Матрица применение математика – Матрица, ее история и применение

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

09. Матрицы и их использование

Статистические, производственные показатели, а также расчеты, производимые на основе полученной информации, часто требуют сохранения результатов для их дальнейшего использовния. В этом случае создаются числовые таблицы, в которых информация в той или иной степени упорядочена. В таблицу могут быть внесены характеристики элементов какого-либо множества, параметры состояния системы и порядок применения операций, так как и операции могут являться элементами определенных множеств (в теории групп симметрии). Экономические и финансовые расчеты, которые являются наиболее широко используемыми во всех сферах деятельности человека (от семейного бюджета до бюджета государства), также должны быть упорядочены. Одной из форм такого упорядоченного состояния любой системы является наличие множества таблиц с определенной информацией. Возникает проблема оптимального использования таблиц, то есть проблема операций (действий) с таблицами данных. Рассмотрим конкретные примеры.

Пусть, в простейшем случае, ежемесячные затраты из семейного бюджета Y складываются из трех основных видов товара (Q1, Q2, Q3), приобретаемых в трех различных магазинах (МJ) по различным ценам (разного сорта). Количество товаров QЯ, купленных в январе и QФ, купленных в феврале, составят таблицы следующего вида:

.

Численное значение в каждой таблице, то есть ее элемент Qij, определяется двумя параметрами – индексами при Qi и Mj. Так, например, из первой таблицы Q12 = 15, а из второй таблицы Q22 = 4. Если количество индексов в строке таблицы или в столбце будет более десяти, то между индексами придется писать запятую. В общем виде каждая из таблиц может быть представлена следующим образом:

. (26)

Таблица элементов Qij, расписанных по M строкам и N столбцам, называется Матрицей. Если число строк и столбцов совпадают (M = N), то матрица называется Квадратной. Наибольшее число строк (или столбцов) в квадратной матрице определяют ее порядок.

Матрица товаров (26) является, таким образом, квадратной матрицей третьего порядка. Рассмотрим действия (операции), которые можно производить с матрицами.

Имея матрицы закупок товаров за каждый месяц, легко подсчитать количество товаров, приобретенных за два месяца. Для этого, действуя по смыслу, необходимо сложить числа в соответствующих местах обеих матриц. В результате получаем общую матрицу товаров.

.

Таким образом, матрицы Можно складывать по правилу: Qij = Qij(Я) +Qij(Ф). Очевидно, что если матрицы закупок за каждый месяц одинаковы, то при поиске общего количества товаров за k месяцев, каждый элемент матрицы необходимо сложить k раз, то есть умножить на k. В общем виде это записывается следующим образом: Q = KQЯ. Поэтому матрицы Можно умножать На одно и то же число.

Пусть теперь нас интересуют ежедневные затраты, производимые за три дня покупок товаров трех сортов в трех различных магазинах, то есть, в общем случае, по разной цене. Теперь мы имеем две матрицы: матрицу закупок товаров Q = {Qij} за три дня и матрицу цен P = {Pij} Товаров различного сорта в трех магазинах. Очевидно, что произведение количества товаров на соответствующие им цены, позволит определить произведенные затраты Y.

В таблицах закупок товара и цен использованы следующие обозначения: Д – дни ; С – сорт товара; М – номер магазина. Теперь опишем матрицу

Y = {Yij}, которая получилась в результате расчетов. Для этого выберем произвольный элемент, например Y23 , и рассмотрим процедуру его вычисления. Индексы при элементе указывают, что речь идет о затратах второго дня при покупке товаров всех сортов в третьем по номеру магазине. Для того, чтобы получить соответствующее число, необходимо выбрать из матрицы товара за второй день товары первого сорта (Q21) и умножить это количество на цену товаров первого сорта по ценам третьего магазина (P13). Затем сюда прибавить затраты на закупку во второй день товаров второго сорта (Q22) по ценам третьего магазина (P23) и, наконец, сложить с затратами за второй день по закупке товаров третьего сорта (Q23) по ценам третьего магазина (P33). В итоге получаем: Y23 = Q21· P13+ Q22· P23+ Q23· P33 . Можно заметить, что при сложении первый и последний индексы не изменяются, а суммирование производится по промежуточному индексу, стоящему между первым и последним. Поэтому для произвольного элемента матрицы затрат следует (по смыслу) составить равенство: , (27)

Где N – порядок матрицы Y. Таким образом, матрицы Можно умножать и правилом умножения является равенство (27).

(?): Как следует интерпретировать следующее равенство (28), в котором появляются матрицы – столбцы {Pij} и {Yij}? Заметим только, что второй индекс у элементов этих матриц можно опустить, так как он везде одинаковый.

(28)

Правило умножения матриц было в неявной форме использовано нами раньше (§2) при решении вопросов, связанных с поиском равновесия на рынке. Еще раз представим систему линейных уравнений (3) из этого параграфа: , которую перепишем следующим образом:

, (29)

где произведена замена: A1 = a11, b1 = a12, A2 = a21, b2 = a22, x = x1, y = x2, c1 = y1, c2 = y2. При этом смысл системы уравнений не изменился, а запись получила новую интерпретацию в матричной форме. Действительно, по правилу умножения матриц, будем иметь:.(30)

Теперь очевидно, что записано равенство типа (28), в котором использованы квадратная матрица второго порядка А = {АIj} и две матрицы – столбцы – для переменных (X1,X2) и (Y1,Y2). Первую из них обозначим Х = {ХI}, а вторую Y = {Yj}. Тогда вместо системы уравнений (29) будем иметь матричное уравнение: AX = Y.

Рассмотрим пример не связанный напрямую с рассмотренными выше экономическими проблемами. Речь пойдет о симметрии и ее описании с помощью преобразований систем координат.

Несмотря на то, что с реальными объектами всегда происходят какие-либо изменения (преобразования), существуют такие характеристики объекта, которые в результате этих преобразований остаются неизменными, т. е. сохраняются. Например, при изменении положения какой-либо фигуры можно заметить, что соответствующие этим изменениям преобразования системы координат (перенос, поворот) оставляют сохраняющимися (инвариантными) такие характеристики геометрической фигуры, как расстояние между его точками, углы между прямыми, площадь поверхности и т. п. (рис. 23).

Рис. 23. Движение фигуры (а) и соответствующее преобразование

системы координат (б)

Направленный отрезок 0А на рис.23а называется Вектором точки А и определяется координатами точки А (x1,x2), а направленный отрезок 0А’ называется Вектором точки А’(x’1,x’2).

Словами «расстояние АВ» или «расстояние АС» характеризуется то, как «относится А к В или А к С», т. е. задается Отношение. Можно представить себе, что точка пространства в заданной системе координат, как-то «относится» ко всем остальным точкам этого пространства. Существуют такие же отношения и для других точек пространства. Если у каждой точки «отношение» к остальным точкам такое же, как и у других точек, то пространство из всех точек «выглядит» одинаково и такое пространство можно охарактеризовать как Однородное.

Можно представить себе другой вариант, когда условие равноправности свойств точек пространства, связанных с сохранением расстояний, углов и т. п. не выполняется, т. е. пространство неодинаково «выглядит» из разных точек, тогда его следует охарактеризовать как Неоднородное.

Проверка пространства на однородность каких-либо характеристик, например, тех же расстояний и углов, осуществляется простым переходом от одной системы координат к другой и расчетом соответствующих характеристик. Параллельный перенос системы координат проверяет однородность по отношению к расстояниям, а поворот проверяет однородность по отношению к углам (последний тип однородности называют Изотропностью).

Будем понимать под Симметрией свойство объектов Сохранять определенные характеристики при преобразованиях. В свою очередь, преобразования, сохраняющие определенные свойства или характеристики пространства, объектов, структур, систем и т. п., будем считать Симметрическими преобразованиями. Так как при некоторых преобразованиях сохраняются расстояния и углы геометрических объектов, можно говорить о том, что Однородность и Изотропность есть Симметрические свойства пространства.

Очевидные соотношения, приведенные во многих справочниках по математике, связывают старую и новую Системы координат: или, в общем виде: . Более коротко обе системы уравнений можно записать следующим образом: , где матрица называется матрицей преобразований вращения.

Под R Можно понимать также определенную симметрическую операцию. Если после перехода из системы координат к системе координат какая-либо величина, зависящая от координат, не меняется, т. е. сохраняется, то можно говорить о «законе сохранения» этой величины.

В рассмотренном примере важно отметить, что преобразования симметрии записываются в матричной форме так же, как и в примерах экономических, связанных с расчетом затрат. Матрицы – столбцы, которые в последнем примере оказались геометрически связаны с определением вектора, получили обобщение при описании любой матрицы.

Всякая строка в произвольной матрице называется Вектор – строка, а всякий столбец называется Вектор – столбец.

Определение симметрии с помощью матричного уравнения, в котором векторы после симметрических преобразований остаются прежними, можно записать следующим образом: АХ = Х. На рис. 24 представлен пример мозаики, которая совмещается сама с собой после операции вращения на угол φ = 360о/5 = 72о. Этот тип симметрии называют симметрией 5 –го порядка.

(?): Каким преобразованием можно продолжить эту мозаику, чтобы в результате она занимала все большую и большую площадь? Мозаика становится фрактальной, так как эту процедуру можно продолжать, переходя как к бесконечно большим, так и бесконечно малым размерам.

Рис. 24. Пример фрактальной мозаики с симметрией 5 – го порядка

Понятие симметрии явно или неявно играет ключевую роль при обсуждении вопросов Устойчивого развития региона или его экономики. Достаточно представить себе процесс развития периодическим (это тип трансляционной симметрии), секториальным с самоподобием (как в приведенной мозаике) или даже нелинейным, Устойчивая Тенденция роста всегда Носит упорядоченный (а следовательно, симметричный) Характер. Именно так решается проблема устойчивого роста в природе. Если Вам удалось понять, каким образом происходит расширение мозаики (рис. 24), то несложно получить формулу увеличения количества элементов мозаики (пятиугольников) после каждого преобразования:

Sn = 5(6N) = 5Qn, а сумма представляет собой геометрическую прогрессию Sn = Aq0 + Aq1 + Aq2 + …. + Aqn , с которой мы уже имели дело в §5 при анализе накоплений в пенсионный фонд. Поэтому можно говорить о том, что приведенная мозаика является геометрической моделью накоплений.

Возвращаясь к системе уравнений (3) в §2, можно заметить, что при поиске координат точки равновесия полученное решение (4) и (5) содержит в знаменателе дробей одну и ту же «конструкцию» (а1B2 – A2B1), составленную из элементов матрицы преобразований. В соответствии с матричным уравнением (30) эту разность представим в виде:

(A11A22 – A12A21). Полученное выражение ставит в соответствие всем элементам матрицы Определенное число, которое называется Определителем матрицы. Определитель (детерминант) матрицы обозначается символом Δ или D = det(A). Если в матрице выбрать элемент Aij и вычеркнуть строку и столбец, которым он принадлежит, то оставшиеся элементы составят новую матрицу с определителем Dij. Этот определитель с соответствующим знаком, зависящим от индекса элемента Ij, определяет число Aij, которое называется Алгебраическим дополнением элемента Aij: Aij = (-1)i+jDij. (31)

Лапласом доказана Теорема о том, что Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. На основе этой теоремы можно, последовательно вычисляя произведения элементов на их дополнения, получить определитель квадратной матрицы любого порядка. Важность операции вычисления определителя связана с упрощением поиска решения системы из большого количества уравнений с соответствующим количеством неизвестных.

Применение теоремы Лапласа рассмотрим на примере поиска определителя матрицы третьего порядка. При поиске определителя матрицу будем записывать, используя вместо скобок вертикальные линии.

.

Конкретные примеры на запись матричного уравнения по заданной системе и вычисление соответствующих определителей матриц приведены в Приложении I.

matica.org.ua

Математическая матрица. Умножение матриц

Ещё математики древнего Китая использовали в своих вычислениях запись в виде таблиц с определённым количеством строк и столбцов. Тогда подобные математические объекты именовались как «волшебные квадраты». Хотя известны и случаи использования таблиц в виде треугольников, которые так и не получили широкого распространения.

На сегодняшний день под математической матрицей принято понимать объёкт прямоугольной формы с заданным количеством столбцов и символов, которые и определяют размеры матрицы. В математике такая форма записи нашла широкое применение для записи в компактном виде систем дифференциальных, а также линейных алгебраических уравнений. Принято, что количество строк в матрице равно числу присутствующих в системе уравнений, количеству столбцов соответствует, сколько неизвестных необходимо определить в ходе решения системы.

Кроме того, что сама по себе матрица в ходе её решения приводит к нахождению неизвестных, заложенных в условие системы уравнений, существует ряд алгебраических операций, которые допускается осуществлять над данным математическим объектом. Этот перечень включает в себя сложение матриц, имеющих одинаковые размеры. Умножение матриц с подходящими размерами (можно перемножить лишь матрицу, с одной стороны имеющую количество столбцов, равное количеству строк у матрицы с другой стороны). Также допускается умножать матрицу на вектор, или на элемент поля или основного кольца (иначе скаляр).

Рассматривая умножение матриц, следует внимательно следить, чтобы количество столбцов первой строго соответствовало числу строк второй. Иначе данное действе над матрицами будет не определено. Согласно правилу, по которому осуществляется умножение матрицы на матрицу, каждый элемент в новой матрице приравнивается к сумме произведений соответствующих элементов из строк первой матрицы на элементы, взятые из столбцов другой.

Для наглядности рассмотрим пример, как происходит умножение матриц. Берём матрицу A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножаем её на матрицу B

3 -2

1 0

4 -3.

Элемент первой строки первого столбца результирующей матрицы равен 2*3+3*1+(-2)*4. Соответственно, в первой строчке во втором столбце будет элемент равный 2*(-2)+3*0+(-2)*(-3), и так далее до заполнения каждого элемента новой матрицы. Правило умножения матриц предполагает, что результатом произведения матрицы с параметрами m x n на матрицу, имеющую соотношение n x k, станет таблица, которая обладает размерами m x k. Следуя этому правилу, можно сделать вывод, что произведение так называемых квадратных матриц соответственно одного порядка всегда определено.

Из свойств, которыми обладает умножение матриц, следует выделить в качестве одного из основных то, что эта операция не является коммутативной. То есть произведение матрицы M на N не равно произведению N на M. Если в квадратных матрицах одного порядка наблюдается, что их прямое и обратное произведения всегда определены, отличаясь лишь результатом, то для прямоугольных матриц подобное условие определенности не всегда выполняется.

У умножения матриц существует ряд свойств, которые имеют чёткие математические доказательства. Ассоциативность умножения подразумевает верность следующего математического выражения: (MN)K=M(NK), где M,N, и K – матрицы, имеющие параметры, при которых умножение определено. Дистрибутивность умножения предполагает, что M(N+K)= MN+MK, (M+N)K= MK+NK, L(MN)= (LM)N+ M(LN), где L – число.

Следствием из свойства умножения матриц, именуемого «ассоциативность», следует, что в произведении, содержащем от трёх и больше сомножителей, допускается запись без использования скобок.

Использование свойства дистрибутивности даёт возможность раскрывать скобки при рассмотрении матричных выражений. Обращаем внимание, если мы раскрываем скобки, то нужно сохранять порядок сомножителей.

Использование матричных выражений позволяет не только компактно производить запись громоздких систем уравнений, но и облегчает процесс их обработки и решения.

fb.ru

Реферат по математике на тему Матрица читать бесплатно

Матрица

Матрицы уже давно стали неотъемлемой частью решения множества математических задач и вопросов. Они представляют собой прямоугольную или квадратную таблицу чисел, в зависимости от количества строк и столбцов в ней. Общепринятое обозначение количества строк в матрице – латинская буква m, и количество столбцов, в свою очередь, обозначается n. Таким образом, если в матрице m=n, значит это квадратная матрица порядка n. С матрицами можно выполнять стандартные алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Подразумевается как сложение, умножение, вычитание матрицы с одним числом, отличным от нуля и так же все эти операции между двумя матрицами. Однако их можно проделывать не с любыми матрицами, а лишь теми, что соразмерны друг другу. Все эти сведения общеизвестны и широко применяемы. Но существуют так же и другие операции, специфические именно для матриц. Прежде, чем рассказать о них, обратимся к истории и узнаем некоторые факты о возникновении матриц.

История возникновения матриц.

Первые упоминания о матрицах дошли до нас ещё из Древнего Китая, а так же и из работ древних арабских математиков. В те давние времена матрицы называли «волшебными квадратами», и уже тогда стали зарождаться правила сложения двух и более матриц. Уже некоторое время спустя в XXVII в, когда появилась теория определетилей, выдающийся математик Габриэль Крамер опубликовал свое, по сей день известное и используемое «Правило Крамера». Приблизительно в этот же период появился не менее популярный «Метод Гауса». Ну а непосредственно введение самого термина «матрица» – заслуга Джеймса Сильвестра. Термин появился в 1850 году.

Определитель матрицы.
Сущeствует опрeделитель лишь для квадратной матрицы, т е для матрицы, в которой количество строк соответствует количеству столбцов (m=n). Матрицы в математике обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а определители, в свою очередь обозначаются как (det A, det B, det C)

Пример матрицы:

Пример опредeлителя матрицы:

Данное выражение является формулой, по которой вычисляется определитель:

Помимо простых алгебраических операции, над матрицами выполняются и другие специфические действия, для приведения матрицы к наиболее удобному виду для выполнения последующих операций над ней. Рас смотрим некоторые из них.

Транспонирование матриц.
При произведении этой операции матрица меняется таким образом, что первая ее строка заменяется первым столбцом, вторая строка вторым столбцом и так далее. В результате мы получаем, так называемую, транспонированную матрицу, которая обозначается так же, как и обычная матрица, только добавляется индекс T.

Обратная матрица.
Обратная матрица для матрицы А обозначается как А в степени -1. A^-1 При умножении матрицы на обратную ей получается единичная матрица (E), то есть матрица, все элементы которой нули, кроме чисел на главной диагонали (от верхнего левого угла до нижнего правого), которые равны 1.

см. также: Все рефераты по математике

www.sdamna5.ru