Значение производной функции: Нахождение производной по определению

(2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции


Решение пределов:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x₀).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x₀ и f ‘(x₀)≠0, тогда ∆y=f’(x₀)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0.

Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x₀)∆x.

то есть ∆y~f’(x₀)∆x. Следовательно, f’(x₀)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ и обозначают dy(x₀) или df(x₀). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда

dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin2(lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример. Для функции y=x³ найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)³ – x³

= x³ + 3x²∆x +3x∆x² + ∆x³ – x³ = 3x²∆x+3x∆x²+∆x³; dy=3x²∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x² + ∆x³.

Вычислите значения производной функции f в данных точках. Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 212 – Рамблер/класс

Вычислите значения производной функции f в данных точках. Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 212 – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания “Останкино”?

Решали? Есть ответ?)
Вычислите значения производной функции f в данных точках:

б) f(x)= x-4√x, х = 0,01, х = 4;

ответы

Есть! Держи)

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

9 класс

11 класс

Химия

похожие вопросы 5

В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309

Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону 
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Почему сейчас школьники такие агрессивные ?

Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь 

Новости10 классБезопасность

11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.

11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 12. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

исчисление – Найдите производную dy/dx при некотором значении x.

спросил

5 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 11 тысяч раз

$\begingroup$

Я знаю, как найти производную функции по заданной функции. Я могу использовать несколько правил для определения производной. Однако в ситуации, когда я должен найти производную, когда значение x равно некоторой константе, я спотыкаюсь. 2}$$ 92}$$

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Все «множество правил», которые вы используете для поиска производной, следуют из определения производной. Чтобы использовать это определение для конкретной функции $f$ в определенной точке, скажем, $x=5$, вы должны найти $$ \lim_{h \rightarrow 5} \frac{f(5+h) -f(5)}{h} . $$

Так запишите это для функции в вашем примере и выполните алгебру с дробями, чтобы найти предел. Затем вы можете проверить с помощью формулы, которую вы знаете. 92}$ также является функцией, и я уверен, что вы знаете, как вычислить $g(5)$. Ну, назовите это $g$ или назовите это $f’$, нет никакой разницы в оценке его для некоторого значения переменной.

Теперь, когда $y=1/x$, мы просто говорим, что $y(x)$ является функцией $x$ и $\frac{dy}{dx}$ есть не что иное, как $y'(x) $.

Итак, определение $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=5}$ обычно записывается как $\lim\limits_{h\to 5}\frac{y(h)-y( 5)}{ч-5}$.

Стало понятнее?

$\endgroup$

1

Примеры вычислений | Приложения интеграции

Шаг 1

Найдите производную от .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 1.1

Найдите первую производную.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 1.1.1

Дифференцируйте.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 1.1.1.1

По правилу сумм производная по отношению к равна .

Шаг 1.1.1.2

Дифференцируйте, используя Правило мощности, которое утверждает, что где .

Шаг 1.1.2

Оценка .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов. ..

Шаг 1.1.2.1

Так как постоянна относительно , ​​то производная по отношению к .

Шаг 1.1.2.2

Дифференцируйте, используя Правило мощности, которое утверждает, что где .

Шаг 1.1.2.3

Умножить на .

Шаг 1.1.3

Дифференцируйте, используя постоянное правило.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 1.1.3.1

Так как постоянна относительно , ​​то производная от относительно .

Шаг 1.1.3.2

Добавить и .

Шаг 1.2

Первая производная по .

Шаг 2

Областью определения выражения являются все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В этом случае нет действительного числа, которое делает выражение неопределенным.

Обозначение интервала:

Обозначение Set-Builder:

Шаг 3

продолжается на .

непрерывный

Шаг 4

Среднее значение функции на интервале определяется как .

Шаг 5

Подставьте фактические значения в формулу для среднего значения функции.

Шаг 6

Разделить один интеграл на несколько интегралов.

Шаг 7

Так как постоянен относительно , ​​выйдите из интеграла.

Шаг 8

Согласно степенному правилу интеграл от .

Шаг 9

Объединить и .

Шаг 10

Применение постоянного правила.

Шаг 11

Замените и упростите.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.1

Вычислить в и в .

Шаг 11.2

Оценка при и при .

Шаг 11.3

Упрощение.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.3.1

Возведение в степень .

Шаг 11.3.2

Отменить общий множитель и .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.3.2.1

Умножить на .

Шаг 11.3.2. 2

Отменить общие коэффициенты.

Коснитесь, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.3.2.2.1

Фактор из .

Шаг 11.3.2.2.2

Отменить общий множитель.

Шаг 11.3.2.2.3

Перепишите выражение.

Шаг 11.3.2.2.4

Разделить на .

Шаг 11.3.3

Возведение в любую положительную степень дает .

Шаг 11.3.4

Отменить общий множитель и .

Коснитесь, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.3.4.1

Фактор из .

Шаг 11.3.4.2

Отменить общие коэффициенты.

Коснитесь, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 11.3.4.2.1

Фактор из .

Шаг 11.3.4.2.2

Отменить общий множитель.

Шаг 11.3.4.2.3

Перепишите выражение.

Шаг 11.3.4.2.4

Разделить на .

Шаг 11.3.5

Умножить на .

Шаг 11.3.6

Добавить и .