Матрицы умножение примеры – Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

умножение матриц — ПриМат

1. Выполнить сложение матриц:
.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:

.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

;
.
;
.

Как видим, .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица и .
Тогда ;
.
;
.
Как видим, .

3. Вычислить произведение матриц:
.
Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения:
.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты:
.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы .
Тогда .
.
Как видим, .

4. Возвести матрицу в степень:
.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
.

5. Транспонировать матрицу:
.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат

 

 

Ваш результат

 

 

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  1. С ответом

  2. С отметкой о просмотре

Источники:

  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

5

5

5. Умножение матриц.

Рассмотрим правило умножения двух
квадратных матриц второго и третьего
порядков. Пусть даны две матрицы




Произведением матрицы А
на
матрицу В называется
матрица С= А В, элементы
которой составляются следующим образом:




Как видим, элемент матрицы-произведения,
находящийся на пересечении i-й строки и
k-го столбца,
представляет собой сумму парных произведений
элементов i-й строки первой
матрицы на элементы k-го столбца второй матрицы.

Например, элемент, стоящий во второй
строке и первом столбце матрицы произведения
АВ, равен
сумме парных произведений элементов второй строки
матрицы А на элементы первого
столбца матрицы В.

Это правило сохраняется для умножения
квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а
также для умножения прямоугольных матриц, в которых число
столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Пример1




Пример2




Пример3.





Видим , что в результате перемножения
двух матриц получается матрица,
содержащая столько строк, сколько имеет их
матрица-множимое, и столько столбцов,
сколько имеет матрица-множитель.
Рассмотрим еще пример:


С другой
стороны, как установлено выше,




Следовательно, произведение двух
матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному
закону:

АВ
ВА.

Можно
проверить, что умножение матриц
подчиняется сочетательному
закону:




А(ВС) = (АВ)С.

Отметим любопытный факт. Как известно,
произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю.
Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е.
произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным
нуль-матрице.

Пример 4. Если





то





При
умножении матриц второго порядка особое
значение имеет квадратная матрица





При умножении любой квадратной
матрицы





второго порядка на матрицу Е снова
получается матрица А.

Действительно,






Аналогично

EA =A.

Матрица Е называется единичной матрицей. Единичная матрица n-го
порядка имеет вид

Если в
матрице (1), обозначаемой буквой
А, сделать
все строки столбцами с тем же номером, то
получим матрицу





называемую транспонированной к матрице

А.


Понятие о матрице | Сложение матриц | Вычитание матриц и умножение матриц на число |

Умножение матриц |   Контакты первого и второго порядков в эпидемиологии | Матрицы и сети |

Главная


diana-davletova2011.narod.ru

Умножение матрицы на вектор, формула и примеры

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

   

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

   

Примеры умножения матриц на вектора



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

Транспонирование матриц. Умножение матриц.

К оглавлению

I. Транспонирование матриц

Транспонирование
матриц
– переход от матрицы  А 
к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:

Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:

Примеры для самостоятельного решения:

Составить из исходной матрицы
транспонированную матрицу:

II. Умножение
матриц

Пример 1. Рассмотрим для начала простейший пример, когда необходимо
найти произведение двух матриц  А  и  В  размером  2´2,
если

Решение:

Элементы матрицы  С 
находятся по следующему алгоритму:

Элемент матрицы  С,
стоящий на первой строке, в первом столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы  А на первый столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С,
стоящий на первой строке, во втором столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы  А на второй столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С,
стоящий на второй строке, в первом столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы  А на первый столбец матрицы  В.

Элемент матрицы  С,
стоящий на второй строке, во втором столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы  А на второй столбец матрицы  В.

Таким образом, мы получили

То есть мы получили, что

Пример 2. Найдем результат произведения двух матриц

Решение:

то есть мы должны получить матрицу
размера  3´3.

Пример 3. В предыдущем примере мы рассмотрели случай умножения
матрицы  А  на матрицу  В, а в данном примере рассмотрим
случай произведения матрицы  В 
на  А.

Решение:

Пример 4. Найти произведение двух матриц:

Решение: В первом случае найдем произведение:

Во втором случае найдем
произведение:

Пример 5. Вычислить значение многочлена  от матрицы

Решение. В многочлен  подставим вместо
 х  матрицу  А, вместо числа 3 используем матрицу
 3Е, где  Е – единичная матрица 2-го порядка

Теперь получим окончательный результат

III. Примеры для
самостоятельного решения

I. Найти
произведение матриц:

II. Найти значение многочлена  от матрицы А

К оглавлению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

miemp-mi-gor.narod.ru

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е.
произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди
также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и
элементов матриц — дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только
для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если
,
.

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении
дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель,
а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в
знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили
на 2, это надо делать обязательно. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если
,
.

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных
обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня,
что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A
на число α, если
,
.

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени
показатели степеней складываются. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения
матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением
постоянного множителя перед матрицей.

В сочетании со сложением и вычитанием матриц
операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5A − 3B,
4A + 2B.

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц.
Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё
произведение будет умножаться на число.

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан
в виде матрицы

,

где —
количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.
Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых
i, j верно равенство . В этом случае
отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A
на число 1,2.


Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о