Высшая математика, интегралы шпаргалка
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция
называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).Пояснение: Пусть: . Тогда: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция
определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То – интегрируема на .Замечание: Очевидно, что если – интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то – интегрируема на и .
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть
– интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция – интеграл с переменным нижним пределом.Теорема 28.6: Если функция
– непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку – одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла
от непрерывной функции сделана подстановка .2. множеством значений функции
при является отрезок [a;b]3.
, то =.Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
=. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем =.Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки
применяют подстановку t=g(x)3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде: .Тогда:
. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .Пример: Вычислить
. .Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл
, где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на – взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .Высшая математика, интегралы шпаргалка – часть 3
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если
, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка
таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех
точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .Определение 28.4: Функция
называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .Теорема 28.1: Если
интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию:
.Следствие 2: Если функция интегрируема на , то:
.Определение 28.8: Определённым интегралом функции
на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
, т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
3. Если
, то:4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенного интеграла.Сравнение определённых интегралов
mirznanii.com
Высшая математика, интегралы шпаргалка – часть 2
Пример: Вычислить
. , откуда: .Интегрирование по частям . Пусть
– дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.Положим
. Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: .Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть
, тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:Сделав подстановку:
, получим: .тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена
– комплексные, сделав подстановку: , получим: .2). Корни многочлена
– действительные: . Подстановка: , получаем: .b). Подстановка:
, далее, если:c).
Если
подстановка –Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка:
, тогда: подстановка: или – нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциалаИнтегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция
называется первообразной для функции на , если: .Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции
на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .Замечание 26.1: Если – одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
mirznanii.com
Высшая математика, интегралы шпаргалка
Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То – интегрируема на .
Замечание:
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть – интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция – интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция – непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку – одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. , то =.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной
.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на – взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
, откуда: .
Интегрирование по частям
. Пусть – дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить .
Положим . Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: .
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .
coolreferat.com
Высшая математика, интегралы шпаргалка
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Пояснение: Пусть: . Тогда: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То – интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если – интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то – интегрируема на и .
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть – интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция – интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция – непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку – одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. , то =.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной .
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на – взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
, откуда: .
Интегрирование по частям . Пусть – дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить .
Положим . Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: .
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть , тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: , получим: .
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена – комплексные, сделав подстановку: , получим: .
2). Корни многочлена – действительные: . Подстановка: , получаем: .
b). Подстановка: , далее, если:
c).
Если подстановка –
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка: , тогда:
подстановка:
или – нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции на , если: .
Пусть и – первообразные функции на . Тогда: .
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .
Замечание 26.1: Если – одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .
Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
,
3. Если , то:
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a
botanim.ru
Высшая математика онлайн
Высшая математика — интегралы
Рассмотрим несколько примеров по решению интегралов из задачника по высшей математике:
Определенный интеграл
∫(5x + 6)cos(2x) dx — Для этого, вводим на странице https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/neopredelennyij/ это выражение и получим ответ:>> здесь <<
Неопределенный интеграл
Чтобы найти подробное решение, вам надо будет оставить ссылку на сайт Контрольная-работа, и в течение 1 минуты вы получите подробное решение по введенному неопределенному интегралу.
Если же надо решить определенный интеграл, например такой:
∫x^3/(x^2+4) dx с пределами интегрирования от 0 до 2Для этого, по ссылке https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/opredelennyij/ вводим подинтегральную функции и данные пределы интегрирования, получим то, что находится по ссылке:
>> здесь << там видно, что сначала решается неопределенный интеграл, а потом в результат подставляются пределы интегрирования.
Но в задачах по высшей математике требуется не только ответ, но еще и решение.
Там вы можете получить подробное решение бесплатно, если разместите ссылку на этот сайт.
Несобственный интеграл
В высшей математике требуется иногда решать несобственные интегралы, дак этот сайт вам поможет решить их.
Например, требуется решить интеграл ∫1/(x^2+1) dx с пределами интегрирования от минус бесконечности -∞ до плюс бесконечности +∞;Для этого на странице https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/nesobstvennyij/ в форму вводим данные, и получим подробный ответ(!):
>> тут <<Двойной интегралВ курсе высшей математики иногда требуется посчитать двойной интеграл, и вот – данный сайт решит указанный вами двойной интеграл. К примеру, если вам требуется решить интеграл ∫ dx ∫x*sin(x*y) dy с пределами интегрирования от 0 до x и числа пи на два до числа пи.Для этого на странице https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/dvoinoi/ вводим данные, и получим очень подробный ответ: >> где-то тут <<Тройной интегралТройной интеграл вы с легкостью решите из курса высшей математики. Воспользуйтесь сервисом, находящимся по адресу https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/troinoi/ | Видео пример для двойного интеграла |
www.kontrolnaya-rabota.ru
Высшая математика, интегралы шпаргалка – страница 3
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции на , если: .
Пусть и – первообразные функции на . Тогда: .
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .
Замечание 26.1: Если – одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .
Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
,
3. Если , то:
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенного интеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если – интегрируема на и , то: .
Если – интегрируема на и , то:
Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если – интегрируемы на и почти для всех , то:
Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если – интегрируема на , то – также интегрируема на (обратное неверно), причём:
Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если – интегрируемы на и , то:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что .
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем
, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Эта теорема при f(x)0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.
Число наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
Если – первообразная непрерывной функции на , то:.
Док-во: Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
. Получим т.е. , где есть нек-рая точка интервала. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].
Переходя к пределу при , получаем F(b)-F(a)=
=, т.е. .
интеграл с переменным верхним пределом
Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:.
Следовательно,
=.
Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
coolreferat.com