Формулы для вычисления производных – Правила вычисления производной функции | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Вычисление производных элементарных функция | Математика, которая мне нравится

5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

;

;

;

;

;

.

Доказательство.

1.

   

(по замечательному пределу  I).

2.

   

(по замечательному пределу III).

3.

   

(по замечательному пределу II).

4.

   

(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите , если .

б) Вычислите , если .

в) Вычислите , если .

г) Вычислите , если .

hijos.ru

Правила вычисления производной функции | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Вычисление производной функции

 

Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.

Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.

С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении …
этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде , имея в виду, что величина является приращением аргумента, — приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке.

Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части приращения функции, если это приращение представляется в виде , где — функция, обладающая свойством . При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом и для дифференциала функции справедлива формула . Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.

 

Правила вычисления производной функции

 

Теорема 1

. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .

Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и . Докажем первую из формул. Рассмотрим и после простой группировки слагаемых получим . Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.

 

Теорема 2. Пусть существуют производные функций и . Тогда существует производная функции и справедлива формула .

Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции . С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.

 

Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция . Тогда существует обратная ей функция , т. е. функция, обладающая свойством , , и при этом справедлива формула .

Доказательство. Для сложной функции производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных , откуда .

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.

 

 

Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при , т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно:

.

Теперь заметим, что и справедлива формула . Формула 4) доказана.

Рассмотрим функцию , обратную к функции . Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) . Теперь заметим, что , поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, . Формула 3) доказана.

Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что , и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле .

Итак, для функции рассмотрим соотношение-следствие или . Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим , откуда и, наконец, . Формула 2) доказана.

Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции после следующих преобразований: . Формула 5) доказана.

Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5):

,

.

И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле . Далее, получим .

Теперь отметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Вспомним формулу и поэтому . Далее, получим . Теорема 7 доказана.

 

refac.ru

7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или – ), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хoбесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ,   f (xo),   ,   .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл – в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент to.

Если с – постоянное число, и u = u(x), v = v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)‘ = 0, (cu)‘ = cu’;

2) (u+v)’ = u’+v’;

3) (uv)’ = u’v+v’u;

4) (u/v)’ = (u’v-v’u)/v2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) –

сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u)’ =  u1 u’ (  R).

2. (au)’ = au lna u’.

3. (eu)’ = eu u’.

4. (loga u)’ = u’/(u ln a).

5. (ln u)’ = u’/u.

6. (sin u)’ = cos u u’.

7. (cos u)’ = – sin u u’.

8. (tg u)’ = 1/ cos2u u’.

9. (ctg u)’ = – u’ / sin2u.

10. (arcsin u)’ = u’ /.

11. (arccos u)’ = – u’ /.

12. (arctg u)’ = u’/(1 + u2).

13. (arcctg u)’ = – u’/(1 + u2).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=uv, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u’, v’.

Прологарифмировав равенство y=u v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y’/y = vu’/u +v’ ln u, откуда y’ = y (vu’/u +v’ ln u).

Итак,

(u v)’=u v (vu’/u+v’ ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x, то y’ = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y’, то  = y’+, где 0 при х 0; отсюда  y = y’ х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y’ х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x’х = 1х =х, поэтому dy=y’dx, т. е. символ для обозначения производной  можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал d

y есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка,

производная четвертого порядка –

и вообще производная n-го порядка.

Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y’=(3x3-2x+1)’sin x + (3x3-2x+1)(sin x)’ = = (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y’, y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y’=(tgx + )’ = (tgx)’ + ()’ = +  = .

Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=, u=x4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y’x =yu u’x =()’u(x4 +1)’x =(2u +. Так как u=x4 +1,то (2 x4 +2+.

Пример 3.18. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y’x =yu u’x = (eu)’u(x2)’x = eu 2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x.

Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y’ = (ln u)’u(sin x)’x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

studfiles.net

Таблица производных функций

Вот полная таблица производных основных функций:

1. sin´x = cosx

2. cos´x = -sinx

3. tg ´x =

4. ctg ´x =

5. (ax)´ =ln a · ax , где a>0, когда a = e тогда (ex)´ = ex

6. (xn)´ = n · xn-1 , где n постоянное вещественное число

7. (lnx)´ =

8. (arcsinx)´ =

8. (arccosx)´ =

9. (logax)´ =

10. (arctgx)´ =

11. (arcctgx)´ =

Упражнения.

Применяя таблицу производных и свойства производной вычислите следующие производные:

a) y=x2+x+1, y′ -?                                                       b) y=x cosx, y′ -?

c) y=x sinx, y′ -?                                                           d) y=sin(2x), y′ -?

 

Докажем теперь к примеру первую формулу.

Доказательство:

1. sin´x = cosx

sin´x =

воспользуемся формулой sin α – sin β = 2 sin() cos():

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

Подставляем это выражение в верхнее равенство:

sin´x =

 

sin´x =

по первому замечательному пределу

поэтому:

sin´x = cosx

Этим же путем докажите формулу cos´x = -sinx

Упражнение.

Применяя формулу ()´=  докажите формулы 3 и 4.

Задача.

При помощи второго замечательного предела докажите формулу (ex)´ = ex.

Таблица производных функций незаменима при вычислении производных поэтому советую Вам записать их.

tendey.kz

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о