Метод гаусса прямой ход – Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уровнений). Правила, примеры

Метод Гаусса

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (быть несовместной).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений, который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы —  матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических  уравнений в методе Гаусса:

1) строки матрицы можно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.

4) строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.

5) к строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

1. «Прямой ход» — с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1)   Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х₁ равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х₁, стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х₁ во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х₁ не будут иметь коэффициент 0.

2)   Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х₂ равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х₂ во всех уравнениях будут нули.

3)   Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.       

2. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х_n. Для этого решаем элементарное уравнение А*х_n = В. В примере, приведенном выше, х₃ = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х₂ – 4 = 1, т.е. х₂ = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так: 
1 шаг. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по апробированной методике:

2 шаг. Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг. Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг. Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23), и, соответственно, 11x₃ = 23, x₃ = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x₃ = 1
x₂ = 3
x₁ + x₂ – x₃ = 1, следовательно x₁ + 3 – 1 = 1, x₁ = –1

Ответ: x₁ = –1, x₂ = 3, x₃ = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4   2   –1   1
5   3   –2   2
3   2   –3   0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4   2       –1    1
1   0.6    –0.4  0.4
1   0.66  –1    0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4    2       –1    1
4    2,4    –1.6  1.6
4    2.64  –4    0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4    2       –1      1
0    0.4    –0.6   0.6
0    0.64  –3    –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4    2      –1              1
0    0.4   –0.6           0.6
0    1      –4.6875    –1.5625

 Умножим третье уравнение на 0,4

4    2       –1              1
0    0.4    –0.6           0.6
0    0.4    –1.875     –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу: 

4    2      –1              1
0    0.4   –0.6           0.6
0    0      –1.275      –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х₃ = 0,96 или приблизительно 1.

х_{2 = 3 и х1 = –1.}

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

3.2. Метод Гаусса Постановка задачи решения линейной системы

Рассмотрим
систему линейных алгебраических
уравнений с постоянными коэффициентами
(СЛАУ)

(3.2.1)

Введем
обозначения для матрицы
системы, столбца
правых частей
и столбца
решений

,

,.

Помимо
введенной матрицы А,
введем расширенную
матрицу системы, получающуюся из матрицы
А
добавлением столбца правых частей

Матрица
системы А
и столбец правых частей b
считаются заданными, а столбец x
ищется. В
векторно-матричной форме систему (3.1.1)
можно записать короче:

.
(3.2.2)

Из
общей теории линейных систем известно,
что если

,
(3.2.3)

то система
(3.1.1) имеет единственное решение. Мы в
дальнейшем будем рассматривать только
такие линейные системы.

Метод Гаусса с выбором главных элементов в столбцах Прямой ход метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах

Алгоритм
решения линейной системы методом Гаусса
состоит из прямого и обратного хода.
Прямой ход
метода Гаусса
состоит из однотипных шагов, преобразующих
расширенную матрицу системы (3.1.1). На
k-м
шаге прямого хода с помощью элементарных
преобразований в k-м
столбце устанавливается единица на
главной диагонали матрицы системы и
нули под главной диагональю. К элементарным
преобразованиям
относятся преобразования расширенной
матрицы:

1)
перестановка строк;

2)
деление строки на число, отличное от
нуля;

3)
вычитание из одной строки расширенной
матрицы другой строки, умноженной на
некоторое число, отличное от нуля (при
этом вторая строка не меняется).

Применение
элементарных преобразований к расширенной
матрице системы не изменяет решения
системы. Поэтому линейная
система, получаемая в результате
элементарных преобразований над ее
расширенной матрицей, должна быть
равносильна исходной системе.

Прямой
ход метода Гаусса имеет (n-1)
шаг. В результате прямого хода метода
Гаусса матрица системы становится
верхней треугольной матрицей (под
главной диагональю стоят нули, а на
главной диагонали стоят единицы везде,
за исключением последней строки).

Полученная
в результате прямого хода система
уравнений решается последовательно
снизу вверх. В этом и состоит обратный
ход метода Гаусса.
Рассмотрим описанный в общих чертах
алгоритм метода Гаусса подробнее и
получим расчетные формулы.

Прямой
ход метода Гаусса с выбором главного
элемента в столбцах представляет собой
цикл, выполняемый последовательно для
.
Для того чтобы установить, что необходимо
делать наk-м
шаге этого цикла, запишем расширенную
матрицу системы, которая получается
после ()
шага прямого хода (см. табл. 3.1):

Таблица
3.1

Верхние
индексы элементов расширенной матрицы
указывают на номер шага прямого хода,
в результате которого получено значение
этого элемента. На k-м
шаге преобразуются строки матрицы с
номерами от k
до n.
В результате преобразований на месте

должна быть установлена 1, а на месте
,
…,

должны быть установлены нули. При этом
столбцы с 1-го до (k-1)-й
не должны измениться.

studfiles.net

Прямой ход — метод — гаусс

Прямой ход — метод — гаусс

Cтраница 1

Прямой ход метода Гаусса состоит из L этапов.
 [1]

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.
 [2]

На атом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Эту часть процесса вычислений называют обратным ходом метода Гаусса. При этом следует отметить следующее.
 [3]

Отметим, что прямой ход метода Гаусса требует я3 / 34 — 0 ( / г2) операций сложения, столько же операций умножения и п2 / 2 0 () операций деления, обратный ход требует п2 / 2 0 ( п) операций сложения, столько же операций умножения и п операций деления.
 [4]

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.
 [5]

Операции по выполнению прямого хода метода Гаусса в соответствии с теоремами линейной алгебры не изменяют величины определителя. Очевидно, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
 [6]

Решение (3.5) называется прямым ходом метода Гаусса, решение (3.4) — обратным ходом метода Гаусса.
 [7]

Нетрудно проверить, что реализация прямого хода метода Гаусса требует N — 2т3 / 3 арифметических операций, а обратного — N — т2 арифметических операций.
 [8]

Разложение А — ВС соответствует прямому ходу метода Гаусса, а решение системы ( 6) — ( 7) — обратному ходу. Заметим, что в алгоритме, изложенном в § 1, разложение А ВС и решение системы ( 6) проводится одновременно.
 [9]

Начиная с блока 2, осуществляется прямой ход метода Гаусса, в котором преобразуется п — 1 строка матрицы коэффициентов. Основные преобразования прямого хода выполняются в блоке 4 алгоритма. Блоки 5 и 6 определяют обратный ход метода Гаусса.
 [10]

Получение системы ( 8) составляет прямой ход метода Гаусса. Поскольку матрица системы имеет треугольный; вид, можно последовательно, начиная с хт, найти все неизвестные.
 [11]

Перейдем теперь к случаю, когда в прямом ходе метода Гаусса для системы ( 3) возможно т п шагов преобразований.
 [12]

Преобразованием исходной системы (2.1) к виду (2.5) завершается прямой ход метода Гаусса.
 [14]

Преобразование системы (2.1) к виду (2.5) в результате прямого хода метода Гаусса связано с преобразованием матрицы А к треугольному виду, что может быть использовано для вычисления ее определителя. Прямой ход метода Гаусса основан на многократно выполняемой операции сложения элементов одной из строк матрицы с элементами другой строки, умноженными на некоторое число. Известно, что в результате такой операции определитель матрицы не изменяется. Однако при этом может возникнуть необходимость перестановки строк матрицы, чтобы перед началом очередного шага ведущий элемент а — — был отличен от нуля. В результате этой операции изменяется знак определителя.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

www.ngpedia.ru