Дифференциальные формы для чайников – Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы

Содержание

Дифференциальная форма – Физическая энциклопедия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА -алгебраич. функция от дифференциалов координат. Используется в матем. анализе и дифференц. геометрии, а также в их приложениях. В физ. приложениях дифференциал координаты, , понимают как “бесконечно малое приращение” и заменяют конечным, но достаточно малым приращением . Поэтому Д. ф. оказывается ф-цией, зависящей от разностей координат двух “бесконечно близких” точек. Д. ф. можно определить в любом многообразии.

Важнейшим примером Д. ф. является метрика (квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в римановом пространстве) , определяемая метрическим тензором (но повторяющимся индексам подразумевается суммирование, п – размерность многообразия). Произвольная симметричная Д. ф. степени r имеет вид и определяется симметричным ковариантным тензорным полем ранга r (см. Тензор), Несимметричное ковариантное тензорное поле также определяет Д. ф. В этом случае входящие в определение формы дифференциалы (приращения) координат, различны: . Напр., антисимметричный дискриминантный тензор определяет в

n-мерном евклидовом пространстве форму степени п вида – элемент объёма (это объём параллелепипеда, вдоль j-й стороны к-рого приращение координат равно ).

При переходе к др. системе координат дифференциалы и коэф. Д. ф. меняются согласованно, так что сама форма остаётся неизменной (инвариантной).

Особенно важны т. н. внешние Д.ф., определяемые тензорами, антисимметричными по всем индексам. Для внешней Д.ф. степени (ранга) r используют запись


где (т. н. внешнее произведение дифференциалов) – формальное выражение, антисимметричное по всем индексам. Коэф. не обязательно антисимметричны, но в Д. ф. даёт вклад лишь антисимметричная часть, . Выражение (*) пригодно лишь в том случае, если всё многообразие покрывается одной системой координат. В противном случае Д.ф. следует представить в виде суммы Д.ф., каждая из к-рых обращается в ноль за пределами одной координатной окрестности, т. е. представима в виде (*). Внешнюю Д. ф. ранга r обычно наз. r-формой. Внешняя Д. ф не может иметь ранг выше п (иначе она обращается в ноль). Формой ранга 0 по определению является ф-ция на многообразии (тензор нулевого ранга). Каждой

r-форме вида (*) можно сопоставить (r + 1)-форму , к-рая наз. внешней производной или внешним дифференциалом формы . Вторичное применение операции d обращает в ноль любую внешнюю Д. ф., т. е. . Внешняя производная 0-формы, т. е. ф-ции, совпадает с её дифференциалом,, поэтому


Внешняя Д. ф. наз. замкнутой, если =0, и точной, если существует такая форма , что . В силу свойства dd=0 всякая точная форма является замкнутой. Обратное справедливо не всегда, напр. это так на многообразии, покрываемом одной системой координат. Поэтому классы замкнутых форм, отличающихся на точные формы, можно использовать для характеристики

топологии многообразия.

Для r-формы и s-формы определена (r+s)-форма


наз. их внешним произведением и удовлетворяющая соотношениям:


В n-мерном евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве, где при помощи метрич. тензора можно поднимать тензорные индексы, для внешних Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д.ф. (см. также Дуальные тензоры):


переводящая r-форму в (п – r

)-форму.

В римановом пространстве внеш. производную можно выразить через ковариантные производные,


т. к. в силу симметричности Кристоффеля символов члены, отличающие ковариантную производную от обычной, не дают вклада в . Дуальная форма в римановом пространстве определяется как


где индексы подняты при помощи метрич. тензора, а вместо дискриминантного тензора использован тензор (точнее, тензорная плотность) Леви-Чивиты


Оператор * в этом случае наз. операторомХоджа. В римановом пространстве вводят также операцию внешнего кодифференциала, понижающего ранг формы:


Эти операции обладают след. свойствами:


На ориентируемых многообразиях корректно определён интеграл от внешней Д. ф. макс. ранга. Если п – размерность многообразия, то


и поэтому n-форму можно представить в виде


где (последнее равенство справедливо лишь в случае, когда величина антисимметрична по всем индексам). При замене координат величина s преобразуется по закону

,

совпадающему с законом преобразования плотности, если якобиан, , положителен. Поэтому величина ведёт себя как плотность для ориентируемых многообразий. Для такого многообразия интеграл от формы равен


где фигурирует система координат положительной ориентации.

Если – нек-рая форма макс. ранга на ориентируемом многообразии, то умножая её на произвольную ф-цию , можно получить новую форму , к-рую также можно интегрировать. Поэтому форму можно использовать как меру, чтобы интегрировать по этой мере любые ф-ции на многообразии. В частности, на римановом ориентируемом многообразии можно использовать форму (риманову меру). Интегрирование форм является мощным инструментом в приложениях гл. обр. потому, что для интегралов от форм справедлива теорема, обобщающая

Стокса формулу из обычного векторного анализа в . В общем случае теорема Стокса выражается ф-лой , где через обозначена границa M. Для многообразия M размерности п ранг формы равен n-1 и совпадает с размерностью многообразия . Ориентация многообразия в теореме Стокса согласуется с ориентацией многообразия M. Для этого в M (в окрестности нек-рой граничной точки его) выбирается такая система координат , в к-рой граница определяется условием , а внутр. точкам многообразия M соответствуют значения хn
>0. Тогда совокупность чисел может служить системой координат на .

Частными случаями сформулиров. теоремы являются не только обычная ф-ла Стокса, но и ф-ла Гаусса- Остроградского, и целый ряд других интегр. соотношений, применяемых в физике, в частности в теории поля.

На примере электродинамики видно, как естественно выражаются физ. законы в терминах внеш. форм и интегралов от них: 4-вектор тока Ii (i = 0, 1, 2, 3) определяет 1-форму , а тензор напряжённости эл–магн. поля Fij – 2-форму в пространстве-времени (x0=ct). В этих терминах первая пара ур-ний Максвелла (к-рая в обычных 4-мерных обозначениях записывается как ) принимает вид

dF=0, а вторая выражается через дуальные формы в виде . С помощью теоремы Стокса из этих ур-ний легко выводятся соотношения (интегр. форма ур-ний Максвелла)

,

где V – любая 3-мерная гиперповерхность в 4-мерном пространстве-времени. Напр., если V – чисто пространств. объём (т. е. область на гиперплоскости пост. временя), то первое соотношение означает обращение в ноль магн. потока через любую замкнутую поверхность, а второе утверждает, что поток электрич. поля через замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, находящемуся внутри неё.

Лит.: Арнольд В.И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и приложения, 2 изд., M., 1985; 3орич В. А., Математический анализ, ч. 1-2, M., 1981-84; Шутц Б., Геометрические методы математической физики, пер. с англ., M., 1984.

M. Б. Менский.

      Предметный указатель      >>   

www.femto.com.ua

08. Внешние дифференциальные формы | Решение задач по математике и дру

Пусть – координаты в окрестности точки . Определим дифференциальные формы (), которые составляют базис сопряженного пространства линейных форм : Внешней формой степени называется ковариантное кососимметрическое тензорное поле .

Следовательно, компонентами кососимметрического тензорного поля являются величины , а образуют базис пространства кососимметрических форм степени : .

Пример. Формы степени 1 образуют пространство линейных дифференциальных форм или форм Пфаффа вида . Дифференциал гладкой функции , заданной на многообразии можно рассматривать как 1-форму : .

Внешним дифференциалом -формы называется следующая форма степени :

.

Пример. Внешним дифференциалом 1-формы

будет 2-форма .

Как известно, операция внешнего дифференцирования линейна и обладает свойством: для произвольной внешней формы .

Подробно остановимся на операции

Внутреннего произведения произвольного векторного поля и некоторой -формы . Определим внутреннее произведение как форму степени , билинейную по обоим аргументам, так что достаточно знать внутреннее произведение на базисных элементах. Положим

Например, . Так что, если дано векторное поле , и некоторая 2-форма , то

Отметим следующее свойство внутреннего произведения : для произвольной -формы и формы : .

Литература. 1. Ф. Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп Ли,

гл.1, с.49.гл2, с.84.

2. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии, гл.2,

параграф 8

3. П. Олвер. Приложение групп Ли к дифференциальным

уравнениям, гл.1, с.63.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы

1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме

Пусть открытое множество, точка , .

Определение. Дифференциальной формой порядкаk в области называется выражение:

где функции – гладкие,– внешнее произведение (операция), обладающее свойствами:

1) – ассоциативность;

2) -антисимметричность;

3) некоторые функции – полилинейность.

Определим замену переменных в дифференциальной форме. Пусть – дифференциальная форма порядкаk в пространстве ,,, открытое – замена переменных, т.е.

Дифференциалы этих функций имеет вид:

Замена переменных в дифференциальной формепорядкаk в пространстве определяет новую дифференциальную формупорядкаk в пространстве по правилу:

2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал

Пусть – дифференциальная форма порядкаk в .

Дифференциалом дифференциальной формыпорядкаk в называется новая дифференциальная форма порядкаk+1 в , получаемая по правилу:

Теорема. Для любой формы .

Доказательство. Достаточно доказать для формы вида

.

Имеем

Рассмотрим следующие случаи:

1) если соответствующие слагаемые =0;

2) если весть два слагаемых, сумма которых =0. Теорема доказана.

3. Замкнутые и точные дифференциальные формы

Дифференциальная форма называется замкнутой в области, есливU.

Дифференциальная форма называется точной в области, если.

Лемма. Всякая точная форма является замкнутой.

Доказательство вытекает из того, что – замкнутая форма.

Теорема Пуанкаре. Если – гладкая форма и U – односвязная область, то всякая замкнутая форма является точной.

ЛЕКЦИЯ 24

-мерные гладкие поверхности в Rn. Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы в Rn

1. -мерные гладкие поверхности вRn. Площадь поверхности

Определение. -мерная поверхностьS в задается параметрически при помощипараметров следующим образом:

Если -мерная поверхность в.– дифференциальная форма порядкаk в , то ее сужение наS есть новая дифференциальная форма порядкаk в , определенная по правилу:

Пусть ,

– k-мерная поверхность в ,.

Пусть – множество изk векторов в .

– объем параллелепипеда, натянутого на эти k векторов.

Этой объем можно определить по индукции:

Пусть матрица порядка имеет вид. Эта симметричная матрица называется матрицей Грама. Её определитель обозначим

.

Отметим некоторые свойства определителя Грама:

1.,

2. – линейны зависимы.

Отметим, что

Теорема. .

Запишем касательные векторы к поверхности :

Определение. Площадью поверхности называется число.

Понятие площади поверхности позволяет легко определить поверхностный интеграл первого рода. Пусть –-мерная поверхность ви задана функция.

Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхностиназывается число.

В частности, .

Если векторы – попарно ортогональны то.

2. Площадь поверхности сферы в Rn

Пусть – сфера радиуса. Будем использовать ортогональную сферическую систему координат для параметрической записи сферы:

,

Найдем касательные векторы и их длины:

………….

Отсюда

.

Площадь поверхности сферы равна

studfiles.net

Дифференциальные формы в физике : Помогите решить / разобраться (Ф)

Хоть книга и не написана в таком уж тяжелом математическом стиле у меня не хватило силы воли её осилить


У меня тоже.

Проработал параграфы 1-9, 15-18, потом читал (електродинамику я пропустил, наверное зря но уравнения грав. поля можна получить без неё, а уже потом когда я их пойму, можно будет вернуться к 4-потенциалу и т.д.)


Очень сильно зря.

Дело не в том, что электродинамика и гравитация – это разные независимые физические явления. Дело в том, что теория гравитации строится по образу и подобию теории электродинамики. А ЛЛ – это Теоретическая физика. Соответственно, там идёт очень много отсылок назад, которые вы не улавливаете.

Просто совет, вернитесь и прочитайте электродинамику хотя бы в объёме §§ 15-38, 46, 52, 53, 62-63, и может быть, 66-67, 71.

Прогресс однако был в понимании СТО, после попыток понять МТУ, и ЛЛ2 я рынулся к другим книгам. Например, лекции Дирака, книга Хрипловича, Паули, Толмен, Меллер, Мак-Витти, Боулер, Фок, Эдингтон…


Вы пробовали Вайнберга Гравитация и космология? У меня она была где-то среди первых трёх (вместе с ЛЛ-2 и МТУ), и сильно помогла.

После (кроме) неё, ЛЛ-2 и МТУ – всё равно обязательны.

Сейчас я думаю нет необходимости углублять знания по СТО, я хочу уже наконец-то понять как зная зависимость компонент метрики от координат можно найти кривизну многообразия, как вводят символы Крисстофеля, и хотя бы одним способом получить полевые уравнения. И понять хоть на самом элементарном примере как их использовать.


Это всё – Вайнберг. Прямо right off the bat.

Говорят что уравнения ОТО описывають почти все, но как, например, из них получить траекторию камня брошенного под углом к горизонту? Я сомневають что хоть в одной книге это увижу, но ведь это как-то можно получить


Очень легко. Надо взять уравнение ЛЛ-2 (100.14) (а ещё лучше – ньютоновское приближение, вычеркнув малые для Земли члены ), и подставить его в уравнение ЛЛ-2 (87.3).

Я хотел заниматься в физике чем то интересным и из двух известных мне фундаментальных современных теорий выбрал ОТО (тогда не представляя что это действительно не просто


Я боюсь, вторая ещё гораздо сложней 🙂

Почему метрика полностью определяет всю кривизну пространства?


Это интересно. Для начала, вы понимаете такой факт?
    Если взять любой геометрический чертёж, и измерить только расстояния между точками, и потом передать кому-то, то этот кто-то сможет по этим расстояниям полностью восстановить весь чертёж? То есть, не обязательно использовать ни углов, ни площадей, ни каких-либо ещё величин.

Брать Рашевского и читать от корки до корки


Это чревато потерей интереса. Лучше читать то, что читается легко, и поддерживает и разжигает интерес.

(Я сейчас произнесу крамолу.) Можно даже читать научно-популярные тексты между учебниками. А в учебниках – пропускать скучные задачи.

Что я хочу сейчас, так это понять почему так важна метрика пространства, как она определяет кривизну, и как получить полевые уравнения.


Для начала, надо познакомиться с дифференциальной геометрией на совсем простых примерах. Может быть, на детских научно-популярных книжках, может быть, на чём-то уровня
Мищенко, Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. Глава 1 и начало главы 4.

Вообще я всё никак не могу убедить себя и поверить что в физике действительно используется такая сложная математика.


Используется, но на уровне вычислений, а не доказательств. А педантичные доказательства физики просто пропускают мимо – конструкция есть, и она работает, чего ещё?

— 15.05.2017 18:59:24 —

Мне кажется, Вы зря выбросили Дубровин, Новиков, Фоменко.


Мне кажется, Дубровин-Новиков-Фоменко – зубодробительный справочник.
А из книг “с Фоменко” лучше Мищенко-Фоменко.

П.Г. Бергмана Введение в теорию относительности за 1947 г.


Извините, я против.

В ОТО был момент, который известен как “Ренессанс” или “Золотой век”. Это примерно 60-е годы, это тот момент, когда физики лучше поняли геометрическую сторону ОТО.

Поэтому, книги, написанные до этого момента, вообще говоря, – не самые удачные, по крайней мере, в качестве учебников. ЛЛ-2, например, не блестящ. Хотя у него есть другие преимущества: лаконичность и опора на лагранжеву идеологию, плюс очень тесный параллелизм с электродинамикой. А вот МТУ и Вайнберг (ГиК) – уже из “новой эпохи”.

dxdy.ru

Дифференциальные уравнения для чайников Чит-лист – манекены 2019 – No-dummy.com

Стивен Хольцнер

Чтобы уверенно решать дифференциальные уравнения, вам нужно понять, как уравнения классифицируются по порядку, как различать линейные, отделимые и точные уравнения и как идентифицировать однородные уравнения и неоднородных дифференциальных уравнений. Изучите метод неопределенных коэффициентов для разработки неоднородных дифференциальных уравнений.

Классификация дифференциальных уравнений по порядку

Наиболее распространенная классификация дифференциальных уравнений основана на порядке. Порядок дифференциального уравнения просто есть порядок его старшей производной. Вы можете иметь дифференциальные уравнения первого, второго и высших порядков.

Первые дифференциальные уравнения порядка включают производные первого порядка, например, в этом примере:

Вторые дифференциальные уравнения порядка включают производные второго порядка, такие как в этих примерах:

Более высокие дифференциальные уравнения порядка – это те, которые связаны с производными выше второго порядка (большой сюрприз на этом умном имени!). Дифференциальные уравнения всех порядков могут использовать обозначение y ‘, например:

Отличия между линейными, раздельными и точными дифференциальными уравнениями

Вы можете различать линейные, отделимые и точные дифференциальные уравнения, если знаете, что искать. Имейте в виду, что вам может потребоваться перетасовать уравнение для его идентификации.

Линейные дифференциальные уравнения включают в себя только производные от y и члены y до первой мощности, не повышающиеся до какой-либо более высокой мощности. ( Примечание: Это сила, производная поднята до , а не порядка производной.) Например, это линейное дифференциальное уравнение, потому что оно содержит только производные, поднятые до первой степени:

S могут быть записаны одинаковые дифференциальные уравнения , так что все члены в x и все члены в y появятся на противоположные стороны уравнения. Вот пример:

, который можно записать следующим образом с небольшой перестановкой:

Точные дифференциальные уравнения – это те, где вы можете найти функцию, чьи частные производные соответствуют членам в данном дифференциальном уравнении.

Определение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений

Чтобы идентифицировать неоднородное дифференциальное уравнение, вам сначала нужно знать, как выглядит однородное дифференциальное уравнение. Вам также часто нужно решить проблему, прежде чем вы сможете решить другую проблему.

Однородные дифференциальные уравнения включают только производные от y и термины с участием y , и они установлены в 0, как в этом уравнении:

Неоднородные дифференциальные уравнения совпадают с однородными дифференциальными уравнениями, за исключением того, что они могут иметь с правой частью только x (и константы), как в этом уравнении:

Вы также можете написать неоднородные дифференциальные уравнения в этот формат: y “+ p ( x ) y ‘+ q ( x у = г ( х ). Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения В этом решении

c 1 y 1 ( x ) + c y 2 ( x ) является общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения: И y

p ( x ) является конкретным решением неоднородного уравнения. Использование метода неопределенных коэффициентов Если вам нужно найти частные решения для неоднородных дифференциальных уравнений, то вы можете начать с метода неопределенных коэффициентов. Предположим, что вы сталкиваетесь со следующим неоднородным дифференциальным уравнением:

Метод неопределенных коэффициентов

отмечает, что, когда вы находите решение кандидата, y и вставляете его в левую часть уравнение, вы получите g ( x ). Поскольку g ( x ) – это только функция x , вы часто можете угадать форму y p ( ), вплоть до произвольных коэффициентов, а затем реш

ru.no-dummy.com

Оставить комментарий