Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ
Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.
В общем виде матрицу размером m×n записывают так
.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.
Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.
Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,
.
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Равенство матриц
Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы
Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.
Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.
Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .
Например. Найти матрицу транспонированную данной.
Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового
числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют
или
Примеры. Найти сумму матриц:
- .
- – нельзя, т.к. размеры матриц различны.
- .
Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).
Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:
- .
Примеры.
- .
- Найти 2A-B, если , .
.
- Найти C=–3A+4B.
Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.
Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).
.
Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.
В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы
Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.
Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,
.
Примеры.
- Пусть
Найти элементы c12, c23 и c21
- Найти произведение матриц.
.
- .
- – нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
- Пусть
Найти АВ и ВА.
Найти АВ и ВА.
, B·A – не имеет смысла.
Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.
Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е.
Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.
Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.
Например, если , то
.
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:
Определитель обозначается символом .
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.
Примеры. Вычислить определители второго порядка.
- .
- Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и
Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.
Определителем третьего порядка
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.
- .
- .
- Решите уравнение..
.
(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.
(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.
(x-4)(x-1)=0.
x1 = 4, x2 = 1.
Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки “+” и “–” у слагаемых чередуются.
Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
www.toehelp.ru
Формирование матрицы
Количество просмотров публикации Формирование матрицы – 783
Вывод двумерного массива
Ввод двумерного массива
Двумерные массивы
Двумерные массивы представляют набор однотипных элементов, расположенных в несколько строк и столбцов, к примеру, двумерный массив из целых чисел выглядит следующим образом:
4 –3 2 4 5
6 3 2 4 0
7 1 2 6 0
12 24 25 8 4
0 4 5 8 3
Каждый элемент двумерного массива обозначается при помощи имени и индексов, заключенных в круглые скобки, к примеру, A(i, j), X(4, 3), P(2×i, j+1), первый индекс – номер строки, второй – номер столбца.
Двумерный массив, называемый также матрицей, описывается при помощи оператора Dim.
Dim A(10, 10) As Тип ‘ нумерация с нуля
Dim A(1 To 10, 1 To 10) As Тип ‘ нумерация с единицы
Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, принято называть квадратной матрицей.
1. Считывание массива с рабочего листа Excel.
For i = 1 To N
For j = 1 To M
A(i, j) = Cells(i, j)
Next j
Next i
‘ N – количество строк массива, M – количество столбцов массива.
2. Формирование массива на рабочем листе Excel при помощи счетчика случайных чисел, а затем считывание массива с рабочего листа.
Randomize
For i = 1 To N
For j = 1 To M
Cells(i, j) = Int(Rnd * 100 – 50)
A(i, j) = Cells(i, j)
Next j
Next i
Вывод двумерного массива на рабочий лист Excel выглядит следующим образом:
For i = 1 To N
For j = 1 To M
Cells(i, j) = A(i, j)
Next j
Next i
При формировании квадратной матрицы будем пользоваться следующими инструкциями. Общий вид квадратной матрицы, к примеру размерности 4´4, выглядит следующим образом:
| А11 | А12 | А13 | А14 |
| А21 | А22 | А23 | А24 |
| А31 | А32 | А33 | А34 |
| А41 | А42 | А43 | А44 |
В квадратной матрице выделяются главная и побочная диагонали. Условия нахождения элемента на главной или побочной диагонали показаны на рис. 7.
Относительно каждой диагонали элемент матрицы может находиться выше или ниже диагонали. Условия нахождения элемента в каждой из частей матрицы показаны на рис. 8.
I, J – номера строки и столбца, в которых находится элемент матрицы.
Рис. 7. Главная и побочная диагонали
Рис. 8. Условия нахождения элемента выше или ниже диагонали
Относительно обеих диагоналей элемент матрицы может находиться в одной из четвертей. Условия нахождения элемента в каждой из них показаны на рис. 9.
Рис. 9. Нахождение элемента в одной из четвертей
Пример 1
Сформировать матрицу X(N, N) вида
На побочной диагонали матрицы стоят 5, на главной диагонали стоят 4, в I четверти – 0, во II четверти – 2, в III четверти – 3, в IV четверти – 1.
Программный код
Option Explicit
Sub PR22()
Dim a(10, 10) As Integer
Dim N As Integer
Dim i As Integer
Dim j As Integer
N = Val(InputBox(“Введите N”))
Range(Cells(1, 1), Cells(100, 100)).Select ‘ выделяет диапазон ячеек
Selection.Clear ‘ очищает выделенный диапазон ячеек
Cells(1, 1).Select ‘ снимает выделение
For i = 1 To N
For j = 1 To N
If i + j = N + 1 Then a(i, j) = 5
If i = j Then a(i, j) = 4
If i < j And i + j < N + 1 Then a(i, j) = 0
If i < j And i + j > N + 1 Then a(i, j) = 2
If i > j And i + j > N + 1 Then a(i, j) = 3
If i > j And i + j < N + 1 Then a(i, j) = 1
Next j
Next i
Cells(1, 1) = “Полученная матрица”
For i = 1 To N
For j = 1 To N
Cells(i + 1, j) = a(i, j)
Next j
Next i
End Sub
Пример 2
Сформировать матрицу X(N, N) вида
| … | N | ||||
| … | |||||
| … | |||||
| . | . | . | . | … | . |
| … | |||||
| … | N |
Описание и вывод матрицы будут как в предыдущем примере, здесь и далее будем рассматривать только фрагмент программы, в котором формируется матрица.
For i = 1 To N
For j = 1 To N
X(i, j) = 0
If i = j Then X(i, j) = i
If i + j = N + 1 Then X(i, j) = N + 1 – i
Next j
Next i
Пример 3
Сформировать матрицу Y(N, N) вида
| … | |||||
| … | |||||
| … | |||||
| . | . | . | . | … | . |
| … | |||||
| … | |||||
| … |
For i = 1 To N
For j = 1 To N
If i = 1 Or i = N Or j = 1 Or j = N Then Y(i, j) = 1 Else Y(i, j) = 0
Next j
Next i
Пример 4
Сформировать матрицу Z(N, N) вида
| … | ||||||
| … | ||||||
| … | ||||||
| … | ||||||
| . | . | . | . | . | . | . |
| … | ||||||
| … | N |
For i = 1 To N
For j = 1 To N
If i >= j Then Z(i, j) = j Else Z(i, j) = 0
Next j
Next i
Пример 5
Сформировать матрицу Q(N, N) вида
| … | ||||
| … | ||||
| … | ||||
| . | . | . | . | … |
| … |
For i = 1 To N
For j = 1 To N
If (i +j) mod 2 = 0 Then Q(i, j) = 1 Else Q(i, j) = 2
Next j
Next i
referatwork.ru
Лекция – Возведение квадратной матрицы в целую степень
| ← 28.9. Умножение матрицы на вектор и матрицы на… | 28.11. Исключение элементов массивов → |
Операция перемножения матриц дает возможность путем повторного умножения реализовать операцию возведения квадратной матрицы в целую степень. Это, в свою очередь, позволяет вычислять матричные степенные ряды, через которые выражаются матричные функции матричного аргумента. Рассмотрим алгоритм возведения квадратной матрицы A, содержащей n строк и n столбцов в степень m. Результирующую матрицу будем именовать B.
B = Am = E x A x A x…x A,
где E – единичная матрица. Операция умножения выполняется m раз.
Блок-схема этого алгоритма представлена на рис. 28.20. Она представлена на двух уровнях детализации. На первом уровне (изображение слева) основные блоки представлены укрупненно. На изображении справа первый и последний блоки детализированы до основных алгоритмических конструкций. Блок умножения матрицы на матрицу не детализирован, т.к. он рассмотрен в предыдущем подразделе и предполагается, что в данном алгоритме он реализован как вызов вспомогательного алгоритма.
В основе алгоритма лежит цикл повторного умножения (по переменной k), который выполняется m раз. До начала цикла в выходной матрице B формируется единичная матрица. В теле основного цикла вызовом вспомогательного алгоритма выполняется умножение матрицы B на возводимую матрицу A, результатом является матрица C. Второй фрагмент тела цикла заключается в передаче данных от матрицы С матрице B. Детализации первого и третьего блока просты и не требуют особых пояснений.
| ← 28.9. Умножение матрицы на вектор и матрицы на… | 28.11. Исключение элементов массивов → |
www.ronl.ru
Лекция – Работа с матрицами
Векторы и матрицы рассматриваются в программе MathCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert > Matrix (Вставка > Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.
После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение.
Для матриц определены следующие операции: сложение, умножение на число, перемножение и прочие. Допустимо использование матриц вместо скалярных выражений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть применены к каждому элементу матрицы, и результат также представляется в виде матрицы. Например, выражение М+ 3, где М — матрица, означает, что к каждому элементу матрицы прибавляется число 3. Если требуется явно указать необходимость поэлементного применения операции к матрице, используют знак векторизации, для ввода которого служит кнопка Vectorize (Векторизация) на панели инструментов Matrix (Матрица). Например:
— обычное произведение матриц.
— поэлементное произведение матриц с
использованием векторизации.
Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица).
Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой. Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М<0>. Для его ввода используется кнопка Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица).
Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа Мi,j: i + j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например х := 0,0.01..1.
Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6×6, перед этой формулой надо указать i:= 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам, размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения. Например, формула М5,5 := 1 создает матрицу М размером 6´6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.
www.ronl.ru
Лекция – Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрицы. Определители. Основные понятия.
Определение. Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:
или ,
где
Числа aij — называются элементами матрицы.
Если m=1, а n >1, то матрица является матрицей-строкой.
Если m >1, а n=1, то матрица является матрицей-столбцом.
Если m=n, то матрица называется квадратной, а число её строк (или столбцов) называется порядком матрицы.
Две матрицы A и B называются равными, если их размер одинаков и aij=bij.
Нулевая матрица — это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Единичной матрицей называется квадратная матрица:
.
Пример
Определение. Матрицей транспонированной к матрице A размерности m x n, называется матрица AT размерности n x m, полученная из матрицы A, если её строки записать в столбцы, а столбцы — в строки.
Пример
Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.
Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности .
Пример
Произведениемматрицы A на число p называется матрица, элементы которой равны paij
или (Cij)=(paij)
Пример
Произведением двух квадратных матриц A и B называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, является суммой парных произведений элементов i-ой строки первой матрицы на элемент k-ой строки второй матрицы С=АВ.
Пример
То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.
Матрицы для которых АВ=ВА, называются коммутирующими.
При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.
Линейной комбинацией однотипных матриц А1, А2, …, Ак с коэффициентами λ1, λ2, …, λк называется матрица той же размерности А=А1λ1+А2λ2+…+Акλк=0.
Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента a11.
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице, называется число равное .
Пример
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице, называется число равное .
Пример
Определение. Минор элемента aij — определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.
Пример
Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называется его минор взятый со знаком .
Пример
Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется матрица A-1, которая удовлетворяет условиям AA-1=A-1A=E.
Пример
Матрица A называется вырожденной, если её определитель .
Определение. Минор элемента aij-определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.
Пример
Определение. Минор порядка «r» называетсябазисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка «r+1» и выше равны нулю или не существуют. Все базисные миноры имеют одинаковый порядок.
Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора.
www.ronl.ru