Формулы для вычисления производных – Правила вычисления производной функции | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Вычисление производных элементарных функция | Математика, которая мне нравится

5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

;

;

;

;

;

.

Доказательство.

1.

   

(по замечательному пределу  I).

2.

   

(по замечательному пределу III).

3.

   

(по замечательному пределу II).

4.

   

(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите , если .

б) Вычислите , если .

в) Вычислите , если .

г) Вычислите , если .

hijos.ru

Правила вычисления производной функции | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Вычисление производной функции

 

Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.

Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.

С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении …
этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде , имея в виду, что величина является приращением аргумента, — приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке.

Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части приращения функции, если это приращение представляется в виде , где — функция, обладающая свойством . При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом и для дифференциала функции справедлива формула . Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.

 

Правила вычисления производной функции

 

Теорема 1. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .

Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и . Докажем первую из формул. Рассмотрим и после простой группировки слагаемых получим . Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.

 

Теорема 2. Пусть существуют производные функций и . Тогда существует производная функции и справедлива формула .

Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции . С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.

 

Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция . Тогда существует обратная ей функция , т. е. функция, обладающая свойством , , и при этом справедлива формула .

Доказательство. Для сложной функции производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных , откуда .

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.

 

 

Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при , т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно:

.

Теперь заметим, что и справедлива формула . Формула 4) доказана.

Рассмотрим функцию , обратную к функции . Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) . Теперь заметим, что , поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, . Формула 3) доказана.

Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что , и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле .

Итак, для функции рассмотрим соотношение-следствие или . Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим , откуда и, наконец, . Формула 2) доказана.

Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции после следующих преобразований: . Формула 5) доказана.

Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5):

,

.

И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле . Далее, получим .

Теперь отметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Вспомним формулу и поэтому . Далее, получим . Теорема 7 доказана.

 

refac.ru

7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть
функция y = f(x) определена в промежутке
X. Производной
функции y = f(x) в точке хo
называется предел

=
.

Если
этот предел конечный,
то функция f(x) называется дифференцируемой
в точке xo;
при этом она оказывается обязательно
и непрерывной в этой точке.

Если
же рассматриваемый предел равен 
(или — ),
то при условии, что функция в точке хo
непрерывна, будем говорить, что функция
f(x) имеет в точке хoбесконечную
производную
.

Производная
обозначается символами

y
,  
f (xo),  
,  
.

Нахождение
производной называется дифференцированием
функции. Геометрический
смысл производной

состоит в том,что
производная есть угловой коэффициент
касательной к кривой y=f(x) в данной точке
хo;
физический
смысл —
в
том, что производная от пути по времени
есть мгновенная скорость движущейся
точки при прямолинейном движении s =
s(t) в момент to.

Если
с
— постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторые
дифференцируемые функции, то справедливы
следующие правила дифференцирования:

1)
(с)
= 0, (cu)
= cu’;

2) (u+v)’ = u’+v’;

3)
(uv)’
= u’v+v’u;

4)
(u/v)’ = (u’v-v’u)/v2;

5)
если y = f(u), u = (x),
т.е. y = f((x))
сложная
функция,

или
суперпозиция
,
составленная из дифференцируемых
функций 
и f, то ,
или

;

6)
если для функции y = f(x) существует
обратная дифференцируемая функция x =
g(y), причем  
0, то .

На основе определения
производной и правил дифференцирования
можно составить список табличных
производных основных элементарных
функций.

1.
(u)’
= 
u1
u’
(

R).

2.
(au)’
= au
lna
u’.

3.
(eu)’
= eu
u’.

4.
(loga
u)’
= u’/(u
ln a).

5. (ln u)’ = u’/u.

6.
(sin
u)’ = cos u
u’.

7.
(cos u)’ = — sin u
u’.

8.
(tg u)’ = 1/ cos2u
u’.

9.
(ctg
u)’ = — u’ / sin2u.

10.
(arcsin u)’ = u’ /.

11.
(arccos
u)’ = — u’ /.

12.
(arctg u)’ = u’/(1
+ u2).

13.
(arcctg u)’ = — u’/(1
+ u2).

Вычислим
производную степенно-показательного
выражения y=uv,
(u>0), где u
и v
суть функции от х,
имеющие в данной точке производные u’,
v’
.

Прологарифмировав
равенство y=u
v
, получим
ln y = v ln u.

Приравнивая
производные по х
от обеих частей полученного равенства
с помощью правил 3, 5 и формулы для
производной логарифмической функции,
будем иметь:

y’/y = vu’/u +v’ ln u, откуда
y’ = y (vu’/u +v’ ln u).

Итак,

(u
v)’=u
v

(vu’/u+v’ ln u), u > 0.

Например,
если
y = x sin
x
,
то
y’ = x sin
x

(sin x/x + cos x
ln x).

Если
функция y = f(x) дифференцируема в точке
x,
т.е. имеет в этой точке конечную
производную y’,
то  =
y’+,
где 0
при х
0; отсюда 
y = y’ х
+ 
x.

Главная
часть приращения функции, линейная
относительно х,
называется
дифференциалом

функции
и обозначается dy: dy = y’ х.
Если положить в этой формуле y=x, то
получим dx = x’х
= 1х
=х,
поэтому dy=y’dx, т. е. символ для обозначения
производной  можно
рассматривать как дробь.

Приращение
функции 
y
есть приращение ординаты кривой, а
дифференциал dy
есть приращение ординаты касательной.

Пусть
мы нашли для функции y=f(x) ее производную
y =
f (x).
Производная от этой производной
называется производной
второго порядка
функции
f(x), или второй
производной,

и обозначается .

Аналогично
определяются и обозначаются:

производная
третьего порядка

,

производная
четвертого порядка —

и
вообще производная
n-го порядка

.

Пример
3
.15.
Вычислить производную функции
y=(3x3-2x+1)sin
x.

Решение.
По правилу
3, y’=(3x3-2x+1)’sin
x + (3x3-2x+1)(sin
x)’ =
= (9x2-2)sin
x + (3x3-2x+1)cos
x.

Пример
3.16.
Найти y’, y = tg x +.

Решение.
Используя
правила дифференцирования суммы и
частного, получим: y’=(tgx + )’
= (tgx)’ + ()’
= +
 =
.

Пример
3
.17.
Найти производную сложной функции
y=,
u=x4
+1.

Решение.
По правилу
дифференцирования сложной функции,
получим: y’x
=yu
u’x
=()’u(x4
+1)’x
=(2u +.
Так как u=x4
+1,то
(2
x4
+2+.

Пример
3
.18.
Найти производную функции y=.

Решение.
Представим
функцию y=  в
виде суперпозиции двух функций: y = eu
и u = x2.
Имеем: y’x
=yu
u’x
= (eu)’u(x2)’x
= eu
2x.
Подставляя x2
вместо u,
получим y=2x.

Пример
3
.19.
Найти производную функции y=ln sin x.

Решение.
Обозначим
u=sin x, тогда производная сложной функции
y=ln u вычисляется по формуле y’ = (ln u)’u(sin
x)’x=
.

Пример
3.20.
Найти
производную функции y=.

Решение.
Случай
сложной функции, полученной в результате
нескольких суперпозиций, исчерпывается
последовательным применением правила
5:

.

Пример
3.21
. Вычислить
производную y=ln .

Решение.
Логарифмируя
и используя свойства логарифмов,
получим:

y=5/3ln(x2+4)
+7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg
5x.

Дифференцируя
обе части последнего равенства, получим:

.

studfiles.net

Таблица производных функций

Вот полная таблица производных основных функций:

1. sin´x = cosx

2. cos´x = -sinx

3. tg ´x =

4. ctg ´x =

5. (ax)´ =ln a · ax , где a>0, когда a = e тогда (ex)´ = ex

6. (xn)´ = n · xn-1 , где n постоянное вещественное число

7. (lnx)´ =

8. (arcsinx)´ =

8. (arccosx)´ =

9. (logax)´ =

10. (arctgx)´ =

11. (arcctgx)´ =

Упражнения.

Применяя таблицу производных и свойства производной вычислите следующие производные:

a) y=x2+x+1, y′ -?                                                       b) y=x cosx, y′ -?

c) y=x sinx, y′ -?                                                           d) y=sin(2x), y′ -?

 

Докажем теперь к примеру первую формулу.

Доказательство:

1. sin´x = cosx

sin´x =

воспользуемся формулой sin α – sin β = 2 sin() cos():

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

sin (x+ Δ x) – sin x = 2 sin() cos()

Подставляем это выражение в верхнее равенство:

sin´x =

 

sin´x =

по первому замечательному пределу

поэтому:

sin´x = cosx

Этим же путем докажите формулу cos´x = -sinx

Упражнение.

Применяя формулу ()´=  докажите формулы 3 и 4.

Задача.

При помощи второго замечательного предела докажите формулу (ex)´ = ex.

Таблица производных функций незаменима при вычислении производных поэтому советую Вам записать их.

tendey.kz

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о