Закон ньютона 2 формулы: Формула второго закона Ньютона в физике

Второй закон Ньютона просто и понятно: определение и формула

Основные понятия: сила, ускорение, масса

Определение

Формула

Равнодействующая сила

Рекомендованная литература и полезные ссылки

Видео

– В чем сила брат?
– В Ньютонах брат.

С этой шутки можно начать, а точнее продолжить нашу статью о законах Ньютона, на которых, словно на трех слонах стоят основы классической механики. О первом законе Ньютона мы уже писали, и сегодня очередь за вторым законом имени великого английского физика. В чем его суть, как звучит второй закон Ньютона и какая его формула, об этом читайте далее.

Основные понятия: сила, ускорение, масса

Именно с открытием второго закона Ньютона его имя стало ассоциироваться с физическим понятием силы. Впрочем, сила стала не только ассоциироваться, но и измеряться в ньютонах. Да и сам второй закон тесно связан с понятием силы, а также скорости, и ускорения, а еще массы. Но обо всем по порядку.

Что такое сила в физике? Сила это некая физическая величина, обязательно имеющая свое направление (вектор), которая является мерой действия на тело. Обозначается сила литерой F. Измерить величину силы можно при помощи специального прибора – динамометра. Обычно он состоит из пружины, связанной со стрелочным указателем. Если пружину растянуть, то произойдет отклонение стрелки, которая покажет количественную характеристику силы F.

Вот так выглядит динамометр, измеритель силы. Впрочем, существуют разные разновидности этого прибора. Обычно на тело при движении действует сразу несколько сил (к тому же имеющих разную направленность или вектор): сила гравитации, сила трения и т. д.

В прошлой статье о первом законе у нас в качестве примера фигурировала некая тележка. Если приложить силу к этой тележке она станет катиться, и если представить, что на тележку не действуют никакие другие силы, то она будет катиться бесконечно. Бесконечно тележки катиться могут только в придуманной Ньютоном инерциальной системе отсчета (ИСО), существующей лишь теоретически. На практике же мы прекрасно понимаем, что тележка покатится лишь какое-то время и вскоре остановится. А значит, ее скорость изменится, от некоего значения до нуля.

То как меняется скорость в течение времени, называется ускорением (его принято обозначать литерой a). На практике в реальной жизни все тела движутся с ускорением, причем если скорость нарастает, или убывает равномерно, то такое движение называется равноускоренным. Примером такого движение может быть падение любого тела вниз, оно будет падать с одинаковым ускорением, формируемым земной гравитацией

g.

И напоследок на характеристику движения любого тела влияет его масса, которую принято обозначать литерой m. В физике масса часто является мерой инертности тела, то есть чем больше масса того или иного тела, тем труднее его сдвинуть с места, но уже сдвинув, его опять таки труднее остановить.

Определение

Если первый закон Ньютона в свое время пытался объяснить то, как работает небесная механика, каким образом планеты непрерывно движутся вокруг Солнца (и не падают на него), то второй закон в этом плане более приземлен, он объясняет движение тел тут, на Земле. По сути это основной закон динамики, базовой закон физической природы.

Существует несколько классических определений второго закона Ньютона: первое из них гласит: сила, оказывающая воздействие на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое данной силой ускорение.

Второе определение идет не от силы, а от ускорения, оно гласит: ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе.

Формула

Первое приведенное нами определение можно записать классической формулой:

F = ma

Где F – сила, действующая на тело, m – его масса, а – ускорение.

Для второго определения уравнение будет следующим:

a = F/m

Иными словами, чем больше сила, действующая на тело, тем больше его ускорения, и наоборот, чем больше масса тела, тем его ускорение будет меньшим. По сути, мы пересказали суть второго закона Ньютона своими словами.

Равнодействующая сила

Как мы писали выше, на практике в реальной жизни на каждое физическое тело действует не одна, а несколько сил, причем с разными направлениями.

Какое же отражения во втором законе Ньютона находит действия разных сил, обозначим их F1, F2, F3. Так вот если на тело действует несколько сил, то в формуле второго закона фигурирует равнодействующая сила F, которая высчитывается по формуле:

F = F1 + F2 + F3.

Если же равнодействующая сила будет равна нулю, то тело будет пребывать в состоянии покоя, либо равномерного прямолинейного движения.

Рекомендованная литература и полезные ссылки

• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Спасский Б. И.. История физики. М., «Высшая школа», 1977.
• Кудрявцев П. С. Курс истории физики. — М.: Просвещение, 1974.
• Crowell, Benjamin (2011), Light and Matter (2011, Light and Matter), especially at Section 4.2, Newton’s First Law, Section 4.3, Newton’s Second Law, and Section 5.1, Newton’s Third Law.
• Feynman, R. P. (англ.)русск.; Leighton, R. B.; Sands, M. The Feynman Lectures on Physics (неопр.). — 2nd. — Pearson/Addison-Wesley, 2005. — Т. Vol. 1. — ISBN 0-8053-9049-9.

Видео

И в завершении образовательное видео по теме нашей статьи.

Автор: Павел Чайка, главный редактор журнала Познавайка

При написании статьи старался сделать ее максимально интересной, полезной и качественной. Буду благодарен за любую обратную связь и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Также Ваше пожелание/вопрос/предложение можете написать на мою почту [email protected] или в Фейсбук, с уважением автор.

Сила. Второй закон Ньютона

. : Сила. Второй закон Ньютона :.     В дополнение к кинематическим характеристикам движения (перемещение, скорость ускорение и др.) мы ввели новую величину, характеризующую поведение тела под влиянием другого тела – массу тела m. Однако её недостаточно для описания причин возникновения ускорения тела. Наличие ускорения у данного тела зависит от влияния на него другого тела, а масса m характеризует свойства самого тела независимо от того, какое влияние оно испытывает. Мы уже знаем, что при взаимодействии двух тел ускорения получают оба тела и что числовые значения этих ускорений обратно пропорционально массам тел. Однако нас обычно интересует движение одного какого-то тела, и тогда нам «безразлично», что это тело взаимодействует с каким-то другим телом. Если, к примеру, ми изучаем движение автомобиля, то знаем, что он взаимодействует с поверхностью Земли. Нас интересует движение автомобиля, а не Земли. Как известно, числовые значения ускорений двух взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам: или: a1m1=a2m2 Это равенство показывает, что произведения массы и приобретённого при взаимодействии ускорения по своему числовому значению одинаковы для обоих взаимодействующих тел. Для любого из двух взаимодействующих тел произведение ma отображает как свойства самого тела, так и влияние на него второго тела. Если влияние второго тела на данное тело изменится, то и величина ma также изменится. Таким образом, величину та можно принять за меру влияния второго тела на данное тело массой m. Величину, численно равную произведению массы данного тела и его ускорения, называют силой, действующей на данное тело: F= ma Поскольку ускорение — векторная величина, то и сила — величина векторная, и предыдущую формулу нужно записать так: Очевидно, что вектор силы и вектор ускорения, которое эта сила сообщает телу, одинаково направлены, ведь масса — величина скалярная. А при умножении вектора на скаляр получаем вектор того же направления, изменяется только его значение. Определение силы содержит и способ её экспериментального нахождения. из курса седьмого класса вы знаете, что силу можно найти иначе. Влияние одного тела на другое вызывает деформацию — изменение формы тела. Деформация зависит от значения силы. следовательно, по деформации можно определить приложенную силу. В некоторых случаях можно найти действующую силу, воспользовавшись известными из опытов законами, которым подчиняются те или иные виды сил (сила трения, сила электрического взаимодействия заряженных тел и др.). Из формулы F= ma можно найти единицу измерения силы. В СИ берут такую единицу силу, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н). Выше мы говорили лишь о влиянии одного тела на данное. Однако тело может взаимодействовать не с одним, а с несколькими телам. Тогда на него будет взаимодействовать не одна, а несколько сил одновременно. Эти силы можно сложить по правилу параллелограмма и найти равнодействующею всех приложенных сил. Ускорение, которое телу сообщают все силы вместе равно ускорению, которое получило бы тело под действием равнодействующей силы. Следовательно, в формуле: под F нужно понимать равнодействующею всех приложенных к телу сил. Связь между силой, массой и ускорением тела F= ma. выражает второй закон Ньютона, который формулируется так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела и его ускорения. Из этого уравнения чётко видно, что сила F – причина ускорения. Решив уравнение F= ma, получим выражение, показывающая изменение координаты тела со временем. Таким образом, можно узнать положение движущегося тела в любой момент времени. Поэтому уравнение, выражающие второй закон Ньютона, называют уравнением движения. Если координата x изменяется со временем, то тело движется вдоль оси X с постоянным ускорением. В соответствии со вторым законом Ньютона это значит, что к телу приложена постоянная сила Fx, направленная вдоль оси и равная по модулю max.                 Второй закон Ньютона очень часто применяется для решения задач. Рассмотрим это на конкретном примере. Пусть имеются два тела с массами m1 и m2, которые связаны нитью, перекинутой через блок, установленный на вершине наклонной плоскости. Пренебрегая массами нити и блока, можно найти ускорение, с которым будет двигаться эта система тел. Груз m1 взаимодействует с наклонной плоскостью, нитью и Землёй. Данные тела являются источниками четырёх си: силы реакции опоры N, силы трения скольжения µ N, сила натяжения нити Т, и сила тяжести m1g. Груз m2 взаимодействует лишь с Землёй и нитью, поэтому к нему приложены только две силы – сила тяжести m2g,и сила натяжения нити Т.(Пример №1). Если приложенных к грузам сил отлична от нуля, то грузы начнут двигаться с ускорением, которое можно найти с помощью второго закона Ньютона. Направления движения тел в общем случае зависят от масс тел, угла наклона плоскости и коэффициента трения. Если перетягивая груз m2,то сила трения, приложенная к телу m1, оказывается направленной вниз. Применительно к телу m1 второй закон Ньютона, записывается в проекциях на оси X и Y, даёт: m1a= T-m1gsina- µ N, 0=N-m1gcosa, Применяя тот же закон к телу m2, получаем: m2а= m2п-Т, Из этих уравнений находим ускорение: а=((m2-m1sina- µm1cosa)/m2+m1)g, Если предположить, что перетягивает тело m1(сила трения изменяется на противоположную), получаем другой ответ: а=((msina-m2-µm1cosa)/m2+m1)g, Так как модули ускорения а>0, то заданных значениях а(угол) и µ, первое из получившихся уравнений справедливо при условии: m2>=m1(sina+µcosa), а второе: m2, Следовательно второй закон Ньютона позволяет добить массу информации о рассматриемай системе.         Используются технологии uCoz

Формула второго закона ньютона для поступательного движения. Второй закон ньютона для вращательного движения

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета .

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Итак, сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

а ~ F (т = const ) . (6.1)

а ~ 1 /т (F = const) . (6.2)

а = kF / m . (6.3)

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

(6.4)

(6.5)

Векторная величина

(6.6)

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

Единица силы в СИ – ньютон (Н): 1 Н – сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг  м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона .

F 12 = – F 21 , (7.1)

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Силы трения

В меха­нике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Силы трения , которые препятствуют скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга.

Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

В зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки 0,1 мкм и меньше).

Сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

В пре­дельном случае (начало скольжения тела) F =F тр. или P sin  0 = f N = f P cos  0 , откуда

f = tg  0 .

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

F тр = f ист (N + Sp 0 ) ,

где р 0 – добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S – пло­щадь контакта между телами; f ист – истинный коэффициент трения скольжения.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольже­ния трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F тр = f к N / r , (8.1)

где r – радиус катящегося тела; f к – коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Закон сохранения импульса. Центр масс

Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются – внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти­воположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

(9. 1)

где – импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Эксперименты доказывают, что он выпол­няется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импуль­са – фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симмет­рии пространства – его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где m i и r i – соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n – число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

(9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

1. Производная но времени от количества движения К материальной точки или системы материальных точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к системе:
dK/dt = F или mac = F

где ac – ускорение центра инерции системы, а т – ее масса.
В случае поступательного движения твердого тела с абсолютной скоростью v скорость центра инерции vc = v. Поэтому при рассмотрении поступательного движения твердого тела это тело можно мысленно заменить материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей всей его массой и движущейся под действием главного иехтора внешних сил, приложенных к телу.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат уравнения основного закона динамики поступательного движения системы имеют вид:
Fx = dK/dt, Fy = dK/dt, Fz = dK/dt

или
macx = Fx , macy = Fy , macz = Fz

2. Простейшие случаи поступательного движения твердого тела.
а) Движение по инерции (F = 0):
mv = const, a=0.

б) Движение под действием постоянной силы:
d/dt (mv) = F = const, mv = Ft + mv0,

где mv0 – количество движения тела в начальный момент времени t = 0.
в) Движение под действием переменной силы. Изменение количества движения тела за промежуток времени от t1 до t2 равно
mv2 – mv1 = Fcp (t2 – t1)

где Fcp – среднее значение вектора силы в интервале времени времени от t1 до t2.

Другие записи

10.06.2016. Первый закон Ньютона

1. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.Этот…

10.06.2016. Сила

1. Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей. Сила полностью задана, если указаны ее численное значение, направление…

10. 06.2016. Третий закон Ньютона

1. Действия двух материальных точек друг на друга численно равны и направлены в противоположные стороны:Fij = – Fji,где i не равно j. Эти силы приложены к разным точкам и могут взаимно уравновешиваться…

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ

Динамика изучает движение тел с учетом тех причин (взаимодействий между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные И. Ньютоном в XVII в. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается совпадением с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинœейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния объединяются тем, что ускорение тела равно нулю.

Учитывая, что характер движения зависит от выбора системы отсчета͵ следует сделать вывод, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета͵ в которой выполняется первый закон Ньютона, принято называть инœерциальной. Сам закон называют законом инœерции. Система отсчета͵ в которой первый закон Ньютона не выполняется, принято называть неинœерциальной. Любая система отсчета͵ движущаяся равномерно и прямолинœейно относительно инœерциальной системы, также является системой инœерциальной. По этой причине инœерциальных систем существует бесконечное множество.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинœейного движения принято называть инœертностью (инœерцией). Мерой инœертности тела является его масса m . Она не зависит от скорости движения тела. За единицу массы принят килограмм (кг) – масса эталонного тела.

В случае если состояние движения тела или его форма и размеры меняются, то говорят, что на тело действуют другие тела. Мерой взаимодействия тел служит сила . Всякая сила проявляется как результат действия одного тела на другое, сводящийся к появлению у тела ускорения или его деформации.

Второй закон Ньютона: результирующая сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:

Так как масса является скаляром, то из формулы (6.1) следует, что .

На основании этого закона вводится единица силы – ньютон (Н): .

Второй закон Ньютона справедлив только в инœерциальных системах отсчета.

Заменим ускорение в уравнении (6.1) производной скорости по времени:

Векторная величина

принято называть импульсом тела .

Из формулы (6.3) следует, что направление вектора импульса совпадает с направлением скорости. Единица импульса – килограмм-метр на секунду (кг×м/c).

Объединяя выражения (6.2) и (6.3), получаем

Полученное выражение позволяет предложить более общую формулировку второго закона Ньютона: действующая на тело сила равна производной импульса по времени .

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия (рис. 6.1). В случае если тело действует на тело с некоторой силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .

Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Эти силы, приложенные к разным телам, действуют по одной прямой и являются силами одной природы. Математическое выражение третьего закона Ньютона имеет вид

Знак “-” в формуле (6.5) означает, что векторы сил противоположны по направлению.

В формулировке самого Ньютона третий закон гласит: “Действию всœегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – действия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны”.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; – вектор элементарного поворота тела – является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 6). При этом радиус-вектор R , направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360 о = 2p рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта : вектор угловой скорости сонаправлен с вектором , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

В векторной форме .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt:

При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 7), при замедленном – противонаправлен (рис. 8).

Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

.

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

Типы вращательного движения:

а) переменное – движение, при котором изменяются и :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

.

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

За один оборот: ,

, .

Законы Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса – мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что , поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг – масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила – мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы .

Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

Дата: __________ Зам.директора по УВР:___________

Тема; Второй закон Ньютона для вращательного движения

Цель:

Образоввательная: улировать и записать в математической форме второй закон Ньютона; объяснить зависимость между величинами, входящими в формулы этого закона;

Развивающая: развивать логическое мышление, умение объяснять проявления второго закона Ньютона в природе;

Воспитательная : формировать интерес к изучению физики, воспитывать трудолюбие, ответственность.

Тип урока: изучение нового материала.

Демонстрации: зависимость ускорения тела от силы, действующей на него.

Оборудование: тележка с легкими колесами, вращающийся диск, набор грузиков, пружина, блок, брусок.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Актуализация опорных знаний учащихся

Цепочка формул (воспроизвести формулы):

II. Мотивация учебной деятельности учащихся

Учитель. С помощью законов Ньютона можно не только объяснять наблюдаемые механические явления, но и предсказывать их ход. Напомним, что прямая основная задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и силы, которые действуют на него. Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона, который сегодня мы будем изучать.

III. Изучение нового материала

1. Зависимость ускорения тела от силы, действующей на него

Более инертное тело имеет большую массу, менее инертно – меньшую:

2. Второй закон Ньютона

Второй закон динамики Ньютона устанавливает связь между кинематическими и динамическими величинами. Чаще всего он формулируется так: ускорение, который получает тело, прямо пропорционально массе тела и имеет то же направление, что и сила:

где – ускорение, – равнодействующая сил, действующих на тело, Н; m – масса тела, кг.

Если из этого выражения определить силу , то получим второй закон динамики в такой формулировке: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, которого предоставляет эта сила.

Ньютон сформулировал второй закон динамики несколько иначе, использовав понятие количества движения (импульса тела). Импульс – произведение массы тела на его скорость (то же, что количество движения) – одна из мер механического движения: Импульс (количество движения) является величиной векторной. Поскольку ускорение , то

Ньютон сформулировал свой закон так: изменение количества движения тела пропорциональна действующей силе и происходит по направлению той прямой, вдоль которой эта сила действует.

Стоит рассмотреть еще одна из формулировок второго закона динамики. В физике широко используется векторная величина, которая называется импульсом силы – это произведение силы на время ее действия: Используя это, получим . Изменение импульса тела равно импульсу силы, которая на него действует.

Второй закон динамики Ньютона обобщил исключительно важный факт: действие сил не вызывает собственно движения, а лишь изменяет его; сила вызывает изменение скорости, т.е. ускорение, а не саму скорость. Направление силы совпадает с направлением скорости лишь в частичном случае прямолинейного рівноприскореного (Δ 0) движения. Например, во время движения тела, брошенного горизонтально, сила тяжести направлена вниз, а скорость образует с силой определенный угол, что во время полета тела меняется. А в случае равномерного движения тела по окружности сила все время направлена перпендикулярно скорости движения тела.

Единица измерения силы в СИ определяют на основе второго закона Ньютона. Единица измерения силы называется [H] и определяется так: сила в 1 ньютон придает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Таким образом,

Примеры применения второго закона Ньютона

Как пример применения второго закона Ньютона можно рассмотреть, в частности, измерение массы тела при помощи взвешивания. Примером проявления второго закона Ньютона в природе может быть сила, что действует на нашу планету со стороны Солнца, и др.

Границы применения второго закона Ньютона:

1) система отсчета должна быть инерционной;

2) скорость тела должна быть гораздо меньшей, чем скорость света (для скоростей, близких к скорости света, второй закон Ньютона используется в импульсном виде: ).

IV. Закрепление материала

Решение задач

1. На тело массой 500 г одновременно действуют две силы 12 Н и 4 Н, направленные в противоположном направлении вдоль одной прямой. Определить модуль и направление ускорения.

Дано: m = 500 г = 0,5 кг, F1 = 12 Н, F2 = 4 Н.

Найти: а – ?

Согласно второму закону Ньютона: , где Проведем ось Ox, тогда проекция F = F1 – F2. Таким образом,

Ответ: 16 м/с2, ускорение напрямлене в сторону действия большей силы.

2. Координата тела изменяется по закону x = 20 + 5t + 0,5t2 под действием силы 100 Н. Найти массу тела.

Дано: х = 20 + 5t + 0,5t2, F = 100H

Найти: m – ?

Под действием силы тело движется рівноприскорено. Следовательно, его координата изменяется по закону:

Согласно второму закону Ньютона:

Ответ: 100 кг.

3. Тело массой 1,2 кг приобрело скорости 12 м/с на расстоянии 2,4 м под действием силы 16 Н. Найти начальную скорость тела.

Дано: = 12 м/с, s = 2,4m, F = 16H, m = 1,2 кг

Найти: 0 – ?

Под действием силы тело приобретает ускорение согласно второму закону Ньютона:

Для рівноприскореного движения:

Из (2) выразим время t:

и подставим для t в (1):

Подставим выражение для ускорения:

Ответ: 8,9 м/с.

V. Итоги урока

Фронтальная беседа за вопросами

1. Как связаны между собой такие физические величины, как ускорение, сила и масса тела?

2. Или можно по формуле утверждать, что сила, действующая на тело, зависит от его массы и ускорения?

3. Что такое импульс тела (количество движения)?

4. Что такое импульс силы?

5. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

6. Какой важный вывод можно сделать из второго закона Ньютона?

VI. Домашнее задание

Проработать соответствующий раздел учебника.

Решить задачи:

1. Найдите модуль ускорения тела массой 5 кг под действием четырех приложенных к нему сил, если:

а) F1 = F3 = F4 = 20 H, F2 = 16 H;

б) F1 = F4 = 20 H, F2 = 16 H, F3 = 17 H.

2. Тело массой 2 кг, двигаясь прямолинейно, за 4 с изменило свою скорость с 1 м/с до 2 м/с.

а) С каким ускорением двигалось тело?

б) Какая сила действовала на тело в направлении его движения?

в) Как изменился импульс тела (количество движения) за рассматриваемый время?

г) Какой импульс силы, действовавшей на тело?

д) Какое расстояние прошло тело за рассматриваемый время движения?

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела \( m \) и сила \( \vec{F} \), а также способы их измерения.

Первая величина – масса \( m \) – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие.

Вторая величина – сила \( \vec{F} \) – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам: \( a \sim \dfrac{1}{m} \), при \( F = const\).

Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам: \( \vec{a} \sim \vec{F} \), при \( m = const \) . 2} \]

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) и \( \vec{F_3} \) то под силой \( \vec{F} \) в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил: \( \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \).

Если равнодействующая сила \( \vec{F} = 0 \), то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует существование инерциальных систем отсчета.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox

4.3 Второй закон движения Ньютона – Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Опишите второй закон Ньютона, как словесно, так и математически
• Используйте второй закон Ньютона для решения задач

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут учащимся овладеть следующими стандартами:

• (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
  • (D) вычисляет влияние сил на объекты, включая закон инерции, взаимосвязь между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Перед тем, как начать этот раздел, просмотрите силы, ускорение, ускорение свободного падения (g), трение, инерцию и первый закон Ньютона.

Основные термины раздела

в свободном падении

Второй закон движения Ньютона

вес

Описание второго закона движения Ньютона

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] [OL] Просмотрите концепции инерции и первый закон Ньютона.Объясните: согласно первому закону Ньютона изменение движения вызывается внешней силой. Например, подброшенный мяч меняет свою скорость и направление, когда по нему попадает летучая мышь.

[BL] [OL] [AL] Напишите уравнение для второго закона Ньютона и покажите, как его можно решить для всех трех переменных: F , m и a . Объясните практическое значение для каждого случая. Спросите студентов, как бы вели себя две другие переменные, если бы одна величина оставалась постоянной.

Предупреждение о заблуждении

Студенты могут спутать термины , равные , и , пропорциональные .

Первый закон Ньютона рассматривал тела в покое или тела, движущиеся с постоянной скоростью. Другое состояние движения, которое следует учитывать, – это когда объект движется с изменяющейся скоростью, что означает изменение скорости и / или направления движения. Этот тип движения рассматривается во втором законе движения Ньютона, который гласит, как сила вызывает изменения в движении.Второй закон движения Ньютона используется для расчета того, что происходит в ситуациях, связанных с силами и движением, и показывает математическую взаимосвязь между силой, массой и ускорением . Математически второй закон чаще всего записывается как

Fnet = maorΣF = ma, Fnet = maorΣF = ma,

4,2

, где F _net (или ∑ F ) – чистая внешняя сила, м – масса системы, а – – ускорение. Обратите внимание, что F _net и ∑ F одинаковы, поскольку чистая внешняя сила является суммой всех внешних сил, действующих на систему.

Во-первых, что мы подразумеваем под изменением движения ? Изменение движения – это просто изменение скорости: скорость объекта может стать медленнее или быстрее, направление, в котором движется объект, может измениться, или обе эти переменные могут измениться. Изменение скорости по определению означает, что произошло ускорение. Первый закон Ньютона гласит, что только ненулевая чистая внешняя сила может вызвать изменение движения, поэтому чистая внешняя сила должна вызывать ускорение. Обратите внимание, что ускорение может относиться к замедлению или ускорению.Ускорение также может относиться к изменению направления движения без изменения скорости, потому что ускорение – это изменение скорости, деленное на время, необходимое для того, чтобы это изменение произошло, скорость и определяется скоростью и направлением .

Из уравнения Fnet = ma, Fnet = ma мы видим, что сила прямо пропорциональна как массе, так и ускорению, что имеет смысл. Чтобы ускорить два объекта из состояния покоя до одной и той же скорости, можно ожидать, что для ускорения более массивного объекта потребуется больше силы.Точно так же для двух объектов одинаковой массы приложение большей силы к одному ускорит его до большей скорости.

Теперь давайте изменим второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение. Получаем

a = Fnetmora = ΣFm.a = Fnetmora = ΣFm.

4.3

В этой форме мы видим, что ускорение прямо пропорционально силе, которую мы записываем как

, где символ ∝∝ означает пропорционально .

Эта пропорциональность математически выражает то, что мы только что сказали словами: ускорение прямо пропорционально чистой внешней силе.Когда две переменные прямо пропорциональны друг другу, тогда, если одна переменная удваивается, другая переменная должна удваиваться. Точно так же, если одна переменная уменьшается вдвое, другая переменная также должна быть уменьшена вдвое. Обычно, когда одна переменная умножается на число, другая переменная также умножается на то же число. Кажется разумным, что ускорение системы должно быть прямо пропорционально и в том же направлении, что и чистая внешняя сила, действующая на систему. Объект испытывает большее ускорение, когда на него действует большая сила.

Из уравнения a = Fnet / ma = Fnet / m также ясно, что ускорение обратно пропорционально массе, которую мы записываем как

a 1m.a ∝ 1m.

4,5

Обратно пропорциональный означает, что если одна переменная умножается на число, другая переменная должна быть разделена на на то же число. Теперь также кажется разумным, что ускорение должно быть обратно пропорционально массе системы. Другими словами, чем больше масса (инерция), тем меньше ускорение, создаваемое данной силой.Эта взаимосвязь проиллюстрирована на рис. 4.5, который показывает, что заданная чистая внешняя сила, приложенная к баскетбольному мячу, вызывает гораздо большее ускорение, чем при приложении к автомобилю.

Рис. 4.5 Одна и та же сила, действующая на системы разной массы, вызывает разное ускорение. (а) Мальчик толкает баскетбольный мяч, чтобы сделать передачу. Влияние силы тяжести на мяч игнорируется. (б) Тот же мальчик, толкающий с одинаковой силой заглохшую машину, дает гораздо меньшее ускорение (трение незначительно).Обратите внимание, что диаграммы свободного тела для мяча и для автомобиля идентичны, что позволяет нам сравнивать эти две ситуации.

Применение второго закона Ньютона

Teacher Support

Teacher Support

[BL] Узнайте, как конвертировать единицы измерения.

[OL] [AL] Попросите студентов привести примеры второго закона Ньютона.

Предупреждение о заблуждении

Учащиеся могут спутать вес, который представляет собой силу, и г, , что означает ускорение свободного падения.

[BL] [OL] [AL] Спросите студентов, думают ли они, что космонавт весит на Луне столько же, сколько они на Земле. Поговорим о разнице между массой и весом.

Прежде чем применять второй закон Ньютона, важно рассмотреть единицы измерения. Уравнение Fnet = maFnet = ma используется для определения единиц силы в терминах трех основных единиц массы, длины и времени (напомним, что ускорение состоит из единиц длины, разделенных на квадрат времени). Единица силы в системе СИ называется ньютон (сокращенно Н) и представляет собой силу, необходимую для ускорения системы массой 1 кг со скоростью 1 м / с ² .То есть, поскольку Fnet = ma, Fnet = ma, мы имеем

1N = 1 кг × 1 м / с2 = 1 кг⋅мс2,1N = 1 кг × 1 м / с2 = 1 кг⋅мс2.

4,6

Одно из наиболее важных применений второго закона Ньютона – это вычисление веса (также известного как сила тяжести), который математически обычно представляется как W . Когда люди говорят о гравитации, они не всегда понимают, что это ускорение. Когда объект падает, он ускоряется к центру Земли. Второй закон Ньютона гласит, что чистая внешняя сила, действующая на объект, ответственна за его ускорение.Если сопротивление воздуха незначительно, чистая внешняя сила на падающий объект – это только сила тяжести (то есть вес объекта).

Вес может быть представлен вектором, потому что он имеет направление. Вниз определяется как направление, в котором тянет сила тяжести, поэтому вес обычно считается направленной вниз силой. Используя второй закон Ньютона, мы можем вычислить уравнение веса.

Рассмотрим объект массой м , падающий на Землю. Он испытывает только силу тяжести (т.е., гравитационная сила или вес), который представлен вторым законом У. Ньютона, согласно которому Fnet = ma.Fnet = ma. Поскольку единственная сила, действующая на объект, – это сила тяжести, мы имеем Fnet = W.Fnet = W. Мы знаем, что ускорение объекта под действием силы тяжести составляет g , поэтому мы имеем a = g.a = g. Подставляя эти два выражения во второй закон Ньютона, получаем

Это уравнение для веса – силы тяжести на массу м . На Земле g = 9,80 м / с2, g = 9.80 м / с2, поэтому вес (без учета направления веса) объекта массой 1,0 кг на Земле составляет

Вт = mg = (1,0 кг) (9,80 м / с2) = 9,8 NW = mg = (1,0 кг) (9,80 м / с2) = 9,8 Н.

4,8

Хотя в большинстве стран мира в качестве единицы силы используется ньютон, в Соединенных Штатах наиболее известной единицей силы является фунт (фунт), где 1 Н = 0,225 фунта.

Напомним, что хотя сила тяжести действует вниз, ей можно присвоить положительное или отрицательное значение, в зависимости от того, какое положительное направление находится в выбранной вами системе координат.Обязательно учтите это при решении задач с весом. Когда направление вниз считается отрицательным, как это часто бывает, ускорение свободного падения становится равным
g = -9,8 м / с ² .

Когда чистая внешняя сила, действующая на объект, равна его весу, мы говорим, что он находится в свободном падении. В этом случае единственной силой, действующей на объект, является сила тяжести. На поверхности Земли, когда объекты падают вниз к Земле, они никогда не находятся в истинном свободном падении, потому что всегда существует некоторая восходящая сила из-за сопротивления воздуха, которое действует на объект (и есть также сила плавучести воздуха, которая похожа на сила плавучести в воде, которая удерживает лодки на плаву).

Гравитация незначительно меняется на поверхности Земли, поэтому вес объекта очень мало зависит от его местоположения на Земле. Вес резко меняется от поверхности Земли. Например, на Луне ускорение свободного падения составляет всего 1,67 м / с ² . Поскольку вес зависит от силы тяжести, масса в 1,0 кг весит 9,8 Н на Земле и всего около 1,7 Н на Луне.

Важно помнить, что вес и масса очень разные, хотя они тесно связаны.Масса – это количество материи (сколько материала ) в объекте и не меняется, но вес – это сила тяжести на объекте, пропорциональная силе тяжести. Их легко спутать, потому что наш опыт ограничен Землей, а вес объекта по существу одинаков, независимо от того, где вы находитесь на Земле. Путаницу усугубляет то, что термины масса и вес часто используются как синонимы в повседневном языке; например, в наших медицинских записях наш вес часто указывается в килограммах, но никогда в правильных единицах измерения – ньютонах.

Snap Lab

Масса и вес

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Объясните: даже если весы показывают массу, они фактически измеряют вес. Весы откалиброваны, чтобы показывать правильную массу на Земле. На Луне они дадут разные результаты, потому что на Луне сила тяжести слабее.

В этом упражнении вы будете использовать весы для определения массы и веса.

1. Что измеряют весы для ванной?
2. Когда вы стоите на весах в ванной, что происходит с весами? Слегка угнетает.Весы содержат пружины, которые сжимаются пропорционально вашему весу – подобно резиновым лентам, расширяющимся при натяжении.
3. Пружины позволяют измерить ваш вес (при условии, что вы не ускоряетесь). Это сила в ньютонах (или фунтах). В большинстве стран измерение теперь делится на 9,80, чтобы получить значение в килограммах, что соответствует массе. Весы определяют вес, но откалиброваны для отображения массы.
4. Если бы вы отправились на Луну и встали на свои весы, обнаружила бы она ту же массу , что и на Земле?

Контроль захвата

Стоя на весах в ванной, нажмите на соседний стол.Что происходит с чтением? Почему?

1. Показание увеличивается, потому что часть вашего веса прикладывается к столу, и стол оказывает на вас соответствующую силу, действующую в направлении вашего веса.
2. Показание увеличивается, потому что часть вашего веса приложена к столу, и стол оказывает на вас соответствующую силу, которая действует в направлении, противоположном вашему весу.
3. Показание уменьшается, потому что часть вашего веса приложена к столу, и стол оказывает на вас соответствующую силу, действующую в направлении вашего веса.
4. Показание уменьшается, потому что часть вашего веса прикладывается к столу, и стол оказывает на вас соответствующую силу, действующую в направлении, противоположном вашему весу.

Советы для успеха

Только чистая внешняя сила влияет на ускорение объекта. Если на объект действует более одной силы, и вы вычисляете ускорение, используя только одну из этих сил, вы не получите правильное ускорение для этого объекта.

Watch Physics

Второй закон движения Ньютона

В этом видео рассматривается второй закон движения Ньютона и то, как чистая внешняя сила и ускорение связаны друг с другом и с массой.Он также охватывает единицы силы, массы и ускорения и рассматривает отработанный пример.

Проверка захвата

Верно или неверно – если вы хотите уменьшить ускорение объекта до половины от его первоначального значения, тогда вам нужно будет уменьшить чистую внешнюю силу вдвое.

1. Истинно
2. Ложь

Рабочий пример

Какое ускорение может дать человек, толкая газонокосилку?

Предположим, что чистая внешняя сила (толчок минус трение), действующая на газонокосилку, составляет 51 Н, параллельную земле.Масса косилки 240 кг. Какое у него ускорение?

Рисунок 4.6

Стратегия

Поскольку даны F _net и m , ускорение можно рассчитать непосредственно по второму закону Ньютона: F _net = m a .

Решение

Решая второй закон Ньютона для ускорения, мы находим, что величина ускорения a равна a = Fnetm.а = Fnetm. Ввод данных значений чистой внешней силы и массы дает

a = 51 N240 kga = 51 N240 кг

4,9

Вставка единиц кг⋅м / с2кг⋅м / с2 для N дает

a = 51 кг⋅м / с2240 кг = 0,21 м / с2.a = 51 кг⋅м / с2240 кг = 0,21 м / с2.

4,10

Обсуждение

Ускорение происходит в том же направлении, что и чистая внешняя сила, которая параллельна земле и направо. В этом примере нет информации об отдельных внешних силах, действующих на систему, но мы можем кое-что сказать об их относительных величинах.Например, сила, прилагаемая человеком, толкающим косилку, должна быть больше, чем трение, препятствующее движению, потому что нам дано, что чистая внешняя сила находится в том направлении, в котором человек толкает. Кроме того, вертикальные силы должны нейтрализоваться, если нет ускорения в вертикальном направлении (косилка движется только горизонтально). Найденное ускорение приемлемо для человека, толкающего косилку; скорость косилки должна увеличиваться на 0,21 м / с каждую секунду, что возможно. Время, в течение которого газонокосилка разгоняется, не будет очень долгим, потому что скоро человек достигнет максимальной скорости.На этом этапе человек может толкать немного меньше, потому что ему нужно только преодолеть трение.

Рабочий пример

Какая ракетная тяга ускоряет эти салазки?

До пилотируемых космических полетов ракетные сани использовались для проверки самолетов, ракетного оборудования и физиологических воздействий на человека при высоких ускорениях. Ракетные сани представляли собой платформу, установленную на одном или двух рельсах и приводимую в движение несколькими ракетами. Вычислите величину силы, прилагаемой каждой ракетой, которая называется ее тягой, T , для четырехракетной двигательной установки, показанной ниже.Начальное ускорение салазок составляет 49 м / с2,49 м / с2, масса системы – 2100 кг, сила трения, препятствующая движению, – 650 Н.

Рисунок 4.7

Стратегия

Интересующая система – ракетные сани. Хотя силы действуют на систему вертикально, они должны нейтрализоваться, поскольку система не ускоряется вертикально. Остается учитывать только горизонтальные силы. Мы назначим направление вправо как положительное. См. Диаграмму свободного тела на рисунке 4.8.

Решение

Начнем со второго закона Ньютона и ищем способы найти тягу T двигателей. Поскольку все силы и ускорения линейны, нам нужно учитывать только величины этих величин в расчетах. Начнем с

, где FnetFnet – чистая внешняя сила в горизонтальном направлении. Из рисунка 4.8 видно, что тяга двигателя в одном направлении (которое мы называем положительным направлением), тогда как трение противодействует тяге.В форме уравнения чистая внешняя сила равна

. Fnet = 4T − f. Fnet = 4T − f.

4,12

Второй закон Ньютона говорит нам, что F _net = м a , поэтому мы получаем

После небольшой алгебры, мы решаем общую тягу 4 T :

, что означает, что индивидуальная тяга составляет

Вставка известных значений дает

T = (2100 кг) (49 м / с2) +650 N4 = 2,6 × 104 N.T = (2100 кг) (49 м / с2) +650 N4 = 2,6 × 104 N.

4,16

Обсуждение

Цифры довольно большие, поэтому результат может вас удивить.Подобные эксперименты проводились в начале 1960-х годов, чтобы проверить пределы человеческой выносливости и проверить устройство, предназначенное для защиты летчиков-истребителей от аварийных катапультирований. Были получены скорости 1000 км / ч, с ускорением 45 g . (Напомним, что g, ускорение свободного падения, составляет 9,80 м / с2,9,80 м / с2. Ускорение 45 g составляет 45 × 9,80 м / с2,45 × 9,80 м / с2, что составляет примерно 440 м / с2. s2,440 м / с2. Живые предметы больше не используются, и теперь с помощью ракетных саней была получена сухопутная скорость 10 000 км / ч.В этом примере, как и в предыдущем примере, интересующая система ясна. В следующих примерах мы увидим, что выбор интересующей системы имеет решающее значение и что этот выбор не всегда очевиден.

Практические задачи

9.

Если 1 Н равен 0,225 фунта, сколько фунтов составляют 5 Н силы?

1. 0,045 фунта
2. 1,125 фунта
3. 2,025 фунтов
4. 5.000 фунтов

10.

Какое усилие необходимо приложить к объекту массой 5 ​​кг, чтобы он разогнался со скоростью 20 м / с ² ?

1. 1 н.
2. 10 N
3. 100 N
4. 1,000 N

Проверьте свое понимание

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Используйте вопросы в Проверьте свое понимание , чтобы оценить, достигли ли учащиеся целей обучения по разделу.Если учащимся не удается решить конкретную задачу, тест «Проверьте свое понимание» поможет определить, что является причиной проблемы, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

11.

Каково математическое утверждение второго закона движения Ньютона?

1. F = м а
2. F = 2 м а
3. F = maF = ma
4. F = м a ²

12.

Второй закон Ньютона описывает взаимосвязь между какими величинами?

1. Сила, масса и время
2. Сила, масса и перемещение
3. Сила, масса и скорость
4. Сила, масса и ускорение

13.

Что такое ускорение?

1. Ускорение – это скорость изменения рабочего объема.
2. Ускорение – это скорость изменения силы.
3. Ускорение – это скорость изменения скорости.
4. Ускорение – это скорость изменения массы.

Ньютон Второй закон – обзор

3.5 Уравнение баланса количества движения

Второй закон Ньютона гласит: скорость изменения количества движения тела равна сумме внешних сил, действующих на него.Чтобы применить этот закон к пористой среде, насыщенной жидкостью, рассмотрим объем V этой среды, ограниченный простой замкнутой поверхностью (A), состоящей из тех же частиц фиксированной идентичности. Импульс бесконечно малого элемента объема пористой среды, насыщенной флюидом, равен:

(3.41) [ρFϕv → F + ρS (1 − ϕ) v → S] dV

Поскольку импульс – это переменная экстенсивного потока, общая импульс рассматриваемого пористого тела, заполненного жидкостью, равен:

(3.42) ∫v [ρFϕv → F + ρS (1 − ϕ) v → S] dV

Скорость изменения, очевидно, выражается материальной производной этого объема. интеграл, учитывая, что для жидкой и твердой фазы получаются разные материальные производные:

(3.43) ddtF∫vϕρFv → FdV + ddtS∫v (1 − ϕ) ρSv → SdV

Внешними силами, действующими на тело, являются объемные силы и поверхностные силы. Массовая сила тяжести может быть выражена как:

(3.44) ∫v [ϕρFg → F + (1 − ϕ) ρSg → S] dV

Существует множество физических явлений, связанных с взаимодействием различных процессов; т.е. массоперенос, вызванный температурным градиентом или электроосмотическим движением. Таким образом, результирующие массовые силы g → F и g → S могут быть разными, но обычно ускорение свободного падения g → = g → F = g → S является единственной доминирующей массовой силой.

Поверхностные силы возникают из-за того, что среда находится рядом с ограничивающей поверхностью (A). В сложном континууме состояние напряжения определяется двумя тензорами напряжений TF¯¯ и TS¯¯, относящимися к жидкой и твердой фазам.

Результат поверхностных сил, действующих на ограничивающую поверхность (A), может быть выражен как:

(3.45) ∫∫ (A) [ϕTF¯¯ + (1 − ϕ) TS¯¯] dA →

где TF¯¯ и TS¯¯ – тензоры напряжений, относящиеся к жидкой и твердой фазам. Наконец, уравнение баланса количества движения получается как:

(3.46) ddtF∫vϕρFdV + ddtS∫v (1 − ϕ) ρSv → SdV = ∫v [ϕρFg → F + (1 − ϕ) ρSg → S] dV + (A) [ϕTF¯¯ + (1 − ϕ) Ts¯ ¯] dA →

Левая часть этого уравнения выражает скорость изменения количества движения для жидкой и твердой фаз соответственно, в то время как в правой части первый интеграл представляет собой результирующую объемную силу, второй – результат поверхностные силы, действующие на ограничивающую поверхность.

Уравнение баланса количества движения может быть переписано в дифференциальной форме. Его поверхностный интеграл можно преобразовать в интеграл по объему с помощью теоремы о расходимости.Применяя транспортную теорему к левым членам с учетом произвольного характера пределов интегрирования, получаем:

(3.47) ϕρFdv → FdtF + 1 − ϕρSdv → SdtS = ϕρFg → F + 1 − ϕρSg → S + DivϕTF + 1 − ϕTS

Это уравнение справедливо для любого пористого тела, насыщенного жидкостью. Действующие силы, реологические свойства жидкости и твердого материала произвольны. Следовательно, эту сложную физическую систему удобно заменить какой-нибудь вымышленной более простой, потому что в противном случае математическая обработка (т.е. постановка граничных условий, метод решения) практически невозможна. Определенные ограничения и упрощающие предположения позволят получить систему уравнений, удобную для решения инженерных задач.

Выражая скорость изменения количества движения жидкой фазы, получаем:

(3.48) ϕρFdv → FdtF = ϕρFg → F + Div (ϕTF¯¯) + {(1 − ϕ) ρS (g → S− dv → SdtS) + Div [(1 − ϕ) TS¯¯]}

Можно легко распознать аналогию с уравнением импульса одной фазы многокомпонентной системы.Последний член правой части уравнения в фигурной скобке можно рассматривать как межфазную передачу импульса, поскольку жидкость и твердая фаза взаимодействуют на межфазных граничных поверхностях, то есть на стенках порового канала. Этот термин ясно показывает, что любой механический процесс твердой матрицы придает размер потоку поровой жидкости. Хорошо известный пример потока, вызванного консолидацией осадочных пород.

На этом этапе разработки уравнения движения мы вводим предположение, что члены в квадратных скобках, выраженные переменными твердой фазы, заменяются полуэмпирическими определяющими соотношениями.

В насыщенных пористых средах поток текучей среды оказывает на твердую матрицу силу, действующую на межфазную поверхность твердое тело-жидкость. Очевидно, что согласно третьему закону Ньютона существует сила реакции такой же величины и противоположного направления. Сила, действующая на единицу объема пористой среды:

(3,49) f → s = f → u + f → D

, следовательно, это сумма поднимающей силы и сопротивления. Поднимающую силу можно легко выразить:

(3.50) f → u = – (1 − ϕ) ρFg →

Сила сопротивления, действующая на частицу, складывается из сопротивления поверхностного трения и сопротивления формы.В предположении ламинарного потока сопротивление равно:

(3,51) f → D1 = α2 · μ · δv → F

, где α – коэффициент формы частицы, μ – динамическая вязкость (Н · с / м ² ), и δ – средний диаметр частицы (м). Число частиц внутри единицы объема может быть выражено как:

(3,52) N = β (1 − ϕ) δ3

, где β – коэффициент пропорциональности размера (m ³ ). Таким образом, сопротивление, действующее на единицу объема пористой среды, получается как:

(3.53) f → D = N · f → D1 = (1 − ϕ) · βα2μv → δ2

Подставляя локальную скорость фильтрации, получаем:

(3.54) f → D = (1 − ϕ) · βα2μϕδ2q →

Их силы реакции могут быть записаны как:

(3.55) f → F = −f → s = (1 − ϕ) · ρFg → – (1 − ϕ) α2βμϕδ2q →

Таким образом, уравнение импульса жидкой фазы составляет:

(3.56) ϕρFdv → FdtF = ϕρFg → + Div (ϕT¯¯F) + (1 − ϕ) ρFg → – (1 − ϕ) α2βμq → ϕδ2

Рассмотрим однородную изотропную пористую среду, в которой развивается устойчивый ламинарный фильтрационный поток. Распределение пористости естественно равномерное:

(3.57) ϕ = const.

Для стационарного потока:

(3.58) ∂v → F∂t = 0

, в то время как конвективным потоком импульса также можно пренебречь из-за очень малых значений скорости.

Нормальные напряжения в жидкости намного больше (в 10 ⁴ –10 ⁵ раз), чем компоненты сдвига, поэтому мы можем предположить, что:

(3,59) Div · TF = −gradp

С учетом вышеизложенного предположения, уравнение импульса получается как:

(3.60) 0 = ρFg → −gradp− (1 − ϕ) α2βμq → δ2ϕ2

Предполагая баротропный поток, очевидно, что:

(3.61) −1ρFgradp = gradΠ

, где Π – баротропный потенциал (м ² / с ² ).

Для несжимаемых жидкостей:

(3.62) Π = pρF

Можно также предположить, что поле объемных сил имеет потенциал:

(3.63) g → = −gradU

Таким образом:

(3.64) – grad (U + Π) = (1 − ϕ) α2βμϕ2δ2ρq →

Тогда местная скорость фильтрации может быть выражена как:

(3.65) q → = −ϕδ2 (1 − ϕ) α2βρμgrad (U + Π)

сравнение этого уравнения с эмпирическим законом Дарси:

(3.66) q → = −kρμgrad (gh + pρ)

приводит к признанию, что:

(3.67) k = ϕ2δ2 (1 − ϕ) α2β

Следовательно, закон Дарси может быть получен как следствие уравнения импульса. Таким образом, закон Дарси используется как эквивалентное выражение, естественно, для устойчивого ламинарного течения баротропной ньютоновской жидкости, протекающей только через пористую среду. Тем не менее, следует иметь в виду, что закон Дарси не является уравнением движения; он не может описать течение в отдельном поровом канале. Строго говоря, закон Дарси представляет собой статистический макроскопический эквивалент уравнения Хагена – Пуазейля.

Обратите внимание, что эксперимент Дарси не показывает, что произойдет, если проницаемость и вязкость непостоянны. Плотность проницаемости и вязкость, которые следует принимать в градиент, хорошо известны:

(3.68) q → = −grad [kμ (ρgh + p)]

Это разрешено только для постоянной проницаемости, плотности и вязкости, как предыдущее шоу.

С другой стороны, есть косвенное экспериментальное указание на правильность уравнения. (3.66). Если закон Дарси распространяется на несмешивающийся многофазный поток, это приводит к концепции относительной проницаемости.Относительная проницаемость фактически изменяется через пористую среду во время эксперимента с потоком, и поэтому различие между формулой. (3.63) и уравнение. (3.68) важно. Дело в том, что эмпирически подтвержденные уравнения относительной проницаемости берут начало в формуле. (3.66), а не в формуле. (3.68).

Закона Дарси вместе с уравнением неразрывности и уравнением состояния достаточно для определения структуры потока в пористой среде при заданных граничных условиях. Система уравнений содержит пять неизвестных функций (q _x , q _y , q _z , p, ρ), таким образом, можно решить пять уравнений.Двумерные задачи особенно легко решаются путем применения сложных функций переменных. Такие конкретные приложения представляют собой упражнения по математике, а не по механике жидкости. Поэтому некоторые конкретные случаи будут обсуждаться относительно практического значения.

Законы движения Ньютона

Теперь, когда мы знаем Законы движения Ньютона, как нам применить их? Как они могут позволить нам предсказать движение? объекта, если мы знаем все силы, действующие на него? Как может они позволяют нам предсказывать сил на объект, если мы знаем его движение?

Сказать, что остальная часть этого конечно, просто ищет хитрые способы применить

F = м

---

Пример 1: Рассмотрим ящик, который тянут по трение меньше пол (хотя такой пол очень трудно найти , он все равно Помогите нам понять концепцию и , мы можем вернуться к этому ситуация позже, после с учетом трения, и решить ее более реалистично).

Представьте, что ящик тянут по горизонтали, трение меньше пол. Вокруг него привязана веревка и мужчина тянет трос с силой Т. Т – натяжение в веревка. Что происходит с ящиком?

Прежде чем мы сможем применить Второй закон Ньютона,

F = m a

мы должны найти чистую силу – вектор сумму , все сил – действующие на объект.В добавок к сила T , прилагаемая канатом, какие другие силы действуют на объект ?

Как обсуждалось в классе, в Механике мы можем ограничить внимание к «контактным» силам и «гравитации». Это означает гравитацию тянет вниз на этом ящике с силой, равной его весу, Вт . Но пол поддерживает обрешетку. Этаж отвечает толкать вверх на ящике с силой, которую мы называем нормальным сила .«Нормальный» означает «перпендикулярный». Мы назовем эту силу n ; вы также можете встретить его с надписью N или Ф _Н .

Эти силы показаны на «диаграмме свободного тела» выше. Мы нарисовали в все силы, действующие на объект. Чистая сила – это вектор сумма этих сил.

F _net = F = T + n + w

где, греческий верхний регистр «сигма» означает «сумма».Помни, хотя, векторная запись всегда элегантная сокращенная запись. Когда пишем

F _net = F = T + n + w

мы действительно написали

F _{нетто, x} = F _x = T _x + n _x + w _х

и

F _{нетто, y} = F _y = T _y + n _y + w _л

Что это за x- и y-составляющие сил T, n, и w ? Для этого первого простого примера мы можем найти – по осмотр – что этих компонентов

Т _х = Т

T _y = 0

n _x = 0

n _y = n

w _x = 0

w _y = – w

Теперь мы готовы применить

F = m a

Но сначала это нужно записать в терминах компонентов,

F _x = F _{сетка, x} = F _x = m a _x

F _x = F _{net, x} = F _x = T _x + n _x + w _x = T = м а _x

T = м _x

a _x = т / м

Ящик имеет горизонтальное ускорение , равное напряжение Т, деленное на m, массу обрешетки.Что насчет силы в вертикальном направлении?

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

F _y = F _{net, y} = F _y = T _y + n _y + w _y = n – w = m а _л

н – ш = м а _л

Поскольку мы знаем, что ящик не ускоряется в направлении оси Y – не отрывается от пола и не зарывается в пол – мы знаем, что _y = 0, поэтому

п = ш

Направляющая вверх нормальная сила, прилагаемая полом к ​​ящику, в в этой ситуации, равна весу, сила, направленная вниз сила тяжести.

---

Пример 2: Какие силы действуют на книгу, если вы нажимаете вниз на нем с силой F , пока он сидит на гладком, горизонтальный стол, как показано на рисунке ниже?

Втянуть все силы. Это называется «свободное тело». диаграмму “. В этом курсе механики мы ограничимся «контактные силы» и сила тяжести. Контактные силы, для в этом случае будет “нормальная” сила – перпендикулярная сила – проявляется таблицей – обозначено на схеме n – и сила F , приложенная рукой.Гравитация проявляет силу вниз, назвал вес и обозначил w . Так же, как в в предыдущем примере мы можем сразу написать

F = m a

, но это действительно элегантное сокращение для

F _x = F _{сетка, x} = F _x = m a _x

и

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

В этом примере, хотя ничего не происходит по горизонтали. направление. Все силы у только по вертикали компонентов, так что все, что у нас действительно есть, это

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

Считая положительным, имеем

F _y = F _{net, y} = F _y = п – ш – F

Поскольку книга лежит на столе, мы знаем, что она не ускоряется. так что _y = 0. Это означает

п – ш – F = 0

п = ш + ж

Мы можем использовать законы Ньютона для определения значения нормального сила n.

---

Эта же идея и техника могут быть использованы немного по-другому. ситуация

Пример 3: Рассмотрим лампу, висящую на цепи. Что такое напряжение в цепи?

Как всегда, начнем с «диаграммы свободного тела». Напряжение Т воздействует на лампу на вверх на , в то время как сила тяжести тянет вниз с усилием Вт , вес лампы. Чистая сила представляет собой векторную сумму этих двух сил.Лампа не ускоряет , поэтому сила вверх должна равняется силе вниз . По величине это означает

Т = ш

---

Напряжение: Напряжение составляет величин силы осуществляется цепью, веревкой или веревкой. Направление этого сила зависит от остальной ситуации и объекта, который мы концентрируемся на данный момент. Если мы сосредоточимся на цепи, показанной ниже, направленная вниз сила T ‘ – это сила воздействует на цепь лампой при восходящей силе Т ” сила, действующая на цепь со стороны потолка.Здесь нет замена хороших диаграмм свободного тела.

---

Пример 4: Рассмотрим светофор, подвешенный на шнурах, как показано на рисунке ниже. Какое напряжение в каждом из этих шнуры?

Tension T ₃ легко, так что посмотрим на первое. В качестве мы видели в двух предыдущих примерах; это напряжение в Вертикальный шнур, поддерживающий вес, как раз равен весу. В На диаграмме ниже мы нарисовали силы, действующие на светофор.Единственные силы, действующие на светофор: w , груз, направленный вниз, и T ₃ , восходящая сила из-за вертикального троса. T ₃ – это напряжение в этом кабеле. Ясно

Т ₃ = ш

Но как насчет напряжения в двух других кабелях, T ₂ и Т ₁ ? Чтобы найти их, мы должны посмотреть на перекресток где соединяются три кабеля. Этот перекресток находится в равновесие так

F net = 0

F _нетто = F = T ₁ + T ₂ + Т ₃ = 0

Однако мы должны помнить, что этот единственный вектор уравнение – элегантное сокращенное обозначение двух скалярных чисел . уравнения,

F _{net, x} = F _x = T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

F _{net, y} = F _y = T _{1 год} + T _{2 года} + T _{3 года} = 0

Итак, мы должны разложить все эти силы на их x- и y-компоненты,

T _1x = – T ₁ cos 37 ^o = – 0.8 T ₁

T _{1 год} = T ₁ sin 37 ^o = 0,6 Т ₁

T _2x = T ₂ cos 53 ^o = 0,6 Т ₂

T _2y = T ₂ sin 53 ^o = 0,8 Т ₂

T _3x = 0

T _{3 года} = – T ₃ = – w

Знаки – это важные! Теперь мы можем вернуться к составляющие уравнения и решить для натяжения T ₁ и Т ₂ .

F _{net, x} = F _x = T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

– 0,8 т. ₁ + 0,6 т. ₂ + 0 = 0

T ₁ = 0,75 T ₂

F _{net, y} = F _y = T _{1 год} + T _{2 года} + T _{3 года} = 0

T _{1 год} + T _{2 года} + T _{3 года} = 0

0.6 T ₁ + 0,8 T ₂ 2 – w = 0

0,6 T ₁ + 0,8 T ₂ = w

0,6 (0,75 T ₂ ) + 0,8 T ₂ = w

1,25 T ₂ = w

T ₂ = 0,8 w

T ₁ = 0,75 (0,8 ширины)

T ₁ = 0,6 Вт

---

Теперь мы расширяем наши приложения и смотрим на Atwoods. Машина

Пример 5 : Рассмотрим машину Атвудса, показанную здесь, с масс m ₁ и m ₂ .Они прикреплены легкий шнур поверх шкива, как показано на рисунке. Какое ускорение системы?

	Можно сказать «ускорение системы» для масс 1 и 2 будут иметь такое же ускорение , так как они прикреплены шнурком. Если m 2 > m 1 и Этвуды машина выпущена из покоя, масса т 1 будет разгон до при массе m 2 ускоряет вниз стойку.Собственно, это и будет их ускорения независимо от того, выпущена ли система из состояния покоя или движется. Вероятно, это будет легче визуализировать, если вы представьте, что система выходит из состояния покоя. Как мы можем применить F = m a ? Применяем F = m a к массам, по одной время.
Посмотрите на меньшую массу, м 1 .Какие силы, действующие на эту массу? Натяжение струны создает силу вверх в то время как гравитация действует с силой вниз на . Мы ожидаем этого масса, чтобы иметь ускорение от до . Там нет горизонтальных сил. Возьмем до как положительный . F чистая = F = T – w 1 = m 1 a F чистая = F = T – м 1 г = м 1 a T – м 1 г = м 1 a Это одно уравнение имеет два неизвестных – напряжение T и ускорение a.Так что нам нужно еще Информация .
Мы получаем эту дополнительную информацию, просматривая силы, действующие на более тяжелую массу, м 2 , и применяя Второй закон Ньютона, F = m a , чтобы эта масса. Горизонтальных сил нет. Натяжение струны создает силу вверх в то время как гравитация действует с силой вниз на .Мы ожидаем этого масса, чтобы иметь ускорение против . Мы можно выбрать вызов вниз “положительный” для этой массы или мы можем назвать до “положительным”, а затем мы ожидаем эта масса должна иметь ускорение – a. Любой выбор Это хорошо. На этот раз, давайте выберем вниз как “положительный”. F чистая = F = w 2 – T = m 2 а F чистая = F = m 2 г – T = m 2 a м 2 г – T = м 2 a Конечно, это уравнение одно также имеет два неизвестные – напряжение Т и ускорение а.

Но теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными и этого достаточно. Мы можем найти напряжение T в первое уравнение,

Т – м ₁ г = м ₁ а

T = m ₁ g + m ₁ a

, а затем подставим это во второе уравнение

м ₂ г – T = м ₂ а

м ₂ г – (м ₁ г + м ₁ а) = м ₂ а

м ₂ г – м ₁ г – м ₁ a = м ₂ а

м ₂ г – м ₁ г = м ₁ а + м ₂ а

(м ₂ – м ₁ ) g = (м ₁ + м ₂ ) а

(м ₁ + м ₂ ) a = (м ₂ – м ₁ ) г

a = (м ₂ – м ₁ ) г / (м ₁ + м ₂ )

---

Пример 6: Теперь давайте рассмотрим наклонную машину Атвудса.Масса m ₁ и m ₂ соединены струной. который проходит через шкив, а масса m ₂ сидит на гладком наклонная плоскость. Помните, что “гладкий” – это просто кодовое слово для «без трения»; мы скоро перейдем к трениям. Этот склонный Здесь схематически изображена машина Этвудса:

Теперь мы хотим применить Второй закон Ньютона, F = m а . Второй закон Ньютона описывает влияние сил на один объект. Поэтому мы должны изолировать все силы от массы м ₁ и нанести.Затем мы изолируем все силы от массы m ₂ и нанести еще раз. Это требует хорошего свободного тела диаграммы.

Висящая масса m1 воздействует только на две силы; веревка тянет вверх с силой, мы обозначаем T, в то время как гравитация тянет вниз с силой мы маркируем w:

Мы ожидаем, что ускорение будет восходящим, и нарисовали его. рядом с диаграммой свободного тела. Как всегда, теперь мы готовы подать заявку F = m a этим силам, действующим на этот объект.

F _нетто = F = T – м ₁ г = м ₁ а

T – м ₁ г = м ₁ a

Как мы уже могли ожидать, это одно уравнение имеет двух неизвестные – напряжение Т и ускорение а – так что надо смотреть в другом месте для получения дополнительной информации. Конечно, где смотреть находится в другой массе.

Тщательно постройте диаграмму свободного тела, показывающую все силы действующая на массу m ₂ .Действуют три сил. на эту массу – струна действует с силой T , (без трения) наклонная плоскость оказывает «нормальную» силу н , и сила тяжести тянет вниз с силой Вт ₁ = m ₁ г. Чтобы найти чистую силу , мы должны решить эти векторы на их компоненты. Поскольку ускорение будет быть по направлению плоскости, мы выбрали это направление как ось абсцисс.

Обратите внимание, что угол в эта диаграмма отсчитывается от оси ординат . Это означает вес имеет составляющие

w _x = m ₂ g sin

w _y = – m ₂ g cos

А у нас

n _x = 0

n _y = n

и

T _x = – T

T _y = 0

Убедитесь, что вы понимаете знаки и синусы! Не продолжай пока вам не будут понятны все эти составляющие!

Теперь мы можем применить Второй закон Ньютона к этой массе:

F = m a

F = F _нетто = T + n + w = m a

F _x = F _{net, x} = F _x = м ₂ a _x

F _x = T _x + n _x + w _x = m ₂ a _x

– Т _{+ 0 + м 2 г син = m 2 a x = m 2 a}

, где мы использовали

_x = а

, поскольку ускорение происходит только в положительном направлении оси x.

– Т + м ₂ г син = м ₂ а

Это предоставляет всю информацию, которая нам нужна для решения T и a. Как и раньше, мы можем решить одно из этих уравнений относительно T и подставьте это в другое уравнение и решите относительно a.

T = m ₂ г sin – м ₂ а

[м ₂ г sin – m ₂ a] – m ₁ g = m ₁ a

m ₁ a + m ₂ a = m ₂ g sin – м ₁ г

(m ₁ + m ₂ ) a = (m ₂ sin – м ₁ ) г

a = (м ₂ sin – м ₁ ) г / (м ₁ + м ₂ )

Как насчет y-компонентов сил, действующих на массу? м ₂ , на наклонной плоскости?

F _y = F _{net, y} = F _y = m ₂ a _y

F _y = T _y + n _y + w _y = m ₂ a _y = 0

, где мы использовали

а _y = o

, поскольку ускорение происходит только в положительном направлении оси x и нет ускорения перпендикулярно плоскости.

T _y + n _y + w _y = 0

0 + n – м ₂ г cos = 0

n = m ₂ g cos

Из y-составляющих сил на массу m ₂ , мы можно решить для нормальной силы. Это будет важно, когда мы принять во внимание трение .

---

Пример 7: Два блока масс m ₁ и м ₂ размещены в контакте друг с другом на гладкой, горизонтальная плоскость, как показано здесь.Постоянная горизонтальная сила F применяется к m ₁ . Какое ускорение каждая масса?

В каком-то смысле мы можем (почти) решить этот пример интуитивно – в нашей голове. Сила F приложена к объекту массой m = м ₁ + м ₂ . Значит, его ускорение должно быть

а = Ф / м

или

а = F / (м ₁ + м ₂ )

Это правильный ответ! Но разве в этом больше нечего? вопрос? Простые вопросы – интуитивно очевидные – делают замечательные шаблоны или примеры для более сложных задач.

Посмотрите все силы на _{м 1} . Сделайте хорошее свободное тело Диаграмма сил, действующих на м ₁ .

Конечно, внешняя сила F толкает вправо на масса m ₁ . Гравитация тянет вниз с силой w ₁ = m ₁ g и плоскость отвечает нормальной силой н ₁ . Но другой масса – m ₂ – действует на массу m ₁ .Эта сила обозначена как P ‘ и указывает налево. Мы можем применить Второй закон Ньютона к силам y-компоненты и найти, что n ₁ = w ₁ 1. Но теперь есть дополнительный и неизвестная сила в x-компоненте Второго закона Ньютона,

F _{1, нетто} = F – P ‘= m ₁ a

Нам нужно на больше информации , поэтому мы переходим к другой массе, м ₂

Первая масса m1 воздействует на эту массу, m2, с силой P .Применяя y-компонент F = m a , мы легко найти

n ₂ = w ₂

Для x-компонентов только сила , действующая на m2, равна P итак

F _{2, нетто} = P = m ₂ a

Однако из Третьего закона Ньютона F ₁₂ = – F ₂₁ , мы знаем, что P = P ‘, поэтому

F – P ‘= м ₁ а

F – м ₂ a = м ₁ a

F = m ₁ a + m ₂ a

F = (m ₁ + m ₂ ) a

a = F / (м ₁ + м ₂ )

Это тот же ответ, который мы так быстро нашли ранее, но этот может предоставить шаблон для использования в более сложных ситуациях.

---

Пример 8: Этот конкретный пример сформулирован в терминах весит рыб в ускоряющем элеваторе. Это тоже весело подумать о весе себя в ускоряющем лифте. Когда лифт разгоняется до палат? Когда лифт разогнаться вниз подопечных?

Силы, действующие на рыбу, показаны в свободном теле. диаграмма. T – это напряжение на шкале. Это ценность на шкале написано.Мы можем назвать это видимым весом рыба. Чистое усилие на рыбу

. F _чистая = T – w

или

F _нетто = T – мг

Чистая сила ( всегда! ) равна массе, умноженной на ускорение. Эта рыба движется вместе с лифтом. В этом На диаграмме мы взяли ускорение от до , так что это положительный.

F _нетто = T – m g = m a

T = m g + m a

Т = м (г + а)

В то время как лифт ускоряет вверх по стойкам, кажущийся вес рыбы на больше ее истинного веса, мг.

Что происходит, когда лифт ускоряется на вниз по палате?

Силы, действующие на рыбу, снова показаны в свободном теле. диаграмма,

F _чистая = T – w

или

F _нетто = T – мг

Чистая сила ( всегда! ) равна массе, умноженной на ускорение. Эта рыба движется вместе с лифтом. Сейчас ускорение должно быть до , так что это отрицательное значение .

F _нетто = T – m g = m (- a)

T = м г – м а

Т = м (г – а)

Пока лифт ускоряется на вниз по стойкам, кажущийся вес рыбы на меньше ее истинного веса, мг.

Попробуйте сами на элеваторе – не взвешивая рыбу, ставлю обращая внимание на собственный кажущийся вес !

c) 2002 год, Дуг Дэвис; все права защищены

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Самое важное Уравнение в физике

Почти все слышали уравнения E = mc ² .А также действительно, это самое известное уравнение в физике, устанавливающее эквивалентность энергии и массы. Но это это самое важное уравнение в физике? Знающие ученые скажу нет. Важнейшее уравнение в физике: F = ma , также известен как второй закон механики Ньютона. Это управляет поведение всего видимого и невидимого на Земле и в космосе – от траектория бейсбольного мяча к движению планеты.

студентов факультетов естествознания и инженерии посвящают половина времени изучения курса классической механики и научимся применять это уравнение. Таким образом, если вы понимаете, что F = ma , вы хорошо разбираетесь в физике.

Сэр Исаак Ньютон (1642-1727)
Ученый, ответственный за важнейшее уравнение по физике ^{* сноска}

Так что же уравнение означает? Его можно переписать в эквиваленте и более интуитивно понятная форма как a = F / m .Таким образом, второй закон Ньютона дает ответ тела массой м до силы F . Силы вещи, которые вызывают изменения в движении. Такое изменение называется ускорением и обозначается символом a . Тело претерпевает ускорение, если он изменяется его скорость или меняет направление движения.

Когда вы что-то толкаете, вы наносят силу на него. Следовательно, если вы ударите по вазе рукой, все кончено, ваза ощущает силу и претерпевает изменение движения.Ясно, что ваза лежа на боку претерпел изменение состояния.

Множество уравнений во всевозможных полях иметь форму

(реакция) = (эффект движения) / (эффект сопротивления)
и второй Ньютона закон имеет эту структуру. Сравнивая приведенное выше с a = F / m , можно увидеть что эффект сопротивления масса объекта, которую иногда называют инерция означает “тенденция оставаться еще.”Действительно, очень сложно изменить движение тяжелого предмета. Представлять себе пять человек пытаются толкнуть машину. С другой стороны, свет объекты легко разгоняются. Ты не нужно пять физиков, чтобы вкрутить лампочку.

В форме F = ma , секунда Ньютона закон сообщает нам силу F , необходимую для ускорения a на кузове массой м . Как объяснялось выше, сила движущий импульс, который заставляет тела ускоряться.Примеры сил гравитация, которая, например, заставляет вещи упасть на землю и вызвать планеты для движения вокруг Солнца; трение, которое замедляет предметы поскольку они трутся о другое вещество; в электрическая сила, которая заставляет заряженные тела отталкивать или притягивать друг друга и несет ответственность для подачи электроэнергии; магнитная сила, который, например, отклоняет иглу компаса; плавучесть, которая делает вещи плавать; и так далее.В природе бесчисленное количество сил, все создание изменений в движении.

Первый закон механики Ньютона гласит: что, если на него не действуют силы, покоящееся тело останется в покое или движущееся тело останется в движении движется с той же скоростью и в одном направлении. Этот первый закон фактически следует из второго: Если F = 0 , то также a = F / m = 0 , а если объект не ускоряется, значит, не меняет своего движения.

Мир без сил было бы действительно очень скучно. Все тела в покое останется в покое; все движущиеся объекты будут путешествовать с постоянной скоростью в фиксированных направлениях вечно. Там не было бы никаких изменений в движениях. Все было бы предсказуемо, но до скуки.

Таким образом, второй закон Ньютона обеспечивает механические средства определения движения предметов. Чтобы определить будущее движение тела, нужно знать его масса м , действующая на него сила F и его текущее состояние движения.Тогда один может определить изменение движения, которое должно произойти, также известное в качестве текущего ускорения a , с a = F / m .

Это обсуждение является интуитивным введением. к самому важному уравнению в физике. Если вы хотите увидеть числовые примеры, нажмите здесь.

————
^{* сноска} Исаак Ньютон явно не записал второй закон. в форме F = ma : Это было на самом деле Леонард Эйлер, выразивший это таким образом.

В начало файла.

---

Эта веб-страница была подготовлена ​​доктором Стюартом Сэмюэлем, который предоставил Jupiter Scientific Publishing разрешение использовать эту страницу а также кто является представителем Библия по Эйнштейну: A Опубликовано научное дополнение к Библии компании Jupiter Scientific, организация, занимающаяся продвижением наука через книги, Интернет и другие средства связи.

Эту веб-страницу ЗАПРЕЩАЕТСЯ копировать на другой веб-сайт. сайты, но другие сайты могут ссылаться на эту страницу.

---

Авторские права © 2000 Стюарт Сэмюэл

---

К информационной странице Jupiter Scientific

Вторая аксиома Ньютона | Блог Гэри Гарбера

Все мы слышали о трех законах движения Ньютона, но если бы нас попросили прочесть их или истолковать их значение, большинство из нас застряло бы. Второй закон Ньютона часто появляется на футболках и рекламных щитах как

.

F = ma

Где F – сила, m – масса, а a – ускорение.

В этом распространенном упрощении Второй аксиомы Ньютона можно многое потерять. Если мы посмотрим, что на самом деле написал Ньютон в своих «Началах», после нескольких страниц определений, Ньютон наконец напишет

.

Lex II: Mutationem motus ratioalem esse vi motrici impressionae,

et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur .

В переводе (Эндрю Мотт, как писал Ньютон на латыни) это становится:

ЗАКОН II.
Изменение движения всегда пропорционально движущей силе impre ssed ;

и выполнен в направлении правой линии, в которой действует эта сила .

Ньютон затем уточняет:

Если какая-либо сила генерирует движение, двойная сила будет генерировать двойное движение
, тройная сила утроит движение, независимо от того, будет ли эта сила приложена
сразу и сразу или постепенно и последовательно.И это движение
(всегда направленное в одну сторону с генерирующей силой), если тело
перемещалось раньше, добавляется или удаляется из предыдущего движения, в соответствии с
, поскольку они напрямую сговариваются или непосредственно противоположны друг другу; или
соединены наклонно, когда они наклонены, чтобы произвести новое движение
, сложенное на основе определения обоих.

Многие из терминов здесь на самом деле относятся к импульсу и изменению импульса объекта, которое мы исследуем через пару недель.Пока избегаем этого термина, мы можем думать об изменении движения как об ускорении. И движущая сила как сумма сил, действующих на объект.

Если бы я представил второй закон Ньютона уравнением, я бы предпочел записать его как

a = F _нетто / м

, где F _net – чистая сила или сумма сил на объект, который ускоряется. Это уравнение говорит нам о том, что несколько сил, действующих на объект массы m, приведут к ускорению.

Acceleration a, и Force F написаны полужирным шрифтом , потому что они являются векторами и имеют направление. Это также говорит нам о том, что направление ускорения совпадает с направлением Чистой Силы. Как пишет Ньютон: « в направлении правой линии, в которой действует сила ». Его объяснение и ссылка на наклонных углов относится к векторам и когда силы не являются коллинеарными.

Если вы помните, первый закон Ньютона во многом опирался на работы Галилея. Его второй закон также должен отдать должное Декарту и Уоллису.

Напоминание о взаимосвязи между блоками . В метрической системе мы используем Ньютон (сокращенно N ) в качестве единицы силы. Таким образом, мы можем определить

1 Ньютон = 1 кг ∙ м / с ²

Пример 1:

Предположим, что астронавт NASA весом 120 кг , выходящий в открытый космос, использует свой ракетный ускоритель, чтобы вернуться на Международную космическую станцию.Если тяга ракетного ранца составляет 24 Н, то какое ускорение у космонавта?

м = 120 кг

F = 24 N

а = ???

F _чистая = ma

Мы изолируем ускорение, чтобы прийти к

a = F _нетто / м

Включаем массу и силу, получаем

a = 24 N /120 кг = 0,20 м / с ²

Пример 2:

Меланхоличный подавленный робот толкает книгу через прилавок.Робот толкает книгу с силой 10,0 Н. Сила трения составляет 4,00 Н. Какова масса книги, если ее результирующее ускорение по стойке равно 4 м / с ² ?

В этом случае было бы полезно нарисовать диаграмму свободного тела, так как у нас есть более одной силы.

F _робот = + 10.0 N

F _трение = – 4,00 Н

F _нетто = + 6,00 N

а = 4.0 м / с ²

м = ???

Начиная со Второго закона Ньютона

F _чистая = ma

Мы изолируем м, чтобы прибыть на

м = F _нетто / a

Подключаем к сети, приходим к

м = (10 Н – 4 Н) / 4,0 м / с ² = 6,00 Н / 4,0 м / с ² = 1,5 кг

Стоит отметить, как уравновешиваются единицы и количество значащих цифр.

Пример 3:

Леонардо Гарбер, имеющий массу 25 кг , скользит по шесту на детской площадке. Если ускорение Леонардо по направлению к земле составляет 4 м / с ² , какова сила трения между его руками и шестом, замедляющая его?

м = 25 кг

a = + 4,0 м / с ²

F _трение = ??

Глядя на диаграмму свободного тела, мы видим, что сила тяжести направлена ​​вниз, а трение – вверх.Если мы определим вверх как отрицательное направление и вниз как положительное, то мы можем определить вес:

F _{Плотность} = мг = 25 кг x 9,8 м / с ² = 250 N

Так как мы знаем и ускорение, и массу, мы можем найти чистую силу.

F _нетто = ma = 25 кг x 4,0 м / с ² = 100 Н

Тогда, используя нашу диаграмму свободного тела, мы можем найти силу трения

F _нетто = F _{сила тяжести} – F _трение

Если изолировать трение,

F _трение = F _{Плотность} – F _нетто = 250 Н – 100 Н = 150 Н

Формула закона охлаждения Ньютона

Сэр Исаак Ньютон создал формулу для расчета температуры объекта, когда он теряет тепло.Тепло перемещается от объекта к его окружению. Скорость изменения температуры пропорциональна разнице температур между объектом и его окружением. Формулу можно использовать для определения температуры в данный момент времени. Единицей измерения температуры в системе СИ является Кельвин (K), но обычно градусы Цельсия ().

T (t) = T _с + (T ₀ – T _с ) e ^(-kt)

T (t) = температура объекта в определенное время (Кельвин, К)

t = время ( с )

T _с = температура окружающей среды (Кельвин, К)

T ₀ = начальная температура объекта (Кельвин, К)

k = константа охлаждения, специфическая для объекта ( 1 / с )

Закон охлаждения Ньютона Вопросы по формуле:

1) Кастрюля с супом начинается с температуры 373.0 K, а температура окружающей среды составляет 293,0 K. Если постоянная охлаждения равна k = 0,00150 1 / с , какой будет температура кастрюли с супом через 20,0 минут?

Ответ: Суп остывает 20,0 минут, то есть:

т = 1200 с

Температуру супа по истечении заданного времени можно определить по формуле:

T (t) = T _с + (T ₀ – T _с ) e ^(-kt)

T (1200 с ) = 293.0 K + (373,0 K-293,0 K) e ^{(- (0,001500 1 / с ) (1200 с))}

T (1200 с ) = 293,0 K + (373,0 K-293,0 K) e ^(-1,800)

T (1200 с ) = 293,0 K + (373,0 K-293,0 K) (0,1653)

T (1200 с ) = 293,0 К + (80,0 К) (0,1653)

T (1200 с ) = 293,0 K + 13,224 K

T (1200 с ) ≈ 306,224 K

Через 20 минут температура супа 306.224 К.

2) Стальной стержень нагревают в кузнице до температуры 1280,0К. Затем стержень погружают в ведро с охлажденной водой с температурой 280,0 К. После 10,0 с температура железного стержня падает до 329,7 К. Какова постоянная охлаждения этого железного стержня в воде?

Ответ: Константу охлаждения можно найти, переставив формулу:

T (t) = T _с + (T ₀ -T _с ) e ^(-kt)

∴ T (t) – T _с = (T ₀ -T _с ) e ^(-kt)

На следующем шаге используются свойства логарифмов.Натуральный логарифм значения связан с экспоненциальной функцией (e ^x ) следующим образом: если y = e ^x , то lny = x. Чтобы продолжить преобразование формулы, к обеим сторонам применяется натуральный логарифм:

Используя эту формулу для постоянной охлаждения k, можно найти решение:

к = 0.300 1 / с

Константа охлаждения железного стержня в воде составляет k = 0,300 1 / с .

% PDF-1.5 % 301 0 объект> эндобдж xref 301 87 0000000016 00000 н. 0000003337 00000 н. 0000002036 00000 н. 0000003511 00000 н. 0000004227 00000 п. 0000004267 00000 н. 0000004314 00000 н. 0000004379 00000 п. 0000004607 00000 н. 0000004713 00000 н. 0000004881 00000 н. 0000005180 00000 н. 0000005496 00000 п. 0000050061 00000 п. 0000050097 00000 п. 0000052754 00000 п. 0000052913 00000 п. 0000053069 00000 п. 0000053228 00000 п. 0000053388 00000 п. 0000053551 00000 п. 0000053719 00000 п. 0000053884 00000 п. 0000054085 00000 п. 0000054385 00000 п. 0000054476 00000 п. 0000055668 00000 п. 0000055829 00000 п. 0000055993 00000 п. 0000056270 00000 п. 0000056879 00000 п. 0000057630 00000 п. 0000058232 00000 п. 0000058794 00000 п. 0000059378 00000 п. 0000059831 00000 п. 0000059896 00000 п. 0000059960 00000 н. 0000060338 00000 п. 0000061097 00000 п. 0000061853 00000 п. 0000062612 00000 п. 0000063119 00000 п. 0000063637 00000 п. 0000064399 00000 н. 0000064919 00000 н. 0000065418 00000 п. 0000065681 00000 п. 0000066191 00000 п. 0000070912 00000 п. 0000075115 00000 п. 0000079497 00000 п. 0000083915 00000 п. 0000088121 00000 п. 0000088734 00000 п. 0000089489 00000 н. 0000094653 00000 п. 0000100740 00000 н. 0000106553 00000 п. 0000106609 00000 н. 0000106782 00000 н. 0000106838 00000 п. 0000106919 00000 п. 0000106988 00000 н. 0000107160 00000 п.