Как находить первообразную функции примеры – Лекция «Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции» (11-й класс)

Лекция «Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции» (11-й класс)

Разделы:
Математика


Цель:

  • Формирование понятия первообразной.
  • Подготовка к восприятию интеграла.
  • Формирование вычислительных навыков.
  • Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).


Математический анализ — совокупность разделов математики,
посвященных исследованию
функций и их обобщений методами
дифференциального и
интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа,
называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении
функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки
определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала)
и применении к исследованию
функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в
окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом,
т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального
исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или
восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1.

Пусть (х)`=3х2.

Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х3, ибо (х3)`=3х2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.

В качестве f(х) можно взять

f(х)= х3+1

f(х)= х3+2

f(х)= х3-3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х2. (Производная постоянной
равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х3+С, где С — любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х2


Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞
; ∞ ).

 Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2


Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных
(смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.

F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos2

Пример № 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2
на промежутке (0;∞)

т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2


Лекция 2.



Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.


При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х)
функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол
наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J,
то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом
промежутке.

Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:

f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2— х1), т.к.
f`(с)=0, то f(х2)= f(х1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.

Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),

тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.

Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.

Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.

Откуда Φ(х)= F(х)+С.

Это значит, что если F(х) — первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.

Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х — одна из первообразных для функции f (х) = cos х

F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F1 (х) = Sin х-1

F2 (х) = Sin х

F3 (х) = Sin х+1


Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит
через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 — по условию задачи.


Следовательно, 4 = 12

С = 3
F(х) = х2+3




Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Три правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примеры

 

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 – 1/x +C.

Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФормула Ньютона — Лейбница: примеры вычисления интегралов

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

нахождение первообразной по начальным условиям

Записи с меткой «нахождение первообразной по начальным условиям»


Вспомним определения:

1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:

F′(x)=f (x).

2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

Как можно представить себе неопределенный интеграл

где F (x) — первообразная функции f (x), а С — некоторая постоянная величина?

Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С — семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).

Решение.

F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.

Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:

2=3-3²+С;

2=3-9+С;

2=-6+С → С=8.

Тогда F (x)=x-x²+8.

Пример 2. Найти ∫(sinx-cosx) dx, если при π/2 первообразная равна 6.

Решение.

∫(sinx-cosx) dx=∫sinxdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+C.

По условию F (π/2)=6. Получаем равенство: -cos (π/2) -sin (π/2)+C=6;

0-1+C=6 → C=6+1; C=7.

Искомая функция F (x)=-cosx-sinx+7.

Пример 3. Найти первообразную для функции

принимает значение, равное нулю.

Решение.

www.mathematics-repetition.com

Первообразная

Задачи на первообразную, которых ждали, появились в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике  Давайте и мы вспомним теорию и рассмотрим решение задач по этой теме.

Функцию называют первообразной для функции  на заданном промежутке , если для любого  из этого промежутка выполняется равенство .

Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.  Интегрирование — математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.

Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции  и обозначают

Рассмотрим пример решения задачи из  Задания В8 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Прототип задания B8 (№ 323077)

На рисунке изображён график функции , одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале  . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  на отрезке .

Поскольку — первообразная функции  — это функция, производная которой равна : — исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку , в которых производная функции равна нулю.

Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. (Замечу, что обратно неверно — если производная равна нулю, то это не обязательно тока экстремума.)

Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

 

Точки экстремума («холмики» и «впадинки») выделены красным цветом. На отрезке  их 10.

Ответ: 10.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

1. Определение первообразной.

Первообразной
функции f(x) на
промежутке (a;
b)
 называется
такая функция F(x),
что выполняется равенство для
любогох из
заданного промежутка.

Если
принять во внимание тот факт, что
производная от константы С равна
нулю, то справедливо равенство . Таким
образом, функция f(x) имеет
множество первообразных F(x)+C,
для произвольной константы С,
причем эти первообразные отличаются
друг от друга на произвольную постоянную
величину.

Определение
неопределенного интеграла.

Все
множество первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается .

Выражение называютподынтегральным
выражением
,
а f(x) – подынтегральной
функцией
.
Подынтегральное выражение представляет
собой дифференциал функции f(x).

Действие
нахождения неизвестной функции по
заданному ее дифференциалу называется
неопределенным интегрированием,
потому что результатом интегрирования
является не одна функция F(x),
а множество ее первообразных F(x)+C.

Геометрический
смысл неопределенного интеграла. График
первообразной Д(х) называют интегральной
кривой. В системе координат х0у графики
всех первообразных от данной функции
представляют семейство кривых, зависящих
от величины постоянной С и получаемых
одна из другой путем параллельного
сдвига вдоль оси 0у. Для примера,
рассмотренного выше, имеем:

J
2 х^х = х2 + C.

Семейство
первообразных (х + С) геометрически
интерпретируется совокупностью парабол.

Если
из семейства первообразных нужно найти
одну, то задают дополнительные условия,
позволяющие определить постоянную С.
Обычно с этой целью задают начальные
условия: при значении аргумента х = х0
функция имеет значение Д(х0) = у0.

Пример.
Требуется найти ту из первообразных
функции у = 2 х, которая принимает значение
3 при х0 = 1.

Искомая
первообразная: Д(х) = х2 + 2.

Решение.
^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1.
Производная неопределенного интеграла
равна подинтегральной функции:

2.
Дифференциал неопределенного интеграла
равен подинтегральному выражению:

3.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме самой
этой функции и произвольной постоянной:

4.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

,
причем 

5.
Интеграл суммы (разности) равен сумме
(разности) интегралов:

6.
Свойство является комбинацией свойств
4 и 5:

,
причем 

7.
Свойство инвариантности неопределенного
интеграла:

Если ,
то

8.
Свойство:

Если ,
то

Фактически
данное свойство представляет собой
частный случай интегрирования при
помощи метода
замены переменной, который более
подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим
пример:

3.
Метод
интегрирования,

при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований
подынтегральной функции (или выражения)
и применения свойств неопределенного
интеграла приводится к одному или
нескольким табличным интегралам,
называется непосредственным
интегрированием
.
При
сведении данного интеграла к табличному
часто используются следующие преобразования
дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала
»):

Вообще, f’(u)du
= d(f(u)).
 эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.

Пример:

 Найти
интеграл 

Решение. Воспользуемся свойствами
интегралаи приведем данный интеграл
к нескольким табличным.

4.
Интегрирование
методом подстановки.

Суть
метода заключается в том, что мы вводим
новую переменную, выражаем подынтегральную
функцию через эту переменную, в результате
приходим к табличному (или более простому)
виду интеграла.

Очень
часто метод подстановки выручает при
интегрировании тригонометрических
функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Введем
новую переменную .
Выразимх через z:

Выполняем
подстановку полученных выражений в
исходный интеграл:

Из
таблицы первообразных имеем .

Осталось
вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

5.
Интегрирование
по частям.

Интегрирование
по частям основано на представлении
подынтегрального выражения в виде
произведения и
последующем применении формулы.
Этот метод является очень мощным
инструментом интегрирования. В зависимости
от подынтегральной функции, метод
интегрирования по частям иногда
приходится применять несколько раз
подряд до получения результата. Для
примера найдем множество первообразных
функции арктангенс.

Пример.

Вычислить
неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть ,
тогда

Следует
отметить, что при нахождении функции v(x) не
прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь
применяем формулу интегрирования по
частям: 

Последний
интеграл вычислим по методу подведения
под знак дифференциала.

Так
как ,
то.
Поэтому

Следовательно,
где.

Ответ:

.

studfiles.net

1.5 Первообразная | Экономика для школьников

Понятие первообразной функции

Под дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.

Определение 1
Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка $F'(x)=f(x)$.

Множество всех первообразных для функции $f(x)$ можно представить в виде $F(x)+C$, где $C \in R$.

Теорема
Если функция $F$ есть первообразная для функции $f$ на промежутке $X$, то при любой постоянной $C$ функция $F(x)+C$ также является первообразной для функции $f$ на промежутке $X$. Любая первообразная функции $f$ на промежутке $X$ может быть записана в виде $F(x)+C$.

Определение 2
Выражение $F(x)+C$ называют общим видом пербообразных для функции $f$.

Пример 1
Функция $F(x)=x^4$ есть первообразная для функции $f(x)=4x^3$ на промежутке $(-\infty;\infty)$, ибо для всех $x \in R$ справедливо равенство $F'(x)=(x^4)’=4x^3$.

Первообразные некоторых функций:

$k$ (постоянная) $kx+C$
$x^a$ ($a \in R$, $a \neq 1$) $\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $2\sqrt{x}+C$

Пример 2
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^2$
$f=x^2$
$f=x^{a}$
$a=2$
$F=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}+C$

Три правила нахождения первообразных

  1. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $G$ есть первообразная для $g$, то $F+G$ есть первообразная для $f+g$, то есть $(F+G)’=f+g$.
  2. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $k$ есть постоянная, то $kF$ есть первообразная для $kf$, то есть $(kF)’=kf$.
  3. Если $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, а $k$ и $b$ являются постоянными, $k\neq0$, то $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ есть первообразная для функции $f(kx+b)$, то есть $\left(\dfrac{1}{k}F(kx+b)\right)’=f(kx+b)$

Пример 3
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$
Так как для функции $x^3$ одна из первообразных есть $\dfrac{x^4}{4}$, а для функции $\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных является функция $-\dfrac{1}{x}$, то по правилу $1$ находим, что для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}$, а общий вид первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}+C$.

iloveeconomics.ru

Внеклассный урок — Первообразная. Интегрирование

Первообразная. Интегрирование.

 

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:

(х3)’ = 3х2.

Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.
Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.

Определение первообразной:

Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у =  f(x).

В нашем примере (х3)’ = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.

 

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной.

 
Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)’ мы вычислили функцию у = 3х2.

 

Правила и формулы для первообразной.

(1)

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.

Решение:

Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.

Первообразной для sin x является –cos x.

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х3 + (–cos x),

у = х3 – cos x.

Ответ:
для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.

 

(2)

kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x).

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

 

(3)

Если  у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция:

                                                                             1
                                                                      y = — F (kx + m)
                                                                             k

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции y = sin 2x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:

       1
y = — · (–cos 2x),
       2

            cos 2x
y = – ————
               2

                                                                                                                       cos 2x
Ответ: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————
                                                                                                                           2


(4)

Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид:

y = F(x) + C

 

Пример-пояснение.

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.

Для этой функции все первообразные имеют вид:

            cos 2x
y = – ———— + C.
               2

 

Пояснение.

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1′ = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x)’ = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.

 

raal100.narod.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о