Формула производных умножения – Производные сложной функции

Производная произведения функций — доказательство

Пусть функции     и     определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)   .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции   и   имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции   и   непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :

.
Теперь находим производную:

.

Итак,
.
Правило доказано.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)   .

Следствие

Пусть являются функциями от независимой переменной x. Тогда
;
;
и т. д. …

Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций     и   , а затем – для функций     и   :

.

Аналогично доказываются другие подобные формулы.

Примеры

Пример 1

Найдите производную
.

Решение

Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1)   .
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
.

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Решение

Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1)   .
.

Применяем формулу производной суммы и разности функций:
.
.

Применяем правила дифференцирования постоянных:
;
.
;
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
;
;
.

Окончательно имеем:

.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную функции
.

Решение

Последовательно применяем правила дифференцирования.

;
;
;
;

.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Производные сложной функции

Формулы производных сложной функции.

Производные суммы, разности, произведения и деления функций.

 

Производные степенной, показательной и логарифмической сложных функций.

 

Производные сложных тригонометрических функций.

 

zdesformula.ru

Формулы производной | Формулы с примерами

Формулы

Приращение аргумента

Приращение функции

Производная функции ?(x) в точке x0

Касательная к графику

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику ? (x)

Физический смысл производной

Правила дифференцирования

Таблица производных

Достаточное условие монотонности функции ? (x)

Экстремумы функции ? (x)

Необходимое условие экстремума ? (x)

Достаточное условие экстремума непрерывной в точке x0 функции ? (x)

formula-xyz.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о