Как решать системы линейных уравнений методом гаусса – Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уровнений). Правила, примеры

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса


Теория

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса (метод исключений Гаусса).
Суть метода — это последовательное исключение неизвестных, т.е. когда с помощью элементарных
преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого
вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Матрица, составленная из все ai,j, называется основной матрицей системы. Если
к этой матрице добавить вектор столбец, составленный из bi, то такая матрица называется расширенной
матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли (условие совместности системы): системат совместна тогда и только тогда,
ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

  • На первом этапе (прямой ход) система приводится ступенчатой или треугольной форме. Вычтем из второго
    уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы обнулился коэффициент при x1.
    Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключаются все
    коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем при помощи второго уравнения
    исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно
    продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной даигонали.
  • На втором этапе (обратный ход) выражаем все получившиеся базисные переменные через небазисные и
    построим фундаментальную систему решений. Если все переменные являются базисными, то получим
    единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения,
    из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют
    в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке
    соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего),
    ситуация в точности повторяет случай последней строки.

www.math.by

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса — ПриМат

Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.

Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.

Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.

Пример:

Пусть дана система уравнений

$\begin{equation*}
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\
x_1 — x_2 = -2\\
3x_1 — x_2 + 2x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):

$A = \left(\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
2 \\ -2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
\sim~\
\left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
$

Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 8
\end{matrix}\right)\right.\ $

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 4
\end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 6
\end{matrix}\right)\right.\ $

От третьей строки отнимем вторую, умноженную на $3$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ -6
\end{matrix}\right)\right.\ $

После умножения третей строки на $(-1/2)$ , получаем:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Следующим действием обнулим недиагональные элементы второго столбца, прибавив к первой строке вторую:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Полученной матрице соответствует система

$\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 = -1\\
x_2 = 1\\
x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Решите систему уравнений методом Гаусса

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 

Ваш результат

 

 

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  1. С ответом

  2. С отметкой о просмотре

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений:

   

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

   

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

   

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы , как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

   

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если , то неизвестным можно придавать произвольные значения, а неизвестные находим из решения системы с треугольной матрицей

   

Эту систему удобно решать, определив из -го уравнения , затем из -го и т.д. Таким образом, можно выразить переменные через и получить общее решение системы. Если , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

   

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

   

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

   

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

   

Запишем полученные уравнения:

   

Из второго уравнения выразим :

   

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него :

   

Ответ. Общее решение данной системы:

   

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

   

2. Решите систему линейных уравнений

   

3. Решите систему линейных уравнений

   

hijos.ru

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами —

Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:

  • метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
  • метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
  • метод Гаусса;
  • метод Крамера;
  • метод обратной матрицы.

Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример.

Необходимо решить систему:

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x1 из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты

первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.

Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.

Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Обратный ход.

Рассмотрим второе уравнение получившейся системы:

Рассмотрим первое уравнение получившейся системы:

Найдем значение переменной x1

.

Найдем значение переменной x2, подставив найденное значение x1.

Ответ :

Если решили построить дом, то проекты коттеджей (http://www.intexhome.ru/projects/) вам будут необходимы.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


reshit.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о