Дифференциальные уравнения решать онлайн – Дифференциальные уравнения — Математика — Смотреть онлайн видео уроки для начинающих бесплатно!

Решение дифференциальных уравнений онлайн

Дифференциальные уравнения онлайн. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн на сайте Math34.biz. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн.

math24.biz

Решение систем дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим простейшую систему дифференциальных уравнений вида

   

Здесь коэффициенты – некоторые действительные числа.

Если коэффициенты равны нулю, то система называется однородной.

Решение систем дифференциальных уравнений

Из второго уравнения выразим неизвестную функцию :

   

Тогда отсюда

   

Подставляем полученные выражения в первое уравнение системы, тем самым исключив функцию :

   

   

   

В результате пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя его решение – функцию – легко находим и вторую неизвестную функцию .

Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера

Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным

   

можно также решать с помощью метода Эйлера.

Решение системы будем искать в виде:

   

Здесь – некоторые константы. Для определения и подставляем эти решения в систему (1):

   

После упрощения и сокращения на будем иметь:

   

Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель

   

равен нулю:

   

Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.

Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо число и тем самым получить решение этой системы и . Аналогичные действия выполняются и для второго значения (в результате получаем соответственно и ).

В результате получаем два частных решения:

   

и

   

А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид:

   

2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.

Примеры решения задач

3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.

ru.solverbook.com

Решение дифференциальных уравнений

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения.

I. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка:

1) Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Решение ищется в виде:

, где λi — решение уравнения: (1).

Пример (λi — все разные и действительные числа): y»’-y’=0 -> λ3-λ=0 -> λ1=0; λ2=1; λ3=-1 => y=c1+c2ex+c3e-x

Пример (λi — комплексные числа): y»+y=0 -> λ2+1=0 -> λ1=i; λ2=-i => y=c’1eix+c’2e-ix=c1cos(x)+c2sin(x)

Пример (λi — совпадают): y»-2y’+y=0 -> λ2-2λ+1=0 -> λ1=λ2=1 => y=c1ex+c2xex(пояснения: если уравнение (1) имеет корни кратности k, то решение находится в виде y=c1eλx+c2xeλx+…+ckxk-1eλx)

2) Линейное однородное дифференциальное уравнение Эйлера:

Для решения делаем замену x=et , тогда:

dx/dt=et , dt/dx=e-t , y’=dy/dx=dy/dt * e-t , y»=dy’/dt * e-t =(d2y/dt2 — dy/dt)e-2t и т.д.

После подстановки мы получаем однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Как решается — смотрите выше.

Пример: x2y»-3xy’+3y=0 -> x=et

e2t(d2y/dt2 — dy/dt)e-2t-3et(dy/dt)e-t+3y=0

d2y/dt2 — dy/dt-3dy/dt+3y=0

t-4y’t+3y=0

y=c1e3t+c2et=[x=et]=c1x3+c2x

3) Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Избавиться от члена, содержащего первую производную

Делаем замену: y=α(x)z(x), где:

Пример: y»+2y’/x-2y=0 здесь p(x)=2/x, q(x)=-2

Делаем замену y=α(x)z(x), где

Итак, y=z(x)/x , y’=z’/x-z/x2 , y»=z»/x-2z’/x2+2z/x3 . Подставляем в уравнение и упрощаем:

z»/x-2z’/x2+2z/x3+2/x(z’/x-z/x2)-2z/x=0 -> z»/x-2z/x=0 -> z»-2z=0

Получено однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение:

  , учитывая y=α(x)z(x) получаем ответ:

 

Полезные ссылки:
Определение и классификация дифференциальных уравнений. Методы и способы решения диф. уравнений.

Раздел заполняется…

matematikam.ru

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .

Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

   

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

   

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

   

Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

   

1. Метод Бернулли или метод подстановки

Делаем замену

   

а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

   

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

   

Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

   

Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

   

Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

   

Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

   

Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

   

А тогда, находим и искомую функцию

   

2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

   

которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

   

Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

   

И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

   

Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

ru.solverbook.com

Однородные уравнения — Решение дифференциальных уравнений

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

101. Решить уравнение: (x + 2y)dx — x dy = 0.

102. Решить уравнение: (x — y)dx + (x + y)dy = 0.

103. Решить уравнение: (y2 — 2xy)dx + x2dy = 0.

104. Решить уравнение: 2x3y’ = y(2x2 — y2).

105. Решить уравнение: y2 + x2y’ = xyy’.

106. Решить уравнение: (x2 + y2)y’ = 2xy.

107. Решить уравнение: xy’ — y = x tg(y/x).

108. Решить уравнение: xy’ = y — xey/x.

109. Решить уравнение: xy’ — y = (x + y)ln((x + y)/x).

110. Решить уравнение: xy’ = y cos ln(y/x).

111. Решить уравнение: (y + sqrt(xy))dx = x dy.

112. Решить уравнение: xy’ = sqrt(x2 — y2) + y.

113. Решить уравнение: (2x — 4y + 6)dx + (x + y — 3)dy = 0.

114. Решить уравнение: (2x + y + 1)dx — (4x + 2y — 3)dy = 0.

115. Решить уравнение: x — y — 1 + (y — x + 2)y’ = 0.

116. Решить уравнение: (x + 4y)y’ = 2x + 3y — 5.

117. Решить уравнение: (y + 2)dx = (2x + y — 4)dy.

118. Решить уравнение: y’ = 2((y + 2)/(x + y — 1))2.

119. Решить уравнение: (y’ + 1)ln((y + x)/(x + 3)) = (y + x)/(x + 3).

120. Решить уравнение: y’ = (y + 2)/(x + 1) + tg((y — 2x)/(x + 1)).

121. Решить уравнение: x3(y’ — x) = y2.

122. Решить уравнение: 2x2y’ = y3 + xy.

123. Решить уравнение: 2x dy + (x2y4 + 1)y dx = 0.

124. Решить уравнение: y dx + x(2xy + 1)dy = 0.

125. Решить уравнение: 2y’ + x = 4 sqrt(y).

126. Решить уравнение: y’ = y2 — 2/x2.

127. Решить уравнение: 2xy’ + y = y2sqrt(x — x2y2).

128. Решить уравнение: 2/3 xyy’ = sqrt(x6 — y4) + y2.

129. Решить уравнение: 2y + (x2y + 1)xy’ = 0.

131. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

132. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

133. При каких α и β дифференциальное уравнение y’ = axα + byβ приводится к однородному с помощью замены y = zm?

134. Пусть k0 — корень уравнения f(k) = k. Показать, что: 1) если f'(k0) < 1, то ни одно решение уравнения y’ = f(y/x) не касается прямой y = k0x в начале…

xn--e1avkt.xn--p1ai

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, сводящиеся к ним

Линейные
уравнения первого порядка и уравнения, сводящиеся к ним.

Дифференциальное
уравнение вида

где функции  непрерывны на некотором интервале , называется линейным
дифференциальным уравнением первого порядка.

Решается это
уравнение следующим образом. Сначала решаем однородное уравнение (ОУ): (2)

 – решение этого уравнения. Пусть . Так как , то

Решение
этого уравнения

где  – некоторая первообразная функции  a  – произвольная постоянная. С учётом решения  общее решение однородного уравнения
записывается в виде (3)

Далее
применяем метод вариации постоянной (ВП): в уравнении (1) сделаем замену  – новая неизвестная функция. Подставим  в уравнение (1):

 – произвольная постоянная. Отсюда получаем общее решение
уравнения (1):

Пример. Решить уравнение

Решение. Решаем однородное уравнение

отсюда

Метод
вариации постоянной (ВП): в исходном уравнении делаем замену :

Тогда

Уравнение
Бернулли.

Уравнением
Бернулли называется уравнение вида

где  – натуральное число,   – непрерывные на интервале  функции.

Если , то  – решение. Пусть . Поделим уравнение на :

и сделаем
замену

Получили
уравнение

которое
является линейным относительно

Пример. Решить уравнение

Решение.

 – решение. Пусть . Поделим уравнение на :

Сделаем
замену

Решаем ОУ:

Метод ВП:

В исходном
уравнении делаем замену

Тогда

Ответ:  

Уравнение
Риккати.

Уравнением
Риккати называется уравнение вида

В общем
случае уравнение Риккати не выражается через элементарные функции с помощью
конечного числа арифметических операций, суперпозиций и операций взятия
первообразных (говорят, что уравнение не разрешимо в квадратурах). Но если
известно частное решение уравнения Риккати , то заменой  уравнение Риккати сводится к
уравнению Бернулли.

calcs.ucoz.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о