – программисты. Менеджеры, поняв систему приоритетов, начинают лепить срочность и важность всем задачам подряд, особенно когда за менеджером или клиентом не закреплен конкретный программист. Желание менеджера продвинуть свою задачу в начало очереди, в общем-то, понятно, но своим стремлением побыстрее получить как можно больше подписанных актов он сводит на нет все ваши усилия по построению системы приоритетов. И серьезно выбешивает программистов.

Решений у этой проблемы несколько.

Первое, пожестче – не давать менеджеру ставить срочность и важность. Пусть просто записывает задачу. Если есть какие-то дополнительные требования, способные повлиять на приоритет, пусть излагает в описании задачи. На самом деле, вдруг там и правда срочно? Координатор, или тимлид, или ведущий программист в этом случае будет ориентироваться на информацию от менеджера.

Второй вариант, помягче – делать две оценки срочности и важности. Одну – от менеджера, вторую – от того, кто что-то понимает, а итоговый приоритет вычислять по сумме условных единиц. Максимум 3 условных единицы от менеджера, и максимум 3 – от координатора. Система приоритетов станет более многогранной и сбалансированной.

Ну и не стоит забывать простое правило: есть на свете задачи не срочные и не важные. Когда появляются такие регуляторы, как срочность и важность, то рука сама так и тянется ими воспользоваться. Кажется, что чего-то не хватает, когда срочность и важность не указаны.

Отсутствие срочности и важности у задачи – это нормально. Но есть одна проблема – такая задача, теоретически, может не выполниться никогда, если постоянно будут появляться новые, имеющие хотя бы одну условную единицу приоритета. Как такой ситуации избежать, поговорим в другой раз.

Резюме

• Матрица Эйзенхауэра – это простой инструмент определения приоритетов;
• Приоритет регулируется двумя признаками – срочность и важность;
• Срочная задача – та, потери от невыполнения которой высоки;
• Важная задача – та, которая влияет на будущее;
• Срочность приоритетнее важности;
• Бывают задачи не срочные и не важные;
• Приоритеты работают только при осознанном определении срочности и важности.

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц реферат по математике

Министерство науки и образования Украины ДГМА Реферат на тему: Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц. Подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам Краматорск 2003 Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с где d1 , d2 , …, dn—какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d1 = d2 = … = dn то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А. Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2 = … = dn = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, E = O = В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6) Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство А + 0 = 0 + А = А. В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат- ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю). Блочные матрицы Предположим, что некоторая матрица A = || a ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A F 0 6 1F 0 6 2 ||, элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца. Например, матрицу можно рассматривать как блочную матрицу элементами которой служат следующие блоки: Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки. Понятие определителя. 0 0 1 FРассмотрим произвольную квадрат ную матрицу любого порядка п: A = (1.7) 0 0 1 FС каждой такой матрицей свяжем вполне определенную числен ную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен- та аi j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид A = (1.8) 0 0 1 Fто определителем второго порядка, соответствующим такой мат рице, назовем число, равное а11 а22 — а12 а21 и обозначаемое одним из символов: Итак, по определению (1.9) Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них 0 0 1 Fсправедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения осо бо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, 0 0 1 Fнесмотря на одинако вое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы. При работе с матрицами используется панель инструментов “Матрицы” Рис.1 Панель инструментов Матрицы Для ввода матрицы: • введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие) • щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”. • В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы. • После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно: • выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции, • или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы. Меню “Символы” содержит три операции – транспонирование, инвертирование, определитель. Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель. Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1. Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже. Транспонирование Транспортированием 0 01 F называют операцию, переводящую матрицу размерно сти mxn в матрицу размерности n x m, 0 01 F делая столбцы исходной матрицы стро ками, а строки — столбцами. Пример приведен в листинге на рис.2. Ввод символа транспонирования (transpose) 0 0 1 Fосуществляется с помощью панели инстру ментов Matrix (Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<1>. He забывайте, что для вставки символа транспонирования матрица должна 0 0 1 Fнаходиться ме жду линиями ввода. Напоминание о линиях ввода по отношению к матрицам приведено ранее. Сложение В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> 0 01 F соответст венно. Матрицы должны иметь 0 0 1 Fодинаковую размерность, иначе будет выда но сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3). Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример на рис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответст-вующего элемента исходной матрицы и скалярной величины. Результат смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом (пример на рис.4). Умножение При умножении следует помнить, что матрицу размерности m x n допустимо умножать только на матрицу-размерности n x p (р может быть любым). В результате получается матрица размерности m х р. Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение) (рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях. Обратите внимание, что попытка перемножить матрицы A и B несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение, появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов второй матрицы. Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу- строку и, наоборот, строки на вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, как выглядит формула при выборе отображения оператора умножения No Space (Вместе). Однако тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому. Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на 0 0 1 Fскалярную величину (пример на рис.8). Символ умножения вво дится так же, как и в случае 0 0 1 Fумножения двух матриц. На скаляр можно ум ножать любую матрицу размера m x n. Определитель квадратной матрицы Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим

Проблемы матричных организаций

Ни один организационный дизайн или метод управления не идеальны. И любая форма может страдать от множества проблем, которые развиваются из-за самой конструкции. Это особенно верно, когда компания пробует новую форму. В этой статье мы рассмотрим одну относительно новую организационную форму – матрицу, которая приобрела значительную популярность в последние годы, но имеет некоторые серьезные патологии. Однако, прежде чем обсуждать его недостатки, давайте взглянем на управление и организацию матриц (см. Врезку ниже) и на то, насколько широко эта матрица распространена в U.С. промышленность сегодня.

Список известных компаний, использующих ту или иную форму матрицы, становится длинным и впечатляющим. Возьмем, к примеру, компанию, годовой объем продаж которой составляет 14 миллиардов долларов, и в которой работает около 400 000 человек в самых разных сферах деятельности – General Electric. На протяжении десятилетий, несмотря на разнообразие своего бизнеса, GE использовала одну базовую структуру в своей организации: пять функциональных менеджеров, подчиняющихся одному генеральному директору. Используя логику, которую компания должна организовать для удовлетворения конкретных потребностей каждого бизнеса, некоторые группы, подразделения и отделы GE, которые сочли пирамиду громоздкой, обратились к матрице как к фундаментальной альтернативе.

Планируя свою организацию на следующие десять лет, руководство GE сообщает в своем Бюллетене по организационному планированию (сентябрь 1976 г.):

«Мы выделили матричную организацию. не потому, что мы хотим, чтобы вы все запрыгнули на подножку, а потому, что это сложная, трудная, а иногда и разочаровывающая форма организации, с которой приходится жить. Однако это также предвестник грядущих событий. Но при правильной реализации он предлагает лучшее из обоих миров. И всем нам придется научиться использовать организацию, чтобы подготовить менеджеров к тому, чтобы все чаще сталкиваться с высокими уровнями сложности и двусмысленности в ситуациях, когда они должны получать результаты от людей и компонентов , а не от под их непосредственным контролем…

«Успешный опыт работы в рамках матрицы представляет собой лучшую подготовку для человека к управлению огромной диверсифицированной организацией, такой как General Electric, где необходимо уравновесить так много сложных, конфликтующих интересов, чем продукт и функциональные режимы, которые были нашей отличительной чертой в прошлом. двадцать лет.”

Другие крупные корпорации в различных сферах деятельности, такие как Bechtel, Citibank, Dow Chemical, Shell Oil, Texas Instruments и TRW, и многие другие, также обратились к матрице. Основываясь на наших исследованиях матрицы в этих компаниях, мы полагаем, что, хотя популярность матрицы в некоторых случаях является лишь преходящим увлечением, большинство ее применений основано на серьезных деловых причинах, которые сохранятся. Основное преимущество матрицы перед знакомой функциональной или продуктовой структурой состоит в том, что она способствует быстрой реакции руководства на меняющиеся рыночные и технические требования.Кроме того, это помогает менеджерам среднего звена принимать компромиссные решения с точки зрения общего управления.

Поскольку матрица является относительно новой формой, компании, которые ее приняли, по необходимости учились методом проб и ошибок. Ошибки, а также успехи этих пионеров могут быть очень информативными для компаний, которые следуют их примеру. Здесь мы представляем некоторые из наиболее распространенных проблем, которые возникают, когда компания использует матричную форму. Для удобства мы сначала диагностируем каждую патологию, а затем обсуждаем ее профилактику и лечение.Однако, используя этот формат, мы не предполагаем, что простая первая помощь при патологиях вылечит их.

Болезни матрицы

Многие из болезней, которые мы обсуждаем, действительно возникают в более традиционных организациях, но матрица кажется несколько более уязвимой для этих конкретных. Поэтому для менеджеров, думающих о принятии матрицы, разумно быть знакомым с диагнозами, профилактикой и лечением девяти конкретных патологий: тенденции к анархии, борьба за власть, тяжелый группит, коллапс во время экономического кризиса, чрезмерные накладные расходы, опускание на более низкую ступень. уровни, неконтролируемое наслоение, пристальное внимание к пупку и удушение принятия решения.

Тенденции к анархии

Состояние бесформенного замешательства, когда люди не узнают «начальника», перед которым они чувствуют ответственность.

Диагноз – Многие менеджеры, которые не имели непосредственного отношения к матричным организациям, склонны наполовину выражать опасения, что матрица ведет к анархии. Основаны ли эти опасения на реальных опасностях? Фактически сегодня значительное количество организаций успешно используют матричную форму, поэтому нам не нужно рассматривать анархию как общую опасность матрицы.Однако существуют определенные условия или серьезные заблуждения, которые могут привести компанию в бесформенное замешательство, напоминающее анархию.

Из первых рук мы знаем только об одной организации, которая, используя «скрытую» матричную форму, буквально развалилась по швам во время довольно умеренного экономического спада. Следуя стратегии быстрого роста, эта компания использовала высокий мультипликатор запасов для приобретения, а затем и полной ассимиляции более мелких компаний в области оборудования для отдыха.Примерно за шесть месяцев компания превратилась из впечатляющего успеха в драматическую катастрофу. Вся его производственная, сбытовая и финансовая системы вышли из-под контроля, оставив после себя невыполненные заказы, закрытые фабрики, проблемные запасы и огромные долги.

Конечно, есть много возможных причин, почему это могло произойти, но одно вполне разумное объяснение состоит в том, что организационная структура потерпела неудачу из-за стресса. Что это был за дизайн?

По сути, организация использовала функциональную структуру.Приобретая каждую небольшую компанию, высшее руководство сначала поощряло увольнение владельцев и генеральных менеджеров, а затем закрепило за своими коллегами в головной организации три основных функции компании: продажи, производство и инжиниринг. В родительском отделе маркетинга молодой агрессивный менеджер по продукту должен был разработать для приобретенной линейки продуктов комплексный маркетинговый план, который включал составление прогнозов продаж, планов продвижения, планов ценообразования, прогнозируемых доходов и т. Д.Как только высшее руководство одобрило план, оно велело выбранному менеджеру по продукту поторопиться и воплотить свой план в жизнь. Здесь на помощь приходит скрытая матрица.

Менеджер по продукту обнаруживал, что работает по нескольким функциональным направлениям, пытаясь координировать производственные графики, запасы, денежные потоки и схемы распределения без каких-либо явных и формальных соглашений о характере его отношений с функциональными менеджерами. Поскольку он был привязан к своему утвержденному маркетинговому плану, когда продажи отставали от графика, его ответ заключался в том, чтобы призывать людей стараться изо всех сил, а не сокращать объемы производства.

Но как только одна или две вещи начали рушиться, в системе не хватило резерва, чтобы все остальное не пошло не так. Когда менеджер по продукту потерял контроль, образовался вакуум власти, в который попали функциональные менеджеры, каждый из которых схватился за полный контроль. В результате умеренная рецессия спровоцировала условия, приближающиеся к анархии.

Профилактика – Мы считаем, что урок из этого опыта очевиден. Организации не должны слишком полагаться на неформальную или скрытую матрицу для координации важнейших задач.Взаимоотношения между функциональными менеджерами и менеджерами по продукту должны быть ясными, чтобы люди примерно договорились о том, кто и что должен делать при различных обстоятельствах. При правильном использовании матрица не оставляет такие вопросы в неопределенном состоянии; это определенная структура, а не организация «свободной формы».

Полезный «индекс анархии» – это то, сколько людей в организации не признают одного начальника, перед которым они чувствуют ответственность за большую часть своей работы. В исследовании пяти медицинских школ, которые заведомо анархичны, школа с наиболее явной матричной структурой оказалась и школой с наименьшим количеством «без начальников». ¹

Лечение – Если случится худшее и компания погрузится в анархию, истинное антикризисное управление будет лучшим ответом. Реакция на кризис действительно не является загадкой. Генеральный директор должен сосредоточить всех ключевых людей и важную информацию в центре. Он должен лично принимать все важные решения в круглосуточном режиме до тех пор, пока кризис не закончится. Тогда и только тогда он сможет приступить к работе по перестройке организации, чтобы она могла выдержать любые будущие потрясения, такие как небольшая рецессия.

Борьба за власть

Менеджеры стремятся к власти во многих организациях, но матричный дизайн почти поощряет их к этому.

Диагностика — Суть матрицы – двойная команда. Для того, чтобы такая форма выжила, необходим баланс сил, при котором ее локус, кажется, постоянно меняется, и каждая сторона всегда пытается добиться преимущества. Недостаточно просто создать баланс, но также должны быть постоянные механизмы для сдерживания возникающего дисбаланса.

В бизнес-организациях, которые работают с формой баланса сил, существует постоянная тенденция к дисбалансу. До тех пор, пока каждая группа или измерение в организации пытается максимизировать свое преимущество перед другими, будет происходить постоянная балансирующая борьба за доминирующую власть. Борьба за власть в матрице качественно отличается от борьбы в традиционно структурированной иерархии, поскольку в последней она явно незаконна. Однако в матрице борьба за власть неизбежна; границы полномочий и ответственности пересекаются, побуждая людей максимально использовать свои преимущества.

Предотвращение – Большинству топ-менеджеров будет чрезвычайно трудно предотвратить любую борьбу за власть. Однако равная сила обеих сторон не позволит борьбе достичь разрушительных высот. Следует поощрять дружеское соревнование, но строго наказывать тотальный бой. Менеджеры в матрице должны продвигать свои преимущества, но никогда не с намерением устранить тех, с кем они делят власть, и всегда с точки зрения, которая охватывает обе позиции.

Лечение – Лучший способ гарантировать, что борьба за власть не подорвет матрицу, – это дать менеджерам на осях власти осознание того, что абсолютное завоевание власти – это ее окончательная потеря. Эти менеджеры должны видеть, что полная победа в одном измерении только положит конец равновесию, положит конец двойственности командования и разрушит матрицу. Они должны рассматривать это разделение власти как основополагающий принцип до и во время всей последующей неизбежной борьбы за власть.

Matrix-менеджеры должны осознавать, что им нужны достойные противники, партнеры, которые могут им соответствовать, чтобы довести конфликт до конструктивных целей.Для такого успешного исхода необходимы три вещи.

Во-первых, матричные менеджеры всегда должны придерживаться институциональной точки зрения, рассматривая свою борьбу с более широкой общей точки зрения. Во-вторых, они должны совместно согласиться устранить других матричных менеджеров, которые из-за слабости или какой-либо иной неспособности теряют безвозвратные позиции. И, в-третьих, они заменяют этих слабых менеджеров самыми сильными из имеющихся людей – даже если это означает размещение очень сильных менеджеров в ослабленных частях организации и отмену их властных инициатив.

Еще один ключевой элемент в прекращении борьбы за власть до того, как она выйдет из-под контроля и нарушит баланс, – это высший уровень, которому подчиняются дуэльные менеджеры. Из-за этого элемента матрица представляет собой парадокс: система с разделением власти, которая зависит от сильного человека, который не разделяет делегированные ему полномочия (скажем, советом директоров) в качестве арбитра между своими подчиненными, разделяющими власть. .

У топ-менеджера есть много средств для этого: количество времени, которое он проводит с одной или другой стороной матрицы, разница в оплате, скорость продвижения по службе, прямые приказы, отданные в одно измерение, а не в другое, и так далее.Однако прежде всего он должен защищать слабое измерение в организации, не обязательно слабого менеджера, отвечающего за это измерение.

Групит тяжелой степени

Ошибочное мнение, что матричное управление – это то же самое, что и групповое принятие решений.

Диагноз – Смешение матричного поведения с групповым принятием решений, вероятно, возникает из-за того, что матрица часто развивается из новых проектных или бизнес-команд, которые действительно предполагают групповой процесс принятия решений.Конечно, во многих случаях для менеджеров вполне разумно принимать решения в группах. Но менеджеры должны ожидать возникновения трудностей, если они считают, что групповое принятие решений является сутью матричного поведения.

Мы видели одну матричную организацию, у которой был тяжелый случай «групита». У этой многопродуктовой электронной компании был менеджер по продукту и продуктовая группа, состоящая из специалистов, набранных из каждого функционального отдела, назначенных для каждого продукта.Все идет нормально. Но каким-то образом идея о том, что матричная структура требует, чтобы все бизнес-решения принимались на групповых собраниях, стала преобладающей в организации. Принятие решений другими способами считалось незаконным и не соответствовало духу матричных операций.

Многие решения, которые необходимо было принять по каждому продукту, касались подробных вопросов, с которыми регулярно были знакомы только один или два человека. Тем не менее, все члены команды были вынуждены слушать эти обсуждаемые вопросы до тех пор, пока не будет принято решение, и даже должны были участвовать в обсуждении и влиять на выбор.Некоторым людям нравилась постоянная диета, состоящая из собраний, и возможность практиковаться в универсальности.

Однако большее количество людей считало, что их время зря тратится, и предпочли бы оставить решения наиболее информированным людям. Инженеры, в частности, жаловались, что время, которое они проводят на совещаниях, лишает их возможности укрепить свою особую компетентность и индивидуальность. Отмечая эту личную реакцию, высшее руководство сообщило об общем разочаровании скоростью и гибкостью реакции организации.

Предотвращение —Поскольку сама идея матричной организации все еще незнакома многим менеджерам, понятно, что они путают ее с такими процессами, как групповое принятие решений. Ключ к профилактике – образование. Топ-менеджеры должны сопровождать свой стратегический выбор перехода к матрице серьезными образовательными усилиями, чтобы разъяснить всем участникам, что такое матрица, а что нет.

Лечение – В случае компании, производящей электронику, проблема обнаружилась, когда мы исследовали матричный подход.Как только пожилые люди четко диагностировали проблему, она была излечена на 90%. Высшее руководство категорически заявило, что в решениях группы нет ничего священного и что неразумно постоянно вовлекать в процесс всех членов продуктовой группы. Как только была проведена граница между индивидуальными и групповыми вопросами в соответствии с тем, у кого была информация, действительно имеющая отношение к принятию решения, собраний стало меньше и меньше, а работа стала более экономичной и ответственной. Концепция совместной работы была представлена ​​в перспективе: как можно чаще и как можно реже.

Обрушение в условиях экономического кризиса

Когда бизнес приходит в упадок, матрица становится козлом отпущения за плохое управление и отбрасывается.

Диагноз — Матричные организации, которые процветают в периоды быстрого роста и процветания, иногда отбрасываются в периоды экономического спада. Поразмыслив, мы можем это понять. В процветающие времена компании часто расширяют свои бизнес-направления и рынки, которые они обслуживают. Последующая сложность может обратить их в сторону матричного управления и организации.

Однако, если эти компании будут следовать нормальному бизнес-циклу, пройдет период от двух до пяти лет, прежде чем они испытают еще один экономический кризис, которого более чем достаточно для того, чтобы матричная концепция распространилась по всей компании. К тому времени матрица занимает центральное место в разговорах компаний и является привычной частью этих организаций. Хотя могут все еще быть некоторые проблемы, матрица, кажется, остается.

Когда начинается нижняя часть экономического цикла, высшее руководство в этих компаниях может быть заметно обеспокоено конфликтом между подчиненными, а также очевидной медлительностью, с которой они реагируют на ситуацию.«Нам нужны решительные действия» – это их сплоченный клич.

В авторитарной структуре высшее руководство может действовать быстро, потому что ему не нужно учитывать спектр мнений. Думая, что сейчас нет времени для организационных игрушек и возни, менеджеры высшего уровня берут на себя командование почти, но не совсем забытым способом, и утрамбовывают свои директивы. Матрица «завершена».

Предотвращение – Высшее руководство может предотвратить такой вид коллапса матрицы, применяя общие управленческие навыки, независимо от матрицы, задолго до того, как наступит кризис.Например, хорошее планирование часто позволяет спрогнозировать спад экономического цикла. Корпоративные структуры, такие как матрица, не должны меняться из-за стандартных изменений бизнес-цикла. Однако при плохом планировании управления матрица становится легким козлом отпущения.

Компании, которые переживают тяжелые экономические кризисы, часто вносят радикальные изменения сразу во многих направлениях: сокращают продуктовые линейки, закрывают офисы, значительно сокращают персонал и бюджет, а также ужесточают управленческий контроль.Матрица часто заполняется в этот период по нескольким причинам: это слишком большой риск; «Он никогда не работал должным образом», и придание ему удачного удара может замаскировать провал реализации; а качество принятия решений не улучшило производительность настолько, чтобы уравновесить тяжелые времена. Меры, которые руководство может предпринять для предотвращения этой патологии, лежат не в самой матрице, а в улучшении базовых управленческих навыков и планирования.

Компания по недвижимости и строительству представляет собой пример того, как компания может предвидеть экономический кризис и гибко реагировать на него, который демонстрирует силу, а не слабость матрицы.Компания разработала структуру, а также процедуры, которые особенно хорошо подходят для экономической неопределенности бизнеса. Сюда входит набор полностью принадлежащих дочерних компаний, каждая из которых эквивалентна функциональному отделу производственной компании, и каждая «базовая база» для различных специалистов, необходимых для выполнения всех этапов крупного строительного проекта. Руководители дочерних компаний выступают в качестве главных продавцов различных услуг и часто возглавляют команды торгов, которые составляют сложные предложения.

По мере того, как проект предложения продолжается, выбранный менеджер проекта вовлекается в команду в ожидании заключения контракта. Это обеспечивает упорядоченный переход к фазе управления проектом. На проектный офис возлагается основная ответственность за контроль затрат, графиков и качества проекта, но высшее руководство материнской компании регулярно рассматривает проект в качестве резервной копии.

Компания использовала матрицу, чтобы успешно выдержать серьезные изменения как в доступности бизнеса по сегментам рынка, например, от школ до больниц, так и в уровне строительной активности.Он поддерживает кадры профессиональных специалистов и менеджеров проектов, которые могут быть заняты во время минимума цикла, который он быстро расширяет во время подъема за счет субподряда на временные услуги.

Лечение —Эта патология требует профилактического лечения; мы не знаем никакого лекарства. Когда матрица действительно рушится во время экономического кризиса, очень маловероятно, что ее можно будет воскресить. В лучшем случае организация вернется к своим временам маятника, чередуя централизованное управление в период кризиса и децентрализованные свободы в более благополучные времена.Даже если высшее руководство попытается еще раз, оно, скорее всего, получит отрицательный ответ от руководителей более низкого уровня. «Они сказали, что привержены матрице, но при первых признаках трудных времен все приятные слова о преимуществах матрицы оказались просто красивыми словами». Если условной реакцией компании на тяжелые времена является сокращение расходов, ей, в первую очередь, не следует пытаться создать матрицу.

Чрезмерные накладные расходы

Боязнь больших затрат, связанных с матрицей.

Диагноз – На первый взгляд матричная организация может удвоить расходы на управление из-за двойной цепочки подчинения. Этот вопрос заслуживает внимательного рассмотрения.

Ограниченный объем исследований матричных накладных расходов показывает, что на начальных этапах накладные расходы действительно растут, но по мере созревания матрицы эти дополнительные затраты исчезают и компенсируются увеличением производительности. ² Наш опыт подтверждает этот вывод. В крупной компании по производству электроники мы довольно подробно наблюдали, как начальное увеличение накладных расходов не только обязательно происходит в матрице, но и как оно может увеличиваться без надобности.В этом случае компания решила использовать матричный дизайн с самого начала при создании своего нового производственного подразделения на новой производственной площадке.

Этот уникальный организационный эксперимент имел ряд положительных качеств, но одна из проблем заключалась в накладных расходах. Укомплектовывая новое подразделение персоналом, высшее руководство заполнило каждый функциональный офис и каждое место менеджера по продукту одним сотрудником, работающим полный рабочий день. В результате получилось относительно небольшое подразделение, в котором были менеджеры высшего уровня, а также штатные функциональные группы и менеджеры по продуктам.Однако через несколько месяцев это высшее тяжелое подразделение было сокращено до более разумного штатного расписания; Распределив сотрудников по двум или более позициям, руководство взяло под свой контроль расходы.

Предотвращение – Проблема подразделения была вызвана предположением высшего руководства о том, что для каждой должности менеджера требуется постоянный сотрудник. Избыток персонала гораздо менее вероятен, когда организация постепенно переходит от традиционного дизайна к матрице, а менеджеры выполняют функции как функциональных менеджеров, так и менеджеров по продукту.Хотя этот метод можно оправдать как переходную стратегию, он также имеет свои опасности. Более безопасный путь – назначить руководителям роли на одной стороне матрицы (т. Е. Две функциональные должности или две должности по управлению продуктом).

В качестве последнего аргумента против опасений накладных расходов, учтите, что ни одна хорошо управляемая организация не примет матричную структуру без долгосрочных ожиданий, что при заданном уровне выпуска операционные затраты будут ниже, чем с другими организационными формами. .Каким образом можно достичь такой экономии?

Потенциальная экономия проистекает из двух общих источников: меньше плохих решений и меньше оперений. Во-первых, что наиболее важно, матрица может улучшить качество бизнес-решений, поскольку она помогает своевременно предоставлять необходимую информацию и уделять особое внимание критическим решениям. Второй источник, меньшее количество перин, не так очевиден, но потенциально имеет большее значение. Как это может работать?

Лечение – Возможно, наиболее ярким примером потенциала матрицы для сокращения избыточности человеческих ресурсов является способ ее использования некоторыми консалтинговыми организациями.Эти фирмы обычно создают матрицу функциональных специалистов против менеджеров по работе с клиентами или менеджеров по работе с клиентами. Другие консультанты объединены с другими специалистами, но доступны для назначения в проекты под руководством менеджеров по работе с клиентами или клиентов.

Таким образом, с точки зрения бухгалтерского учета, время консультантов выставляется напрямую на счета клиентов, когда они работают на менеджера по работе с клиентами или по заданию. В противном случае их время оплачивается из бюджета их функционального руководителя.Таким образом, не подлежащие оплате расходы фирмы очень заметны как по отделам, так и по отдельным консультантам. Конечно, время, отведенное функциональным отделам, такое как предварительное изучение, исследовательская работа и время между заданиями, ни в коем случае не следует рассматривать как потраченное впустую. Но руководство может заранее запланировать такое время, чтобы изучить отклонения от бюджета.

Как сказал один старший менеджер консалтинговой фирмы: «В матричной организации негде спрятаться.«Этот факт предъявляет четкие требования к людям среднего звена и, следовательно, заставляет их производить. Для долгосрочного блага как вовлеченных людей, так и организации, высшее руководство должно не допускать, чтобы такое давление стало слишком сильным. Поскольку вполне возможно получить как слишком большое, так и слишком маленькое давление, требуется творческое напряжение.

Опускание на нижние уровни

У матрицы есть некоторые трудности в выживании на высоких уровнях корпорации и соответствующая тенденция опускаться до уровней группы и подразделения, где она процветает.

Диагностика — Опускание может произойти по двум причинам. Либо высшее руководство не поняло или не смогло реализовать концепцию матрицы так же, как руководители более низкого уровня, либо матрица нашла свое подходящее место. Например, если компания устанавливает матрицу между своими основными функциональными группами и группами продуктов, менеджеры по продуктам никогда не откажутся от своего полного контроля, и матрица не сможет закрепиться на корпоративном уровне.

Но, скажем, один или два менеджера считают эту идею полезной в своих подразделениях.Их собственные функциональные специалисты и руководители проектов могут совместно использовать делегированные им полномочия, и дизайн может сохраняться в рамках подразделений корпорации. Например, попытка Dow Chemical поддерживать баланс продукта / географического положения на вершине не удалась, но баланс функции / продукта сохранялся в пределах географических регионов в течение нескольких лет.

Когда опускание происходит из-за недопонимания высшего руководства, это может произойти в сочетании с другими патологиями, особенно с борьбой за власть.Например, если многие руководители высшего звена рассматривают возможность принятия идеи матрицы, но только один или несколько действительно убедятся в ее ценности, существует опасность: те наверху, которые придерживаются философии и метода, которые они сами не использовали, будут противостоять. те, кто может показать, что это работает.

Предотвращение —Если высшее руководство компании продумывает, какие измерения компании оно должно сбалансировать и на каком уровне агрегирования, оно может предотвратить падение матрицы.Например, топ-менеджеры должны спросить себя, нужно ли уравновешивать все бизнес-единицы центральными функциональными подразделениями. Если ответ отрицательный, то некоторые бизнес-единицы должны работать как продуктовые подразделения с традиционной пирамидой командования, в то время как другие совместно используют функциональные услуги в частичной матрице. Однако опускание не всегда плохо, и его следует предотвращать только тогда, когда оно указывает на то, что соответствующая конструкция разрушается.

Обработка — Для того, чтобы управление матрицей могло работать бесперебойно, оно должно быть в правильном месте.Очень часто, когда матрица опускается, она может просто испытывать здоровую адаптацию, и ее следует рассматривать как оседание, а не как опускание. Расселение, вероятно, произойдет на ранних этапах эволюции матрицы и приведет к созданию управляемых матричных единиц.

Вопрос размера очень беспокоит многих менеджеров, которые, по сути, спрашивают: «Это звучит отлично для компании с оборотом 250 миллионов долларов и несколькими тысячами сотрудников, но может ли это сработать для компании с 2 или 3 миллиардами долларов с 50 000 сотрудников. сотрудники? Вся его компания размером с одно из наших подразделений.«Наш опыт показывает, что матричное управление и организация работают лучше, когда в матричные отношения вовлечено не более 500 менеджеров. Но это не исключает компании с оборотом от 2 до 3 миллиардов долларов. В компании с 5000 человек только около 50 менеджеров могут быть в матрице; Таким образом, в компании с 50 000 сотрудников, возможно, потребуется задействовать только около 500 человек в двойной системе подчинения. Имея это число, люди, которым необходимо регулярно координировать свои действия, могут делать это через сети связи, основанные на личных отношениях.

Вне зависимости от размера единицы, в которой работает матрица, важно, чтобы руководство тщательно рассуждало, начиная с анализа задачи и кончая дизайном организации. Затем, если происходит урегулирование, это следует рассматривать не как патологию, а как самонастройку, которая предполагает способность организации развиваться вместе с ростом.

Неконтролируемое наслоение

Матрицы, которые лежат внутри матриц, которые лежат внутри матриц, часто являются результатом динамики власти, а не логики проектирования.

Диагностика —Иногда матрицы не только опускаются, но и каскадно спускаются вниз по организации и фильтруются по нескольким уровням и нескольким подразделениям. Этот процесс наслоения может быть патологическим, а может и не быть. Фактически, это может быть рациональное и логическое развитие матрицы, но мы кратко включаем его сюда, потому что иногда он создает больше проблем, чем решает. С точки зрения метафоры, которую мы использовали в этой статье, наслоение является патологией только в том случае, если матрица начинает метастазировать.Когда это происходит, организационные схемы начинают напоминать чертежи сложной электронной машины, отношения становятся излишне сложными, а матричная форма может стать большим бременем, чем того стоит.

Профилактика и лечение – Лучшее средство от неконтролируемого наслоения – это тщательный анализ задачи и уменьшение борьбы за власть. Мы видели несколько случаев, когда одно измерение матрицы явно теряло силу по отношению к другому, поэтому, адаптируя философию «если вы не можете победить их, присоединяйтесь к ним», он создал матрицу в своем собственном измерении.Например, продуктовое подразделение разработало собственные функциональные знания, отличные от функциональных подразделений более высокого уровня. Лучшая защита – это нападение, по крайней мере, так казалось.

В двух других случаях международные подразделения двух крупных компаний, каждое из которых создавало свою собственную матрицу, добавляли бизнес-менеджеров в качестве наложения к своему географическому формату, не согласовывая их с менеджерами, которые управляли национальными группами продуктов / услуг. В каждом случае адекватное осмысление со стороны топ-менеджеров, вероятно, упростило бы структуру организации и предотвратило бы расслоение, которое произошло из-за маневров власти.Руководство может лучше всего лечить это нездоровое состояние, перебалансировав матрицу так, чтобы ни один менеджер одного измерения не подвергался слишком большой угрозе или слишком сильно толкался к достижению цели власти.

Конструкция матрицы

достаточно сложна и без дополнительных усилий. Хорошо продуманная матрица неизбежно будет менее сложной и более простой в управлении, чем нелогично организованная.

Взгляд пупка

Менеджеры в матрице могут поддаться чрезмерной внутренней озабоченности и потерять связь с рынком.

Диагноз – Поскольку матрица способствует значительной взаимозависимости людей и задач и требует навыков ведения переговоров со стороны ее членов, менеджеры матрицы иногда склонны поглощаться внутренними отношениями за счет внимания к миру за пределами организации, особенно клиентам. Когда это происходит, организация тратит больше энергии на разрешение собственных споров, чем на обслуживание клиентов. Внешний фокус исчезает, потому что краткосрочные потребности повседневной трудовой жизни еще не решены.

Наблюдатели отнюдь не вялые; скорее они вовлечены в горячую братскую любовь / ненависть друг к другу. Эта внутренняя озабоченность чаще встречается на ранних этапах матрицы, когда изучается новое поведение, чем в матрицах, которые действовали в течение нескольких лет.

Профилактика – Какие бы другие патологии ни развивались в матрице, внимание к их лечению обязательно увеличит внутреннюю сосредоточенность членов; так что предотвращение других патологий, безусловно, снизит вероятность возникновения этой.Осведомленность о тенденции также поможет. Поскольку продуктовое измерение организации обычно имеет более внешнюю направленность, чем измерение ресурсов, ответственность за предотвращение чрезмерного самоанализа распределяется неравномерно. Люди, работающие в сфере продукта, могут помочь другим сохранить перспективу, но сильная маркетинговая ориентация – лучшее средство предотвращения.

Лечение —Если менеджеры в матрице смотрят на пупок, первым шагом в лечении является ознакомление этих менеджеров с эффектами.Клиенты жалуются много или, по крайней мере, больше, чем обычно? Менеджеры должны противостоять внутреннему конфликту, но также осознавать, что конфронтация вторична по сравнению с поддержанием эффективных внешних отношений. Наблюдение за пупком обычно происходит, когда матрица полностью запущена, но еще не отлажена. Люди принимают это, но они поглощены выяснением того, как заставить это работать.

Второй шаг – рассматривать внутреннюю направленность как симптом основной проблемы: как институционализировать матричные отношения, чтобы они стали привычными и удобными рутинами, и чтобы люди могли работать над ними, не становясь ими одержимыми.Наконец, всегда нужно помнить, что любая форма организации является лишь средством и никогда не должна становиться самоцелью.

Решение удушения

Слишком много демократии, мало действий?

Может ли переход в матрицу привести к удушению процесса принятия решений, к бесконечным задержкам для обсуждения, для выяснения отношений со всеми, кто находится в поле зрения? Будут ли решения, независимо от того, насколько они хорошо продуманы, будут приниматься слишком поздно, чтобы их можно было использовать? Сможет ли слишком много людей ослабить все смелые инициативы или наложить на них полное вето? Такие условия могут возникнуть в матрице.Мы имеем в виду три ситуации – постоянное очищение, эскалацию конфликта и односторонний стиль, каждая из которых требует немного разных превентивных действий и лечения.

Постоянное согласование – В одной известной нам компании различные функциональные специалисты, которые подчинялись второму боссу, менеджеру по продукту, подхватили идею, что им необходимо решить все проблемы со своими собственными функциональными боссами, прежде чем соглашаться с решениями по продукту. Это означало, что каждый вопрос должен был обсуждаться как минимум на двух встречах, если не больше.Во время первой встречи специалисты и менеджер по продукту могли только изучить факты проблемы, которые затем были вынесены на обсуждение до тех пор, пока на второй встрече специалисты не прояснили этот вопрос со своими функциональными начальниками, которым в ходе этого процесса были даны соответствующие рекомендации. факто вето на решения о продуктах.

Эта невозможная процедура очистки представляла, на наш взгляд, отказ делегирования, а не матрицы. Возникает вопрос, почему нельзя было доверять функциональным специалистам, чтобы они действовали на месте в отношении большинства продуктовых решений, и это соответствовало бы общим руководящим принципам их функциональных отделов? Либо специалисты были плохо отобраны, слишком неопытны и плохо информированы, либо их начальству не хватало практического доверия друг к другу.Тем не менее, эту проблему, ее профилактику и лечение необходимо решать напрямую, не делая матрицу козлом отпущения.

Эскалация конфликта —Еще один возможный источник удушения решений в матричных организациях возникает, когда менеджеры часто или постоянно передают решения по двойной цепочке подчинения. Видя, что одно из преимуществ традиционной единой цепочки команд состоит в том, что два несогласных партнера могут обратиться к своему общему боссу за разрешением, менеджеры, незнакомые с матрицей, беспокоятся об этой проблеме почти больше, чем о любой другой.Они смотрят на матрицу и понимают, что ближайшим общим начальником может быть генеральный директор, который может быть на пять или шесть ступеней выше. Они понимают, что не так уж много проблем можно доверить генеральному директору для решения без чрезмерной информационной перегрузки. Так что, думают они, неизбежное разногласие не приведет к огромному скоплению нерешенных конфликтов?

Конечно, это может произойти в неисправной матрице. Произойдет ли это, зависит в первую очередь от глубины понимания требуемой матрицы поведения со стороны менеджеров в двойной структуре.Представим себе следующую сцену: менеджер с двумя начальниками получает резко противоречивые инструкции от своего продукта и его функциональных начальников. Когда он безуспешно пытается согласовать свои инструкции, он совершенно правильно просит о сеансе с двумя своими боссами, чтобы решить этот вопрос. Три человека встречаются, но обсуждение замирает, решение не достигается, и ни один босс не уступает.

Два босса затем апеллируют к проблеме на более высокий уровень своему начальству в каждой из двух цепочек подчинения.Это критический шаг. Если два начальника правильно понимают поведение матрицы, они сначала выяснят, отражает ли спор нерешенный более широкий политический вопрос. В противном случае они знают, что их правильный шаг – научить своих подчиненных решать проблему самостоятельно, а не решать ее за них. Короче говоря, они не позволят нерешенной проблеме обостриться, но заставят ее вернуться на надлежащий уровень для решения и настаивают на том, чтобы решение было найдено в кратчайшие сроки.

Часто конфликт не может быть разрешен; однако им можно управлять, что должно быть, если матрица должна работать.Любой другой образ действий будет означать неспособность руководства понять сущность проекта.

Односторонний стиль – Третья возможная причина удушения решения в матричной системе может происходить из совершенно другого источника – личного стиля. Некоторым менеджерам кажется, что они на самом деле не управляют, если не в состоянии принимать четкие односторонние решения. Отождествляя лидерство с решительными действиями, они очень разочаровываются, когда им приходится участвовать в тщательно аргументированных дебатах о мудрости того, что они хотят делать.

Такой менеджер, вероятно, почувствует разочарование даже в отношении бизнес-проблемы, решение которой существенно повлияет на функции, отличные от его собственных, например, в компании, которая испытывает критическое двойное давление со стороны рынка и со стороны прогрессирующих технологий. Матрица, которая намеренно вызывает одновременное принятие решения между двумя или более точками зрения, может еще больше расстроить такого человека.

Если менеджеры начнут чувствовать себя выхолощенными из-за двустороннего принятия решений, они наверняка будут недовольны матричной организацией.В таких случаях удушение происходит на глазах у смотрящего. Такие люди должны работать над своим личным стилем принятия решений или искать работу в нематричной организации.

Наконец, легитимность

Мы не рекомендуем всем компаниям применять матричную форму. Но там, где это актуально, это может стать важной частью эффективного управленческого процесса. Как и любой новый метод, он может привести к серьезным ошибкам, но опыт, который многие компании приобретают с этой организационной формой, теперь может помочь другим осознать ее преимущества и избежать ее ошибок.

Матрица, кажется, распространилась вопреки самой себе и своим патологиям: то, что было необходимо, превратилось в желаемое. Это сложно и сложно, и для достижения гибкости организации требуется человеческая гибкость.

Но верно и обратное; успех придал форме легитимность, и по мере распространения концепции знакомство, кажется, снижает сопротивление и трудности, с которыми люди сталкиваются при использовании матрицы. Теперь менеджеры начинают говорить: «В конце концов, все не так уж и ново и не по-другому.«Это знакомство – знак принятия, больше, чем изменения или умеренности дизайна.

В течение нескольких поколений менеджеры жили счастливой выдумкой пунктирных линий, указывающих на то, что вторая линия отчетности была необходима, если не формальна. Результатом всегда был своего рода управленческий ménage à trois, треугольная структура, в которой у менеджера были одни законные отношения (линия подчинения) и те, которые существовали, но не получали равных привилегий (пунктирная линия).

По мере того, как руководители становятся все более уверенными в матричной форме, они выводят из шкафа отношения пунктирной линией и придают ей легитимность.

Каждый раз, когда другая организация обращается к матрице, у нее появляется все больше и больше разнообразных предшественников, которые наметили путь. Примеры более широкого применения показывают, что матрица все меньше и меньше становится экспериментом и все более зрелой формулировкой в ​​организационном дизайне. По мере того, как все больше организаций проходят кривую обучения, сама кривая становится все легче подниматься. Аналогичным образом, по мере того, как все больше менеджеров приобретают опыт работы в матричных организациях, они обязаны распространять этот опыт по мере того, как некоторые из них переходят, что неизбежно, в другие организации.

Мы считаем, что в будущем матричные организации станут почти обычным явлением и что менеджеры будут говорить не столько о трудностях и патологиях матрицы, сколько о ее преимуществах и преимуществах.

1. Из предстоящей статьи М.Р. Вейсборда, М.П. Чарнс и П.Р. Лоуренс, «Организационные дилеммы академических медицинских центров», Journal of Applied Behavioral Science, Vol. XIV, № 3.

2. C.J. Миддлтон, «Как создать проектную организацию», HBR, март – апрель 1967 г., стр.73.

Версия этой статьи появилась в выпуске Harvard Business Review за май 1978 года.

[2003.10173] Иерархические матричные аппроксимации гессианов, возникающих в обратных задачах, управляемых PDE

[Отправлено 23 марта 2020 года]

Скачать PDF

Аннотация: операторы Гессе, возникающие в обратных задачах, управляемых частичными дифференциальные уравнения (PDE) играют решающую роль в обеспечении эффективных, не зависящая от размерности сходимость для обоих решений Ньютона детерминированного обратные задачи, а также выборка цепью Маркова методом Монте-Карло апостериоров в байесовская установка.Эти методы требуют умения многократно выполнять такие операции над гессианом, как умножение на произвольные векторы, решение линейных систем, обращение и (обратный) квадратный корень. К несчастью, Гессиан является (формально) плотным, неявно определенным оператором, который трудноразрешимом явном виде для практических обратных задач, требующих как многие PDE решают как параметры инверсии. Приближения низкого ранга эффективны когда данные содержат ограниченную информацию о параметрах, но становятся запретительно, поскольку данные становятся более информативными.Однако гессенцы для многих Обратные задачи, возникающие в практических приложениях, хорошо аппроксимируются формулой матрицы, имеющие иерархически низкую ранговую структуру. Иерархическая матрица представления обещают преодолеть высокую сложность плотных представления и обеспечивают эффективные структуры данных и матричные операции которые имеют только лог-линейную сложность. В этой работе мы описываем алгоритмы для построение и обновление иерархических матричных аппроксимаций гессианов, и проиллюстрируйте их на ряде типичных обратных задач, включающих зависящая от времени диффузия, перенос с преобладанием адвекции, частотная область распространение акустической волны и низкочастотные уравнения Максвелла, демонстрирующие ускорение на порядок по сравнению с глобально низким рейтингом приближения.

История отправки

От: Wajih Halim Boukaram [просмотреть электронную почту]
[v1] Пн, 23 марта 2020 г. 10:38:57 UTC (1327 КБ)

Матрица решения проблем – Discover Your Solutions LLC

Продвинутый решатель сложных проблем.

«Проблемы возникают не из-за того, чего вы не знаете. Это то, что вы точно знаете, но это не так». – Марк Твен

Цель: Решить вашу проблему с помощью нашей уникальной 4-х мерной матрицы.

Матричная диаграмма

Шаг 1. Изучите диаграмму ниже – это визуализация всей нашей матрицы решения проблем.

Полезный совет:

Если вы впервые смотрите на этот рисунок, мы не ожидаем, что вы полностью его поймете с первого взгляда. Мы знаем, что это выглядит сложным, но каждый шаг довольно прост. Причина, по которой мы представили его здесь, заключается в том, что вы можете иметь обзор, на который вы будете ссылаться в ходе этого процесса.

Версия Word для решения проблем.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Версия Excel для решения проблем Matrix.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Excel ).

PDF-версия Problem-Solving Matrix.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

---

Основные категории

Шаг 2: Разбейте проблему на основные составляющие. Мы называем эти категории основными. Ваша цель здесь – определить все ваши основные категории.Чтобы получить помощь, воспользуйтесь нашим инструментом «Основные категории» в наборе инструментов, чтобы разложить проблему на основные факторы.

Основные категории должны быть:

• Четко определено,
• взаимоисключающие и
• В целом исчерпывающе.

Полезный совет:

Это действительно важный шаг! Ваши основные категории – это фундамент, на котором будет построена остальная часть вашей структуры решения проблем. Не торопитесь здесь. Вы хотите сделать это правильно с первого раза.

---

Объективные данные вашей проблемы

Шаг 3: Начнем с работы над 1-м квадрантом матрицы решения проблем. Это упражнение фокусирует ваш анализ на объективных данных вашей проблемы (выделенных красным ниже).

Шаг 4. Теперь увеличьте масштаб. Вот крупный план 1-го квадранта матрицы решения проблем. Эта матрица показывает ваши основные категории в столбцах по вопросительным параметрам в строках. Возможно, вы заметили, что это очень похоже на Решатель списков, за исключением того, что ваши основные категории отображаются в столбцах.

Версия Word Матрицы решения проблем для Objective Data.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Версия Excel для матрицы решения проблем для объективных данных.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ).

PDF-версия матрицы решения проблем для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 5: Загрузите или распечатайте нашу форму для решения матрицы для ваших объективных данных (см. Ниже версии Word, Excel и PDF).Распечатайте по одной копии формы решателя матриц для каждой из ваших основных категорий.

Word версия Matrix Solver Form for Objective Data.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word версии ).

Версия Excel формы Matrix Solver Form для Objective Data.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ). Предпочтительный вариант – для опытных пользователей Excel (см. Вкладку «Все объективные данные проблемы»).

PDF-версия Матричной решающей формы для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию PDF ).

Шаг 6: Приготовьтесь записать свои объективные данные в формы для решения матричных вычислений. Ваши объективные данные включают в себя: ключевые вопросы, информацию (ответы), задачи и цели.

Вы будете группировать их по следующим критериям: кто, что, когда, где, почему, как, откуда и куда.

Шаг 7: Начните с формы решателя матрицы для «Кто». У вас должна быть форма «Кто» для каждой из ваших основных категорий. Напишите свои основные категории в отведенном для этого месте вверху каждой из ваших форм.

Запишите вопросы «Кто?», Которые, по вашему мнению, наиболее важны для понимания вашей проблемы.

Если вам нужна помощь в составлении хороших вопросов «Кто», перейдите в Toolkit и просмотрите наш Предварительный список стандартных вопросов «Кто».

Полезный совет:

Не увязайте в ответах на каждый из ваших ключевых вопросов, когда они приходят в голову; просто запишите их. После того, как вы составили список всех ваших ключевых вопросов, вы можете вернуться и решить, на какие из них нужно ответить в первую очередь.При этом, если появится хороший быстрый ответ – обязательно запишите его.

Шаг 8: Запишите любую информацию, которая связана с вашими вопросами «Кто» (т. Е. Вашими ответами). Помните, что вопросы «Кто?» Связаны с людьми, группами и человеческими аспектами, связанными с вашей проблемой. Также запишите задачи и цели, которые у вас есть для себя, для других людей и для групп, которые вы включили в свой анализ.

Шаг 9: После того, как вы завершите исследование аспектов вашей проблемы «Кто», повторите процесс (в шагах 7 и 8), чтобы узнать, что, когда, где, почему, как, откуда и куда.

Шаг 10: Просмотрите ваши объективные данные о вашей проблеме. Есть ли пробелы в ваших данных?

Полезный совет:

Сложные задачи могут генерировать сотни и даже тысячи строк данных. Вот почему мы создали программное обеспечение базы данных MySolver ™. Это для решения действительно больших проблем.

---

Субъективные мысли о вашей проблеме

Шаг 11: Затем мы начнем работать над 2-м квадрантом матрицы решения проблем (обведены красным).Здесь вы анализируете свои субъективные мысли о своей проблеме.

Шаг 12: Вот увеличенный вид 2-го квадранта матрицы решения проблем. Эта матрица показывает ваши основные категории в столбцах по предрасположенности в строках.

Версия Word для решения проблем «Матрица субъективных мыслей ».docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Версия Excel Матрицы решения проблем для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ).

PDF-версия Матрицы решения проблем для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 13: Загрузите или распечатайте нашу форму Матрицы для решения ваших субъективных мыслей (см. Версии Word, Excel и PDF ниже):

Word версия Matrix Solver Form для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word версии ).

Excel-версия Матричной решающей формы для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ).Предпочтительный вариант – для опытных пользователей Excel (см. Вкладку «Все субъективные мысли о проблемах»).

PDF-версия Матричной решающей формы для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 14: Приготовьтесь записывать свои субъективные мысли о формах Matrix Solver Form. Ваши субъективные мысли – это ваши личные мысли, которые тесно связаны с вашей проблемой.

Вы будете группировать их по: намерениям, ожиданиям, предположениям, интуиции, мнениям, заключениям, суждениям, убеждениям, надеждам и внутренним ощущениям.

Шаг 15: Начните с формы решателя матрицы для «Намерений». Запишите свои намерения, которые, по вашему мнению, наиболее важны для вашей ситуации. Обязательно сгруппируйте их по вашим основным категориям. Если вам нужна помощь в определении ваших намерений, перейдите к нашему инструменту «Намерения» в нашем Инструментарии.

Полезный совет:

Если вы не можете быстро сформулировать свои намерения, просто пропустите их и переходите к следующему предрасположению. Помните, что вы должны сосредоточиться на личных мыслях, которые лежат в основе вашей проблемы.Другими словами, это упражнение больше о качестве, чем о количестве.

Шаг 16: Запишите любую другую информацию, имеющую отношение к вашим «Намерениям». Помните, что ваши «намерения» связаны с вашими стремлениями, целями и амбициями.

Шаг 17: Завершив изучение своих намерений, связанных с вашей проблемой, повторите процессы шагов 11 и 12 для своих ожиданий, предположений, интуиции, мнений, выводов, суждений, убеждений, надежд и внутреннего чутья.

Шаг 18: Распечатайте приведенную ниже форму «Субъективные мысли». Если вы впервые используете эту форму, уделите несколько минут тому, чтобы ознакомиться с ней.

,

Версия Word файла Subjective Мысли Form.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

PDF-версия формы субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 19: Возьмите одну из своих субъективных мыслей, которая лежит в основе вашей проблемы.Запишите это в графу 1 формы «Субъективные мысли».

Шаг 20: Следуйте инструкциям в форме «Субъективные мысли» и заполните остальные поля формы.

Шаг 21: Пересмотрите свои субъективные мысли, особенно любые не подвергавшиеся сомнению ментальные модели, которые могут их поддерживать.

---

Создайте свои решения

Шаг 22: Теперь, когда вы полностью понимаете свою проблему, пора обратить ваше внимание на решение.Вы можете начать процесс создания решений, взглянув на свои цели и задачи. Перейдите к формам Matrix Solver Forms для ваших целевых данных и выделите свои цели. В ваших формах “Куда” должны быть указаны цели.

Шаг 23. Используйте инструмент «Цели» в нашем наборе инструментов, чтобы найти и систематизировать свои цели.

Полезный совет:

Разъяснение ваших целей поможет вам правильно сфокусироваться на достижении успешного решения.

Шаг 24: Если у вас еще нет идей для решений, уделите несколько минут и ознакомьтесь с разделом «Создание решений» нашего набора инструментов.Мы выделили целый раздел в нашем Инструментарии, чтобы помочь вам в создании решений. Ниже мы перечислили несколько рекомендуемых нами инструментов.

Шаг 25: Перейдите к нашему инструменту Аналогий, чтобы создавать новые идеи, генерируя аналогии.

Шаг 26: Сравните вашу проблему с аналогией, используя наш инструмент «Сходства и различия».

Шаг 27: Используйте наш инструмент «Матрица структурированных аналогий», чтобы сравнить вашу проблему с множеством аналогий.

Шаг 28: Создавайте метафоры для создания новых идей.

Шаг 29: Создайте гипотетические решения с помощью нашего инструмента «Генератор гипотез».

Шаг 30: Используйте наш Генератор множественных гипотез, чтобы создать несколько гипотез на основе одной гипотезы.

Полезный совет:

Ваше решение не может быть одним БОЛЬШИМ решением. Его можно разделить на множество более мелких решений. Разбейте проблему на более мелкие части. Рассмотрите решение каждой части отдельно. Решайте одну проблему за раз. Если есть несколько проблем, вы должны решить, какую из них нужно решить в первую очередь.

Шаг 31: Составьте список ваших альтернатив.

Шаг 32: Ищите горячие точки.

Шаг 33: Если у вас еще нет четкого представления о том, почему вам нужно более одного решения, ознакомьтесь с нашим инструментом «Соперничающие гипотезы». Итог: выбор одного – не выбор.

---

Объективные данные ваших решений

Шаг 34: Далее мы начнем работать с вашими решениями. В 3-м квадранте матрицы решения проблем рассматриваются объективные данные ваших решений (выделены красным ниже).

Полезный совет:

Как видите, 3-й квадрант является зеркальным отражением 1-го квадранта (за исключением решений, а не проблемы). Мы использовали этот «зеркальный» дизайн, потому что некоторые аспекты вашего решения будут отражать аспекты вашей проблемы. Эти «зеркальные» аспекты могут быть чрезвычайно важны для решения вашей проблемы.

Шаг 35: Вот 3-й квадрант матрицы решения проблем. Ваши Решения заполняют столбцы этого рисунка.

Word версия Матрица решения проблем для объективных данных.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Excel версия Матрица решения проблем для Objective Data.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ).

PDF-версия Матрица решения проблем для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию PDF ).

Шаг 36: Будьте готовы записать объективные данные ваших решений. Вы соберете вместе свои ключевые вопросы, информацию (ответы), задачи и цели для каждого решения, а затем сгруппируете их по вопросительным измерениям: кто, что, когда, где, почему, как, откуда и Куда.

Шаг 37: Загрузите или распечатайте наши формы Matrix Solver для объективных данных (см. Ниже версии Word, Excel и PDF):

Word версия Matrix Solver Form for Objective Data.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Word версии ).

Версия Excel формы Matrix Solver Form для Objective Data.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ). Предпочтительный вариант – для опытных пользователей Excel (см. Вкладку «Все данные о задачах решения».

PDF-версия Матричной решающей формы для объективных данных.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию PDF ).

Шаг 38: Начните с форм для поиска «Кто». У вас должна быть форма «Кто» для каждого из ваших потенциальных решений. Напишите свои Решения в верхней части каждой формы в отведенном для этого месте. Затем начните вводить те вопросы «Кто?», Которые вы считаете наиболее важными. Если вам нужна помощь, чтобы задать хорошие вопросы, перейдите к нашему списку стандартных вопросов Who в нашем Инструментарии.

Полезный совет:

Не утруждайтесь, отвечая на каждый вопрос сейчас.Как только вы составите список всех ваших ключевых вопросов, вы можете расставить их по приоритетам.

Шаг 39: Запишите всю информацию, относящуюся к вашим вопросам «Кто». Помните, что вопросы «Кто?» Связаны с «людьми, группами и человеческими аспектами». Кроме того, перечислите свои задачи и цели для людей и групп в форме.

Шаг 40: После того, как вы изучили аспекты проблемы «Кто», переходите к вопросу «Что, когда, где, почему, как, откуда и куда».

Шаг 41: Просмотрите свои объективные данные.

---

Субъективные мысли о ваших решениях

Шаг 42: Затем мы начнем работать над 4-м квадрантом матрицы решения проблем (обведены красным). Здесь вы анализируете свои субъективные мысли о своих решениях.

Полезный совет:

Как видите, 4-й квадрант является зеркальным отображением 2-го квадранта (за исключением того, что вы анализируете свои решения). Мы использовали этот «зеркальный» дизайн, потому что есть аспекты вашего решения, которые отражают аспекты вашей проблемы.Эти аспекты могут быть чрезвычайно важны для решения вашей проблемы.

Шаг 43: Вот еще один способ просмотра 4-го квадранта матрицы решения проблем.

Word версия Матрица решения проблем для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Excel версия Матрица решения проблем для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ).

PDF-версия Матрица решения проблем для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию PDF ).

Шаг 44: Приготовьтесь записывать свои субъективные мысли. Соберите воедино свои личные мысли, которые тесно связаны с вашей проблемой. Вы отсортируете их по своим решениям, а затем сгруппируете их по предрасположенности: намерения, ожидания, предположения, интуиции, мнения, выводы, суждения, убеждения, надежды и внутреннее чутье.

Шаг 45: Загрузите или распечатайте наши формы решателя матриц для субъективных мыслей (см. Версии Word, Excel и PDF ниже):

Word версия Матричной формы решателя для субъективных мыслей.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

Excel-версия Матричной решающей формы для субъективных мыслей.xlsx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить Excel версии ). Предпочтительный вариант – для опытных пользователей Excel (см. Вкладку «Все решения, субъективные мысли»).

PDF-версия Матричной решающей формы для субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 46: Начните с формы решателя матрицы для «Намерений». Просто запишите свои намерения, которые, по вашему мнению, важны в этой ситуации.Если вам нужна помощь в определении ваших намерений, перейдите к нашему инструменту «Намерения» в нашем Инструментарии.

Полезный совет:

Если вы не можете быстро сформулировать свои намерения, просто пропустите их и переходите к следующему предрасположению. Помните, что вы должны сосредоточиться на личных мыслях, которые лежат в основе вашей проблемы. Другими словами, это больше о качестве, чем о количестве.

Шаг 47: После того, как вы исследовали свои намерения, переходите к своим ожиданиям, предположениям, интуиции, мнениям, заключениям, суждениям, убеждениям, надеждам и внутренним ощущениям.

Шаг 48: Распечатайте приведенную ниже форму «Субъективные мысли». Если вы впервые используете эту форму, потратьте несколько минут, чтобы ознакомиться с ней.

,

Версия Word файла Subjective Мысли Form.docx ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить версию Word ).

PDF-версия формы субъективных мыслей.pdf ( Щелкните ссылку, чтобы загрузить PDF-версию ).

Шаг 49: Возьмите одну из ваших предрасположенностей, которая лежит в основе вашего Решения, и запишите ее в ячейку 1 формы «Субъективные мысли».

Шаг 50: Следуйте инструкциям и заполните оставшуюся часть формы «Субъективные мысли».

Шаг 51: Пересмотрите свои субъективные мысли и несомненные ментальные модели, которые их поддерживают.

---

Оценить Ваши решения

Шаг 52: Теперь, когда вы создали и проанализировали свои решения, вам может потребоваться определить, какое решение лучше для вас. Чтобы оценить свои решения, перейдите в раздел «Оценить решения» нашего набора инструментов.Ниже мы перечислили несколько рекомендуемых нами инструментов.

Шаг 53: Перейдите к нашему инструменту «Негативный мозговой штурм», чтобы изучить свои решения на предмет потенциальных сбоев.

Шаг 54: Проанализируйте свои решения потенциальных проблем с помощью нашего инструмента анализа потенциальных проблем.

Шаг 55: Разыграйте адвоката дьявола, представив наилучшие возможные аргументы против предложенного плана.

Шаг 56: Оцените свои альтернативы, сравнивая их в парных наборах с нашим инструментом парного сравнительного анализа.

Шаг 57: Используйте наш инструмент анализа сетки, чтобы создать оценку для каждой из ваших альтернатив, ранжируя ваши решения по каждой основной категории, а затем взвешивая каждую из ваших основных категорий.

Шаг 58: Создайте матрицу для проверки гипотез с помощью нашего инструмента «Матрица проверки гипотез».

Шаг 59: У нас также есть много методов принятия решений, перечисленных в конце раздела «Оценка решений» нашего Инструментария.

Полезный совет:

Сложные задачи могут генерировать сотни и даже тысячи строк данных.Вот почему мы создали программное обеспечение базы данных MySolver ™. MySolver поможет вам справиться с действительно большими проблемами. Вся ваша информация всегда под рукой.

Ключевые точки:

• Определите основные категории вашей проблемы.
• Организуйте свои данные и мысли с помощью наших форм для решения матриц.
• Найдите ответы на свои ключевые вопросы и соберите другую важную информацию.
• Определите свои задачи и цели.
• Изучите свои субъективные мысли (т.е. мысли, к которым вы предрасположены).
• Создавайте, тестируйте и улучшайте неоспоримые ментальные модели.
• Создайте разумные решения вашей проблемы.
• Оцените свои решения.

Решенных примеров задач по применению матриц: Решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений

(i) Метод обращения матриц

Пример 1.22

Решите следующую систему линейных уравнений, используя Метод инверсии матрицы:

5 x + 2 y = 3, 3 x + 2 y = 5.

Решение

Матричная форма системы AX = B, где

Находим | A | = = 10-6 = 4 ≠ 0. Итак, A − 1 существует и A − 1 =

Затем, применяя формулу X = A − 1B, мы получаем

Итак, решение ( x = −1, y = 4).

Пример 1.23

Решите следующую систему уравнений, используя метод инверсии матрицы:

2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 5,

x 1 – 2 x 2 + x 3 = -4,

3 x 1 – x2 – 2 x 3 = 3

Решение

Матричная форма системы AX = B, где

Итак, решение ( x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = −1).

Пример 1.24

Если, найти произведения AB и BA и, следовательно, решить систему уравнений x – y + z = 4, x – 2y – 2z = 9, 2x + y + 3z = 1.

Решение

Записав данную систему уравнений в матричной форме, мы получим

Следовательно, решение будет ( x = 3, y = – 2, z = −1 ).

(ii) Правило Крамера

Пример 1.25

Решите по правилу Крамера систему уравнений

x 1 – x 2 = 3, 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 17, x 2 + 2 x 3 = 7.

Решение

Сначала оценим детерминанты

Итак, решение ( x1 = 2, x2 = – 1, x3 = 4).

Пример 1.26

В матче T20 Chennai Super Kings нужно было всего 6 ранов, чтобы выиграть, и остался 1 мяч в последнем овере. Последний шар был подан, и игрок с битой на складке ударил его высоко. Мяч, пройденный по траектории в вертикальной плоскости, и уравнение траектории: y = ax 2 + bx + c относительно системы координат xy в вертикальной плоскости и мяч пройдя через точки (10,8), (20,16), (30,18), можете ли вы сделать вывод, что Chennai Super Kings выиграли матч?

Обоснуйте свой ответ.(Все расстояния измеряются в метрах, а точка пересечения плоскости пути с самой дальней граничной линией – (70, 0).)

Решение

Путь y = ax 2 + bx + c проходит через точки (10,8), (20,16), (40, 22). Итак, получаем систему уравнений 100 a + 10 b + c = 8, 400 a + 20 b + c = 16,1600 a + 40 b + с = 22.Чтобы применить правило Крамера, мы находим

Когда x = 70, мы получаем y = 6.

Итак, мяч прошел на 6 метров выше границы, и для полевого игрока невозможно стоять. даже перед самой границей прыгнуть и поймать мяч.

Следовательно, мяч пошел на супер шестерку, и Chennai Super Kings выиграли матч.

(iii) Метод исключения Гаусса

Пример 1.27

Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса:

4 x + 3 y + 6 z = 25, x + 5 y + 7 z = 13, 2 x + 9 y + z = 1.

Решение

Преобразуя расширенную матрицу в эшелонированную форму, мы получаем

Эквивалентная система записывается с использованием эшелонированной формы:

x + 5y + 7z = 13,… (1)

17y + 22z = 27,… (2)

199z = 398. … (3)

Подставляя z = 2, y = -1 в (1), получаем x = 13 – 5 × (−1) – 7 × 2 = 4.

Итак, решение (x = 4, y = – 1, z = 2).

Примечание. Вышеупомянутый метод перехода от последнего уравнения к первому называется методом обратной подстановки.

Пример 1.28

Скорость полета ракеты вверх v ( t ) в момент времени t приблизительно равна v (t) = at2 + bt + c, 0 ≤ t ≤ 100, где a, b , c – константы. Было обнаружено, что скорость в моменты времени t = 3, t = 6 и t = 9 секунд составляет соответственно 64, 133 и 208 миль в секунду. Найдите скорость в момент времени t = 15 секунд. (Используйте метод исключения Гаусса.)

Решение

Поскольку v (3) = 64, v (6) = 133 и v (9) = 208, мы получаем следующую систему линейных уравнения

9a + 3b + c = 64,

36a + 6b + c = 133,

81a + 9b + c = 208.

Решаем указанную выше систему линейных уравнений методом исключения Гаусса.

Приведя расширенную матрицу к эквивалентной строковой форме с помощью операций с элементарными строками, мы получим

Записав эквивалентные уравнения из строковой матрицы, мы получим

9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, c = 1.

Обратной подстановкой получаем

Итак, получаем v (t) = 1/3 t2 + 20t + 1.

Отсюда v (15) = 1/3 (225) + 20 (15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376

Матрицы на ACT – Как решить задачи матрицы экзамена по математике ACT

Матрицы по матричным задачам АСТ-5

Инструкции: Вы увидите хотя бы один вопрос по матрицам на ACT.Решите задачи матрицы ACT, указанные ниже. Ответы представлены в следующем разделе. Перед тем, как попробовать это упражнение, вы можете просмотреть примеры и объяснения в последнем разделе этой страницы.

1) Что такое матрица A + матрица B?

2) Что такое Матрица P – Матрица Q?

3) Решите следующее:

=?

4) Что является определителем следующей матрицы?

5) Что является определителем следующей матрицы?

Матрицы на СПО – ответы на матричные задачи

Ответ 1

1) Добавьте числа из матрицы A к числам в той же позиции в матрице B, как показано ниже.

=

=

Ответ 2

Вычтите числа из матрицы Q из чисел в той же позиции в матрице P, как показано ниже.

=

=

Ответ 3

Умножьте каждое число на 3 и решите:

= =

Ответ 4

Чтобы найти определитель, нужно умножить крестиком, чтобы получить два произведения. Затем вычтите эти два продукта, чтобы получить определитель.

(2 × 24) – (4 × 16) = 48 – 64 = -16

Ответ 5

Будьте осторожны с отрицательными числами при умножении и сложении.

(-5 × 9) – (-6 × 4) = -45 – -24 = -21

Что такое матрицы?

Матрицы, которые вы увидите на экзамене по математике ACT, обычно имеют формат два на два, как показано ниже.

Это означает, что эти типы матриц представлены в прямоугольном формате, состоящем из 4 чисел.

Два числа будут вверху матрицы, а два числа будут непосредственно под ними в нижней части матрицы.

Выполнение операций с матрицами – примеры

Пример 1 – Добавление матриц на ACT

1) Два сложить две матрицы вместе, вам нужно добавить числа из первой матрицы к числам, находящимся в той же позиции во второй матрице

=

=

Пример 2 – Вычитание матриц в ACT

Вычтите числа во второй матрице из чисел в той же позиции в матрице forst, как показано ниже.

=

=

Пример 3 – Умножение матрицы на целое число

Для этих типов задач матрицы ACT необходимо умножить каждое число в матрице на целое число:

= =

Пример 4 – Нахождение определителя матрицы

Чтобы ответить на вопросы о нахождении определителя, умножьте крестиком, чтобы получить два произведения. Затем вычтите два продукта вместе, чтобы получить определитель.

(3 × 12) – (9 × 11) = 36 – 99 = -63

Пример 5 – Умножение двух матриц (метод A)

Что такое матрица M × матрица N?

ШАГ 1:

Умножьте все числа в первой строке матрицы M на «совпадающие элементы» в первом столбце матрицы N.Затем просуммируйте эти продукты, чтобы получить верхнее левое число в новой матрице.

(4 × 3) + (5 × 9) = 12 + 45 = 57

ШАГ 2:

Умножьте каждое из чисел в первой строке матрицы M на «совпадающие элементы» во втором столбце матрицы N. Затем просуммируйте эти произведения, чтобы получить верхнее правое число в новой матрице.

(4 × 6) + (5 × 7) = 24 + 35 = 59

ШАГ 3:

Умножьте все числа во второй строке матрицы M на «совпадающие элементы» в первом столбце матрицы N.Затем просуммируйте эти продукты, чтобы получить нижнее левое число в новой матрице.

(8 × 3) + (2 × 9) = 24 + 18 = 42

ШАГ 4:

Умножьте все числа во второй строке матрицы M на «совпадающие элементы» во втором столбце матрицы N. Затем просуммируйте эти произведения, чтобы получить нижнее правое число в новой матрице.

(8 × 6) + (2 × 7) = 48 + 14 = 62

Числа из этих четырех шагов образуют матрицу:

Пример 5 – Умножение двух матриц (метод B)

В качестве альтернативы вы сможете более четко увидеть операции, если выполните их в матричном формате:

=

=

=

Больше практики ACT

Обзор математики ACT

ACT math загрузить

Проблемы близости матрицы при интеллектуальном анализе данных

Аннотация

В этой диссертации рассматриваются некоторые фундаментальные проблемы интеллектуального анализа данных и машинного обучения, которые можно представить как проблемы близости матрицы.Некоторые примеры хорошо известных проблем близости: приближения низкого ранга, разреженные приближения, кластеризация, совместная кластеризация, обучение ядра и анализ независимых компонентов. В этой диссертации мы изучаем два типа проблем матричной близости. В первом типе мы вычисляем приближение матрицы низкого ранга к заданной входной матрице, тем самым представляя ее более эффективно и, надеюсь, обнаруживая скрытую структуру во входных данных. Во втором типе проблемы близости мы стремимся либо изучить параметризованную модель / из входных данных, либо данные представляют собой зашумленные измерения некоторых лежащих в основе объектов, и мы хотим восстановить исходные измерения.К обоим типам проблем можно естественно подойти, вычислив выходную модель / матрицу, которая находится «рядом» с входом. Конкретные проблемы близости, которые мы изучаем в этой диссертации, включают: i) аппроксимацию неотрицательной матрицы (NNMA), ii) инкрементные аппроксимации матриц низкого ранга, iii) общие аппроксимации матриц низкого ранга посредством выпуклой оптимизации, iv) обучение параметрической смеси. модель для данных, особенно для направленных данных, и v) метрическая близость. NNMA – это недавний мощный метод разложения матриц, который приближает неотрицательную входную матрицу с помощью приближения низкого ранга, состоящего из неотрицательных факторов.Он нашел широкое применение в широком спектре областей, начиная от задач анализа текста, обработки изображений и анализа микрочипов генов до транскрипции музыки. Мы разрабатываем несколько новых обобщений проблемы NNMA и выводим эффективные итерационные алгоритмы для вычисления соответствующего приближения. Кроме того, мы также предлагаем эффективное программное обеспечение, реализующее многие производные алгоритмы. С увеличением размеров входной матрицы иногда сами методы аппроксимации низкого ранга могут стать дорогостоящими в вычислительном отношении.Для таких ситуаций и для облегчения выбора модели (ранга приближения) мы разрабатываем инкрементные версии матричных приближений низкого ранга, где приближение получается поочередно за один раз. Есть несколько применений такой схемы, например, обнаружение темы из коллекции документов. Мы также разрабатываем методы, основанные на крупномасштабной выпуклой оптимизации для вычисления приближений низкого ранга к входным данным. Наш подход может иметь дело с крупномасштабными данными, позволяя при желании включать ограничения более общие, чем неотрицательность.В нашем подходе есть некоторые полезные побочные продукты – он дает новые методы решения неотрицательной задачи наименьших квадратов, а также регрессии l1-нормы. Следующая проблема близости, которую мы рассмотрим, – это изучение параметрической вероятностной модели смеси для данных. Здесь оценивается матрица параметров с учетом входных данных, причем процесс оценки неявно регулируется, чтобы избежать чрезмерной подгонки. В частности, мы решаем задачу оценки параметров для двух фундаментальных многомерных распределений по направлениям, а именно распределений фон Мизеса-Фишера и Ватсона.Оценка параметров для этих распределений весьма нетривиальна, и мы представляем для нее эффективные методы. Последняя проблема близости, которую мы изучаем, – это более типичная проблема матричной близости, которая называется метрической близостью. Цель здесь – найти матрицу расстояний (т.е. матрицу, элементы которой удовлетворяют неравенству треугольника), которая является «ближайшей» к входной матрице значений несходства. Для большинства алгоритмов, которые мы разрабатываем в этой диссертации, мы также предоставляем программное обеспечение, которое их реализует.Это программное обеспечение будет полезно как исследователям, так и практикам, желающим поэкспериментировать с нашими алгоритмами.

матричных вопросов: определение, примеры и способы использования

Матричный вопрос – это группа вопросов с несколькими вариантами ответов, отображаемая в сетке из строк и столбцов. В строках представлены вопросы респондентам, а в столбцах предлагается набор предопределенных вариантов ответов, применимых к каждому вопросу в строке. Очень часто варианты ответов предлагаются в виде шкалы.

Пустой шаблон матричного вопроса.

Когда использовать матричные вопросы

Матричные вопросы лучше всего использовать как способ задать несколько вопросов об аналогичной идее, когда речь идет о шкале. Их можно использовать по разным причинам, либо как самостоятельный мини-опрос, либо как отдельный тип вопроса в более крупной анкете. Закрытые предопределенные ответы, применимые к серии вопросов, делают вопросы Matrix идеальными для:

• опросов об уровне обслуживания / удовлетворенности клиентов.
• Вопросы по подтеме в большой анкете.
• Объединение многих вопросов с рейтинговой шкалой в более понятный формат.

Опросы клиентского опыта

Матричные вопросы обычно используются для опросов клиентского опыта. Например, чтобы спросить респондента об их опыте полета, в строках можно спросить респондента об услуге, еде или развлечениях, а в столбцах им будет предложено выбрать ответ с оценкой.

Пример опроса клиентского опыта с использованием матричного вопроса.

Вопросы по подтеме

Часто анкета включает много идей, но некоторые из них относятся к подтеме в этом опросе.Матричные вопросы – это эффективный способ объединить эти идеи в простой формат, чтобы респондент мог понять, что от них спрашивают.

Например, в исследовании узнаваемости бренда покупатель может использовать матрицу, чтобы получить больше информации о восприятии бренда.

Пример вопроса о восприятии бренда с использованием матрицы.

Преимущества матричных вопросов

Формат и структура типов матричных вопросов обеспечивают некоторые уникальные преимущества. Поскольку на самом деле это серия вопросов, представленных в виде единой таблицы, в опросе он отображается как один вопрос.Это позволяет сэкономить место (как на бумаге, так и в цифровом опросе), а также сократить количество отказов от респондентов, которые не хотят отвечать на 5 почти идентичных вопросов подряд.

Сетка проста и интуитивно понятна для респондентов с помощью закрытых, предопределенных наборов ответов, что означает быстрые ответы и ясный, простой для анализа набор данных в качестве результата.

Недостатки матричных вопросов

Хотя есть много преимуществ, при использовании матричных вопросов следует помнить о нескольких вещах.

Форматирование таблицы, хотя респондентам легко ответить, может также привести к таким действиям, как «выравнивание» или другое построение шаблонов в таблице.

Другой проблемой может быть добавление слишком большого количества строк или столбцов, что может отрицательно повлиять на качество данных. Если будет слишком много вариантов, респонденты могут потерять интерес (и с большей вероятностью будут давать быстрые, неискренние ответы, чтобы быстро пройти через него). В некоторых случаях это также может повлиять на форматирование, особенно в цифровой среде опроса, такой как мобильная.Если матричный вопрос не предназначен для оптимального взаимодействия с мобильным пользователем, он может сбивать с толку или расстраивать респондентов.

Пример матричного вопроса, оптимизированного для мобильных опросов.

Некоторые исследовательские компании также взимают плату за каждую строку в матрице как за отдельный вопрос, что может повлиять на стоимость обследования в целом. Помните об этом при составлении анкеты. (Pollfish рассматривает матричные вопросы как один тип вопросов, поэтому цены не зависят от количества включенных строк и столбцов).

Типы матричных вопросов (одиночный выбор против множественного выбора)

Матричные вопросы, как и обычные вопросы с множественным выбором, могут быть с одиночным или множественным выбором. Это означает, что респондент может выбрать либо один вариант ответа для каждой строки, либо он может выбрать несколько вариантов ответа для каждой строки.

Их можно использовать в опросах по конкурентному анализу, чтобы лучше понять, насколько продукт или бренд соотносятся с конкурентными предложениями.

Пример вопроса матрицы множественного выбора в конкурентном анализе.

Чем матричные вопросы отличаются от шкалы Лайкерта

Многие люди считают, что матричный вопрос – это просто шкала Лайкерта, хотя на самом деле все наоборот.

Шкала Лайкерта – это особый тип матричных вопросов, специально разработанный для линейного измерения мнений. Используя 5- или 7-балльную шкалу для сбора мнений пользователей, шкалу Лайкерта можно использовать для определения отношения к шкале, например:

• Согласие (Полностью согласен – Полностью не согласен)
• Вероятность (очень вероятно – маловероятно)
• Важность (Очень важно – неважно)
• Частота (Всегда – Никогда)
• Качество (Отлично – Плохо)

Матричный вопрос – это формат вопроса, то есть он представлен в сетке (или матрице).Хотя матричные вопросы часто оказываются по шкале Лайкерта, матричные вопросы также могут использоваться в различных сценариях использования, помимо оценки отношения, как показано выше.

Лучшие практики для написания хорошего матричного вопроса

Написание хорошего матричного вопроса следует многим из тех же лучших практик для написания хороших вопросов для опроса в целом. Однако из-за форматирования сетки есть несколько дополнительных моментов, о которых следует знать.

• Ограничьте количество строк или столбцов.Используйте 5 различных вариантов вопросов и ответов, чтобы не утомлять и не утомлять респондентов.
• Дайте респондентам возможность отказаться от ответов на вопросы, с которыми они не знакомы, например, вариант ответа «нет мнения» или «нейтральный».
• Не задавайте слишком длинные вопросы. В табличном формате длинные вопросы плохо воспринимаются респондентом.
• Попытайтесь сгруппировать похожие концепции. Например, если вы хотите узнать о восприятии бренда, оставьте вопросы, относящиеся к этой подтеме.
• Как и в любом вопросе с закрытым масштабированием, продолжайте масштабировать варианты ответов, чтобы не запутать респондента.

Матричные типы вопросов (как с одиночным, так и с множественным выбором) доступны в разделе «анкета» конструктора опросов Pollfish. Войдите или создайте учетную запись, чтобы приступить к следующему опросу.

Часто задаваемые вопросы

Что такое матричный вопрос?

Матричный вопрос – это группа вопросов с несколькими вариантами ответов, отображаемая в сетке из строк и столбцов.В строках представлены вопросы респондентам, а в столбцах предлагается набор предопределенных вариантов ответов, применимых к каждому вопросу в строке. Очень часто варианты ответов предлагаются в виде шкалы.

Когда вам нужно использовать матричные вопросы?

Матричные вопросы лучше всего использовать, чтобы задать несколько вопросов об аналогичной идее, когда задействована шкала. Их можно использовать либо как самостоятельный мини-опрос, либо как отдельный тип вопроса в рамках более крупного вопросника.

Для каких опросов и контекстных вопросов подходят вопросы Matrix?

Матричные вопросы отлично подходят для закрытых, заранее определенных ответов, которые применимы к серии вопросов.Они подходят для обследований клиентского опыта / удовлетворенности, вопросов по подтемам в более крупной анкете и для того, чтобы сделать вопросы рейтинговой шкалы более удобоваримыми.

Являются ли матричные вопросы разновидностью шкалы Лайкерта?

Все наоборот. Шкала Лайкерта – это тип матричного вопроса, который предназначен для линейного измерения мнений. Используя 5 или 7-балльную шкалу для сбора мнений пользователей, шкалу Лайкерта можно использовать для определения отношения к масштабированию.

Какие два типа матричных вопросов?

Матричные вопросы могут быть с одиночным или множественным выбором.Это означает, что они могут быть либо одним вариантом ответа для каждой строки, либо они могут выбрать несколько вариантов ответа для каждой строки. Их можно использовать в конкурентных анкетных опросах, чтобы понять, насколько продукт или бренд уступает конкурентным предложениям.

Часто задаваемые вопросы

Что такое матричный вопрос?

Матричный вопрос – это группа вопросов с несколькими вариантами ответов, отображаемая в сетке из строк и столбцов. В строках представлены вопросы респондентам, а в столбцах предлагается набор предопределенных вариантов ответов, применимых к каждому вопросу в строке.Очень часто варианты ответов предлагаются в виде шкалы.

Когда вам нужно использовать матричные вопросы?

Матричные вопросы лучше всего использовать, чтобы задать несколько вопросов об аналогичной идее, когда задействована шкала. Их можно использовать либо как самостоятельный мини-опрос, либо как отдельный тип вопроса в рамках более крупного вопросника.

Для каких опросов и контекстных вопросов подходят вопросы Matrix?

Матричные вопросы отлично подходят для закрытых, заранее определенных ответов, которые применимы к серии вопросов.Они подходят для обследований клиентского опыта / удовлетворенности, вопросов по подтемам в более крупной анкете и для того, чтобы сделать вопросы рейтинговой шкалы более удобоваримыми.

Являются ли матричные вопросы разновидностью шкалы Лайкерта?

Все наоборот. Шкала Лайкерта – это тип матричного вопроса, который предназначен для линейного измерения мнений. Используя 5 или 7-балльную шкалу для сбора мнений пользователей, шкалу Лайкерта можно использовать для определения отношения к масштабированию.