Физический смысл момента инерции твердого тела – Динамика вращательного движения твердого тела Кинетическая энергия вращения твёрдого тела. Момент инерции твердого тела

Физический смысл момента инерции

Определение и смысл момента инерции

Пусть материальная точка вращается по окружности вокруг неподвижной оси, которая проходит через центр траектории данной точки. Момент ее импульса (L) относительно этой оси будет равен:

   

где m – масса этой точки; v – скорость движения точки; r – радиус окружности, по которой точка движется. Если угловую скорость точки обозначить как и принять равной:

   

тогда величину момента импульса можно определить как:

   

Если представить, что вокруг рассматриваемой оси вращается несколько материальных точек с одинаковой угловой скоростью, то L будет равен:

   

В выражении (4) суммирование происходит по всем материальным точка, входящим в систему. Так как – величина постоянная, то ее можно вынести за знак суммы, тогда имеем:

   

Где – величина, равная сумме произведений масс материальных точек на расстояния в квадрате от каждой из них до оси вращения, называют моментом инерции рассматриваемой системы по отношению к оси.

Уравнение (5) отражает тот факт, что момент импульса системы при ее вращении относительно оси равен произведению момента инерции на угловую скорость. Если кроме вращения материальных точек имеется их движения по радиусам, то выражение (5) останется справедливым. Это следствие линейной зависимости момента импульса точки (L) от скорости ее движения (v). Если вектор скорости направлен по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Вследствие чего данные виды движения не оказывают непосредственного влияния на вид связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и угловой скоростью. Такое влияние проявляется косвенно. Момент инерции перестает быть постоянной величиной и изменяется во времени, в зависимости от конфигурации системы. Уравнение движения для такой системы имеет вид:

   

где – момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения. Уравнение (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Проведем аналогию между ним и уравнением Ньютона для поступательного движения материальной точки:

   

Роль массы в уравнении (6) играет момент инерции J, роль скорости угловая скорость, роль силы – момент силы.

Получается, что момент инерции тела относительно оси вращения выступает мерой инертности тела по отношению к вращению, так же как масса является мерой инертности в поступательном движении.

Аналогию между поступательным движением материальной точки и вращением твердого тела можно продолжить, при рассмотрении кинетической энергии твердого тела.

   

Где – кинетическая энергия твердого тела, вращающегося около неподвижной оси. Данное выражение напоминает формулу для расчета кинетической энергии при поступательном движении материальной точки.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Физический смысл момента инерции твердого тела? — Мегаобучалка

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5.5)

о где – расстояние от элемента до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности

(5.5)

где m – масса однородного тела, V – его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой . Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня –

б) через начало стержня –

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

 

Получить расчетные формулы (31) и (44) для определения момента инерции?

Записать второй закон Ньютона для движения центра масс и основной закон динамики вращательного движения, дать определение всех величин, входящие в данные законы?

Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.

megaobuchalka.ru

Момент инерции тела относительно оси вращения. Его физический смысл.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

 

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела  относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс  тела, и произведения массы тела   на квадрат расстояния между осями:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Момент силы относительно точки и оси вращения

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси. Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗ на плоскость Π,

перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:

Момент силы относительно точки О – это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Основной закон динамики для вращательного движения

Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение». Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

 где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела

studopedia.net

аналогия с линейным движением, примеры

Любая физическая величина, которая предлагается в математических уравнениях при изучении того или иного явления природы, несет некоторый смысл. Не является исключением из этого правила и момент инерции. Физический смысл этой величины подробно рассмотрен в данной статье.

Момент инерции: математическая формулировка

В первую очередь следует сказать, что рассматриваемая физическая величина используется для описания систем вращения, то есть таких движений объекта, которые характеризуются круговыми траекториями вокруг некоторой оси или точки.

Приведем математическую формулу момента инерции для материальной точки:

I = m*r².

Здесь m и r – масса и радиус вращения частицы (расстояние до оси) соответственно. Любое твердое тело, каким бы сложным оно ни было, мысленно можно разбить на материальные точки. Тогда формула момента инерции в общем виде будет иметь вид:

I = ∫_mr²dm.

Это выражение справедливо всегда, причем не только для трехмерных, но и для двумерных (одномерных) тел, то есть для плоскостей и стержней.

Из этих формул трудно понять смысл физический момента инерции, однако можно сделать важный вывод: он зависит от распределения массы в теле, которое вращается, а также от расстояния до оси вращения. Причем зависимость от r является более резкой, чем от m (см. знак квадрата в формулах).

Движение по окружности

Понять, каков физический смысл момента инерции, невозможно, если не рассмотреть круговое движение тел. Не вдаваясь в подробности, приведем сразу два математических выражения, описывающих вращение:

I₁*ω₁ = I₂*ω₂;

M = I *dω/dt.

Верхнее уравнение носит название закона сохранения величины L (момента импульса). Оно означает, что какие бы изменения ни происходили внутри системы (сначала был момент инерции I₁, а затем он стал равным I₂), произведение I на угловую скорость ω, то есть момент импульса, будет оставаться неизменным.

Нижнее выражение демонстрирует изменение скорости вращения системы (dω/dt) при воздействии на нее некоторого момента силы M, который имеет внешний характер, то есть порождается силами, не связанными с внутренними процессами в рассматриваемой системе.

И в верхнем, и в нижнем равенствах присутствует I, причем чем больше ее значение, тем меньше будет угловая скорость ω или угловое ускорение dω/dt. В этом и заключается физический смысл момента инерции тела: он отражает способность системы сохранять свою угловую скорость. Чем больше I, тем сильнее проявляется эта способность.

Аналогия с линейным импульсом

Теперь перейдем к тому же выводу, что был озвучен в конце предыдущего пункта, проведя аналогию между вращательным и поступательным движениями в физике. Как известно, последнее описывается следующей формулой:

p = m*v.

Это простое выражение определяет импульс системы. Сравним его форму с таковой для момента импульса (см. верхнее выражение в предыдущем пункте). Мы видим, что величины v и ω имеют одинаковый смысл: первая характеризует скорость изменения линейных координат объекта, вторая – угловых координат. Поскольку обе формулы описывают процесс равномерного (равноуглового) движения, то величины m и I также должны иметь одинаковый смысл.

Теперь рассмотрим 2-й закон Ньютона, который выражается формулой:

F = m*a.

Обращая внимание на форму записи нижнего равенства в предыдущем пункте, имеем подобную рассмотренной ситуацию. Момент силы M в его линейной представлении – это сила F, а линейное ускорение a полностью аналогично угловому dω/dt. И снова мы приходим к эквивалентности массы и момента инерции.

Какой смысл несет масса в классической механике? Она является мерой инерции: чем больше m, тем труднее сдвинуть предмет с места, а тем более придать ему ускорение. То же самое можно сказать и о моменте инерции применительно к движению вращения.

Физический смысл момента инерции на бытовом примере

Зададимся простым вопросом о том, как легче крутить металлический стержень, например, арматуру – когда ось вращение направлена вдоль его длины или когда поперек? Конечно же, легче раскрутить стержень в первом случае, потому что его момент инерции для такого положения оси будет очень маленьким (для тонкого стержня он равен нулю). Поэтому достаточно зажать между ладошек предмет и легким движением привести его во вращение.

Кстати, описанный факт экспериментально проверили наши предки еще в стародавние времена, когда научились добывать огонь. Они раскручивали палочку с огромными угловыми ускорениями, что приводило к созданию больших сил трения и, как следствие, к выделению значительного количества теплоты.

Маховик авто – яркий пример использования большого значения момента инерции

В завершение хотелось бы привести, пожалуй, самый важный для современной техники пример использования физического смысла момента инерции. Маховик авто представляет собой сплошной стальной диск, имеющий относительно большие радиус и массу. Эти две величины обуславливают существование значительной величины I, характеризующей его. Маховик призван “смягчать” любые силовые воздействия на коленвал автомобиля. Импульсивный характер действующих моментов сил от цилиндров двигателя на коленвал сглаживается и делается плавным благодаря тяжелому маховику.

Кстати, чем больше момент импульса, тем больше энергии находится во вращающейся системе (аналогия с массой). Этот факт хотят использовать инженеры, запасая энергию торможения авто в маховике, чтобы впоследствии направить ее на разгон транспортного средства.

fb.ru

17. Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера.

а) момент инерции стержня массой m, длинойlъ

Линейная плотность

Для однородного стержня

для стержня

Момент инерции однородного круглого тела при вращении относительно оси походящей через центр.

— для диска

Таблица моментов инерции

Стержень относительно центра:Для диска:

Для обода:

Для шара:

Если ось проходит через центр симметрии, то для расчёта момента инерции применяется теорема Штейнера: I=I₀+ma² ,І₀— момент инерции относительно оси проходящей через центр;

m— масса тела; а—расстояние между осями;

Пример: Вращение стержня относительно конца

— для стержня

18. Момент импульса твердого тела. Вектор угловой скорости и вектор момента импульса. Гироскопический эффект. Угловая скорость прецессии. Моме́нт и́мпульса(кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Моментом импульса тела называется величина, равная векторной сумме моментов импульса его частей. Закон сохранения момента импульса.

Система называется замкнутой, если на неё действуют внешние моменты или их действие скомпенсировано.

—закон сохранения магнита импульса.

1. Гироскоп

—это симметричное тело, вращающегося относительно оси симметрии (волчок).

Свойства гироскопа:

а) ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве при любых его движениях;

Т.к. момент импульса сохраняется и по величине и по направлению, то ось гироскопа всегда занимает неизменное положение.

Используется для навигационной аппаратуры.

б) прецессия гироскопа:

— это возникновение вращения оси гироскопа в направлении перпендикулярном приложенной внешней силы.

l— плечо

Гироскопический эффект вращающихся тел есть проявление коренного свойства материи — её инертности.

угловая скорость прецессии тем больше, чем больше масса подвешенного грузика Для гироскопов, применяющихся в технике, величина угловой скорости прецессии бывает в миллионы раз меньше угловой скорости вращения маховика.

К отрицательным последствиям проявления гироскопических эффектов можно отнести силы, разрушающие механические конструкции. Эти силы возникают в подшипниках при попытке изменения положения оси вращения различных валов.

19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

Жидкость—агрегатное состояние вещества при котором оно сохраняет объём, но изменяет форму. Закон Бернулли.Вдоль линии тока увеличение скорости по величине приводит к изменению кинетической энергии, которая связана с изменением её потенциальной энергии жидкости, а, следовательно с изменением гидростатического давления

Замечание: Это справедливо для идеальной жидкости.

Следствие из уравнения Бернулли: чем больше скорость, тем меньше давление в жидкости.

Замечание: уравнение Бернулли не справедливо для вязких и сжимаемых жидкостей (газов). Однако следствие из него является справедливым в любом случае.

Закон Паскаля: давление, оказываемое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все точки жидкости или газа.

Давление жидкости на глубине h

ρ=const, т.к. жидкость несжимаемая

g=const

Средняя сила давления на стенку сосуда

studfiles.net

Глава 4 Механика твердого тела § 16. Момент инерции

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная суммепроизведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина rв этом случае есть функция положения точки с координатамих, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой hи радиусомRотносительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщиныdrс внутренним радиусомrи внешнимr+dr. Момент инерции каждого полого цилиндраdJ=r²dm(так какdr<<r,то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равноr), гдеdm —масса всего элементарного цилиндра; его объем 2rhdr.Если—плотность материала, тоdm=2rhdrи dJ=2hr^зdr.Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как R²h —объем цилиндра, то его массаm=R²h,а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:момент инерции телаJотносительно произвольной оси равен моменту его инерцииJcотносительно параллельной оси, проходящей через центр массСтела, сложенному с произведением массыттела на квадрат расстоянияамежду осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т —масса тела).

Таблица 1

§ 17. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массамит₁, т₂ ,…, т_n ,находящиеся на расстоянииr₁,r₂,…,r_nот оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_iопишут окружности различных радиусовr_i, и имеют различные линейные скоростиv_i.Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z —момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv²/2),следует, что момент инерции —мера инертности телапри вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m— масса катящегося тела;v_c —скорость центра масс тела;Jc —момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;— угловая скорость тела.

studfiles.net

1.Напишите основное уравнение динамики вращательного движения (2ой закон Ньютона для вращательного движения).

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента  всех внешних сил, действующих на это тело.

2.Чему равен момент силы? (формула в векторном и скалярном виде, рисунки).

Момент   силы  (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы – векторная величина ( М̅)

(векторный вид) М̅= |r̅*F̅|,r– расстояние от оси вращения, до точки приложения силы.

(вроде как скалярный вид) |М|=|F|*d

Вектор момента силы – совпадает с осью О₁О₂, его направление определяется првилом правого винта.Момент   силы  измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м —  момент   силы , который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

3.Что называется вектором: поворота, угловой скорости, углового ускорения. Куда они направлены, как определить это направление на практике?

Векторы – это псевдовекторы или аксиальные векторы, не имеющие определённую точку приложения: они откладываются на оси вращения из любой её точки.

1. Угловое перемещение – это псевдовектор, модуль которого равен углу поворота , а направление совпадает с осью, вокруг которой тело поворачивается, и определяется правилом правого винта: вектор направлен в ту сторону, откуда поворот тела виден против хода часовой стрелки(измеряется в радианах)

2. Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела, равная отношению элементарного угла поворота и прошедшего времени dt, за который прошёл этот поворот.

Вектор угловой скоростинаправлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, так же, как и вектор .

3. Угловое ускорение– величина, характеризующая быстроту перемещения угловой скорости.

Вектор направлен вдоль оси вращения в сторону вектора при ускоренном вращении и противоположно вектору при замедленном вращении.

4.Чем полярный вектор отличается от аксиального?

Полярный вектор обладает полюсом, а аксиальный – нет.

5.Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?

Момент   инерции  – величина, характеризующая меру  инерции   материальной   точки при её вращательном движении вокруг оси. Численно она равна произведению массы на квадрат радиуса (расстояния до оси вращения). Для  твердого   тела  момент  инерции равен сумме  моментов  инерции  её частей, и поэтому может быть выражена в интегральной форме:

I=∫ r² dү.

6.От каких параметров зависит момент инерции твердого тела?

1. От массы тела

2. От геометрических размеров

3. От выбора оси вращения

7.Теорема Штейнера (поясняющий рисунок).

Теорема: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого телаотносительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела  на квадрат расстояния между осями:

– искомый момент инерции относительно параллельной оси

– известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела

– масса тела

– расстояние между указанными осями

8.Момент инерции шара, цилиндра, стержня, диска.

Моментом инерции м.т. относительно полюса называют скалярную величину, равную  произведению массы этой. точки  на квадрат расстояния  до полюса..

Момент инерции м.т. можно найти по формуле

где m – масса м.т., R – расстояние до полюса 0.

Единицей измерения момента инерции в СИ является килограмм умноженный на метр в квадрате (кг×м²).

1.Прямой тонкий стержень длины lи массыm 1)Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

2)Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

2.Шар радиуса rи массыm

Ось проходит через центр шара

3.Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса rи массыm

Ось цилиндра

4.Сплошной цилиндр или диск радиуса rи массыm Ось цилиндра

5.Сплошной цилиндр длины l, радиусаrи массыm

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

9.Как определить направление момента силы?

Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение силынакратчайшее расстояниеот этой точки до линии действия силы.

[M]₌ Ньютон · метр

M— момент силы (Ньютон · метр),F— Приложенная сила (Ньютон),r— расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр),l— длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр),α— угол, между вектором силыFи вектором положенияr

M₌ F·l₌ F·r·sin(α)

M=F*r

(м,F,r-векторные величины)

Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения.

Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равнаM.

10.Как складываются момент сил, угловые скорости, моменты импульса?

Момент сил

Если на тело, которое может вращаться вокруг какой-либо точки, действует одновременно несколько сил, то для сложения моментов этих сил следует использовать правило сложения моментов сил.

Правило сложения моментов сил гласит — Результирующий вектор момента силы равен геометрической сумме составляющих векторов моментов с

Для правила сложения моментов сил различают два случая

1. Моменты сил лежат в одной плоскости, оси вращения параллельны. Их сумма определяется путем алгебраического сложения. Правовинтовые моменты входят в сумму со знаком минус. Левовинтовые — со знаком плюс

2. Моменты сил лежат в разных плоскостях, оси вращения не параллельны. Сумма моментов определяется путем геометрического сложения векторов.

Угловые скорости

Углова́я ско́рость(рад/с) — физическая величина, являющаяся аксиальным вектором и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени

направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Угловые скорости откладываются на оси вращения и могут складываться в том сллучае если они направлены в одну сторону, в противоположную – вычитаются

Момент импульса

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Моме́нт и́мпульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где  — знак векторного произведения

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторнопросуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

11.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии применительно к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

MgH=(IоW^2)/2

потенциальная энергия максимальна в начальной точке движения маятника. Потенциальная энергия MgH переходит в кинетическую, которая максимальна в момент приземления маятника на землю.

Iо-момент инерции относительно оси для одного грузика ( их у нас 4 )

I= 4Iо=4ml^2 ( Io=ml^2)

следовательно

MgH=2ml^2W^2

12.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии применительно к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален скорости вращения тела, его массе и линейной протяженности. Чем выше любая из этих величин, тем выше момент импульса.

В математическом представлении момент импульса Lтела, вращающегося с угловой скоростьюω, равенL = Iω, где величинаI, называемаямоментом инерции

скорость вращения маятника многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции I, тем выше угловая скоростьωи, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Момент импульса вращающегося тела   

 

где  – масса тела;  – скорость;  – радиус орбиты, по которой перемещается тело;  – момент инерции;  – угловая скорость вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса:

– для вращательного движения

 при ;

13.Каким выражением определяется работа момента сил

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон* метр, а УГОЛ в радианах

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ_СИЛЫ * *

14.Получите формулу, определяющую мощность, развиваемую моментом сил.

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работ. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГЛОВАЯ_СКОРОСТЬ

В системе CИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

studfiles.net