Как решать лимиты примеры и решения – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Как решать пределы с корнями, примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения в функцию получаются неопределенности трёх видов:

  1.  

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1
Найти предел с корнем
Решение

Подставляем в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень:

Используя формулу разности квадратов приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на , имеем:

Ответ

Тип 2

Пределы с корнем такого типа, когда вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем
Решение

Вставляем в предел и получаем . Определяем, что в числителе старшая степень это , а в знаменателе . Выносим их за скобки: 

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем в предел, имеем:

Ответ

Тип 3

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня
Решение

При  в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим за скобки и сокращаем:

Снова подставляем в предел и вычисляем его:

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Замечательные пределы, примеры решений

Теория по замечательным пределам

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:

   

Следствия из первого замечательного предела:

   

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:

   

где . Он имеет следующие основные следствия:

   

Примеры



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

Примеры нахождения пределов функций

Элементарные функции и их графики.

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции, а также многочлен и рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов.

К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения основных четырех арифметических действий и образования сложной функции.

 

Графики элементарных функций

 

Предел функции.

 

Функция y=f(x) имеет число А пределом при стремлении х к а, если для любого числа ε › 0 найдется такое число δ › 0, что | y – A | ‹ ε если |х — а| ‹ δ,

 

или lim у = A

x→a

Непрерывность функции.

 

Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если lim f(x) = f(а), т.е.

x→a

предел функции в точке х = а равен значению функции в данной точке.

Нахождение пределов функций.

 

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел постоянной величины равен этой постоянной величине:

lim А = A

2. Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов этих функций:

lim ( f + g — h ) = lim f + lim g — lim h

3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

lim ( f * g* h ) = lim f * lim g * lim h

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен 0:

х lim х

lim ——- = ———-

у lim у

 

 

Sin x

Первый замечательный предел: lim ——— = 1

x→0 x

 

Второй замечательный предел: lim ( 1 + 1/x ) x = e ( e = 2, 718281..)

x→∞

 

Примеры нахождения пределов функций.

5.1. Пример:

 

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .

2) Записи под значком предела . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно х, хотя вместо «икса» может быть любая другая переменная. На месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность 0 или .

3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Очень важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? Выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан предел, надо сначала просто подставить число в функцию.

5.2. Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает.

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

5.3. Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции.
Вывод: прифункциянеограниченно возрастает

5.4. Серия примеров:

Попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующие примеры и решить простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

Когда дан любой предел, сначала просто подставить число в функцию. При этом Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.

6. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения.

 

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.

 

6.1. Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попы таемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что = 1, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Таким образом, ответ , а вовсе не 1.

 

Пример

Найти предел

Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .

 

Пример

Найти предел

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

В теории пределов при делении на ноль подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

7. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения.

Пример

Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Числитель. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Далее находим корни:

Таким образом:

Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель х+1 уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Пример

Вычислить предел

Сначала «дубовый» вариант решения, подставим х=2:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель:

,

 

studopedya.ru

Как решать пределы?

В курсе математического анализа достаточно большой промежуток времени выделяется на изучение приемов того, как решать пределы, как для функций, так и для последовательностей. На данный момент существует некоторое количество уже готовых методов и правил, которые при правильном применении могут помочь решить довольно трудные задания с пределами.

В математический анализ были введены понятия того, как решать пределы функций, а также пределы последовательностей. Если необходимо вычислить предел последовательности, то запись этого примера выглядит так: lim xn=a. Из этой последовательности видно, что xn стремится к а. В свою очередь n наоборот стремится к бесконечности. Чаще всего последовательности представляются в виде рядов, таких как, например, р1, р2, р3…,рm,…,рn…. Все последовательности принято разделять на две группы: убывающие последовательности, а также возрастающие последовательности.

Как решать пределы: формулы

Чаще всего величина, которая является переменной, например, х стремиться к конечному пределу, коим является величина а. При этом величина х постоянно приближается к величине а, в кто время как величина а остается постоянной. Запись этого сложного определения очень простая: limx =a. В этом случае n может стремиться к бесконечности, и к нулю. Существуют особые функции, которые называются бесконечными. В них предел также стремится к бесконечности. Если же рассматривается другая функция, которая описывает замедление хода чего-либо, то тут есть смысл говорить и о пределе, который будет стремиться к нулю.

Все приделы имеют свой определенный ряд свойств. Чаще всего у одной функции может быть лишь один предел. Это и есть наиболее важное и самое главное свойство пределов. Все остальные свойства пределов связаны с их определением и решением задач. Также студентам стоит обратить внимание на тему о том, как решать пределы с корнями.

  1. Предел суммы равен сумме всех пределов: lim(x+y)=lim x+lim y.
  2. Предел частного равен частному от всех пределов: lim(x/y)=lim x/lim y.
  3. Предел произведения равен про

elhow.ru

Пределы. Примеры решений — matematika

Теория пределов – это один из разделов математического анализа.
Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку
существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют
десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел.
Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах
пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая
историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши,
который заложил основы математического анализа и дал строгие
определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый
Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам
физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество
теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее
другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение
предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы
материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей
проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В
практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно
любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемс

sites.google.com

Примеры нахождения пределов | Primer.by






Пример 1.

а)

б)

в)

г)

д)

 

Решение

 

а)

Имеем неопределенность вида  . Разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую
степень х, то есть на х4

Ответ:

 

б)

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение,
сопряженное числителю, то есть на :

 

Ответ:

 

в)

Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду второго замечательного
предела:

Ответ:

г)

Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду первого замечательного
предела:

 

Ответ:

 

д)  

(воспользуемся правилом Лопиталя)

Таким образом, .

Ответ:.

 

 

Пример 2.

Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя.

 

Решение:

 

1) .

Искомый предел является неопределенностью типа . По правилу Лопиталя
получаем:

.

2) .

Предел является неопределенностью вида . Преобразуем его к виду :

.

Применим правило Лопиталя:

.

3) .

Предел является неопределенностью вида . Проведем следующие преобразования:

.

 

Ответ: 1) ;     2)
-1;     3) .

 

 


primer.by

Пределы функций. Примеры решений

 

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

studopedya.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о