Формула скорости изменения магнитного потока – § 25. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность. Основные формулы

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

§ 25. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность. Основные формулы

• Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг­нитном поле

A=IФ,

где Ф— изменение магнитного потока, пронизывающего поверх­ность, ограниченную контуром;

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Максвелла)

где — электродвижущая сила индукции;N —число витков кон­тура;— потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов Uна концах проводника длинойI, движущегося со скоростьюв однородном магнитном поле,

U=Blsin,

где — угол между направлениями векторов скоростии магнит­ной индукции В;

где t— мгновенное значение угла между векторомВи вектором нормалиnк плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

где R —сопротивление контура;— изменение потокосцепления.

•Электродвижущая сила самоиндукции возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

где L —индуктивность контура.

• Потокосцепление контура =LI, гдеL —индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнит­ной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В отН(см. рис. 24.1), а затем формулой

• Мгновенное значение силы тока Iв цепи, обладающей актив­ным сопротивлениемRи индуктивностьюL:

а) после замыкания цепи

—ЭДС источника тока;t—время, прошедшее после замы­кания цепи;

б) после размыкания цепи

гдеl₀— сила тока в цепи приt=0, t—время, прошедшее с момен­та размыкания цепи.

Примеры решения задач

Пример 1.Виток, по которому течет токI=20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном полеВ=16 мТл. Диаметрdвитка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол=/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

где Ф₁и Ф₂— магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действую

Так как площадь контура S=d²/4.то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 2.В однородном магнитном поле с индукциейB=0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащаяN=1000 витков, с часто­тойn=l0c^-1. ПлощадьSрамки равна 150 см². Определить мгновен­ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение.Мгновенное значение ЭДС индукции, определя­ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

Потокосцепление =NФ, гдеN —число витков, пронизывае­мых магнитным потоком Ф. Подставив выражениев формулу (1),

получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам­ку в момент времени t,изменяется по законуФ=ВScost,гдеВ — магнитная индукция;S— площадь рамки;— угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой пвращения соотношением=2п.Подставив выражение со в формулу (3) и заменивtна угол, получим

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 ,Nиsint —величины безразмер­ные и неименованные, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

Пример. 3По соленоиду течет токI=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивностьLсоленоида, если он имеетN=800витков.

Решение.ИндуктивностьLсоленоида связана с потокосцеплениемсоотношением=LI, откудаL=/I.Заменив здесь потокосцеплениеего выражением через магнитный поток Ф и число витков

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Пример 4.При скорости изменения силы токаI/tв соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции=0,08 В. Определить индуктивностьLсоленоида.

Решение.Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием *

*Сравните с предыдущим примером

Вынося постоянную величину

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

Пример 5.Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметромd=0,2мм. ДиаметрDсоленоида равен 5 см. По соленоиду течет токI=1 А. Определить количество электричестваQ, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение.Возможны два способа решения,1-й способ.Ко­личество электричестваdQ, которое протекает по проводнику за времяdtпри силе токаI, определяется равенством

(1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет. Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

Внося выражение силы тока Iпод знак интеграла и интегрируя от 0 до(приtI0),получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(2)

2-й способ.Подставив в формулу (1) вместо силы токаIвыраже­ние ее через ЭДС индукции,и сопротивлениеRсоленоида, т. е.

Но связана со скоростью изменения потокосцепленияпо закону Фарадея —Максвелла:=-d/dt, тогда

Интегрируя, получаем

(3)

Потокосцепление пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно,₁=LI₀;₂=0, так как₂соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения₁и₂в формулу (3), получимQ=₁/R, или

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность Lсоленоида и сопротивлениеR обмотки соленоида, которые выражаются формулами

где ₀ — магнитная постоянная;N —число витков;l₁ —длина соленоида;S₁— площадь сечения соленоида;— удельное сопро­тивление провода;l—длина провода;S—площадь сечения про­вода;d—диаметр провода;d₁—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения LиRв формулу (2), получим

Заметим, что длина провода lможет быть выражена через диа­метрd₁соленоида соотношениемl=d₁ N,гдеN —число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

Но l₁/Nесть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q=363 мкКл.

Задачи

Работа по перемещению проводника * в магнитном поле

25.1.В однородном магнитном поле с индукциейB=0,01 Тл находится прямой провод длинойl=8см, расположенный перпен­дикулярно линиям индукции. По проводу течет токI=2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояниеs=5 см. Найти работуAсил поля.

25.2.Плоский контур, площадьS которого равна 300 см², на­ходится в однородном магнитном поле с индукциейВ=0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддерживается неизменный токI=10 А. Определить работуА внешних сил по перемещению контура с током в область пространст­ва, магнитное поле в которой отсутствует.

25.3.По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной дли­нойа=10 см, течет токI=20 А, сила которого поддерживается не­изменной. Плоскость квадрата составляет угол=20° с линиями индукции однородного магнитного поля(В=0,1 Тл). Вычислить работуA, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.

25.4.По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиу­сомR=10 см, течет токI=100 А. Перпендикулярно плоскости коль­ца возбуждено магнитное поле с индукциейB=0,1 Тл, по направле­нию совпадающей с индукциейB₁собственного магнитного поля кольца. Определить работуАвнешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упру­гих сил пренебречь.

* Перемещение проводника или контура с током в магнитном поле счи­тать настолько медленным, что возникающими индукционными токами можно пренебречь.

25.5(1).Виток, по которому течет токI=20 А, свободно устано­вился в однородном магнитном поле с индукциейВ=0,016 Тл. Диа­метрdвитка равен 10 см. Определить работуA, которую нужно совершить, чтобы повернуть виток на угол=/2 относительно оси, совпадающей с диаметром. То же, если угол=2.

25.5(2).Квадратная рамка со стороной а=10см, по которой течет токI=200 А, свободно установилась в однородном магнитном поле (B=0,2 Тл). Определить работу, которую необходимо совер­шить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол=2/з.

Электродвижущая сила индукции

25.6.Магнитный поток Ф=40 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС индукции <>, возни­кающей в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за времяt=2 мс.

25.7.Прямой провод длинойl=40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью=5м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциаловUмежду концами провода равна 0,6 В. Вычислить индукциюВмагнитного поля.

25.8.В однородном магнитном поле с индукциейВ=1Тл нахо­дится прямой провод длинойl=20 см, концы которого замкнуты вне поля. СопротивлениеRвсей цепи равно 0,1 Ом. Найти силуF, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его пер­пендикулярно линиям индукции со скоростью=2,5 м/с.

25.9.Прямой провод длинойl=10 см помещен в однородном маг­нитном поле с индукциейВ=1 Тл. Концы его замкнуты гибким про­водом, находящимся вне поля. СопротивлениеRвсей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощностьРпотребуется для того, чтобы двигать про­вод перпендикулярно линиям индукции со скоростью=20 м/с?

25.10.К источнику тока с ЭДС=0,5 В и ничтожно малым внут­ренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Рас­стояниеlмежду стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнит­ная индукцияВ=1,5 Тл. По стержням под действием сил поля сколь­зит со скоростью=lм/с прямолинейный провод сопротивлениемR=0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Опреде­лить: 1) ЭДС индукции2) силуF, действующую на провод со стороны поля; 3) силу токаIв цепи; 4) мощностьP₁, расходуемую на движение провода; 5) мощность Р₂, расходуемую на нагревание провода; 6) мощность Р₃, отдаваемую в цепь источника тока.

25.11.В однородном магнитном поле с индукциейB=0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается

стержень длиной l=10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциаловUна концах стержня при частоте вращенияn=16 с^-1.

25.12.Рамка площадьюS=200 см²равномерно вращается с частотойn=10 с^-1относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (B=0,2 Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции <_i> за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, из­менится от нуля до максимального значения?

25.13.В однородном магнитном поле с индукциейB=0,35 Тл равномерно с частотойn=480 мин^-1вращается рамка, содержащаяN=500витков площадьюS=50 см². Ось вращения лежит в плос­кости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции ε_max, возникающую в рамке.

25.14.Рамка площадьюS=100 см²содержитN=10³витков провода сопротивлениемR₁=l2 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивлениеR₂=20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B=0,1 Тл) с частотойn=8 с^-1. Оп­ределить максимальную мощностьP_maxпеременного тока в цепи.

25.15.Магнитная индукцияBполя между полюсами двухполюс­ного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеетN=100 витков площадьюS=400 см². Определить частотупвращения якоря, если максималь­ное значение ЭДС индукции_i=200 В.

25.16.Короткая катушка, содержащаяN=1000 витков, рав­номерно вращается в однородном магнитном поле с индукциейB=0,04 Тл с угловой скоростью ω=5 рад/с относительно оси, совпа­дающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индук­ции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции_iдля тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет уголα=60° линиями индукции поля. ПлощадьSкатушки равна 100 см².

Количество электричества, протекающее в контуре при изменении магнитного потока^*

25.17.Проволочный виток радиусомr=4 см, имеющий сопротив­лениеR=0,01 Ом, находится в однородном магнитном поле с ин­дукциейB=0,04 Тл. Плоскость рамки составляет уголα=30° с линиями индукции поля. Какое количество электричестваQпроте­чет по витку, если магнитное поле исчезнет?

25.18.Проволочное кольцо радиусомr=10 см лежит на столе. Какое количество электричестваQпротечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? СопротивлениеRкольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукцииВмагнитного поля Земли равна 50 мкТл.

25.19.В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричестваQ=10 мкКл. Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивлениеRцепи гальванометра равно 30 Ом.

25.20.Между полюсами электромагнита помещена катушка, сое­диненная с баллистическим гальванометром. Ось катушки парал­лельна линиям индукции. Катушка сопротивлениемR₁=4 Ом име­етN=15 витков площадьюS=2 см². СопротивлениеR₂гальвано­метра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключи­ли, по цепи гальванометра протекло количество электричестваQ=90 мкКл. Вычислить магнитную индукциюВполя электромаг­нита.

25.21.Рамка из провода сопротивлениемR=0,01 Ом равномер­но вращается в однородном магнитном поле с индукциейB=0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. ПлощадьSрамки равна 100 см². Найти, какое количест­во электричестваQ протечет через рамку за время поворота ее на угол α=30° в следующих трех случаях: 1) от α₀=0 до α₁=30°; 2) от α₁до α₂=60°; 3) от α₃=90°.

25.22.Тонкий медный провод массойт=1г согнут в виде квад­рата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное маг­нитное поле (B=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противо­положные вершины, вытянуть в линию.

25.23.На расстоянииа= 1 м от длинного прямого провода с то­комI=кА находится кольцо радиусомr=1 см. Кольцо расположе­но так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить количество электричестваQ, которое протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. СопротивлениеRкольца 10 Ом.

Указание. Поле в пределах кольца считать однородным.

25.24.По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивле­ниемR=0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответствен­но равныa₁=10 см,a₂=20 см. Найти силу токаIв проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричест­ваQ=693 мкКл.

studfiles.net

Регулирование скорости движения изменением магнитного потока.

Степень изменения магнитного потока тягового электродвигателя характеризует коэффициент регулирования возбуждения (степень ослабления возбуждения ОВ, также называемая степень ослабления поля ОП), равный отношению магнитодвижущей силы главных полюсов при ослабленном возбуждении к магнитодвижущей силе главных полюсов при полном возбуждении :

. (23)

В случае шунтирования обмотки возбуждения электродвигателя последовательного возбуждения ток возбуждения меньше тока якоря , а число витков обмотки возбуждения неизменно, поэтому коэффициент равен отношению тока в обмотке возбуждения к току якоря :

. (24)

Степень ослабления возбуждения может быть допущена до определенного предела, ниже которого нарушается нормальная коммутация на коллекторе тягового электродвигателя, что может привести к круговому огню. Обычно наименьший коэффициент регулирования возбуждения на электровозах составляет 0,3…0,5. В электродвигателях с компенсационной обмоткой можно допустить более глубокое ослабление магнитного потока до 0,2…0,25. Как правило, на э.п.с. используется несколько ступеней ослабления возбуждения (рисунок 12), что позволяет получить большее число ходовых позиций контроллера.

Рисунок 12. Управление изменением магнитного потока на э.п.с.

ОВ – обмотка возбуждения; ИШ – индуктивный шунт; R_Ш1 – R_Ш4, сопротивления шунтировки.

Для того чтобы понять, как изменится характеристика тягового двигателя при включении ступени ослабления возбуждения, примем, что включении ступени ослабления возбуждения, благодаря инерционным свойствам подвижного состава, скорость движения (частота вращения) практически не изменилась, т.е.

(25)

Пользуясь выражением (2.5) с учетом того, напряжение постоянного получим следующее выражение:

. (26)

Как уже указывалось ранее, падение напряжения в цепи тягового электродвигателя составляет 2-4% от напряжения приложенного к его зажимам, следовательно, с достаточной точностью можно записать:

. (27)

Т.е. при той же частоте вращения вала тягового электродвигателя при включении ослабления поля (напряжение постоянно) магнитный поток должен оставаться неизменным:

Содержание: