Диф уры – .

Дифференциальные уравнения высших порядков без y

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1)  

Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

Действительно, тогда:

И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:

Пример

Решить уравнение:

Решение

Делаем подстановку:

Тогда:

Подставляем:

Разделяем переменные:

При u ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Или:

Отсюда:

Интегрируем:

Интегрируем еще раз:

Интегрируем по частям:

Окончательно имеем:

Заменим постоянную:

 

Теперь рассмотрим случай:

u = 0 также является решением исходного уравнения. Интегрируем:

Ответ

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Диф.уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую
переменную, искомую функцию и ее
производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений:
F (x,y,y’,y’’..y’’’)
= 0

Решением дифференциального уравнения
называется функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его
в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей
в ДУ, называется порядкомэтого
уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется
его интегрированием.

Дифференциальные уравнения первого
порядка

Обыкновенным
дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида
F
(x,
y, y

)=0, где F
— известная функция трех переменных,
x

независимая переменная, y(x)
— искомая функция, y‘(x)
— ее производная.  Если уравнение
F(x,
y, y

)=0 можно разрешить относительно y‘,
то его записывают в виде y‘=f(x,
y
)

Уравнение
y‘=f(x,
y
)
устанавливает связь между координатами
точки (x,
y)
и
угловым коэффициентом
y
касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку.

Дифференциальное
уравнение первого порядка, разрешенное
относительно производной, можно записать
в дифференциальной
форме:

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

Где
P(x;y)
и
Q(x;y)
– известные функции. Уравнение
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
удобно
тем, что переменные в нем равноправны,
т.е. любую из них можно рассматривать
как функцию другой.

 

Если
дифференциальное уравнение первого
порядка y‘=f(x,
y
),
имеет решение, то   решений у него,
вообще говоря, бесконечно много и эти
решения могут быть записаны в виде
y=φ(x,C),
где C

произвольная константа.

Функция

y=φ
(x,C)
называется общим
решением
дифференциального
уравнения 1-го порядка. Она содержит
одну произвольную постоянную и
удовлетворяет условиям:

  1. Функция

    y=φ
    (x,C)
    является решением ДУ при каждом
    фиксированном значении С.

  2. Каково
    бы ни было начальное условие y(x0)=
    y0,
    можно найти такое значение постоянной
    С=С0
    ,
    что
    функция

    y=φ
    (x,C0)
    удовлетворяет данному начальному
    условию.

Частным
решением
ДУ
первого порядка называется любая функция
y=φ(x,C0),
полученная из общего решения y=φ(x,C)
при конкретном значении постоянной
С=С0.

Задача
отысканиярешения ДУ первого порядка
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,
удовлетворяющего заданному начальному
условию y(x0)=
y0
,
называется задачей
Коши.

Теорема
(существования
и единственности решения задачи Коши).

Если
в уравнении y‘=f(x,
y
)
функция f(x,
y
)
и ее частная производная fy(x,
y
)
непрерывны в некоторой области D,
содержащей
точку (x0
;
y0
),
то
существкет единственное решение
y=φ(x)
этого уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
y(x0)=
y0
.
(без доказательства)

Уравнения с
разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка
является уравнение вида

P(x)dx+Q(y)dy=0.

В нем одно слагаемое зависит
только от x,
а другое — от
y.
Иногда такие ДУ
называют уравнениями с разделенными
переменными
.
Проинтегрировав почленно это уравнение,
получаем:

P(x)dx+Q(y)dy
его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения
с разделяющимися переменными, которые
имеют вид:

P1(x)
.
Q1(y)
.

dx+ P
2(x)
.

Q
2(y)
.

dy=0.

Особенность этого уравнения
в том, что коэффициенты представляют
собой произведения двух функций, одна
из которых зависит только от х
другая – только от у.

Уравнение P1(x)
.
Q1(y)
.
dx+
P2(x)
.
Q2(y)
.
dy=0
легко сводится к
уравнению P(x)dx+Q(y)dy=0.
путем почленного
деления его на Q1(y)
.
P2(x)≠0.
Получаем:

,

общий интеграл.

 

Однородные
дифференциальные уравнения

К
уравнению с разделяющимися переменными
приводятся однородные ДУ первого
порядка.

Функция

y=φ
(x,у)
называется однородной
функцией
n-го
порядка
,
если при умножении каждого ее аргумента
на произвольный множитель λ вся функция
умножится на λn,
т.е.

f
.
x;
λ
.
y)=
λn
.
f(x,
y
).

Дифференциальное
уравнение y’=
f(x,
y)
называется
однородным
,
если функция
f(x,
y)

есть однородная функция нулевого
порядка.

Покажем,
что однородное ДУ
y’=
f(x,
y)
можно
записать в виде


Если
f(x,
y)- функция нулевого порядка, то, по
определению, f
(x,
y)= f

.
x;
λ
.
y)

Положив

,
получаем:

Однородное
уравнение

преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными при помощи замены переменной
(подстановки).

или,
что то же самое, y=ux.

Действительно,
подставив
y=ux
и
y’=ux+u
в уравнение
,
получаемux+u=
или
=
u,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными.

Найдя
его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем u
на
.
Получим общее решение (интеграл) исходного
уравнения.

Однородное
уравнение часто задается в дифференциальной
форме:

P(x,
y)
dx
+
Q(x,
y)
dy
= 0

Оно
будет однородным, если
P(x,
y)
и
Q(x, y)-
однородные
функции одинакового порядка.

Переписав
уравнение
P(x,
y)
dx
+
Q(x,
y)
dy
= 0
в
виде


и применив в правой части рассмотренное
выше преобразование, получим уравнение.

Линейные
уравнения. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
линейным,
если его можно записать в виде

y’+p(x)
y=g(x),

где
p(x)
и g(x)
– заданные функции, в частности –
постоянные.

Особенность
ДУ y’+p(x)
y=g(x):
искомая функция y
и
ее производная y
входят в уравнение в первой степени, не
перемножаясь между собой.

Рассмотрим
2 метода интегрирования ДУ– метод
Бернулли и метод Лагранжа.

Метод
И.Бернулли

Решение
уравнения y’+p(x)
y=g(x)
ищется в виде произведения двух других
функций, т.е. с помощью подстановки y=uv,
где u=u(x)
и v=v(x)

неизвестные функции от x,
причем одна из них произвольна (но не
равна 0 — действительно любую функцию
y(x)
можно записать как

,
где
).
Тогдаy’=u
v+u
v.
Подставляя выражения y
и
y
в уравнение y’+p(x)
y=g(x),
получаем: u
v+u
v’+p(x)
u
v=g(x)
или

u’

v+u

(v’+p(x)v)=g(x).

Подберем
функцию v=v(x)
так, чтобы выражение в скобках было
равно 0, т.е. решим ДУ v’+p(x)
v=0.

Итак,
+p(x)
v=0,
т.е.
=-
p(x)
dx.

Интегрируя,
получаем:

Ввиду
свободы выбора функции v(x),
можно принять с=1.

Отсюда

Подставляя
найденную функцию v
в уравнение u
v+u
(
v’+p(x)v)=g(x),
получаем

u=g(x).

Получено
уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем его:

,
,

Возвращаясь
к переменной y,
получаем решение

исходного
ДУ y’+p(x)
y=g(x).

Метод
Лагранжа(метод вариации произвольной
постоянной)

Уравнение
y’+p(x)
y=g(x)
интегрируется следующим образом.

Рассмотрим
соответствующее уравнение без правой
части, т.е. уравнение y’+p(x)
y=0.
Оно
называется линейным
однородным ДУ первого порядка
.
В этом уравнении переменные делятся:

и
.

Таким
образом,
,
т.е.

или
,где
с=

Метод
вариации произвольной постоянной
состоит в том, что постоянную С
в полученном решении заменяем функцией
с(х),
т.е. полагаем с=с(х).

Решение
уравнения y’+p(x)
y=g(x)
ищем в виде

Уравнение
Я.Бернулли

Уравнение
вида

называется
уравнением
Бернулли
.
Покажем, что его можно привести к
линейному.

Если
n=0,
то ДУ

— линейное, а при n=1
с
разделяющимися переменными.

В
общем случае, разделив уравнение
на,
получим:

.

Обозначим
=z.
Тогда z’==(1-n)
.

Отсюда находим
=.

Уравнение
принимает
вид

.

Последнее
уравнение является линейным относительно
z.
Решение его известно. Таким образом,
подстановка

z=
сводит уравнение
к линейному.

Уравнение
в полных дифференциалах.

Уравнение
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
называется уравнением
в полных дифференциалах
,
если его левая часть есть полный
дифференциал некоторой функции u(x;y),
т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

В
этом случае ДУ P(x;y)dx+Q(x;y)dy
можно записать в виде du(x;y)=0,
а его общий интеграл будет:

u(x;y)=c.

Приведем
условие, по которому можно судить, что
выражение

Δ=
P(x;y)dx+Q(x;y)dy

Есть
полный дифференциал.

Теорема.

Для
того, чтобы выражение Δ=
P(x;y)dx+Q(x;y)dy,
где функции P(x;y)
и Q(x;y)
и их частные производные
инепрерывны в некоторой областиD
плоскости Оху,
было полным дифференциалом, необходимо
и достаточно выполнение условия

=

Необходимость

Пусть
Δ
есть полный дифференциал, т.е.
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая,
что du(x;y)=
dx+
dy,
имеем:

P(x;y)=
;Q(x;y)=
.

Дифференцируя
эти равенства по у
и
по х
соответственно,
получаем

=и=.

А
так как смешанные частные производные

иравны между собой, получаем=.

Достаточность

Пусть
в области D
выполняется условие
=.
Покажем, что существует функцияu(x;y)
в области D
такая, что

du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Найдем
эту функцию. Искомая функция должна
удовлетворять требованиям:

=P(x;y)
и
=Q(x;y).

Если
в уравнении
=P(x;y)
зафиксировать у
и проинтегрировать его по х,
то получим:

u(x;y)=
.

Здесь
произвольная постоянная с=
зависит
от у
. В решении

u(x;y)=
не
известна лишь
.
Для ее нахождения продифференцируем
данную функцию поу:

.

Используя
второе равенство
=Q(x;y),
можно записать:

.

Отсюда

.

В
этом равенстве левая часть зависит от
у.
Покажем, что и правая часть равенства
зависит только от у.

Для
этого продифференцируем правую часть
по х
и убедимся, что производная равна 0.
Действительно,

=
=

=в силу условия=.

Из
равенства
находим:

,
с-const.

Подставляя
найденное значение для
в равенствоu(x;y)=
,
находим функциюu(x;y)
такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Таким
образом, при решении ДУ вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
сначала проверяем выполнение условия
=.
Затем, используя равенства=P(x;y)
и
=Q(x;y),
находим функцию u(x;y).
Решение записываем в виде u(x;y)=с.

Дифференциальные
уравнения высших порядков.

Основные
понятия.

Дифференциальные
уравнения порядка выше первого называются
ДУ высших
порядков
.
ДУ второго порядка в общем случае
записывается в виде

F(x;y;y’;y’’)=0

Или,
если это возможно, в виде, разрешенном
относительно старшей производной
:

y’’=f(x;y;y’).

РешениемДУ y’’=f(x;y;y’)называется всякая функцияу=
,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.

Общим
решением

ДУ y’’=f(x;y;y’)
называется
функция у=
,
где
и— не зависящие отх
произвольные постоянные.

Аналогичные
понятия и определения имеют место для
ДУ n-го
порядка
,
которое в общем виде записывается как
F(x;y;y’;y’’;…;
)=0.

Уравнения,
допускающие понижение порядка

Одним
из методов интегрирования ДУ высших
порядков является метод
понижения порядка
.
Суть метода состоит в том, что с помощью
замены переменной данное ДУ сводится
к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим
3 типа уравнений, допускающих понижение
порядка.

  1. Пусть
    дано уравнение y’’=f(x).
    Порядок можно понизить, введя новую
    функцию p(x),
    положив y’=p(x).
    Тогда y’’=p’(x)
    и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x).
    Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х),
    решим уравнение у’=р(х).
    Получим общее решение заданного
    уравнения y=f(x).

  1. Пусть
    дано уравнение y’’=f(x;y’),
    не
    содержащее явно искомой функции у.

Обозначим
у’=р,
где р=р(х)
– новая неизвестная функция. Тогда
у’’=p
и уравнение y’’=f(x;y’)
принимает
вид
р’=
f(x;p).
Пусть
р=


общее решение
полученного
ДУ первого порядка. Заменяя функцию р
на у’,
получаем ДУ: y’=
.

Оно имеет вид
y’’=f(x).
Для отыскания у достаточно проинтегрировать
последнее уравнение. Общее решение
уравнения y’’=f(x;y’)
будет иметь вид

у=
.

Частным
случаем уравнения y’’=f(x;y’)
является уравнение y’’=f(y’),
не содержащее также и независимую
переменную х.
Оно интегрируется тем же способом:
y’=p(x),
y’’=p’=
.

Получаем уравнение p’=f(p)
с
разделяющимися переменными.

  1. Рассмотрим
    уравнение y’’=f(y;y’),
    которое не
    содержит

    явно

независимой
переменной х.

Для
понижения порядка уравнения введем
новую функцию р=р(у),
зависящую от переменной у,
полагая y’=p.
Дифференцируем это равенство по х,
учитывая, что р=р(у(х)):

,
т.е.
=.
Теперь уравнениеy’’=f(y;y’)
запишется
в виде
=
f(y;p).

Пусть
р=
является общим решением этого ДУ первого
порядка. Заменяя функцию р(у)
на y,
получаем y’=
— ДУ с разделяющимися переменными.
Интегрируя его, находим общий интеграл
уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным
случаем уравнения y’’=f(y;y’)
является ДУ y’’=f(y).
Такое уравнение решается при помощи
аналогичной подстановки: y’=p(y),
y’’=.

Линейные
дифференциальные уравнения высших
порядков.

Основные
понятия

Уравнения
вида

,

где

заданные функции (отх),
называется линейным
дифференциальным уравнением
n-го
порядка.

Оно
содержит искомую функцию у
и все ее производные лишь в первой
степени. Функции
называютсякоэффициентами
уравнения, а функция g(x)
– его свободным
членом.

Если
свободный член g(x)=0,
то уравнение
называетсялинейным
однородным

уравнением, иначе – неоднородным.

Разделив
уравнение
наи
обозначив

запишем
уравнение
в видеприведенного:

Линейные
однородные дифференциальные уравнения
второго порядка

Рассмотрим
ЛОДУ второго порядка:

И
установим некоторые свойства его
решений.

Теорема:

Если
функции
иявляются частными решениями уравнения,
то решением этого уравнения является
также функция

studfiles.net

Дифференциальные уравнения Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка

План лекции

19.1.
Задачи,
приводящие к дифференциации уравнениям.

19.2. Основные понятия
о дифференциальных уравнениях.

19.3. Уравнение
первого порядка с разделяющимися
переменными.

19.4. Однородные
уравнения.

19.5. Дифференциальные уравнения,
приводящиеся к однородным.

19.6. Линейные уравнения и уравнения
Бернулли.

19.7. Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах.

19.1

В различных областях науки и техники
весьма часто выражаются задачи, для
решения которых требуется решить одно
или несколько уравнений, содержащих
производные искомых функций. Такие
уравнения называются дифференциальными.
Рассмотрим несколько задач, приводящих
к дифференциальным уравнениям.

Задание
1.
на плоскости
ХОУ найти кривую, проходящую через
О(0;0), у которой угловой коэффициент
касательной, проведен к любой точке
кривой, равен удвоенной абсциссе точки
касания.

Пусть
у = f(x)
– уравнение искомой кривой. По условию
известно, что в каждой точке M(x;f(x))
есть касательная к этой кривой, угловой
коэффициент которой, то есть f/(x)
равняется 2х. Найти уравнение кривой.

Таким
образом, имеем
(1).

Из
(1) следует, что y
=
f(x)
есть первообразная для .
Следовательно,

(2).

Из
(2) следует, что дифференциальное уравнение
(1) имеет бесконечное множество решений,
то есть уравнению (1) удовлетворяет не
одна кривая, а бесконечное множество
парабол. Чтобы из этого множества кривых
выбрать нужную кривую, надо воспользоваться
тем, что искомая кривая проходит через
точку О(0;0). Следовательно, координаты
О должны удовлетворять (2). Поэтому О
= О + С
, то
есть С = О.
Значит, искомая кривая будет
.

Задание
2.
Найти закон
уравнения свободного падающего в пустоте
тела, если пройденный путь начинает
отсчитываться от момента времени t
= 0
и начальная
скорость падения равна нулю. Скорость
в этом случае выражается, как известно,
формулой
.

Решение.

(3)
следовательно, S
– первообразная для gt,
следовательно
.
Имеем.следовательно,
то,
то есть.

Задание
3.
Пусть тело
имеющее температуру Q0
в момент
времени t=0,
помещено в среду температуры Q(Q0>Q).
Требуется найти закон, по которому
изменяется температура тела в зависимости
от времени. Искомая температура есть
функция от времени, которую обозначают
через Q(t).

Из
функции известно, что скорость движения
тела пропорциональна разности температур
тела и окружающей среды. Учитывая, что
функция Q(t)
убывает, в силу максимального смысла
произведения получаем
,
гдеk
– коэффициент пропорциональности.
,.

Заметим,
что уравнение (4) при Q=0
так же записывает радиоактивный распад.

В
рассмотренных задачах мы приходим к
дифференциации уравнения вида
.
Это уравнение является простейшим
дифференциальным уравнением. Однако в
большинстве случаев естественные и
технические процессы описываются
гораздо более общими и сложными
дифференциальными уравнениями.

19.2.

Дифференциальным
уравнением называется
соотношение, связывающее независимую
переменную х,
искомую функцию y
=
f(x)
и ее производные.
Порядок старшей производной, входящей
в дифференциальное уравнение, называется
порядком данного уравнения.

Общий
вид дифференциального уравнения:
F(x,y.y/,…y(n))
= 0

(1).

Причем
F(x,y.y/,…y(n))
может не
зависеть от некоторых величин x,y.y/,…
Но если это уравнение n-го
порядка, то от y(n)
обязательно зависит.

Например,
у/
+ ху = 0, у
//+2у/
= 1,

1-го
порядка 2-го порядка 1-го порядка.

Всякая
функция
,
которая, будучи подставлена в уравнение
(1), обращает его в тождество, называетсярешением
этого уравнения.

График
решения обыкновенного дифференциального
уравнения n-го
порядка будем называть интегральной
кривой этого уравнения.

Например,
является ли функция y
= 1+2
e-4x
решением дифференциального уравнения
а)
,
б).
Найдему/
и у//
и подставим у,
у
/,
у
//
в данные
уравнения:

,

а)
б)

0
= 0 –
верно

— ложно.

Следовательно,
данная функция решения дифференциального
уравнения а) не является решением
дифференциального уравнения б).

Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
соотношение вида F(x,y,y/)
= 0
(2) — в
полном виде.

Относительно
y/:
— в явном или естественном его можно
разрешить. (2/).

Решением
дифференциального
уравнения первого порядка называется
функция
,
зависящая от переменойx
и от произвольной постоянной C,
обращающая уравнение (2) в верное
равенство.

Иногда
решение уравнения может быть получено
и неявной форме: Ф(х,у,с)
= 0
или Ф(х,у) =
С.

Решить данное
дифференциальное уравнение – значит
найти его общее решение в той или иной
форме.

Решение,
которое получается из общего решения
при котором фиксированном значение
произвольной постоянной C,
называется частным
решением.

Частное решение
выделяется из общего с помощью так
называемого начального условия.

Условие,
что при х =
х
0
функция у
должна равняться заданному числу у0
называется начальным
условием.

Пример.
По общему решению дифференциального
уравнения у
= сх
2
+ х
2sinx.
Найти частное решение удовлетворяющее
начальному условию

Тогда
частное решение имеет вид:
.

Общим
решением

дифференциального уравнения n-го
порядка F(x,y,…y/)
= 0
(1)
называется функция
,
зависящая отn
произвольных постоянных и образующая
уравнение (1) в тождество.

Решение,
получаемое из общего при закреплении
постоянных С1,
С
2,,….Сn
называются частными.

Пусть
при заданном значении х
= х
0
функция у
и ее первые (n-1)
производная принимают значения:
.
Эти условия называются начальными. С
их помощью можно выделить из общего
решения единственное частное решения.

Пример.
По общему решению дифференциального
уравнения
.
Найти частное отвечающее условию(так как в общем решении 2 постоянных,
то это решение дифференциального
уравнения 2-го порядка).

,
,

,,


частное решение.

Остановимся далее на отдельных видах
дифференциальных уравнений и методах
их решения.

19.3.

studfiles.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о