Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения
Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.
Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:
Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.
В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).
Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.
Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).
Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:
Количество решений
Коэффициенты решения
Сохранить share
1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Откуда обратным ходом находим единственное решение:
Система совместна и определена.
2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
В результате приходим к системе:
Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
поэтому их можно отбросить.
Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения
Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.
3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.
4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.
5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система имеет вид:
Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
которые можно отбросить.
Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
planetcalc.ru
Решить линейное уравнение методом Гаусса онлайн решателем
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса является самым действующим способом решения систем линейных уравнений, поскольку ни метод Крамера, ни матричный метод не работают в условиях, когда система имеет бесконечное количество решений или несовместна. Однако последовательное исключение неизвестных, что и заложено в основу метода Гаусса, приведет к решению любых линейных систем.
Так же читайте нашу статью “Решить логарифмическое уравнение онлайн решателем”
Решим следующую систему линейных уравнений методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Сделаем расширенную матрицу:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Используя 2 уравнение, избавимся от переменной \[x_2\] в последующих уравнениях:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Выполним исключение переменной \[x_2\] из 3 и 4 уравнений. К 3 строке добавим 2, умноженную на \[\frac{1}{4}, \] а к \[4 – 2,\] умноженную на \[\frac{7}{1}. \]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[-\frac{18}{18}=-1.\] Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Основываясь на полученных данных, делаем вывод, что полученная и данная системы – совместны и определённы. Искомое решение находим “с конца”. Из четвёртого уравнения имеем
\[x_4=-\frac{7}{18}.\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40,\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}.\]
Далее, подставляем значения \[x_3\] и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8,\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18}.\]
Наконец, подстановка значений \[x_2, x_3, x_4\] в первое уравнение даёт:
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1,\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}.\]
Ответ:
\[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18}).\]
Где можно решить линейные уравнения методом Гаусса онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
pocketteacher.ru
Решить уравнение Гаусса онлайн решателем
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений, поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:
– универсальность;
– не требует проверки системы на совместимость;
– минимальное количество математических операций.
Так же читайте нашу статью “Решить неравенство онлайн решателем”
Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения методом Гаусса и сравнить ответы.
Решим следующее уравнение методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Составляем расширенную матрицу системы
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой – вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[ -\frac{18}{18}=-1\]. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим “с конца”. Из четвёртого уравнения имеем
\[x_4=-\frac{7}{18}\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}\]
Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18},\]
Наконец, подстановка значений
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}\]
Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].
Где можно решить методом Гаусса систему уравнений онлайн?
Решить систему матричных уравнений онлайн вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
pocketteacher.ru