Какие бывают интегралы – Интеграл — Википедия

Содержание

Интеграл — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и т. д.; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана , Лебега, Стилтьеса и др.

Интеграл функции одной переменной

Неопределённый интеграл

Пусть дана <math>f(x)</math> — функция действительной переменной.
Неопределённым интегралом функции <math>f(x)</math> или её первообразной называется такая функция <math>F(x)</math>, производная которой равна <math>f(x)</math>, то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Обозначается это так:

<math>F(x) = \int f(x) dx</math>

В этой записи <math>\int</math> — знак интеграла, <math>f(x)</math> называется подынтегральной функцией, а <math>dx</math> — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную.
Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную <math>C</math>, например

<math>\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C, \qquad \int \cos(x) dx = \sin(x) + C</math>

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

<math>\frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x), \qquad \int \frac{d f(x)}{dx} dx = f(x) + C</math>

Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, ординатами <math>x=a</math> и <math>x=b</math> и графиком функции <math>y=f(x)</math>, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок <math>[a; b]</math> на меньшие отрезки точками <math>x_i</math>,
такими что <math>a = x_1 < … < x_i < x_{i+1} < … < x_{n+1} = b</math>,
а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками <math>[x_i; x_{i+1}]</math>. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке <math>\xi_i \in [x_i;x_{i+1}]</math>. Ввиду того, что длина <math>i</math>-го отрезка <math>\Delta x_i = x_{i+1}-x_i</math> мала, будем считать значение функции <math>f(x)</math> на нём примерно постоянным и равным <math>y_i = f(\xi_i)</math>. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равно площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

<math> S \approx \sum_{i=1}^n y_i \Delta x_i \qquad (*)</math>

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (<math>\max \Delta x_i \to 0</math>), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек <math>\xi_i</math>, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел назывется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции <math>f(x)</math> по отрезку <math>[a; b]</math> и обозначается

<math> \int_a^b f(x) dx </math>

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке <math>[a; b]</math>. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при <math>x</math> рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в <math>{\mathbb R}</math>, выбором точек <math>\xi_i</math> можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до <math>b-a</math>.

Между определённым и неопредённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

<math> F(x) = \int f(x) dx</math>

то

<math> \int_a^b f(x) dx = F(b) — F(a)</math>

Эта равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл в пространствах большей размерности

Двойные и кратные интегралы

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса,
подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим некоторую двумерную фигуру <math>D</math> на плоскости <math>XY</math> и заданную на ней функцию двух переменных <math>f(x,y)</math>.
Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахожении объёма получившегося тела (см. рисунок).
По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру <math>D</math> на достаточно малые области <math>d_i</math>,
возьмём в каждой по точке <math>\xi_i = (x_i,y_i)</math> и составим интегральную сумму

<math>\sum_{i} f(x_i,y_i) S(d_i)</math>

где <math>S(d_i)</math> — площадь области <math>d_i</math>. Если существует, независимо от выбора разбиения и точек <math>\xi_i</math>,
предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом
(в смысле Римана) от функции <math>f(x,y)</math> по области <math>D</math> и обозначается

<math> \int_D f(x,y) dS </math>, <math> \int_D f(x,y) dx dy </math>, или <math> \iint_D f(x,y) dx dy </math>

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

Криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл

Применение

К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела.
Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью <math>\rho(x)</math> даётся интегралом

<math> M = \int \rho(x) dx </math>

в аналогичном случае плоской фигуры

<math> M = \iint \rho(x,y) dx dy </math>

и для трёхмерного тела

<math> M = \iiint \rho(x,y,z) dx dy dz </math>

Обобщения

Интеграл Лебега

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие <math>\sigma</math>-аддитивной меры.
Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в <math>{\mathbb R}^2</math>, в <math>{\mathbb R}^3)</math>.

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве.
В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев.
Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество <math>X</math>, на котором задана <math>\sigma</math>-аддитивная мера <math>\mu</math>, и функция <math>f: X \to {\mathbb R}</math>.
При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества

<math> E_a = \{x \in X: f(x) < a\} </math>

измеримы для любого <math>a \in {\mathbb R}</math> (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений <math>a_i</math>:

<math> \int_X f d\mu = \sum_i a_i \mu(f^{-1}(a_i)) </math>

где <math>f^{-1}(a_i)</math> — полный прообраз точки <math>a_i</math>; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию <math>f</math> назовём интегрируемой в смысле Лебега.
Далее, назовём произвольную функцию <math>f</math> интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций <math>f_n</math>, равномерно сходящаяся к <math>f</math>. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции <math>f</math> по мере <math>\mu</math>:

<math> \int_X f d\mu = \lim \int_X f_n d\mu </math>

Если рассматривать функции на <math>{\mathbb R}^n</math> и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега.
Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду).
Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Историческая справка

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла <math>\int y dx</math>, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ <math>\int</math>, от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма)[1]. Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде <math>\int_a^b</math> введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году.
Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

См. также

Напишите отзыв о статье «Интеграл»

Примечания


  1. Florian Cajori. A history of mathematical notations. — Courier Dover Publications, 1993. — P. 203. — 818 p. — (Dover books on mathematics). — ISBN 9780486677668.

Литература

  • Виноградов И.М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Integral.html Integral] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • [integrals.wolfram.com Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы Mathematica
  • [youintegral.ru/ Аналог Wolfram Integrator с подробным решением интегралов]
  • «[ru.yasno.tv/article/math/42-chto-takoe-integral-eto-umnozhenie Интеграл как умножение]» — перевод статьи [betterexplained.com/articles/a-calculus-analogy-integrals-as-multiplication/ A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained]  (англ.)

Отрывок, характеризующий Интеграл

Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.

На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.

Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.

Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.

«Да, здесь, в этом лесу был этот дуб, с которым мы были согласны», подумал князь Андрей. «Да где он», подумал опять князь Андрей, глядя на левую сторону дороги и сам того не зная, не узнавая его, любовался тем дубом, которого он искал. Старый дуб, весь преображенный, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца. Ни корявых пальцев, ни болячек, ни старого недоверия и горя, – ничего не было видно. Сквозь жесткую, столетнюю кору пробились без сучков сочные, молодые листья, так что верить нельзя было, что этот старик произвел их. «Да, это тот самый дуб», подумал князь Андрей, и на него вдруг нашло беспричинное, весеннее чувство радости и обновления. Все лучшие минуты его жизни вдруг в одно и то же время вспомнились ему. И Аустерлиц с высоким небом, и мертвое, укоризненное лицо жены, и Пьер на пароме, и девочка, взволнованная красотою ночи, и эта ночь, и луна, – и всё это вдруг вспомнилось ему.

«Нет, жизнь не кончена в 31 год, вдруг окончательно, беспеременно решил князь Андрей. Мало того, что я знаю всё то, что есть во мне, надо, чтобы и все знали это: и Пьер, и эта девочка, которая хотела улететь в небо, надо, чтобы все знали меня, чтобы не для одного меня шла моя жизнь, чтоб не жили они так независимо от моей жизни, чтоб на всех она отражалась и чтобы все они жили со мною вместе!»

Возвратившись из своей поездки, князь Андрей решился осенью ехать в Петербург и придумал разные причины этого решенья. Целый ряд разумных, логических доводов, почему ему необходимо ехать в Петербург и даже служить, ежеминутно был готов к его услугам. Он даже теперь не понимал, как мог он когда нибудь сомневаться в необходимости принять деятельное участие в жизни, точно так же как месяц тому назад он не понимал, как могла бы ему притти мысль уехать из деревни. Ему казалось ясно, что все его опыты жизни должны были пропасть даром и быть бессмыслицей, ежели бы он не приложил их к делу и не принял опять деятельного участия в жизни. Он даже не понимал того, как на основании таких же бедных разумных доводов прежде очевидно было, что он бы унизился, ежели бы теперь после своих уроков жизни опять бы поверил в возможность приносить пользу и в возможность счастия и любви. Теперь разум подсказывал совсем другое. После этой поездки князь Андрей стал скучать в деревне, прежние занятия не интересовали его, и часто, сидя один в своем кабинете, он вставал, подходил к зеркалу и долго смотрел на свое лицо. Потом он отворачивался и смотрел на портрет покойницы Лизы, которая с взбитыми a la grecque [по гречески] буклями нежно и весело смотрела на него из золотой рамки. Она уже не говорила мужу прежних страшных слов, она просто и весело с любопытством смотрела на него. И князь Андрей, заложив назад руки, долго ходил по комнате, то хмурясь, то улыбаясь, передумывая те неразумные, невыразимые словом, тайные как преступление мысли, связанные с Пьером, с славой, с девушкой на окне, с дубом, с женской красотой и любовью, которые изменили всю его жизнь. И в эти то минуты, когда кто входил к нему, он бывал особенно сух, строго решителен и в особенности неприятно логичен.

– Mon cher, [Дорогой мой,] – бывало скажет входя в такую минуту княжна Марья, – Николушке нельзя нынче гулять: очень холодно.

– Ежели бы было тепло, – в такие минуты особенно сухо отвечал князь Андрей своей сестре, – то он бы пошел в одной рубашке, а так как холодно, надо надеть на него теплую одежду, которая для этого и выдумана. Вот что следует из того, что холодно, а не то чтобы оставаться дома, когда ребенку нужен воздух, – говорил он с особенной логичностью, как бы наказывая кого то за всю эту тайную, нелогичную, происходившую в нем, внутреннюю работу. Княжна Марья думала в этих случаях о том, как сушит мужчин эта умственная работа.

Князь Андрей приехал в Петербург в августе 1809 года. Это было время апогея славы молодого Сперанского и энергии совершаемых им переворотов. В этом самом августе, государь, ехав в коляске, был вывален, повредил себе ногу, и оставался в Петергофе три недели, видаясь ежедневно и исключительно со Сперанским. В это время готовились не только два столь знаменитые и встревожившие общество указа об уничтожении придворных чинов и об экзаменах на чины коллежских асессоров и статских советников, но и целая государственная конституция, долженствовавшая изменить существующий судебный, административный и финансовый порядок управления России от государственного совета до волостного правления. Теперь осуществлялись и воплощались те неясные, либеральные мечтания, с которыми вступил на престол император Александр, и которые он стремился осуществить с помощью своих помощников Чарторижского, Новосильцева, Кочубея и Строгонова, которых он сам шутя называл comite du salut publique. [комитет общественного спасения.]

Теперь всех вместе заменил Сперанский по гражданской части и Аракчеев по военной. Князь Андрей вскоре после приезда своего, как камергер, явился ко двору и на выход. Государь два раза, встретив его, не удостоил его ни одним словом. Князю Андрею всегда еще прежде казалось, что он антипатичен государю, что государю неприятно его лицо и всё существо его. В сухом, отдаляющем взгляде, которым посмотрел на него государь, князь Андрей еще более чем прежде нашел подтверждение этому предположению. Придворные объяснили князю Андрею невнимание к нему государя тем, что Его Величество был недоволен тем, что Болконский не служил с 1805 года.

«Я сам знаю, как мы не властны в своих симпатиях и антипатиях, думал князь Андрей, и потому нечего думать о том, чтобы представить лично мою записку о военном уставе государю, но дело будет говорить само за себя». Он передал о своей записке старому фельдмаршалу, другу отца. Фельдмаршал, назначив ему час, ласково принял его и обещался доложить государю. Через несколько дней было объявлено князю Андрею, что он имеет явиться к военному министру, графу Аракчееву.

В девять часов утра, в назначенный день, князь Андрей явился в приемную к графу Аракчееву.

Лично князь Андрей не знал Аракчеева и никогда не видал его, но всё, что он знал о нем, мало внушало ему уважения к этому человеку.

«Он – военный министр, доверенное лицо государя императора; никому не должно быть дела до его личных свойств; ему поручено рассмотреть мою записку, следовательно он один и может дать ход ей», думал князь Андрей, дожидаясь в числе многих важных и неважных лиц в приемной графа Аракчеева.

Князь Андрей во время своей, большей частью адъютантской, службы много видел приемных важных лиц и различные характеры этих приемных были для него очень ясны. У графа Аракчеева был совершенно особенный характер приемной. На неважных лицах, ожидающих очереди аудиенции в приемной графа Аракчеева, написано было чувство пристыженности и покорности; на более чиновных лицах выражалось одно общее чувство неловкости, скрытое под личиной развязности и насмешки над собою, над своим положением и над ожидаемым лицом. Иные задумчиво ходили взад и вперед, иные шепчась смеялись, и князь Андрей слышал sobriquet [насмешливое прозвище] Силы Андреича и слова: «дядя задаст», относившиеся к графу Аракчееву. Один генерал (важное лицо) видимо оскорбленный тем, что должен был так долго ждать, сидел перекладывая ноги и презрительно сам с собой улыбаясь.

Но как только растворялась дверь, на всех лицах выражалось мгновенно только одно – страх. Князь Андрей попросил дежурного другой раз доложить о себе, но на него посмотрели с насмешкой и сказали, что его черед придет в свое время. После нескольких лиц, введенных и выведенных адъютантом из кабинета министра, в страшную дверь был впущен офицер, поразивший князя Андрея своим униженным и испуганным видом. Аудиенция офицера продолжалась долго. Вдруг послышались из за двери раскаты неприятного голоса, и бледный офицер, с трясущимися губами, вышел оттуда, и схватив себя за голову, прошел через приемную.

Вслед за тем князь Андрей был подведен к двери, и дежурный шопотом сказал: «направо, к окну».

Князь Андрей вошел в небогатый опрятный кабинет и у стола увидал cорокалетнего человека с длинной талией, с длинной, коротко обстриженной головой и толстыми морщинами, с нахмуренными бровями над каре зелеными тупыми глазами и висячим красным носом. Аракчеев поворотил к нему голову, не глядя на него.

– Вы чего просите? – спросил Аракчеев.

– Я ничего не… прошу, ваше сиятельство, – тихо проговорил князь Андрей. Глаза Аракчеева обратились на него.

– Садитесь, – сказал Аракчеев, – князь Болконский?

– Я ничего не прошу, а государь император изволил переслать к вашему сиятельству поданную мною записку…

– Изволите видеть, мой любезнейший, записку я вашу читал, – перебил Аракчеев, только первые слова сказав ласково, опять не глядя ему в лицо и впадая всё более и более в ворчливо презрительный тон. – Новые законы военные предлагаете? Законов много, исполнять некому старых. Нынче все законы пишут, писать легче, чем делать.

wiki-org.ru

Первообразная и неопределенный интеграл

Константа интегрирования

Доказательство. Так как – первообразная функции , то по определению имеем, что

   

Рассмотрим функцию и покажем, что она также является первообразной для функции . Найдем производную:

   

То есть , а это означает, что и функция является первообразной для функции .

Что и требовалось доказать.

Правила нахождения первообразных

  1. Если – первообразная для функции , а – первообразная функции , то – первообразная функции .
  2. Если – первообразная для функции , а – некоторое число, то является первообразной для функции .
  3. Если является первообразной функции , а и – некоторые числа, то функция – первообразная для функции .



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

Что такое интеграл, и каков его физический смысл

Возникновение понятия интеграла было обусловлено необходимостью нахождения первообразной функции по ее производной, а также определения величины работы, площади сложных фигур, расстояния пройденного пути, при параметрах, очерченных кривыми, описываемыми нелинейными формулами.

Из курса физики известно, что работа равна произведению силы на расстояние. Если все движение происходит с постоянной скоростью или расстояние преодолевается с приложением одной и той же силы, то все понятно, нужно их просто перемножить. Что такое интеграл от константы? Это линейная функция вида y=kx+c.

Но сила на протяжении работы может меняться, причем в какой-то закономерной зависимости. Такая же ситуация возникает и с вычислением пройденного расстояния, если скорость непостоянна.

Итак, понятно, для чего нужен интеграл. Определение его как суммы произведений значений функции на бесконечно малое приращение аргумента вполне описывает главный смысл этого понятия как площадь фигуры, ограниченной сверху линией функции, а по краям – границами определения.

Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века очень наглядно объяснил, что такое интеграл. Он сделал это настолько понятно, что в целом разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.

Допустим, есть функция любой сложной формы. Ось ординат, на которой откладываются значения аргумента, разбивается на небольшие интервалы, в идеале они бесконечно малы, но так как понятие бесконечности довольно абстрактно, то достаточно представить себе просто небольшие отрезки, величину которых обычно обозначают греческой буквой Δ (дельта).

Функция оказалась «нарезанной» на маленькие кирпичики.

Каждому значению аргумента соответствует точка на оси ординат, на которой откладываются соответствующие значения функции. Но так как границ у выделенного участка две, то и значений функции тоже будет два, большее и меньшее.

Сумма произведений бо́льших значений на приращение Δ называется большой суммой Дарбу, и обозначается как S. Соответственно, меньшие на ограниченном участке значения, умноженные на Δ, все вместе образуют малую сумму Дарбу s. Сам участок напоминает прямоугольную трапецию, так как кривизной линии функции при бесконечно малом ее приращении можно пренебречь. Самый простой способ найти площадь такой геометрической фигуры – это сложить произведения большего и меньшего значения функции на Δ-приращение и поделить на два, то есть определить как среднее арифметическое.

Вот что такое интеграл по Дарбу:

s=Σf(x) Δ – малая сумма;

S= Σf(x+Δ)Δ – большая сумма.

Итак, что такое интеграл? Площадь, ограниченная линией функции и границами определения будет равна:

∫f(x)dx = {(S+s)/2} +c

То есть среднее арифметическое большой и малой сумм Дарбу.с – величина постоянная, обнуляемая при дифференцировании.

Исходя из геометрического выражения этого понятия, становится понятен и физический смысл интеграла. Площадь фигуры, очерченная функцией скорости, и ограниченная временным интервалом по оси абсцисс, будет составлять длину пройденного пути.

L = ∫f(x)dx на промежутке от t1 до t2,

Где

f(x) – функция скорости, то есть формула, по которой она меняется во времени;

L – длина пути;

t1 – время начала пути;

t2 – время окончания пути.

Точно по такому же принципу определяется величина работы, только по абсциссе будет откладываться расстояние, а по ординате – величина силы, прилагаемая в каждой конкретной точке.

fb.ru

Ответы@Mail.Ru: какие бывают интегралы?

А ещё Римана, Лебега, Стилтьеса, Коши, типа Коши, Фурье, Лапласа, Гильберта, Френеля; несобственные, в смысле главного значения по Коши…

Линейные, кривые

Определённые и неопределённые

Определенные и неопределенные!

интегралы бывают определенные, неопределенные<br> а также кратными, поверхностными,криволинейными,

их очень много. определенные и неопределенные, кратные, криволинейные, поверхностные, двойные, тройные и т. д. КАКИЕ ВАМ НУЖНЫ ИНТЕГРАЛЫ? инегралы есть в алгебре, в геометрии, в физике, в медицине. интегралы на плоскости и в пространстве.

Интегралы бывают определённые и неопределённые ( т. е. не имеющие границ )

touch.otvet.mail.ru

Интегрирование по частям. Формула. Примеры.

Как выглядит формула интегрирования по частям? 

Если подынтегральное выражение (функция) может быть представлено в виде произведения двух непрерывных функций вместе со своей производной, то справедлива формула:

Доказательство формулы

Имеем две функции и . Дифференциал их произведения записывается следующим образом:

   

Интегрируем левую и правую часть данного равенства:

   

   

Теперь, если перенести в другую часть равенства, то как раз и получим приведенную выше формулу:

   

[свернуть]

Какие интегралы целесообразно брать по частям?

Выписать все интегралы, берущиеся по частям, невозможно. Однако на практике это обычно бывают интегралы вида:

1)   ,  ,  

Во всех трех случаях за нужно принять , а за — всё оставшееся (то есть , и соответственно).

2)   ,  

Здесь за можно принимать как , так и тригонометрическую функцию (дальше на примерах разберем этот момент).

3)   , ,  ,  ,  ,

Для таких интегралов , а — всё оставшееся (логарифм или обратная тригонометрическая функция).

Обозначения:   — многочлен от степени ;  , , — некоторые константы.

И переходим к теперь к практике. Начнем с интегралов первого типа.

Пример 1. Найти интеграл  

Решение:

Смотрим на левую часть формулы. Необходимо взять какую-то часть подынтегрального выражения за , а кукую-то за .
Это интеграл первого вида: имеем дело как раз с многочленом , то есть , и степенью .
Поэтому предлагается выбрать в качестве многочлен первой степени , а в качестве оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть . Таким образом, и .
Смотрим на правую часть формулы. Что нам здесь неизвестно? Неизвестными являются функция и дифференциал функции .
Дифференциал находим по формуле . То есть просто вычислим производную и умножим ее на :  ;   .
Чтобы найти функцию , нужно проинтегрировать (тут константу при интегрировании не пишут!):

   

Готово. Записываем теперь аккуратно правую часть формулы:

   

Получили еще один интеграл, так и должно быть. Его можно либо найти отдельно, либо, если он несложный, продолжить решение:

   

   

Всё, интеграл найден. На последнем шаге не забываем прибавить константу.

В тетради интегрирование по частям обычно записывается следующим образом:

   

   

[свернуть]

В процессе решения первого примера появлялись новые интегралы, которые были найдены с помощью внесения функции под знак дифференциала. Если эта тема у вас западает, освойте сначала предыдущую статью.

Пример 2. Найти интеграл

Решение:

Это интеграл первого вида, поэтому возьмем  , а  . За вновь принят многочлен, здесь это просто . Находим   и  :

   

   

После того как и получены, смотрим на правую часть формулы и внимательно записываем:

   

Получен новый интеграл, который легко можно найти либо с помощью внесения функции под знак дифференциала, либо с помощью замены. Внесем под дифференциал аргумент синуса :

   

   

Готово. Еще один пример решен. Если вы сомневаетесь в правильности ответа, всегда можно осуществить проверку с помощью дифференцирования (должно получиться исходное подынтегральное выражение):

   

   

[свернуть]

В этих двух примерах многочлен был первой степени, поэтому формула интегрирования по частям применялась один раз. Если многочлен 2 степени, то придется применять ее уже дважды, и так далее. Рассмотрим еще пару интегралов первого вида.

Пример 3. Найти интеграл

Решение:

Рассматриваем подынтегральное выражение. Оно представляет собой произведения многочлена второй степени   на  . Возьмем   и  . Тогда:

   

   

По формуле имеем:

   

   

Получили неопределенный интеграл, который снова нужно интегрировать по частям. Вычисляем его отдельно (оформим как в тетради):

   

   

Возвращаемся к основному решению, записывая вместо интеграла полученный ответ :

Почти готово, давайте еще раскроем скобки и вынесем :

   

[свернуть]

Пример 4. Найти интеграл

Статья в разработке

higher-math.ru

Что такое интеграл — смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: Lifetensor — Интегралы


В этом видео мы поговорим об интеграле. Этим зверем из высшей математики часто пугают несчастных детей, но тебе, если ты посмотрел мои видео про производную и первообразную, этот серый волк будет совсем не страшен. Определенный интеграл равен всего лишь навсего разности первообразных, которая в свою очередь совпадает с площадью под графиком производной. За страшным словом скрывается простая суть: слово интеграл переводится как сумма. Помните — сумма прямоугольников. А действия по нахождению интеграла называются интегрированием. Есть у нашего определенного интеграла старший брат — неопределенный интеграл. О нем известно меньше, он не определен, и нам не хватает информации, чтобы его взять, вычислить и записать, чему он равен в виде числа. Так каких же именно данных нам не хватает? Об этом я расскажу в данном видео. В итоге, вы узнаете, что: 1. Интегралы бывают определенные и неопределенные 2. Определенный интеграл показывает прирост, накопление родительской функции, (т.е. первообразной) и численно равен площади под кривой дочерней функции (т.е. производной). Определенный интеграл всегда можно записать в виде числа. 3. Неопределенный интеграл показывает какие родительские функции есть у дочерней функции. неопределенный интеграл — это всегда формула, выражение. Его нельзя записать в виде числа, чему он равен.


  • Автор: Lifetensor
  • Длительность: 14:03
  • Дата: 18.04.2016
  • Смотрели: 734
  • Рейтинг: 5.0/1





Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

videourokionline.ru

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Сегодня слово «Интеграл» можно услышать довольно часто, причем, зачастую, в самых неожиданных местах, например на биржевом канале по телевизору, или по новостям. Нередко мы слышим словосочетание «интегральные показатели» , слово «интегрированный», «интегративный» и тому подобное. Ну, по большому счету, чиновники и телеведущие, вообще, очень любят разные умные слова, правда вряд ли они понимают их истинное значение. А мы сегодня поговорим о том, что же такое интеграл, какие виды интеграла существуют и в чем их отличия.

Что такое интеграл

Интеграл- это латинское слово, которое пришло к нам из античности, и означает оно «Целый», или «Полный». То есть, ясно, что если про некий объект, например, сосуд молока говорили «интегер», это означало, что он полный, и молока в нем сколько было, столько и осталось.

Со временем это слово стали употреблять в совершенно разных дисциплинах- в философии, политике, экономике, в алгебре и геометрии. Но наиболее простую интерпретацию интегралу дает математика.

Определенный интеграл

Итак, интеграл -это некая сумма отдельных частей.  Вот наиболее простые примеры для, более четкого понимания сути этого термина:

  1. Предмет — это интеграл(сумма) молекул.
  2. Лист в клетку — это интеграл(сумма) клеток.
  3. Солнечная система — это интеграл(сумма) солнца и планет.
  4. Общество — это интеграл людей.
  5. Отрезок- это интеграл (сумма) метров. Если маленький отрезок, то сантиметров, миллиметров или микроскопических отрезков.
  6. Площадь какой-либо поверхности — это интеграл квадратных метров, квадратных сантиметров или миллиметров, а также микроскопических площадей.
  7. Объем- это интеграл кубических метров или, как их еще называют — литров.

Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Начнем с определенного, так как его смысл поддается пониманию легче.

Геометрия изучает площади. Например, если вы хотите поклеить дома обои, вам надо знать площадь стен, чтобы узнать, сколько обоев вы должны купить. Тогда вы просто умножаете длину стены на высоту и получаете ее площадь. В данном случае, эта площадь является интегралом квадратных метров или сантиметров, в зависимости от того, в каких единицах вы ее измеряли. Но поверхности, площадь которых нам требуется вычислить далеко не всегда имеют форму прямоугольника, квадрата, или даже круга. В большинстве случаев — это сложные фигуры с волнистыми сторонами. Наиболее распространенный пример —  площадь фигуры под кривой, имеющей уравнение y=1/x . Дело в том, что найти ее площадь при помощи обычных формул, которыми мы находим площадь квадрата, круга или даже сферы — невозможно. Для этой цели был разработан определенный интеграл.

Суть метода в том, что нашу сложную фигуру нужно разбить на очень узкие прямоугольники, настолько узкие, что высота каждых двух соседних практически равна. Ясно, что по сути, можно уменьшать толщину этих прямоугольников бесконечно, поэтому для обозначения их толщины используется размер dx. X — это координата, а приставка d — это обозначение бесконечно уменьшаемой величины. Поэтому, когда мы пишем dx — это значит, что мы берем отрезок по оси x , длина которого очень мала, практически равна нулю.

Итак, мы уже условились, что площадь любой фигуры- это интеграл квадратных метров или любых других фигур с более мелкими площадями. Тогда наша фигура, площадь которой мы ищем, представляет собой интеграл или сумму тех бесконечно тонких прямоугольников, на которые мы ее разбили. А ее площадь- это сумма их площадей. То есть вся наша задача сводится к тому, чтобы найти площадь каждого из этих прямоугольников, а затем их все сложить- это и есть определенный интеграл.

Теперь поговорим о неопределенном интеграле. Только, для того, чтобы понять, что это такое, сначала нужно узнать о производной. Итак, начнем.

Производная — это угол наклона касательной к какому-либо графику в какой-нибудь ее точке. Иными словами — производная — это то, насколько график наклонен в данном его месте. К примеру, прямая линия в любой точке имеет один и тот же наклон, а кривая- разный, но он может повторяться. Для вычисления производной существуют специальные формулы, а процесс ее вычисления называют дифференцированием. Т.е. дифференцирование — это определение угла наклона графика в данной точке.

Таблица основных неопределенных интегралов

А для того, чтобы сделать наоборот — узнать формулу графика по углу ее наклона, прибегают к операции интегрирования, или суммирования данных обо всех точках. Интегрирование и дифференцирование- два взаимообратных процесса. Только здесь уже пользуются не тем интегралом, который был в первом пункте ( для определения площади ), а другим — неопределенным, то есть, не имеющим пределов.

Предположим, что нам известно, что производная некоей функции равна 5. 5 — это угол наклона графика  к оси х в данной точке. Тогда, проинтегрировав производную, мы узнаем, что функция этой производной, которую еще называют первообразной —  у=5х+с , где с- любое число. Для интегрирования, так же как и для дифференцирования есть специальные формулы, которые можно найти в таблицах.

Заключение

В заключение прорезюмируем, что основное отличие определенного интеграла от неопределенного — в их назначениях. Определенные интегралы используются для вычисления ограниченных параметров, таких как площадь, длина или объем, а неопределенный — при вычислении параметров, не имеющих границ, то есть функций.

Интересное видео на эту тему:


























vchemraznica.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о