Лекция “Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции” (11-й класс)
Разделы: Математика
Цель:
- Формирование понятия первообразной.
- Подготовка к восприятию интеграла.
- Формирование вычислительных навыков.
- Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).
Математический анализ — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.
Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.
Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1.
Пусть (х)`=3х2.
Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х3+1
f(х)= х3+2
f(х)= х3-3 и др.
Т.к.производная каждой из них равно 3х2. (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х3+С, где С – любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х2
Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).
Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos23х
Пример № 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2
на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2
Лекция 2.
Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.
При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:
Теорема: (Основное свойство первообразной функции)
Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С – любое действительное число.
Доказательство:
Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) – первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С – любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.
Решение: Sin х – одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.
F1 (х) = Sin х-1
F2 (х) = Sin х
Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).
Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)
Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 – по условию задачи.
Следовательно, 4 = 12+С
С = 3
F(х) = х2+3
Три правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примеры
Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Правило 1
Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.
По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2
Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.
Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).
Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:
Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:
F(x) = x^4/4 – 1/x +C.
Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5*sin(x).
Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5
Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:
F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примеры
Следующая тема:   Формула Ньютона – Лейбница: примеры вычисления интегралов
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
нахождение первообразной по начальным условиям
Записи с меткой “нахождение первообразной по начальным условиям”
Вспомним определения:
1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:
F′(x)=f (x).
2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.
Как можно представить себе неопределенный интеграл
где F (x) – первообразная функции f (x), а С – некоторая постоянная величина?
Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С – семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.
Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).
Решение.
F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.
Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:
2=3-3²+С;
2=3-9+С;
2=-6+С → С=8.
Тогда F (x)=x-x²+8.
Пример 2. Найти ∫(sinx-cosx) dx, если при π/2 первообразная равна 6.
Решение.
∫(sinx-cosx) dx=∫sinxdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+C.
По условию F (π/2)=6. Получаем равенство: -cos (π/2) -sin (π/2)+C=6;
0-1+C=6 → C=6+1; C=7.
Искомая функция F (x)=-cosx-sinx+7.
Пример 3. Найти первообразную для функции
принимает значение, равное нулю.
Решение.
www.mathematics-repetition.com
Первообразная
Задачи на первообразную, которых ждали, появились в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ по математике Давайте и мы вспомним теорию и рассмотрим решение задач по этой теме.
Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для любого из этого промежутка выполняется равенство .
Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием. Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.
Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции и обозначают
∫
Рассмотрим пример решения задачи из Задания В8 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
Прототип задания B8 (№ 323077)
На рисунке изображён график функции , одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .
Поскольку – первообразная функции – это функция, производная которой равна : – исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку , в которых производная функции равна нулю.
Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. (Замечу, что обратно неверно – если производная равна нулю, то это не обязательно тока экстремума.)
Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:
Точки экстремума (“холмики” и “впадинки”) выделены красным цветом. На отрезке их 10.
Ответ: 10.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
1. Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называютподынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:
J 2 х^х = х2 + C.
Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.
Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.
Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.
Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.
Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
, причем
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
, причем
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если , то
8. Свойство:
Если , то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):
Вообще, f’(u)du
= d(f(u)). эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Пример:
Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.
4. Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Введем новую переменную . Выразимх через z:
Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
Из таблицы первообразных имеем .
Осталось вернуться к исходной переменной х:
Ответ:
5. Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы. Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.
Пример.
Вычислить неопределенный интеграл .
Решение.
Пусть , тогда
Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.
Теперь применяем формулу интегрирования по частям:
Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.
Так как , то. Поэтому
Следовательно, где.
Ответ:
.
studfiles.net
1.5 Первообразная | Экономика для школьников
Понятие первообразной функцииПод дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.
Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.
Определение 1
Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка $F'(x)=f(x)$.
Множество всех первообразных для функции $f(x)$ можно представить в виде $F(x)+C$, где $C \in R$.
Теорема
Если функция $F$ есть первообразная для функции $f$ на промежутке $X$, то при любой постоянной $C$ функция $F(x)+C$ также является первообразной для функции $f$ на промежутке $X$. Любая первообразная функции $f$ на промежутке $X$ может быть записана в виде $F(x)+C$.
Определение 2
Выражение $F(x)+C$ называют общим видом пербообразных для функции $f$.
Пример 1
Функция $F(x)=x^4$ есть первообразная для функции $f(x)=4x^3$ на промежутке $(-\infty;\infty)$, ибо для всех $x \in R$ справедливо равенство $F'(x)=(x^4)’=4x^3$.
Первообразные некоторых функций:
| $k$ (постоянная) | $kx+C$ |
| $x^a$ ($a \in R$, $a \neq 1$) | $\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+C$ |
Пример 2
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^2$
$f=x^2$
$f=x^{a}$
$a=2$
$F=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}+C$
Три правила нахождения первообразных
- Если $F$ есть первообразная для $f$, а $G$ есть первообразная для $g$, то $F+G$ есть первообразная для $f+g$, то есть $(F+G)’=f+g$.
- Если $F$ есть первообразная для $f$, а $k$ есть постоянная, то $kF$ есть первообразная для $kf$, то есть $(kF)’=kf$.
- Если $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, а $k$ и $b$ являются постоянными, $k\neq0$, то $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ есть первообразная для функции $f(kx+b)$, то есть $\left(\dfrac{1}{k}F(kx+b)\right)’=f(kx+b)$
Пример 3
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$
Так как для функции $x^3$ одна из первообразных есть $\dfrac{x^4}{4}$, а для функции $\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных является функция $-\dfrac{1}{x}$, то по правилу $1$ находим, что для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}$, а общий вид первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}+C$.
iloveeconomics.ru
Внеклассный урок – Первообразная. Интегрирование
Первообразная. Интегрирование.
Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:
(х3)’ = 3х2.
Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.
Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.
Определение первообразной:
Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у = f(x). |
В нашем примере (х3)’ = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной. |
Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)’ мы вычислили функцию у = 3х2.
Правила и формулы для первообразной.
(1)
Первообразная суммы равна сумме первообразных. |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.
Решение:
Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.
Первообразной для sin x является –cos x.
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х3 + (–cos x),
у = х3 – cos x.
Ответ:
для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.
(2)
kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x). |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.
Решение:
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.
Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
(3)
Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция: 1 |
Пример-пояснение:
Найдем первообразную для функции y = sin 2x.
Решение:
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:
1
y = — · (–cos 2x),
2
cos 2x
y = – ————
2
cos 2x
Ответ: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————
2
(4)
Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид: y = F(x) + C |
Пример-пояснение.
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y = – ———— + C.
2
Пояснение.
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1′ = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x)’ = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.
raal100.narod.ru