I. Неопределенный интеграл и основные формулы интегрирования.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕРГАЛ
Методические указания и индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов
первого курса дневного отделения (бакалавриат) направлений подготовки 051000Профессиональное обучение, 080200-
Менеджмент, 190700Наземные транспортно-технологическиекомплексы, 190700Технология транспортных процессов, 230400Информационные системы и технологии, 270300Строительство, 280700Техносферная безопасность.
Казань
2014
УДК 517
ББК 22.161.1; 22.17 Б48
Б48 Неопределенный интеграл: Методические указания и индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов первого курса дневного отделения (бакалавриат)направлений подготовки 051000Профессиональное обучение, 080200 – Менеджмент, 190700 – Наземные транспортно-технологическиекомплексы, 190700Технология транспортных процессов, 230400Информационные системы и технологии, 270300Строительство, 280700Техносферная безопасность / Сост.: Н.В. Лапин, Л.А. Онегов. Казань: КГАСУ, 2014. – 38с.
Печатается по решению Редакционно-издательскогосовета Казанского государственногоархитектурно-строительногоуниверситета
Методические указания составлены в соответствии с программой курса высшей математики для бакалавров инженерно-строительныхспециальностей, содержат необходимый теоретический материал по указанной теме, решения задач и примеров, а также практические рекомендации, упражнения и индивидуальные задания для самостоятельной работы.
Рецензент Доцент кафедры прикладной математики КГАСУ
Габбасов Ф.Г.
УДК 517
©Казанский государственный архитектурностроительный университет,2014
© Н.В. Лапин, Л.А. Онегов, 2014.
1 5354.ru
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на интервале[a,b], если F′ (x) = f(x) для всехx [a,b]. Функция F(x)+C также является первообразной для функции f(x), если C – константа.
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется семейство всех ее первообразных F(x)+C и обозначается
∫ f(x)dx= F(x)+C,
при этом f(x) называется подынтегральной функцией,
f (x) dx – подынтегральным выражением, знак∫ – знаком интеграла.
Нахождение первообразной от заданной функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла
1.∫[f(x)± g(x) ]dx= ∫ f(x) dx± ∫g(x) dx.
2.∫Af (x) dx = A∫ f (x)dx , A – константа.
3.∫dF(x)= ∫(F(x))′dx= F(x)+C.
4. d | ∫ | f (x) dx= f(x) dx, | d | [ | f (x) dx]= f(x). |
| |||||
|
| dx ∫ |
| ||
Интегрирование является операцией, обратной к операции дифференцирования. И поэтому основные формулы интегрирования следуют из основных формул дифференцирования функций и записываются в виде таблицы интегралов.
2 5354.ru
studfiles.net
Основные формулы и методы интегрирования
Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.
1) Правило интегрирования суммы или разности.
.
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной интегрирования x.
2) Вынесение постоянной за знак интеграла.
Пусть c – постоянная, не зависящая от x. Тогда ее можно вынести за знак интеграла.
См. подробнее: Вычисление интегралов от многочленов >>>
3) Метод замены переменной.
Рассмотрим неопределенный интеграл .
Если удастся подобрать такую функцию φ(x) от x, так что
,
то, выполнив замену переменной t = φ(x), имеем
.
См. подробнее: Интегрирование методом замены переменной >>>
4) Формула интегрирования по частям.
,
где u и v – это функции от переменной интегрирования.
См. подробнее: Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям >>>
Конечная цель вычисления неопределенных интегралов – это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.
См. Таблица интегралов >>>
Пример
Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:
, и .
Применяем метод 1.
Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2, соответственно. Применяем метод 2.
В таблице интегралов находим формулу
.
Полагая n = 2, находим первый интеграл.
Перепишем второй интеграл в виде
.
Замечаем, что . Тогда
Применяем третий метод. Делаем замену переменной t = φ(x) = ln x.
.
В таблице интегралов находим формулу
Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любой буквой, то
Перепишем третий интеграл в виде
.
Применяем формулу интегрирования по частям.
Положим .
Тогда
;
;
;
;
.
Окончательно имеем
.
Соберем члены с x3.
.
Ответ
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Формулы интеграла
где – некоторая константа.
Найти неопределенный интеграл – это значит найти определенную функцию пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей интегралов. Ниже подробно разобраны все правила интегрирования и формулы интеграла.
Таблица интегралов
Правила интегрирования
Если
то
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Свойства интегралов, формулы и примеры
1. Константу можно выносить за знак интеграла:
2. Интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов от каждого из слагаемых:
3. Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования:
5. Если , то
6. Интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс константа интегрирования:
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||