Квантовая механика решение задач – Примеры решения задач по квантовой механике

НТУУ “КПИ”
Решение типичных задач в курсе квантовой механики

часть 2

Киев 2002

Рецензенты
Д-р ф.-м. наук Олейник В.П.
Канд. ф.-м. наук Гусева О.А.

Терентьева Ю.Г.

НТУУ «КПИ» 2002

Содержание

Часть 2. Типичные задачи.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с

бесконечными стенками. …..…………………….…………….…4

Частица в сферической потенциальной яме………………………14

Самостоятельная расчетная работа «Определение коэффици-

ента туннелирования частицы через потенциальный барьер»….23

Раздел 2. Типичные задачи

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Постановка задачи

Пусть частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти:

1. 
   Нормированные волновые функции стационарных состояний и энергетический спектр частицы, используя уравнение Шредингера.
   
2. 
   Возможные значения энергии частицы, исходя из того, что реализуются лишь такие ее состояния, при которых в пределах данной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.
   
3. 
   Плотность уровней (dN/dE) (т.е. число уровней на единичный интервал энергии), как функцию Е, при условии, что ширина ямы такова, что уровни расположены весьма густо. Вычислить (dN/dE) для электрона при Е = 1,0 ЭВ, и ширине ямы l = 1,0 см.
   
4. 
   С помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга силу давления частицы на стенки этой ямы при минимально возможной ее энергии. Для оценок массу частицы взять равной массе электрона.
   
5. 
   Вероятность пребывания частицы в области l/3xl/3, если она находится в основном энергетическом состоянии.
   
6. 
   Среднее значение координаты частицы x> и проекции импульса p_x> если частица находится в основном состоянии.
   

Анализ условия

• 
  “частица массы m“ означает, что по условию считается известной масса частицы. Этой частицей может быть любой микрообъект: электрон, протон, нейтрон или, например, -частица.
  
• 
  “находится в потенциальной яме” – этот термин не является чисто квантовым. Применительно к системе, описываемой классической механикой, это означает, что частица находится в такой области пространства, в которой действуют потенциальные силы. Причем эти силы направлены так, чтобы удерживать частицу в данной области. В квантовой механике понятие «силы» не существует. Квантовая механика вообще не ищет ответа на вопрос – какая причина приводит к изменению в состоянии частицы?, она рассматривает вероятность того, что состояние будет именно таким. Поэтому под потенциальной ямой подразумевается область пространства, в которой потенциальная энергия частицы задается некоторой функцией координат – потенциалом.
  

• 
  ” потенциальная яма одномерна “ – следовательно, потенциальная энергия частицы зависит только от одной-единственной координаты. Этот термин тоже не является чисто квантовым. Если этой координатой является одна из декартовых осей, говорят о прямоугольной потенциальной яме (для сравнения – в классической механике – потенциальная энергия силы тяготения вблизи поверхности Земли, которая зависит только от высоты h расположения тела над землей U(h)=mgh). Если же этой координатой является r – расстояние до центра поля, говорят о сферической потенциальной яме (в электростатике – потенциальная энергия поля точечного заряда U(r)=kq/r, она зависит только от расстояния до источника поля).
  
• 
  “бесконечно высокие стенки “ в потенциальной яме – означает, что в ограниченной области пространства потенциальная энергия принимает конечные значения (в частном случае – ноль), а за пределами этой области – потенциальная энергия бесконечно велика. Последнее утверждение означает, что чтобы попасть в область бесконечно большого потенциала частица должна вначале получить откуда-нибудь дополнительную энергию, равную бесконечно большой величине. Эта ситуация математически возможна, а физически – нет, поэтому становится очевидно, что находиться в области бесконечно большого потенциала частица не может вообще. Если графически изобразить аналитическую зависимость потенциала от координаты
  

получится следующая картинка:
U(x)

const

0 l x

Рис.2
В точках х=0 и х=l имеется скачкообразное изменение потенциала, который, таким образом, графически имеет форму незамкнутого прямоугольника. Отсюда и термин “прямоугольная” потенциальная яма. Поскольку потенциал по своей природе есть величина, определенная с точностью до постоянной, а аналитический вид решения принципиально не зависит от величины const, то обычно выбирают const = 0. В этом случае расчеты упрощаются.

Решение

Задание I

а теперь посмотрим, какой вид оно примет с учетом условия нашей задачи. Поскольку наша задача одномерна (потенциал зависит только от одной координаты), то волновая функция частицы, находящейся в таком пространстве, тоже зависит только от этой одной координаты. В таком случае от оператора Лапласа, который в декартовой системе координат представляет собой сумму вторых частных производных по всем координатам, остается только вторая производная по единственной координате х

Учитывая вид потенциала, разобьем пространство (в данном случае ось ОХ) на три области: область I : х є (-,0), где потенциал равен бесконечно большой величине, область II : х є (0,l), где потенциал равен константе (мы договорились, что константа равна нулю), и область III :

х є (l ,) – где потенциал снова равен бесконечности. Далее следует решить уравнение Шредингера в каждой области отдельно и, наконец, пользуясь непрерывностью волновой функции во всем пространстве, сшить полученные решения между собой на границах областей.

Уравнения Шредингера для каждой области выглядят следующим образом:

область I: (1)

область II: (2)

область III: (3)
Тот факт, что результирующая волновая функция должна быть непрерывна во всем пространстве, означает, что ее куски непрерывны каждый в своей области и, кроме того, в пограничных точках, где стыкуются области, значения соответствующих кусков волновой функции слева и справа должны совпадать. Поэтому граничными условиями в точках х = 0 и х = l являют-ся следующие соотношения

(4)

В уравнениях (1) и (3) в качестве второго слагаемого входит бесконечно большая величина. Уравнение Шредингера, выражая универсальный закон сохранения энергии, должно выполняться в любой части пространства. Единственный путь удовлетворить уравнение Шредингера в этих областях – предположить, что волновая функция здесь тождественно равна нулю

(5)

и считать неопределенности равными нулю. Поскольку в дальнейшем это предположение к противоречию не приводит, то оно является допустимым. Иными словами, в областях I и II частицы нет.

Осталось найти волновую функцию в области II. Уравнение (2) представляет собой хорошо известное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого – гармоническая функция

где (6)

А и В – константы интегрирования, найти которые нам предстоит дальше. Кроме того, как только в процессе решения задачи будет определена величина k, автоматически в соответствии с (6), это даст нам численное значение полной энергии частицы Е.

Воспользовавшись первым из граничных условий – в точке х=0, получаем

,

первое слагаемое равно нулю при любом значении А ( из-за синуса), а второе равно нулю только если . Тогда

(7)

Второе граничное условие – в точке x=l дает

(8)

или

Следует отметить, что формально равенство (8) будет выполняться и при А=0. Тогда волновая функция _II тождественно равна нулю. А если учесть, что и _I и_III тоже равны нулю, то выходит, что во всем пространстве частицы нет. Таким образом, вариант А=0 соответствует тривиальной ситуации.

Возвращаясь к соотношению (8а), записываем

или, выражая Е, (9)

Это есть искомое выражение для энергетического спектра частицы. Как уже отмечалось (формула (8а)), n принимает значения целых чисел. Таким образом, энергия частицы не непрерывна, а дискретна, то есть может принимать ряд четко определенных значений, а квантовое число n соответствует номеру энергетического уровня частицы.

Может ли число n быть равным нулю? Если да, тогда это означало бы, что в области II находится частица, имеющая одновременно нулевую потенциальную энергию (по условию) и равную нулю полную энергию (согласно(9)), а,следовательно, нулевую кинетическую энергию. В то же время k=0 (согласно(7)), означает, что и волновая функция частицы в области II тоже тождественно равна нулю. Таким образом, очевидно, значение n = 0 описывает тривиальную ситуацию – отсутствие объекта исследования. Посему n = 0 включать в рассмотрение нет смысла, и будем считать, что n=1,2,…

Волновая функция частицы равна

(11)

откуда

Окончательно, волновая функция, описывающая нахождение частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме,

(12)

Задание 2.

Де Бройль предположил, что всякому микрообъекту можно поставить в соответствие волну, длина которой обратно пропорциональна импульсу частицы

Последнее выражение (15) тождественно результату (9), полученному в задании 1.

Вычислим несколько значений энергии на соседних энергетических уровнях и оценим, как изменяется “расстояние” между ними по мере роста номера уровня n.
Таб.1

Из приведенной выше таблицы видно, что абсолютное “расстояние“ между уровнями E увеличивается с ростом номера уровня, в то время, как относительное расстояние  уменьшается, стремясь к нулю как 1/n согласно формуле:

Lim _n= Lim _n(n²-(n-1)²)/n²1/n0

Задание 3
Плотность уровней легко получим, взяв дифференциал от обеих частей равенства (15)

и воспользовавшись еще раз соотношением (15) только в немного измененной форме

Окончательный результат выглядит так
(16)
Для электрона при Е=1,0 эв и l=1,0 см
(эв^-1)
Задание 4
Соотношение неопределенностей Гейзенберга служит для описания системы, которая находятся в пограничном состоянии между макро- и микромиром и проявляет себя и как классический и как квантовый объект. Поэтому понятие «сила», которое вводится в классической механике и уже не имеющее смысла в квантовой физике, еще может быть использовано для проведения оценочных расчетов.

Если частицу рассматривать как классический объект, то сила давления, как и любая сила, согласно второму закону Ньютона, может быть вычислена как отношение приращения импульса частицы к промежутку времени, за который это приращение произошло,

Приращение импульса имеет место вследствие его неопределенности, поскольку наша частица проявляет и волновые свойства. Тогда для оценки силы давления можно использовать приближенные (или оценочные) значения для p_x и t, полученные из оотношения неопределенностей Гейзенберга, которое связывает между собой кординату с проекцией импульса, и время с энергией

(18)

Еще раз напомним, что соотношение Гейзенберга само по себе оценочное, поэтому точность ответа в пределах одного порядка является приемлемой.

Задание 6
Связь между операторами и измеряемыми физическими величинами в квантовой механике устанавливается с помощью формулы для среднего значения величины m в состоянии, описываемом волновой функцией 
(19)

Это соотношение является почти тривиальным, если принять во внимание следующие рассуждения.

Пусть путем экспериментального измерения некоторой физической величины мы убеждаемся, что получаем одно и то же численное значение (разумеется, в пределах погрешности эксперимента), сколько бы измерений мы ни проводили. Это значит, что данная величина имеет точное значение, которое может быть получено как среднее по всем измерениям. С точки зрения квантовой механики, существование точного значения физической величины означает, что для оператора этой физической величины волновая функция системы, находящейся в данном состоянии, является собственной, а значит,

(20)

где М – собственное число. Напомним, что собственное число по своей сути как раз и является точным значением измеряемой величины. Теперь умножим выражение (20) слева на ψ* :

Поскольку в правой части равенства содержится число М – множитель, то его запросто можно поставить на первое место, после чего проинтегрировать равенство по всему фазовому объему

Таким образом, точное значение физической величины, если таковое существует, с одной стороны, является собственным значением соответствующего оператора, а с другой – средним значением измеряемой величины, разумеется, при достаточно большом количестве измерений.

Приведенные результаты оказываются почти очевидными, если подойти к данному вопросу с классической точки зрения и принять во внимание, что, внутри ямы координата частицы может быть любой, а среднее значение координаты, естесственно, это середина ямы, то есть точка l/2. Проекция же скорости (и импульса) – это величина векторная колеблется вокруг положения равновесия, как у маятника, изменяясь и по модулю, и по направлению. Поэтому среднее значение проекции скорости (и импульса) равно нулю.

Следует отметить, что интерпретировать результаты квантовомеханических расчетов с помощью классических аналогий можно в очень редких случаях, поскольку квантовая механика, как теория описания физических процессов вступает в свои права тогда, когда классическая теория себя исчерпывает и не в состоянии адекватно объяснять явления. Это происходит, например, на границе макро и микромира. Что касается данной конкретной задачи, то ее можно в какой-то мере рассматривать как пограничную, которая еще как-то подчиняется классическим законам, но в то же время квантование (дискретность) энергии не может быть объяснено только классической теорией. Очевидно, здесь требуется принципиально новый, квантовомеханический подход.

Частица в сферически-симметричной потенциальной яме.
Потенциал, как известно, это универсальная функция координат, характеризующая потенциальную энергию частицы в любой точке пространства. Обычно используют прямоугольную систему координат, тогда потенциал есть функция декартовых координат U(x,y,z). В предыдущем разделе мы рассмотрели подробно частный случай, когда потенциал зависит не от всех трех декартовых координат, а лишь от одной; таким образом, «жизнь» частицы, процессы – все происходит вдоль одного-единственного, выделенного направления. Вообще говоря, в качестве системы координат можно использовать любую, вариантов можно предложить более десятка, например, хорошо известную цилиндрическую или сферическую. Однако, бывают такие задачи, в которых удобно использовать совершенно конкретную систему координат, это приводит к резкому упрощению расчетов и анализа результатов. В первую очередь выбор системы координат диктуется симметрией потенциала. В этом случае говорят, что симметрия задачи совпадает с его симметрией.

Чаще всего (возможно, даже чаще, чем прямоугольная) в задачах встречается сферическая симметрия. Продиктовано это тем, что в квантовой механике существует класс задач, посвященных описанию поведения элементарных частиц (к примеру, электронов), входящих в состав атомов, а, значит, находящихся в кулоновском поле ядра. А ведь хорошо известно, что потенциальная энергия частицы в кулоновском поле зависит не от абсолютного положения частицы в пространстве, а от того, насколько далеко она находится от источника поля. Поэтому говорят, что такая задача имеет сферическую симметрию. Другими словами, потенциальная энергия частицы имеет одно и то же значение для всех точек, принадлежащих сферической поверхности радиуса r : U=U(r).

Что же представляет собой бесконечно глубокая сферическая яма? В действительности она является почти полностью придуманным, идеализированным объектом, как, впрочем, и одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками. Проще всего представить ее себе, если вообразить некую точку, окруженную на некотором расстоянии R₀ абсолютно непроницаемой сферической поверхностью. Тогда если внутри этой поверхности находится частица, ей очень не повезло – она никогда не сможет вырваться за пределы сферы. Тот факт, что для того, чтобы покинуть пространство в пределах сферы R₀ она должна получить бесконечно большую энергию, и означает, что она находится в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Потенциал внутри ямы может быть не обязательно кулоновским, в зависимости от условия задачи он может иметь любой другой аналитический вид. Очевидно, это повлияет на состояние частицы внутри ямы. Теперь для того, чтобы начать изучать поведение частицы в такой потенциальной яме рассмотрим конкретное условие задачи.

Для случая, когда волновая функция зависит только от r

найти:

1. 
   Нормированные волновые функции частицы
   
2. 
   Возможные значения энергии частицы
   
3. 
   Для основного состояния частицы наиболее вероятное значение расстояния r_вер , а также вероятность нахождения частицы в области r r_вер
   

Решение

Задания 1 и 2

Возможные значения энергии частицы находим, решая операторное уравнение

Следуя форме потенциала, разделим пространство на две области – первая область внутри сферы радиуса R₀, а вторая – за пределами этой сферы. Для каждой из этих областей составим и решим уравнение Шредингера, а потом «сошьем» решения на границе областей. Итак, уравнения

в чем-то похожи на те, что мы детально исследовали в разделе 1. Второе уравнение содержит бесконечно большое слагаемое, поэтому его решение – волновая функция, тождественно равная нулю.

Первое уравнение отличается от того, что мы анализировали в разделе 1, тем, что содержит в операторе Лапласа дополнительное слагаемое. Такое уравнение решается стандартным методом подстановки

Автоматически это дает

Таким образом, энергетический спектр частицы нами уже получен.

Последнюю неизвестную константу интегрирования А находим из условия нормировки, которое состоит в том, что волновая функция, после интегрирования в квадрате по объему dV=4 r² d r должна дать единицу

тогда , и искомое выражение для волновой функции приобретает вид

Задание 3.
Для нахождения наиболее вероятного значения r_вер необходимо исследовать на предмет наличия экстремума функцию , которая является плотностью вероятности нахождения частицы в сферическом слое толщины dr. Дифференцирование по r дает нам условие экстремума

или, с учетом соотношения ( ), а также того, что, по условию, частица находится в основном энергетическом состоянии (т.е. n=1 ), определяем значения r_extr, соответствующие экстремумам функции :

соответствуют минимумам функции , в чем легко убедиться прямой подстановкой.

страница 1 страница 2

pora.zavantag.com

Задача – квантовая механика – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Задача – квантовая механика

Cтраница 1

Задачи квантовой механики, приводящие к классическим ортогональным полиномам. Проиллюстрируем применение доказанной теоремы для решения ряда задач – квантовой механики, когда уравнение Шредипгера может быть приведено к обобщенному уравнению гипергеометрического типа.  [1]

Задачей квантовой механики является нахождение собственных значений Е, при которых можно найти собственные функции у, удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном значении потенциальной энергии.  [2]

Задачей квантовой механики является нахождение собственных значений Е, при которых возможно решение уравнения Шредингера.  [3]

Вторая задача квантовой механики, которую мы рассмотрим, относится к жесткому ротатору.  [4]

Рассмотрение задач квантовой механики многоэлектронных систем в формализме матрицы плотности приводит к существенным упрощениям по сравнению с обычным языком волновых функций. Как известно, волновые функции квантовомеханической системы должны обладать определенными свойствами симметрии.  [5]

Далеко не все задачи квантовой механики могут быть решены современными математическими методами точно. Более того, в подавляющем большинстве случаев как для энергии, так и для волновых функций удается найти лишь приближенные решения. При этом приходится прибегать к различного рода приближенным методам вычислений. Одним из таких методов является получивший наиболее широкое распространение метод теории возмущений, пришедший в квантовую механику из небесной механики, где он был впервые развит.  [6]

Лишь незначительное число задач квантовой механики, которые относятся к простым системам, может быть решено с помощью точных аналитических методов.  [7]

Эффективным методом решения многих задач квантовой механики является теория возмущений. Поэтому естественно так называемое приближение слабо связанных электронов, когда периодический потенциал W ( r) считается малым и рассматривается как возмущение.  [8]

Другой метод приближенного решения задач квантовой механики носит название теории возмущений. Постановка задачи здесь весьма проста: по известным решениям некоторой исходной задачи восстановить решения другой, слабо отличающейся от нее задачи. Существует довольно большое число различных вариантов теории возмущений, из которых мы ограничимся в существенной степени лишь одним для стационарных задач и одним – для задач, в которых учитывается явная зависимость от времени. В настоящем параграфе будут рассмотрены стационарные задачи.  [9]

АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ – метод приближенного решения задач квантовой механики, применяемый для описания квантовых систем, в к-рых можно выделить быструю и медленную подсистемы. Исходная задача решается в два этапа: сначала рассматривается движение быстрой подсистемы при фик-сир.  [10]

В чем заключается вариационный принцип и какую задачу квантовой механики он позволяет решать.  [11]

Классические компьютеры испытывают огромные трудности, решая такие задачи квантовой механики. Но квантовые могли бы сделать то легко. Именно такая возможность вдохновила позднего Ричарда Фейнмана рассуждать о том, могут ли квантовые компьютеры быть действительно построены.  [12]

Математический аппарат квантовой механики должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики. Оказалось, что в математике был уже разработан соответствующий математический аппарат – теория линейных операторов. Мы рассмотрим сперва основы этой теории, а в дальнейшем покажем, как аппарат теории линейных операторов может быть связан с задачами квантовой механики.  [13]

Это свойство классических ортогональных полиномов широко используется при решении задач квантовой механики, связанных с нахождением уровней энергии и волновых функций частицы, движущейся в стационарном силовом поле. Если внешние силы удерживают частицу в ограниченной области пространства, так что она не может уйти на бесконечность, то говорят о связанных состояниях частицы.  [14]

Наиболее детальньш описанием элементарного акта катализа явилось бы его рассмотрение как задачи квантовой механики. Однако в полной мере сейчас это неосуществимо по двум причинам.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru