Закона ньютона формулы: Формула 2 закона ньютона – ответ на Uchi.ru

§ 2.2. Законы Ньютона. Второй закон как уравнение движения.

1. Первый закон Ньютона, он же закон инерции Галилея, мы уже упоминали в § 1.1. Смысл этого закона сводится к тому, что само тело изменить свою скорость не может. Первый закон Ньютона определяет инерциальные системы отсчета, и в этом проявляется его фундаментальность. Напомним, что инерциальная система отсчета вследствие принципа относительности является преимущественной, и именно для такой системы мы будем рассматривать законы динамики.

2. Второй закон Ньютона отражает утверждение опыта о том, что причиной изменения скорости тела (т.е. его ускорения) является воздействие на него другого тела. Количественно этот закон выражается формулой: . Опыт показывает (вспомните басню И.А. Крылова про лебедя, рака и щуку), что если на тело действует несколько сил, то их можно заменить одной – равнодействующей, равной векторной (геометрической сумме всех сил), так что уравнение второго закона Ньютона примет вид:

 (2. 2.1)

Второй закон Ньютона можно записать, используя понятие импульса тела: . Разумеется, в правой части этой формулы стоит равнодействующая сил. Второй закон в формулировке Ньютона: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит в направлении той прямой, по которой эта сила действует» соответствует этой формуле. Для случая постоянной силы и прямолинейного движения эта формула принимает вид:

mυ2 mυ1=Ft

(2.2.2)

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы: Ft.

3. Третий закон Ньютона отражается в известной пословице: «Как аукнется, так и откликнется». Этот закон опирается на определение силы как меры воздействия одного тела на другое и на опытный факт, что действие всегда есть взаимодействие:

(2. 2.3)

Здесь индекс 12 принадлежит силе, действующей на первое тело со стороны второго, индекс 21 – силе, действующей со стороны первого тела на второе (т.е. силе противодействия первого тела). Заметим, что сила действия и сила противодействия приложены к разным телам, так что их равнодействующая не имеет смысла.

4. Законы Ньютона являются обобщением опыта, и в этом смысле они фундаментальные законы динамики. Второй закон Ньютона называют основным законом динамики м.т. или уравнением движения. Это означает, что если известны действующие на тело силы, то известно ускорение тела. Зная начальное состояние тела (, ), проинтегрируем уравнение второго закона Ньютона и получим скорость как функцию времени, а затем и закон движения, т.е. решим обратную задачу кинематики: , .

Напомним, что в векторное уравнение числа подставлять нельзя, их можно подставлять только в скалярное (алгебраическое) уравнение. При решении задачи динамики чаще всего бывает целесообразно записать уравнение движения рассматриваемого тела в векторной форме, затем, выбрав подходящие оси координат, записать это уравнение в проекции на соответствующую координатную ось, и после этого интегрировать его и подставлять численные значения.

Курс общей физики, Т.1

Курс общей физики, Т.1
  

Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учебное пособие.— 2-е изд., перераб.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.— 432 с.

Книга представляет собой первый том трехтомного курса общей физики, созданного заведующим кафедрой общей физики Московского инженерно-физического института, заслуженным деятелем науки и техники РСФСР, лауреатом Государственной премии, профессором И. В. Савельевым.

Главная цель книги—познакомить студентов с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысла физических законов и на сознательное применение их.

Данный курс предназначен в первую очередь для втузов с расширенной программой по физике. Однако изложение построено так, что, опустив отдельные места, эту книгу можно использовать в качестве учебного пособия для втузов с обычной программой.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ВВЕДЕНИЕ
ЧАСТЬ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1. Механическое движение
§ 2. Некоторые сведения о векторах
§ 3. Скорость
§ 4. Ускорение
§ 5. Кинематика вращательного движения
ГЛАВА II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 6. Классическая механика. Границы ее применимости
§ 7. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
§ 8. Масса и импульс тела
§ 9. Второй закон Ньютона
§ 10. Единицы и размерности физических величин
§ 11. Третий закон Ньютона
§ 12. Принцип относительности Галилея
§ 13. Силы
§ 14. Упругие силы
§ 15. Силы трения.
§ 16, Сила тяжести и вес
§ 17. Практическое применение законов Ньютона
ГЛАВА III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 18.
Сохраняющиеся величины
§ 19. Кинетическая энергия
§ 20. Работа
§ 21. Консервативные силы
§ 22. Потенциальная энергия во внешнем поле сил
§ 23. Потенциальная энергия взаимодействия
§ 24. Закон сохранения энергии
§ 25. Энергия упругой деформации
§ 26. Условия равновесия механической системы
§ 27. Закон сохранения импульса
§ 28. Соударение двух тел
§ 29. Закон сохранения момента импульса
§ 30. Движение в центральном поле сил
§ 31. Задача двух тел
ГЛАВА IV. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
§ 32. Силы инерции
§ 33. Центробежная сила инерции
§ 34. Сила Кориолиса
§ 35. Законы сохранения в неинерциальных системах отсчета
ГЛАВА V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЁЛА
§ 36. Движение твердого тела
§ 37. Движение центра масс твердого тела
§ 38. Вращение тела вокруг неподвижной оси
§ 39. Момент инерции
§ 40. Понятие о тензоре инерции
§ 41. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
§ 42. Кинетическая энергия тела при плоском движении
§ 43. Применение закона динамики твердого тела
§ 44. Гироскопы
ГЛАВА VI. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
§ 45. Закон всемирного тяготения
§ 46. Гравитационное поле
§ 47. Принцип эквивалентности
§ 48. Космические скорости
ГЛАВА VII. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 49. Общие сведения о колебаниях
§ 50. Малые колебания
§ 51. Комплексные числа
§ 52. Линейные дифференциальные уравнения
§ 53. Гармонические колебания
§ 54. Маятник
§ 55. Векторная диаграмма
§ 56. Биения
§ 57. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
§ 58. Затухающие колебания
§ 59. Автоколебания
§ 60. Вынужденные колебания
§ 61. Параметрический резонанс
ГЛАВА VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 62. Специальная теория относительности
§ 63. Преобразования Лоренца
§ 64. Следствия из преобразований Лоренца
§ 65. Интервал
§ 66. Преобразование и сложение скоростей
§ 67. Релятивистское выражение для импульса
§ 68. Релятивистское выражение для энергии
§ 69. Преобразования импульса и энергии
§ 70. Взаимосвязь массы и энергии
§ 71. Частицы с нулевой массой покоя
ГЛАВА IX. ГИДРОДИНАМИКА
§ 72. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
§ 73. Уравнение Бернулли
§ 74. Истечение жидкости из отверстия
§ 75. Силы внутреннего трения
§ 76. Ламинарное и турбулентное течения
§ 77. Течение жидкости в круглой трубе
§ 78. Движение тел в жидкостях и газах
ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 79. Статистическая физика и термодинамика
§ 80. Масса и размеры молекул
§ 81. Состояние системы. Процесс
§ 82. Внутренняя энергия системы
§ 83. Первое начало термодинамики
§ 84. Работа, совершаемая телом при изменениях объема
§ 85. Температура
§ 86. Уравнение состояния идеального газа
§ 87. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
§ 88. Уравнение адиабаты идеального газа
§ 89. Политропические процессы
§ 90. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах
§ 91. Ван-дер-ваальсовский газ
§ 92. Барометрическая формула
ГЛАВА XI. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
§ 93. Некоторые сведения из теории вероятностей
§ 94. Характер теплового движения молекул
§ 95. Число ударов молекул о стенку
§ 96. Давление газа на стенку
§ 97. Средняя энергия молекул
§ 98. Распределение Максвелла
§ 99. Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла
§ 100. Распределение Больцмана
§ 101. Определение Перреном числа Авогадро
§ 102. Макро- и микросостояния. Статистический вес
§ 103. Энтропия
ГЛАВА XII. ТЕРМОДИНАМИКА
§ 104. Основные законы термодинамики
§ 105. Цикл Карно
§ 106. Термодинамическая шкала температур
§ 107. Примеры на вычисление энтропии
§ 108. Некоторые применения энтропии
§ 109. Термодинамические потенциалы
ГЛАВА XIII. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 110. Отличительные черты кристаллического состояния
§ 111. Классификация кристаллов
§ 112. Физические типы кристаллических решеток
§ 113. Дефекты в кристаллах
§ 114. Теплоемкость кристаллов
ГЛАВА XIV. ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 115. Строение жидкостей
§ 116. Поверхностное натяжение
§ 117. Давление под изогнутой поверхностью жидкости
§ 118. Явления на границе жидкости и твердого тела
§ 119. Капиллярные явления
ГЛАВА XV. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
§ 121. Испарение и конденсация
§ 122. Равновесие жидкости и насыщенного пара
§ 123. Критическое состояние
§ 124. Пересыщенный пар и перегретая жидкость
§ 125. Плавление и кристаллизация
§ 126. Уравнение Клапейрона—Клаузиуса
§ 127. Тройная точка. Диаграмма состояния
ГЛАВА XVI. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
§ 128. Явления переноса
§ 129. Средняя длина свободного пробега
§ 130. Диффузия в газах
§ 131. Теплопроводность газов
§ 132. Вязкость газов
§ 133. Ультраразреженные газы
§ 134. Эффузия
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Вычисление некоторых интегралов
II. Формула Стирлинга
III. Симметричные тензоры второго ранга

Закон охлаждения Ньютона: дифференциальные уравнения — WeTheStudy

Автор Edgar Исчисление, дифференциальные уравнения, математика

Новое в математике

Другим физическим явлением, возникшим в результате применения дифференциальных уравнений (ДУ), является закон охлаждения Ньютона. Сэр Исаак Ньютон интересовался количественным определением потери тепла объектом; следовательно, он вывел формулу, которая будет представлять это событие.

Рассматривайте объект в космосе как чашку с горячей водой в холодной комнате. Скорость охлаждения этой воды в течение определенного периода времени (dT/dt) пропорциональна разнице между температурой объекта (T o ) и окружающей его среды (T s ).

  • dT/dt ∝ (T o -T s )
  • dT/dt = k(To-Ts), где k – константа пропорциональности

Решая это ДУ с помощью разделения переменных и выражая решение в экспоненциальной форме, мы получим: To = Ce kt +T s

Это уравнение является производным выражением закона охлаждения Ньютона. Это общее решение состоит из следующих констант и переменных: (1) C = начальное значение, (2) k = константа пропорциональности, (3) t = время, (4) To = температура объекта в момент времени t и (5) ) Ts = постоянная температура окружающей среды.

Пример

Допустим, у нас есть ситуация, как показано: начальная температура объекта 37,8ºC. Если объекту потребовалось 10 минут, чтобы остыть до 32,2ºС в комнате, где температура 15,6ºС, то сколько еще минут потребуется, чтобы предмет остыл до 26,7ºС?

Решим эту задачу по нашему основному выражению: To = Cekt+Ts. Для начала перечислим важные детали:

  • T1 = 37,8ºC при t 1 = 0 мин (начальное состояние)
  • T2 = 32,2ºC при t 1 мин.
  • T3 = 26,7ºC при t 3 = ? мин (неизвестное условие)
  • TS = 15,6ºC (комнатная температура)

Нам нужно определить количество минут, которое потребуется для достижения 26,7ºC, если 10 минут уже прошли. Чтобы ответить на него, нам нужно найти константы C и k исходя из условий.

  • Для C рассмотрим начальное условие; если вы замените значения на To = Cekt+Ts, тогда C=22,2ºC
  • Для k рассмотрим вторичное условие; если вы замените значения на To = Cekt+Ts, то k=-0,02907

Вы заметите, что это похоже на нахождение частного решения дифференциального уравнения. Знание этих констант даст нам: To = 22,2e-0,02907t+15,6. Это уравнение, которое представляет явление в задаче. Прежде чем продолжить, лучше проверить выражение, подставив условия, и проверить, удовлетворяет ли оно. Ниже вы можете увидеть визуализацию сформулированного уравнения.

Чтобы ответить на проблему, давайте теперь рассмотрим неизвестное условие. Подставим в уравнение To=26,7ºC и найдем оставшуюся переменную t; следовательно, время, необходимое объекту для достижения температуры 26,7ºC, составляет 23,8 мин.

Это не окончательный ответ на вопрос. В нем указано, сколько еще минут потребуется после того, как прошло 10 минут. В этом случае это будет 23,8-10 = 13,8 минут.

применениеисчислениеохлаждениедифференциальные уравненияуравненияматематикаНьютонзакон охлаждения Ньютонарешение

Ньютон и уравнения природы 🍏

Все мы знаем Исаака Ньютона за то, чего он никогда не делал: открытие гравитации , когда яблоко упало ему на голову и разбудило его от дремоты под деревом. Но именно он сам породил легенду. Он был уже довольно стар, когда рассказал, что, увидев падение яблока, понял, что гравитация, притягивающая фрукты к земле, — это та же самая сила, которая удерживает Луну на орбите Земли. Позже все было преувеличено, но верно то, что Ньютон был вдохновлен повседневными событиями, чтобы придумать несколько простых формул для описания движения всего, что он видел. Он был первым, кто сумел объяснить Природу с помощью нескольких математических уравнений, а не просто слов.

Портрет молодого Исаака Ньютона (1689 г.) во время его большого вклада в науку. Автор: Сэр Годфри Кнеллер

Это был стиль Ньютона: орел и решка, как и его самая известная фраза «Если я и видел дальше, то потому, что стоял на плечах гигантов». Взятое из письма Гуку, мы не знаем, было ли это упражнением в скромности или подстрекательством к его врагу, который был довольно невысоким и сгорбленным. Это также было истолковано как дань уважения Коперник, Галилей и Кеплер , на открытиях которых он полагался при написании своих Principia (Математические принципы натуральной философии), работы, благодаря которой Исаак Ньютон вошел в историю в 1687 году благодаря настойчивости Эдмонда Галлея, автора знаменитой кометы. был назван в честь. Галлей финансировал книгу, побуждал его начать ее, а также закончить ее, когда Ньютон захотел отказаться от нее после очередной ссоры с Гуком, который настаивал на том, что идея книги принадлежала ему. Хотя первоначальная идея заключалась в том, чтобы объяснить, почему планеты движутся по эллиптическим орбитам, как сказал Кеплер, Ньютон сделал гораздо больше. Он открыл формулу силы притяжения (гравитации) , которая действует как на небесные тела, так и на объекты на Земле.

Скульптура, посвященная Ньютону, в Британской библиотеке в Лондоне. Credit: muffinn

Это был закон всемирного тяготения, который вместе с другими тремя законами движения точно описывал многие вещи: траекторию планеты, кометы или пули. Это также объяснило приливный цикл, привлекаемый Луной. И эта формула даже объясняла, что Земля не идеальная сфера и почему, когда Земля вращается, мы не выбрасываемся в космос (что происходит с объектами, прикрепленными к колесу). Это было одно из классических возражений тех, кто отказывался верить в то, что Земля движется, как сказал Коперник. Галилей объяснил, что все, что вращается, имеет инерцию, чтобы уйти по касательной, как инерция, которую мы чувствуем, когда едем по кривой в автомобиле.

Оставить комментарий