Для чего нужен момент инерции – ❶ Как вывести момент инерции 🚩 для чего нужен момент инерции 🚩 Наука 🚩 Другое

определение, законы, формулы для чайников

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

Масса – мера инертности тела

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, кот

zaochnik.ru

Момент инерции

Количество просмотров публикации Момент инерции – 4846

Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инœерции J материальной точки относительно оси принято называть скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr²(75)

Момент инœерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инœерции отдельных точек

(76)

Рис. 26.

К определœению момента инœерции точки

В случае если масса распределœена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объёмы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:

(77)

Для однородного по объёму тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

(78)

Размерность момента инœерции – кг*м².

Момент инœерции тела является мерой инœертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инœертности при поступательном движении.

Момент инœерции — это мера инœертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределœения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инœерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инœерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инœерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инœерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инœерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инœерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

Момент инœерции шара радиуса R:

Момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инœерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инœерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

Рис. 27.

К расчету момента инœерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инœерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инœерции относительно оси OO плюс md². Отсюда получаем:

Очевидно: момент инœерции неодинаков относительно разных осœей, и в связи с этим, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инœерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, к примеру, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на желœезнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инœерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инœерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инœерции нестандартной детали опытным путем.

Рис. 28.

Момент силы F относительно точки O

Читайте также

– Тема 4. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точкимассой m относительно некоторой оси вращения называется физическая величина I, равная произведению массы этой материальной точки на квадрат расстояния от этой точки до данной оси вращения: . Для того, чтобы найти момент инерции… [читать подробнее].

– Момент инерции тела относительно произвольной оси.

Рис.35 Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx’y’z’, а через лю­бую точку О на оси Сх’ – оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy’, Oz½½Cz’ (рис. 35). Расстояние между осями Cz’ и Оz обозначим через d. Тогда но, как видно из рисунка, для любой точки тела или , а . Подставляя… [читать подробнее].

– Момент инерции тела

Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении. В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным,… [читать подробнее].

– Лекция 4-5. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент инерции, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси.

Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса. Динамика изучает движение тел с учетом причин,… [читать подробнее].

– Момент инерции твердого тела.

Проанализируем формулу для момента инерции твердого тела . Момент инерции зависит от 1) массы тела, 2) формы и размеров тела, 3) положения оси вращения относительно тела (рис 2) Рис. 2а Рис.2б Итак, момент инерции есть мера инертности тела при вращательном движении,… [читать подробнее].

– Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы [1] видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент… [читать подробнее].

– Приведенный момент инерции

Приведенным к главному валу (звену приведения) моментом инерции называется такой условный момент инерции, обладая которым главный вал имеет в данном положении машины кинетическую энергию, равную кинетической энергии всего механизма. Кинетическая энергия звена… [читать подробнее].

– Момент инерции.

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело   В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела… [читать подробнее].

– Момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через заданную точку

OL – произвольная прямая; Пусть дан тензор инерции, т.е. дано Ограничение: Если оси x, y, z – главные оси инерции, то все центральные моменты инерции равны нулю (то . Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной… [читать подробнее].

– Момент инерции

Глава 4 Механика твердого тела Момент инерции При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс п… [читать подробнее].

referatwork.ru

Что значит момент инерции – Значения слов

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где mi ≈ массы точек тела, hi ≈ их расстояния от оси z, r ≈ массовая плотность, V ≈ объём тела. Величина Iz является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение ). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k, называемую радиусом инерции, по формуле Iz = Mk2, где М ≈ масса тела. Размерность М. и. ≈ L2M; единицы измерения ≈ кг×м2 или г×см2.

Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений Ixz и Iyz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

М. и. относительно параллельных осей z и z’ связаны соотношением

Iz = Iz’ + М d2═══(3)

где z’ ≈ ось, проходящая через центр масс тела, a d ≈ расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

══М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по формуле:

lol = Ix a2 + Iy b2 + Iz g2 ≈ 2Ixy ab ≈ 2Iyz bg ≈ 2Izxga.═══(4)

Зная шесть величин Ix, Iy, Iz, Ixy, Iyх, Izx, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых Ixy = Iyz = Izx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

М. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94≈101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика .

С. М. Тарг.

xn--b1algemdcsb.xn--p1ai

Реферат Момент инерции

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Осевой момент инерции
  • 1.1 Теорема Гюйгенса-Штейнера
  • 1.2 Осевые моменты инерции некоторых тел
  • 1.3 Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
• 2 Центробежный момент инерции
• 3 Геометрический момент инерции
• 4 Центральный момент инерции
• 5 Тензор инерции и эллипсоид инерции
Примечания
Литература

Введение

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

1. Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

• dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,
• ρ — плотность,
• r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

1.1. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

1.2. Осевые моменты инерции некоторых тел

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников^[1][2]

1.3. Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. ^[3][4]

2. Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

3. Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где z — расстояние от центральной оси y(z) до любой элементарной площадки dF относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки.

Единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см⁴.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

4. Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела dV,
•  — плотность,
•  — расстояние от элемента dV до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

5. Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

(1),

где  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :

Где,  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

.

Откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки, связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

Примечания

1. Planetary Fact Sheet – nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/index.html
2. Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). «The Galilean Satellites – www.lpl.arizona.edu/~showman/publications/showman-malhotra-1999.pdf» (PDF). Science 286 (5437): 77–84. DOI:10.1126/science.286.5437.77 – dx.doi.org/10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564 – www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/10506564?dopt=Abstract.
3. Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15000 экз. — ISBN 502005951X
4. Пантелеев В.Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты – lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/geophiz/node17.html

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm – www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000 – nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm – www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm – www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
• Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

wreferat.baza-referat.ru

Момент инерции

Физика > Момент инерции

 

Момент инерции – свойство массы, измеряющей сопротивление вращательному ускорению вокруг линии или нескольких осей.

Задача обучения

• Вычислить свойство массы, описываемое моментом инерции.

Основные пункты

• Первый закон Ньютона характеризует инерцию объекта в линейном движении, поэтому его можно распространить и на инерцию объекта, совершающего обороты вокруг оси.
• Объект, совершающий обороты с постоянной угловой скоростью, продолжит этот процесс, если на него не повлияет внешний вращательный момент.
• Чем больше вращательный момент, тем выше ускорение.

Термины

• Вращательный момент – вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
• Инертность – свойство тела сопротивляться любой перемене в его равномерном движении.

Момент инерции

Это свойство распределения массы в пространстве, измеряющее сопротивление массы вращательному ускорению вокруг линии или нескольких осей. Первый закон Ньютона характеризует инерцию объекта в линейном движении, поэтому его можно распространить и на инерцию объекта, совершающего обороты вокруг оси. То есть, если объект вращается с постоянной угловой скоростью, то продолжит этот процесс, пока не почувствует влияние от внешнего вращательного момента.

Выходит, что вращательный момент выполняет ту же функцию во вращательной динамике, что и масса в линейной: описывает связь угловых момента и скорости, а также вращательного момента и углового ускорения.

Момент инерции (I) определяется как сумма mr² для всех точечных масс. Математически выглядит как I = Σmr². Здесь I соответствует m в поступательном движении.

Давайте взглянем на обруч с радиусом r. Он однородный, поэтому момент инерции можно найти через суммирование всей массы обруча и умножения на дистанцию от центра масс (ЦМ). Мы получим круг, где масса равномерна, поэтому момент инерции – mr².

На момент инерции также влияет ось, вокруг которой совершается вращение. Обычно тела совершают обороты вокруг ЦМ, но это может происходить и вокруг оси. Если мы столкнулись со вторым вариантом, где ось выступает не ЦМ, то справиться поможет теорема о параллельной оси и ее формулой: I_цм + mr², где r становится дистанцией между осями, а I_цм – момент инерции при вращении вокруг ЦМ.

Взаимосвязь между вращательным моментом, моментом инерции и угловым ускорением выливается в net τ = Iα или α = (net τ)/ I (net τ – общий вращательный момент). Подобные исходные моменты бывают положительными или отрицательными. Связь τ = Iα выступает аналогом для второго закона Ньютона.

Вы уже могли догадаться: чем больше вращательный момент, тем выше угловое ускорение. К примеру, чем сложнее человеку раскачивать карусель, тем медленнее он ее ускоряет. Главная связь состоит в том, что с ростом момента инерции падает угловое ускорение. Момент инерции основывается не только на массе тела, но и на ее распределении относительно оси вращения. Было бы намного легче ускорить карусель, если бы дети стояли ближе к оси, а не к краю.

Отец раскачивает карусель по краю и перпендикулярно ее радиусу, чтобы добиться максимального вращательного момента

---

v-kosmose.com

Момент инерции — Юнциклопедия

Кто из нас не следил с удивлением и восторгом за тем, как эффектно фигуристы заканчивают свои выступления на ледяной арене? Они начинают вращаться, зафиксировав центр вращения одним коньком и отталкиваясь другим, широко разведя руки в стороны, достигают достаточно большой угловой скорости вращения, а затем быстро прижимают руки к телу. После этого их угловая скорость вращения резко возрастает.

Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек. Изменяя движением рук момент инерции тела, фигуристка управляет скоростью вращения.

В чем же тут дело? Почему, лишь прижав руки к телу и не прикладывая больше никаких усилий, фигуристу удается резко увеличить угловую скорость своего вращения? Не опровергается ли этим закон сохранения энергии? Конечно, нет. Объяснение описанного явления дает один из разделов ньютоновской механики — динамика твердого тела. Под твердым телом при этом понимается система частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.

Оказывается, несмотря на сложность задачи о вращательном движении твердого тела, её можно свести к решению уравнений, по форме аналогичных уравнениям Ньютона для поступательного движения. Роль ускорения, силы и массы в этом случае играют угловое ускорение, момент силы и момент инерции. С этими важными понятиями можно познакомиться на простом примере движения одной материальной точки A массой m, которая удерживается на окружности радиуса r с помощью невесомого стержня. Пусть на точку $A$ действует постоянная сила $\overrightarrow{F}.$ Если в данный момент она составляет угол $α$ с радиус-вектором материальной точки $A,$ то её составляющая $F_r=F⋅\cos α$ просто сжимает стержень, а составляющая $F_t=F⋅\sin α$ приводит к появлению тангенциального ускорения $a_t,$ изменяющего величину скорости частицы. (Это ускорение направлено по касательной к траектории частицы. Его следует отличать от центростремительного ускорения, которое всегда направлено к центру вращения и меняет лишь направление вектора скорости частицы.)

Согласно второму закону Ньютона, для тангенциального ускорения можно записать:

$m⋅a_t=F_t=F⋅\sin α.$

(1)

По аналогии с угловой скоростью введем угловое ускорение $ε=\frac{a_t}{r}.$ Оно характеризует скорость изменения угловой скоростиω со временем. Тогда равенство (1) будет иметь вид:

$F⋅\sin α=m⋅r⋅\frac{a_t}{r}=m⋅r⋅ε.$

(2)

Умножив обе части этого уравнения на радиус, получим:

$F⋅r⋅\sin α=m⋅r^2⋅ε,$

(3)

или $M=J⋅ε.$

Величина $M=F⋅r⋅\sin α,$ численно равная произведению силы $F$ на длину перпендикуляра $d=r⋅\sin α,$ опущенного на направление силы из центра вращения (плечо силы), называется моментом силы относительно точки $O.$ Величину $J=m⋅r^2,$ равную произведению массы материальной точки $A$ на квадрат её расстояния до центра вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно точки $O.$

В случае произвольного твердого тела момент инерции характеризуется распределением массы в этом теле и определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек, на которые можно разбить твердое тело:

$J=\sum\limits_{i=1}^{N}{\Delta {{m}_{i}}r_{i}^{2}},$

(4)

где $Δm_i$ — масса $i$‑й точки, $r_i$ — её расстояние до оси вращения.

Момент инерции служит мерой инертности тела при вращении и, таким образом, играет ту же роль, что и масса в случае поступательного движения. Однако в отличие от массы тела, которая при обычных условиях остается неизменной, момент инерции можно легко менять. Действительно, даже в рассмотренном выше простейшем случае материальной точки на стержне момент инерции зависел не только от величины массы, но и от того, как далеко она расположена от оси вращения. Поэтому, перемещая материальную точку по стержню от центра вращения, можно увеличивать инерцию вращения такой системы.

В зависимости от формы и выбранной оси вращения твердые тела одной и той же массы могут иметь различные моменты инерции. Так, момент инерции полого цилиндра радиуса $r$ относительно его оси симметрии равен $mr^2;$ однородного шара, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр, — $\frac{2}{5}mr^2;$ однородного цилиндра, вращающегося относительно своей оси симметрии, — $\frac{1}{2}mr^2.$

И момент силы $\overrightarrow{M},$ и угловая скорость $\overrightarrow{ω},$ и угловое ускорение $\overrightarrow{ε}$ так же как и соответствующие им величины силы, скорости и ускорения при описании поступательного движения, являются векторами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), причем их направление определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело.

Можно ввести еще один важный вектор: $L=J⋅\overrightarrow{ω},$ называемый моментом количества движения. Являясь аналогом импульса для вращательного движения, он обладает замечательным свойством: момент количества движения замкнутой системы остается постоянным по величине и направлению. Изменяется он только под воздействием приложенных к рассматриваемой системе нескомпенсированных моментов внешних сил.

Вернемся снова к началу этой статьи, где рассказывалось о вращающемся фигуристе. Пренебрегая малыми моментами действующих на него сил сопротивления, можно считать, что он представляет собой замкнутую систему. Поэтому достигнутый им при начальном разгоне момент количества движения $J_1⋅\overrightarrow{ω_1}$ должен сохраняться ($ω_1$ — его начальная угловая скорость, $J_1$ — момент инерции в положении с разведенными руками). Прижимая руки к телу, фигурист, очевидно, уменьшает свой момент инерции до некоторой величины $J_2$ и тем самым увеличивает свою угловую скорость: $ω_2=\frac{J_1}{J_2}.$ Однако в этот момент ему приходится «поработать», так как начальная кинетическая энергия его вращения была $\frac{J_1⋅ω_1^2}{2},$ а конечная становится $\frac{J_2⋅ω_2^2}{2}.$ Разность этих энергий и составляет величину работы фигуриста.

yunc.org

Момент инерции

Момент инерции (единица измерения в СИ [кг м ?]) – в физике является мерой инерции вращательного движения, аналогично массе для поступательного.

В общем случае, значение момента инерции объекта зависит от его формы и распределения массы в объеме : чем больше массы сконцентрировано дальше центра масс тела, тем больше его момент инерции. Также его значение зависит от выбранной оси вращения.

1. Математическое определение

Твердое тело можно рассматривать как систему из бесконечного количества материальных точек, каждая с массой . Если расстояния от каждой точки до оси вращения равны , То момент инерции тела к выбранной оси определяется как:

В условиях непрерывного распределения массы в теле, нужен переход к интегральной формы закона:

где элемент массы определяется с помощью пространственного распределения плотности .

2. Тензор инерции

В общем случае вращения твердого тела произвольной формы сложнее. Тело характеризуется тензором второго ранга

где индексы α и β пробегают значения координат x, y, z.

Тензор инерции симметричный

.

Как и для любого другого тензора второго ранга, его можно упростить, перейдя к системе координат, в которой он диагональную форму (главной системы координат). Оси главной системы координат называют главными осями инерции.

3. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела относительно этой оси. Согласно теоремой Штейнера (теоремой Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр массы тела параллельно оси, рассматривается, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

4. Момент количества движения

Момент импульса тела при вращении зависит от вектора угловой скорости и тензора инерциии

В главной системе координат

.

5. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения тела задается формулой

В главной системе координат

6. Основное уравнение динамики вращательного движения

По аналогии с вторым законом Ньютона для поступательного движения, можно сформулировать уравнение вращательного движения, где внешним силам, которые действуют на тело, отвечают моменты сил, массе – момент инерции, а ускорению – угловое ускорение.

При одноосном вращении

Здесь M _i – моменты внешних сил, – Угловая скорость, – Угловое ускорение.

См.. также

Список моментов инерции

Источники

• Ежов С. М., Макарец М.В., Романенко В. Классическая механика. – К. : ИПЦ “Киевский университет”, 2008. – 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретическая механика. – К. : Высшая школа, 1975. – 516 с.

nado.znate.ru