Математика дифференциалы – Дифференциал (математика) — Википедия. Что такое Дифференциал (математика)

Дифференциал | Математика | FANDOM powered by Wikia

Дифференциа́л (от лат. — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции $ f $ обозначается $ df $. Некоторые авторы предпочитают обозначать $ {\rm d}f $ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке $ x_0 $ обозначается $ d_{x_0}f $, а иногда $ df_{x_0} $ или $ df[x_0] $, а также $ df $, если значение $ x_0 $ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке $ x_0 $ от $ f(x) $ может обозначаться как $ d_{x_0}f(x) $, $ d f(x_0) $, а иногда $ df_{x_0}(x) $ или $ df[x_0](x) $, а также $ df(x) $, если значение $ x_0 $ ясно из контекста.

Использование знака дифференциалаПравить

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла $ \int f(x)\, dx $. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал $ dx $ вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной $ f'(x_0)=\frac{d_{x_0}}{dx}(f(x)) $. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции $ f $ и тождественной функции $ x $ верно соотношение

  $ d_{x_0}f(x)=f'(x_0) dx. $

Для функцийПравить

Дифференциал функции $ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ в точке $ x_0 \in \mathbb{R} $ может быть определён как линейная функция

$ d_{x_0}f(x) = f'(x_0) \Delta x, $

где $ f'(x_0) $ обозначает производную $ f $ в точке $ x_0 $.

Таким образом $ df $ есть функция двух аргументов $ df\colon (x_0,\Delta x)\mapsto d_{x_0}f(x) $.

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функции $ d_{x_0}f(x) $ линейно зависящей от $ \Delta x $ и для которой верно следующее соотношение

$ f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) = d_{x_0}f(x) + o(| \Delta x |). $

Для отображенийПравить

Дифференциалом отображения $ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ в точке $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ называют линейный оператор $ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ такой, что выполняется условие

$ d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) – f(x_0) + o(|h|). $

Связанные определенияПравить

• Отображение $ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ называется дифференцируемым в точке $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ если определён дифференциал $ d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $.
• Матрица линейного оператора $ d_{x_0}f $ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные $ f $.
  • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции $ f $ связан с её градиентом $ \nabla f $ следующим определяющим соотношением

  $ d_{x_0}f(h)=\langle\nabla f(x_0),h\rangle $

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально $ dx $ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщенияПравить

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

ru.math.wikia.com

Дифференциал и производная | Математика, которая мне нравится

Определение. Пусть функция задана на множестве , . Производная функции в точке есть

   

Определение. Пусть функция задана на множестве , . Производная функции в точке есть

   

Доказательство равносильности двух определений.

   

Рассмотрим разность

   

Функция задана и

   

Если произвольным образом задать значение функции при , то последнее равенство будет выполняться и при .

Определение. Пусть , . Функция называется дифференцируемой в точке , если существует такое число и такая функция , что имеет место равенство

   

Функция, которая каждому числу ставит в соответствие число , называется дифференциалом функции в точке .

Мы доказали, что если у функции есть производная в точке , то дифференцируема в этой точке (за число можно взять число ).

Докажем, что если функция дифференцируема в точке , то у нее есть производная в точке .

   

   

Попутно мы доказали, что число в правой части равенства определяется однозначно и равно .

Обозначение. — дифференциал функции в точке .

Дифференциал — линейная функция приращения :

   

Пример.

   

Пример.

   

Пример.

   

— обозначение дифференциала тождественной функции

   

   

Обозначения.

Задачи. 1) Вычислите приращения для данных функций и данной точки , постройте соответствующие графики функций , постройте графики функций , найдите , если он существует.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2) Для данных функций и данной точки вычислите производную

   

составьте выражение

   

и докажите, что , найдите .

а) ;

б) .

3) Выясните, для каких из данных функций найдется такое число , что при всех функция (при ) может быть представлена в виде , где

а) , б) .

1. ;

2. ;

3.

4) Найдите дифференциал функции и с его помощью приближенно вычислите значение данной функции в точке .

5) Приведите примеры функций, имеющих производные везде, кроме: а) одной точки; б) двух точек;

в) трех точек; г) целых чисел.

6) Выясните, имеют ли данные функции производную в точке :

а)

   

б)

   

7) Найдите все значения параметров и , такие, что функция

   

а) непрерывна в ;
б) дифференцируема в .

8 ) Исследуйте функции на дифференцируемость

а) ;
б) ;
в)

   

hijos.ru

Дифференциал (математика) Википедия

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции f{\displaystyle f} обозначается df{\displaystyle df}. Некоторые авторы предпочитают обозначать df{\displaystyle {\rm {d}}f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x0{\displaystyle x_{0}} обозначается dx0f{\displaystyle d_{x_{0}}f}, а иногда dfx0{\displaystyle df_{x_{0}}} или df[x0]{\displaystyle df[x_{0}]}, а также df{\displaystyle df}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x0{\displaystyle x_{0}} от h{\displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, а иногда dfx0(h){\displaystyle df_{x_{0}}(h)} или df[x0](h){\displaystyle df[x_{0}](h)}, а также df(h){\displaystyle df(h)}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Определения

Для функций

Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } может быть определён как линейная функция

dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}

где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} обозначает производную f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, а h{\displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}} к x0+h{\displaystyle x_{0}+h}.

Таким образом df{\displaystyle df} есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, линейно зависящая от h{\displaystyle h}, и для которой верно следующее соотношение

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Для отображений

Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Связанные определения

• Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}.

Свойства

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx} применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

wikiredia.ru

Дифференциал (математика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f{\displaystyle f} обозначается df{\displaystyle df}. Некоторые авторы предпочитают обозначать df{\displaystyle {\rm {d}}f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x0{\displaystyle x_{0}} обозначается dx0f{\displaystyle d_{x_{0}}f}, а иногда dfx0{\displaystyle df_{x_{0}}} или df[x0]{\displaystyle df[x_{0}]}, а также df{\displaystyle df}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x0{\displaystyle x_{0}} от h{\displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, а иногда dfx0(h){\displaystyle df_{x_{0}}(h)} или df[x0](h){\displaystyle df[x_{0}](h)}, а также df(h){\displaystyle df(h)}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Для функций[править | править код]

Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } может быть определён как линейная функция

dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}

где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} обозначает производную f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, а h{\displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}} к x0+h{\displaystyle x_{0}+h}.

Таким образом df{\displaystyle df} есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, линейно зависящая от h{\displaystyle h}, и для которой верно следующее соотношение

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Для отображений[править | править код]

Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

• Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}.

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx} применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

ru.wikiyy.com

Дифференциал (математика) — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Стоит заметить, что понятие дифференциала из математического анализа содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать в разные стороны, в зависимости от направления получая важные, но совершенно различные объекты. Элементарное отображение касательных пространств зашито в дифференциале отображения, возможность интегрирования — в дифференциальных формах, дифференциалы более высокого порядка — в тензорных расслоениях и струях, общее понятие интегрирования — в теории меры, понятие бесконечной малости лучше всего описывает нестандартный анализ, формальные алгебраические свойства рассматриваются в алгебраической геометрии, функциональный анализ обобщает дифференциал в форме, не вполне очевидно связанной с конструкциями из дифференциальной геометрии, а дифференциал Ито показывает его применение к случайным процессам.

Обозначения

Обычно дифференциал функции <math>f</math> обозначается <math>df</math>. Некоторые авторы предпочитают обозначать <math>{\rm d}f</math> шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке <math>x_0</math> обозначается <math>d_{x_0}f</math>, а иногда <math>df_{x_0}</math> или <math>df[x_0]</math>, а также <math>df</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке <math>x_0</math> от <math>h</math> может обозначаться как <math>d_{x_0}f(h)</math>, а иногда <math>df_{x_0}(h)</math> или <math>df[x_0](h)</math>, а также <math>df(h)</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла <math>\int f(x)\, dx</math>. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал <math>dx</math> вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной <math>f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)</math>. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции <math>f</math> и тождественной функции <math>x</math> верно соотношение

  <math>d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.</math>

Определения

Для функций

Дифференциал функции <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> может быть определён как линейная функция

<math>d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,</math>

где <math>f'(x_0)</math> обозначает производную <math>f</math> в точке <math>x_0</math>, а <math>h</math> — приращение аргумента при переходе от <math>x_0</math> к <math>x_0 + h</math>.

Таким образом <math>df</math> есть функция двух аргументов <math>df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)</math>.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция <math>d_{x_0}f(h)</math>, линейно зависящая от <math>h</math>, и для которой верно следующее соотношение

<math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) – f(x_0) + o(h).</math>

Для отображений

Дифференциалом отображения <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> называют линейный оператор <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> такой, что выполняется условие

<math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) – f(x_0) + o(h).</math>

Связанные определения

• Отображение <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> называется дифференцируемым в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> если определён дифференциал <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math>.

Свойства

• Матрица линейного оператора <math>d_{x_0}f</math> равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные <math>f</math>.
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции <math>f</math> связан с её градиентом <math>\nabla f</math> следующим определяющим соотношением

  <math>d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle</math>

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально <math>dx</math> применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Напишите отзыв о статье “Дифференциал (математика)”

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Отрывок, характеризующий Дифференциал (математика)

Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».
Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.
«Я согласилась, – говорила себе теперь Наташа, – что было бы ужасно, если б он остался всегда страдающим. Я сказала это тогда так только потому, что для него это было бы ужасно, а он понял это иначе. Он подумал, что это для меня ужасно бы было. Он тогда еще хотел жить – боялся смерти. И я так грубо, глупо сказала ему. Я не думала этого. Я думала совсем другое. Если бы я сказала то, что думала, я бы сказала: пускай бы он умирал, все время умирал бы перед моими глазами, я была бы счастлива в сравнении с тем, что я теперь. Теперь… Ничего, никого нет. Знал ли он это? Нет. Не знал и никогда не узнает. И теперь никогда, никогда уже нельзя поправить этого». И опять он говорил ей те же слова, но теперь в воображении своем Наташа отвечала ему иначе. Она останавливала его и говорила: «Ужасно для вас, но не для меня. Вы знайте, что мне без вас нет ничего в жизни, и страдать с вами для меня лучшее счастие». И он брал ее руку и жал ее так, как он жал ее в тот страшный вечер, за четыре дня перед смертью. И в воображении своем она говорила ему еще другие нежные, любовные речи, которые она могла бы сказать тогда, которые она говорила теперь. «Я люблю тебя… тебя… люблю, люблю…» – говорила она, судорожно сжимая руки, стискивая зубы с ожесточенным усилием.
И сладкое горе охватывало ее, и слезы уже выступали в глаза, но вдруг она спрашивала себя: кому она говорит это? Где он и кто он теперь? И опять все застилалось сухим, жестким недоумением, и опять, напряженно сдвинув брови, она вглядывалась туда, где он был. И вот, вот, ей казалось, она проникает тайну… Но в ту минуту, как уж ей открывалось, казалось, непонятное, громкий стук ручки замка двери болезненно поразил ее слух. Быстро и неосторожно, с испуганным, незанятым ею выражением лица, в комнату вошла горничная Дуняша.
– Пожалуйте к папаше, скорее, – сказала Дуняша с особенным и оживленным выражением. – Несчастье, о Петре Ильиче… письмо, – всхлипнув, проговорила она.

Кроме общего чувства отчуждения от всех людей, Наташа в это время испытывала особенное чувство отчуждения от лиц своей семьи. Все свои: отец, мать, Соня, были ей так близки, привычны, так будничны, что все их слова, чувства казались ей оскорблением того мира, в котором она жила последнее время, и она не только была равнодушна, но враждебно смотрела на них. Она слышала слова Дуняши о Петре Ильиче, о несчастии, но не поняла их.


wiki-org.ru

Дифференциал (математика) — Википедия. Что такое Дифференциал (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции f{\displaystyle f} обозначается df{\displaystyle df}. Некоторые авторы предпочитают обозначать df{\displaystyle {\rm {d}}f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x0{\displaystyle x_{0}} обозначается dx0f{\displaystyle d_{x_{0}}f}, а иногда dfx0{\displaystyle df_{x_{0}}} или df[x0]{\displaystyle df[x_{0}]}, а также df{\displaystyle df}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x0{\displaystyle x_{0}} от h{\displaystyle h} может обозначаться как dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, а иногда dfx0(h){\displaystyle df_{x_{0}}(h)} или df[x0](h){\displaystyle df[x_{0}](h)}, а также df(h){\displaystyle df(h)}, если значение x0{\displaystyle x_{0}} ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Определения

Для функций

Дифференциал функции f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } в точке x0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } может быть определён как линейная функция

dx0f(h)=f′(x0)h,{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}

где f′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} обозначает производную f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, а h{\displaystyle h} — приращение аргумента при переходе от x0{\displaystyle x_{0}} к x0+h{\displaystyle x_{0}+h}.

Таким образом df{\displaystyle df} есть функция двух аргументов df:(x0,h)↦dx0f(h){\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция dx0f(h){\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}, линейно зависящая от h{\displaystyle h}, и для которой верно следующее соотношение

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Для отображений

Дифференциалом отображения f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называют линейный оператор dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такой, что выполняется условие

dx0f(h)=f(x0+h)−f(x0)+o(h).{\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}

Связанные определения

• Отображение f:Rn→Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называется дифференцируемым в точке x0∈Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} если определён дифференциал dx0f:Rn→Rm{\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}.

Свойства

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx{\displaystyle dx} применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

wiki.sc

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в

zaochnik.ru