Диф уры – .

Дифференциальные уравнения высших порядков без y

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1)  

Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

Действительно, тогда:

И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:

Пример

Решить уравнение:

Решение

Делаем подстановку:

Тогда:

Подставляем:

Разделяем переменные:

При u ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Или:

Отсюда:

Интегрируем:

Интегрируем еще раз:

Интегрируем по частям:

Окончательно имеем:

Заменим постоянную:

 

Теперь рассмотрим случай:

u = 0 также является решением исходного уравнения. Интегрируем:

Ответ

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Диф.уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x,y,y’,y’’..y’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядкомэтого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y‘ )=0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y(x) — искомая функция, y‘(x) — ее производная.  Если уравнение F(x, y, y‘ )=0 можно разрешить относительно y‘, то его записывают в виде y‘=f(x, y)

Уравнение y‘=f(x, y) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y‘ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

Где P(x;y) и Q(x;y) – известные функции. Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

 

Если дифференциальное уравнение первого порядка y‘=f(x, y), имеет решение, то   решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде

y=φ(x,C), где C — произвольная константа.

Функция y=φ(x,C) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

  1. Функция y=φ(x,C) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С.

  2. Каково бы ни было начальное условие y(x0)= y0, можно найти такое значение постоянной С=С0 , что функция y=φ(x,C0) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ(x,C0

), полученная из общего решения y=φ(x,C) при конкретном значении постоянной С=С0.

Задача отысканиярешения ДУ первого порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, удовлетворяющего заданному начальному условию y(x0)= y0 , называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении y‘=f(x, y) функция f(x, y) и ее частная производная fy(x, y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x0 ; y0 ), то существкет единственное решение

y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)= y0 . (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

P(x)dx+Q(y)dy=0.

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

P(x)dx+Q(y)dy=с – его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

P1(x) . Q1(y) . dx+ P2(x) . Q2(y) . dy=0.

Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.

Уравнение P1(x) . Q1(y) . dx+ P2(x) . Q2(y) . dy=0 легко сводится к уравнению P(x)dx+Q(y

)dy=0. путем почленного деления его на Q1(y) . P2(x)≠0. Получаем:

, – общий интеграл.

 

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция y=φ(x,у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn, т.е.

f . x; λ . y)= λn . f(x, y).

Дифференциальное уравнение y’= f(x, y) называется

однородным, если функция f(x, y) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ y’= f(x, y) можно записать в виде

Если f(x, y)- функция нулевого порядка, то, по определению, f(x, y)= f . x; λ . y)

Положив , получаем:

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки).

или, что то же самое, y=ux.

Действительно, подставив y=ux и y’=ux+u в уравнение , получаемux+u= или =u, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

P(x, y) dx + Q(x

, y) dy = 0 Оно будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y)- однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение.

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

y’+p(x) y=g(x),

где p(x) и g(

x) – заданные функции, в частности – постоянные.

Особенность ДУ y’+p(x) y=g(x): искомая функция y и ее производная y входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим 2 метода интегрирования ДУ– метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод И.Бернулли

Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки y=uv, где u=u(x) и v=v(x) – неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна (но не равна 0 – действительно любую функцию y(x) можно записать как

, где

). Тогдаy’=uv+u v. Подставляя выражения y и y в уравнение y’+p(x) y=g(x), получаем: uv+u v’+p(x) u v=g(x) или

u’ v+u (v’+p(x)v)=g(x).

Подберем функцию v=v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е. решим ДУ v’+p(x) v=0.

Итак, +p(x) v=0, т.е. =-p(x) dx.

Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с=1.

Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение uv+u (v’+p(x)v)=g(x), получаем

u=g(x).

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, ,

Возвращаясь к переменной y, получаем решение

исходного ДУ y’+p(x) y=g(x).

Метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение y’+p(x) y=g(x) интегрируется следующим образом.

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение y’+p(x) y=0. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

и .

Таким образом, , т.е.

или ,где с=

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х).

Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищем в виде

Уравнение Я.Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение на, получим:

.

Обозначим =z. Тогда z’==(1-n) . Отсюда находим =. Уравнение принимает вид

.

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка

z= сводит уравнение к линейному.

Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

В этом случае ДУ P(x;y)dx+Q(x;y)dy можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет:

u(x;y)=c.

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение

Δ= P(x;y)dx+Q(x;y)dy

Есть полный дифференциал.

Теорема.

Для того, чтобы выражение Δ= P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные инепрерывны в некоторой областиD плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

=

Необходимость

Пусть Δ есть полный дифференциал, т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая, что du(x;y)= dx+ dy, имеем:

P(x;y)= ;Q(x;y)= .

Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

=и=.

А так как смешанные частные производные иравны между собой, получаем=.

Достаточность

Пусть в области D выполняется условие =. Покажем, что существует функцияu(x;y) в области D такая, что

du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

=P(x;y) и =Q(x;y).

Если в уравнении =P(x;y) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим:

u(x;y)= .

Здесь произвольная постоянная с= зависит от у . В решении

u(x;y)= не известна лишь . Для ее нахождения продифференцируем данную функцию поу:

.

Используя второе равенство =Q(x;y), можно записать:

.

Отсюда .

В этом равенстве левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна 0. Действительно,

= =

=в силу условия=.

Из равенства находим:

, с-const.

Подставляя найденное значение для в равенствоu(x;y)= , находим функциюu(x;y) такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Таким образом, при решении ДУ вида P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 сначала проверяем выполнение условия =. Затем, используя равенства=P(x;y) и =Q(x;y), находим функцию u(x;y). Решение записываем в виде u(x;y)=с.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x;y;y’;y’’)=0

Или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

y’’=f(x;y;y’).

РешениемДУ y’’=f(x;y;y’)называется всякая функцияу= ,которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ y’’=f(x;y;y’) называется функция у= ,где и– не зависящие отх произвольные постоянные.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как F(x;y;y’;y’’;…; )=0.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

  1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y=f(x).

  1. Пусть дано уравнение y’’=f(x;y’), не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p и уравнение y’’=f(x;y’) принимает вид р’=f(x;p). Пусть р= – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= . Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид

у= .

Частным случаем уравнения y’’=f(x;y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= . Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

  1. Рассмотрим уравнение y’’=f(y;y’), которое не содержит явно

независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

, т.е. =. Теперь уравнениеy’’=f(y;y’) запишется в виде =f(y;p).

Пусть р= является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y, получаем y’= – ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным случаем уравнения y’’=f(y;y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’=.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия

Уравнения вида

,

где – заданные функции (отх), называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции называютсякоэффициентами уравнения, а функция g(x) – его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение называетсялинейным однородным уравнением, иначе – неоднородным.

Разделив уравнение наи обозначив

запишем уравнение в видеприведенного:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:

И установим некоторые свойства его решений.

Теорема:

Если функции иявляются частными решениями уравнения, то решением этого уравнения является также функция

studfiles.net

Дифференциальные уравнения Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка

План лекции

19.1. Задачи, приводящие к дифференциации уравнениям.

19.2. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

19.3. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

19.4. Однородные уравнения.

19.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

19.6. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

19.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

19.1

В различных областях науки и техники весьма часто выражаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задание 1.на плоскости ХОУ найти кривую, проходящую через О(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведен к любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Пусть у = f(x) – уравнение искомой кривой. По условию известно, что в каждой точке M(x;f(x)) есть касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, то есть f/(x) равняется 2х. Найти уравнение кривой.

Таким образом, имеем (1).

Из (1) следует, что y = f(x) есть первообразная для . Следовательно, (2).

Из (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то есть уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную кривую, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О(0;0). Следовательно, координаты О должны удовлетворять (2). Поэтому О = О + С, то есть С = О. Значит, искомая кривая будет .

Задание 2. Найти закон уравнения свободного падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Решение.

(3) следовательно, S – первообразная для gt, следовательно . Имеем.следовательно, то, то есть.

Задание 3. Пусть тело имеющее температуру Q0 в момент времени t=0, помещено в среду температуры Q(Q0>Q). Требуется найти закон, по которому изменяется температура тела в зависимости от времени. Искомая температура есть функция от времени, которую обозначают через Q(t).

Из функции известно, что скорость движения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция Q(t) убывает, в силу максимального смысла произведения получаем , гдеk – коэффициент пропорциональности. ,.

Заметим, что уравнение (4) при Q=0 так же записывает радиоактивный распад.

В рассмотренных задачах мы приходим к дифференциации уравнения вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются гораздо более общими и сложными дифференциальными уравнениями.

19.2.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y.y/,…y(n)) = 0 (1).

Причем F(x,y.y/,…y(n)) может не зависеть от некоторых величин x,y.y/,… Но если это уравнение n-го порядка, то от y(n) обязательно зависит.

Например, у/ + ху = 0, у//+2у/ = 1,

1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называетсярешением этого уравнения.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка будем называть интегральной кривой этого уравнения.

Например, является ли функция y = 1+2e-4x решением дифференциального уравнения а) , б). Найдему/ и у// и подставим у, у/, у// в данные уравнения:

,

а) б)

0 = 0 – верно – ложно.

Следовательно, данная функция решения дифференциального уравнения а) не является решением дифференциального уравнения б).

Дифференциальное уравнение первого порядка называется соотношение вида F(x,y,y/) = 0 (2) – в полном виде.

Относительно y/: – в явном или естественном его можно разрешить. (2/).

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , зависящая от переменойx и от произвольной постоянной C, обращающая уравнение (2) в верное равенство.

Иногда решение уравнения может быть получено и неявной форме: Ф(х,у,с) = 0 или Ф(х,у) = С.

Решить данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение в той или иной форме.

Решение, которое получается из общего решения при котором фиксированном значение произвольной постоянной C, называется частным решением.

Частное решение выделяется из общего с помощью так называемого начального условия.

Условие, что при х = х0 функция у должна равняться заданному числу у0 называется начальным условием.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения у = сх2 + х2sinx. Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию

Тогда частное решение имеет вид: .

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,…y/) = 0(1) называется функция , зависящая отn произвольных постоянных и образующая уравнение (1) в тождество.

Решение, получаемое из общего при закреплении постоянных С1, С2,,….Сn называются частными.

Пусть при заданном значении х = х0 функция у и ее первые (n-1) производная принимают значения: . Эти условия называются начальными. С их помощью можно выделить из общего решения единственное частное решения.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения . Найти частное отвечающее условию(так как в общем решении 2 постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка).

, ,

,,

– частное решение.

Остановимся далее на отдельных видах дифференциальных уравнений и методах их решения.

19.3.

studfiles.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о