Уравнение Бернулли – Всё для чайников
Уравнение Бернулли
- Подробности
- Категория: Гидравлика
Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
- — плотность жидкости,
- — скорость потока,
- — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
- — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
- — ускорение свободного падения.
Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).
Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли.
В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.
В статье были спользованны материалы Wikipedia
Закон Бернулли — dvsav.ru
Недавно я решил разобраться в физике. И стал я читать книжку Айзек Азимов — «Understanding Physics». Эта замечательная книжка содержит то, чего не хватает всем учебникам физики — логику повествования. О ней я собираюсь написать отдельную заметку. А сейчас хотел бы рассказать о нескольких конкретных темах, в которых пришлось более или менее долго и тщательно разбираться:
- Закон сохранения момента импульса при изменяющемся моменте инерции.
- Уравнение Бернулли.
- Молекулярная физика и термодинамика: температура, идеальный газ, энтропия.
В этой заметке я расскажу, как я размышлял над уравнением Бернулли. Надо сказать, что книжка Азимова почти не содержит математики — за математическими выкладками нужно обращаться к учебникам физики. Я использовал несколько учебников:
- Дуглас Джанколи — Физика в 2-х томах — Москва, Мир, 1989. Раздел 13.3 — Уравнение Бернулли.
- И.В. Савельев — Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Раздел 73 — Уравнение Бернулли.
Вывод уравнения Бернулли
Вывод уравнения Бернулли следует из уравнения непрерывности текущей жидкости и закона сохранения энергии. Этот вывод можно найти в [Джанколи]. Здесь приведу только рисунок, иллюстрирующий вывод.
Рисунок 1 — Уравнение Бернулли
Определение понятия «давление»
В книге [Джанколи] определение давления в жидкости дается в разделе 12.
2 Давление в жидкостях и газах как модуля силы, которая действует на единицу площади грани очень малого кубика, наполненного той же жидкостью (рис. 2). Причем определение дается принципиально для покоящейся жидкости, следовательно и кубик тоже покоится. А раз кубик покоится, то значит сила, действующая на его левую грань, равна по модулю силе, которая действует на его правую грань. А сила, действующая на его верхнюю грань, равна по модулю силе, действующей на его нижнюю грань. Кроме того, утверждается, что давление одинаково во всех направлениях, то есть например сила, действующая на левую грань, равна по модулю силе, действующей на нижнюю грань (это опытный факт, который называется законом Паскаля).
Однако при выводе уравнения Бернулли рассматривается не покоящаяся, а движущаяся жидкость. Тот факт, что определение понятия давления было дано для покоящейся жидкости, авторы учебников видимо считают несущественным. Впрочем нетрудно догадаться, что в случае с движущейся жидкостью определение понятия давления модифицируется так: давление в движущейся жидкости — это модуль силы, действующей на единицу площади грани очень малого кубика, наполненного той же жидкостью и движущегося вместе с жидкостью (рис.
Для меня проблемы с пониманием начались с рассмотрения задачи, в которой присутствует одновременно и движущаяся, и покоящаяся жидкость (рис. 4).
Рисунок 4 — Движущаяся и покоящаяся жидкость
Размышляя подобным образом, я пришел к мысли, что если рассматривать кубик на границе движущейся и покоящейся жидкости, то надо отнести его целиком либо к той, либо к другой (рис. 6). Тогда нет нужды давать единое определение давления. Действительно, на рисунке 6(а) как и на рисунке 6(б), давление на верхнюю грань кубика со стороны покоящейся жидкости уравновешивается давлением на нижнюю грань со стороны движущейся жидкости (в противном случае кубик двигался бы в вертикальном направлении в сторону меньшего давления, чего не происходит). В этом смысле давления в движущейся и покоящейся жидкости можно считать одинаковыми, хотя для них и приняты различные определения.
| а | б |
| Рисунок 6 — Равенство давлений, действующих на кубик со стороны движущейся и со стороны покоящейся жидкостей | |
Пожалуй можно дать «усовершенствованное» определение давления как модуля силы действующей на единицу площади грани кубика, который совершает такое же движение, как та жидкость, в которой он содержится (если же жидкость покоится, то кубик тоже покоится).
Примеры использования уравнения Бернулли
Примеры использования уравнения Бернулли, приведенные в учебниках, разделились для меня на понятные и непонятные. Сначала приведу два понятных мне примера, затем — два непонятных. Наверное стоит оговориться, что вязкостью жидкости при рассмотрении закона Бернулли в учебниках для простоты пренебрегают.
Истечение жидкости из отверстия
Истечение жидкости (рис. 7) — простой пример, который приводится во всех учебниках. Тут все понятно. Жидкость вытекает через отверстие в нижней части сосуда. Ускорение жидкости происходит за счет работы силы тяжести. На рисунке 7 показана формула для скорости жидкости, которая вытекает через отверстие. Надо заметить, что эта формула работает при условии, что площадь отверстия A2 меньше, чем площадь сечения сосуда A1. Если это условие не выполняется, то, очевидно, скорости v1 и v2 не будут постоянными, а будут увеличиваться со временем.
Рисунок 7 — Истечение жидкости из сосудаТрубка Вентури
Трубка Вентури (рис.
8) — это трубка, посередине которой имеется сужение. Давление в этом сужении меньше, чем в остальных частях трубки, и разность давлений в широкой и узкой части трубки можно измерить при помощи манометра.
Пульверизатор
В [Джанколи] в качестве примера использования закона Бернулли приводится пульверизатор (рис. 9). Имеется сосуд с жидкостью, в который опущена трубка. Над трубкой расположена груша, при помощи которой можно выдувать воздух, и струя этого воздуха будет проходить над трубкой, опущенной в жидкость. Утверждается, что давление в струе воздуха будет ниже атмосферного, так струя воздуха движется с большой скоростью. Поэтому жидкость будет выталкиваться атмосферным давлением через трубку наружу и захватываться струей воздуха.
Тезис о том, что в струе воздуха давление ниже атмосферного, мне непонятен. Согласно уравнению Бернулли можно лишь утверждать, что давление в груше выше, чем давление в струе. Но давление в груше явно должно быть выше атмосферного, иначе грушу не нужно было бы сжимать.
Водоструйный насос
Другой непонятный для меня пример — водоструйный насос (рис. 10), который приводится в качестве примера в [Савельев]. Это трубка Вентури, через которую течет жидкость. Причем конец трубки выходит в атмосферу. В сужении трубки создается давление ниже атмосферного, что позволяет ей засасывать воздух из откачиваемой камеры.
Что мне непонятно. Если насос расположен вертикально (как на рисунке 10), то тогда скорость жидкости должна увеличиваться со временем (иначе на что же будет идти работа силы тяжести?), и так она будет увеличиваться до бесконечности.
Вот таковы понятности и непонятности уравнения Бернулли для меня.
Принцип Бернулли – TeachEngineering
Принцип Бернулли позволяет инженерам
понять динамику жидкости
явление безопасно спроектировать поток жидкости внутри и вокруг крыльев самолетов, двигателей и
оборудование для доставки медицинских товаров.
Ключевое понятие гидродинамики, принцип Бернулли . относится к давлению жидкости до ее скорости. Когда скорость жидкости увеличивается, давление уменьшается, и наоборот. Уравнение Бернулли можно использовать для аппроксимации эти параметры в воде, воздухе или любой жидкости с низкой вязкостью. Принцип назван в честь швейцарского математика и физика Даниэля Бернулли, который первым опубликовал его в своей книге «Гидродинамика» в 1738 году.
Выведенное из принципа сохранения энергии уравнение Бернулли говорит нам, что сумма давления, кинетической и потенциальной энергии вдоль линии тока в потоке жидкости должна оставаться постоянной . Уравнение применимо к случаю стационарного потока
(не меняется), имеет постоянную плотность и является невязким (где вязкость жидкости
близок к нулю).
Уравнение Бернулли утверждает, что
где P — давление, ρ — плотность, v — скорость, z — возвышение/высота над эталоном. плоскости, g — ускорение свободного падения. Понимание принципа Бернулли работ позволяет инженерам используют природу давления жидкости , поэтому их конструкции функционировать правильно, эффективно и безопасно.
Инженеры меняют мир!Инженеры используют принцип Бернулли в самых разных инженерных приложениях. гидродинамика, от конструкции аэрокосмического крыла, проектирования труб для гидроэлектростанций на проектирование медицинского оборудования.
Принцип Бернулли Учебный план
Классы K-2
- Скоро!
3-5 классы
- Скоро!
6-8 классы
- Веселье с Бернулли
Веселье с Бернулли
Хотя мы знаем, что воздух существует вокруг нас все время, мы обычно не замечаем атмосферного давления.
Во время этого занятия учащиеся используют принцип Бернулли для управления давлением воздуха, чтобы можно было увидеть его влияние на окружающие нас объекты. - Аэродинамический туннель
Аэродинамический туннель
Благодаря этой деятельности демонстрируется принцип Бернулли в отношении крылатого полета. Пары студентов используют компьютеры и виртуальную аэродинамическую трубу онлайн, чтобы увидеть влияние развала и угла атаки аэродинамического профиля на подъемную силу. Предусмотрены листы активности и математики.
- Да пребудет с тобой сила: Thrust
Да пребудет с тобой сила: Thrust
Студенты изучают, как пропеллеры и реактивные турбины создают тягу. Этот урок посвящен третьему закону Исаака Ньютона: на каждое действие есть равное и противоположное противодействие.
- Можете ли вы выдержать давление?
Сможете ли вы выдержать давление?
Учащиеся знакомятся с понятием атмосферного давления.
Они исследуют, как давление воздуха воздействует на объект. Они изучают взаимосвязь между давлением воздуха и скоростью движущегося воздуха. - Строительство тетраэдрических воздушных змеев
Создание тетраэдрических воздушных змеев
Работая в группах по четыре человека, учащиеся строят четырехгранных воздушных змеев, следуя определенным инструкциям и используя определенные материалы. Они используют основные процессы производственных систем — резку, формовку, формовку, кондиционирование, сборку, соединение, отделку и контроль качества — для производства комплектных тетр…
- Узнать больше
9-12 классы
- Принцип Бернулли
Принцип Бернулли
Студенты узнают о взаимосвязях между компонентами уравнения Бернулли на реальных инженерных примерах и практических задачах.
- Принцип Архимеда, закон Паскаля и принцип Бернулли
Принцип Архимеда, закон Паскаля и принцип Бернулли
Студенты знакомятся с законом Паскаля, принципом Архимеда и принципом Бернулли. Поставляются основные определения, уравнения, практические задачи и инженерные приложения.
- Трубопровод Tippy Tap Plus
Трубопровод Tippy Tap Plus
В этом упражнении студенческие группы проектируют, прототипируют и тестируют системы трубопроводов для транспортировки воды из резервуара для хранения к существующей станции для мытья рук Tippy Tap, тем самым создавая более эффективную станцию для мытья рук. С помощью этого примера инженерного проекта по обучению обслуживанию учащиеся изучают базовые навыки…
- Выстрел под давлением
Выстрел под давлением
Учащиеся используют свое понимание физики снарядов и гидродинамики, чтобы найти давление воды в водяных пистолетах.
Измеряя дальность водяных струй, они могут рассчитать теоретическое давление.
Давление воздуха
Давление воздуха давит на нас все время, хотя мы обычно этого не замечаем. В этом упражнении учащиеся узнают о единицах давления и получают представление о том, какое давление воздуха оказывает на них давление.
Активность
Строительство тетраэдрических воздушных змеев
Работая в группах по четыре человека, учащиеся строят четырехгранных воздушных змеев, следуя определенным инструкциям и используя определенные материалы. Они используют основные процессы производственных систем – резку, придание формы, формовку, кондиционирование, сборку, соединение, отделку и контроль качества – для производства полных тетр.
..
Активность
Сможете ли вы выдержать давление?
Учащиеся знакомятся с понятием атмосферного давления. Они исследуют, как давление воздуха воздействует на объект. Они изучают взаимосвязь между давлением воздуха и скоростью движущегося воздуха.
Урок
Основы Fluid Power
Учащиеся узнают об основных понятиях, важных для гидроэнергетики, которая включает в себя как пневматические (газовые), так и гидравлические (жидкостные) системы.
Урок
Развлечение с Бернулли
Хотя мы знаем, что воздух существует вокруг нас все время, мы обычно не замечаем атмосферного давления.
Во время этого занятия учащиеся используют принцип Бернулли для управления давлением воздуха, чтобы можно было увидеть его влияние на окружающие нас объекты.
Активность
Да пребудет с тобой Сила: Удар
Студенты изучают, как пропеллеры и реактивные турбины создают тягу. Этот урок посвящен третьему закону Исаака Ньютона: на каждое действие есть равное и противоположное противодействие.
Урок
Портативный демонстратор гидросистемы (PFPD)
Работая в группах, студенты изучают основы проектирования гидравлических систем, используя PFPD в качестве исследовательской платформы. Когда основные компоненты PFPD уже собраны, группы студентов определяют правильный способ соединения клапанов с приводами с помощью цветных пластиковых трубок.
Активность
Ветряной туннель
Благодаря этой деятельности демонстрируется принцип Бернулли в отношении крылатого полета. Пары студентов используют компьютеры и виртуальную аэродинамическую трубу онлайн, чтобы увидеть влияние развала и угла атаки аэродинамического профиля на подъемную силу. Предусмотрены листы активности и математики.
Активность
Более популярные темы для изучения
Предыдущий Следующий
Теорема Бернулли | Определение, вывод и факты
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные проблемы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- В этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
- Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 Женщины 903:01 Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
